浙江省2021屆高考數(shù)學模擬試卷(一)(3月份)(含答案解析)

浙江省2021屆高考數(shù)學模擬試卷（一）（3月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知集合M=%={%|-3<x<1},N={x\x<3},則集合<一3或%>1]=()

A.MCNB.MUNC.CM(MCIN)D.CM(MUN)

2.復數(shù)z滿足z(l—i)=|3+4i|,則z=()

A1,7.「55.C5_i_5?

A--2+2lB.1+C.---iD-2+2l

2222

3.已知向量〃=(x+z,3),h=(2,y-z),且。.若x,y滿足不等式|x\+|y|<1,則z的取值

范圍為（）

A.[-2,2]B.[-2,3]C.[-3,2]D.[-3,3]

4.周長為1,圓心角為Isd的扇形的面積等于（）

5.下列圖象中，函數(shù)f（%）=（e"一。一"力譏%,%￡[-兀,網(wǎng)圖象的是（）

6.已知集合上={l,a},5=[1,2,3),則“以=3”是"AGB”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.在數(shù)列｛aj中，an=；（n€N*）,從數(shù)列｛即｝中選出k（k23）項并按原順序組成的新數(shù)列記為

｛bn）,并稱｛4｝為數(shù)列｛an｝的左項子列.例如數(shù)列;、i：為｛an｝的一個4項子列.若｛勾｝為數(shù)

ZO3O

列｛an｝的一個上（人》3）項子列，且｛%｝為等差數(shù)列，則｛九｝的公差”的最小值為（）

8.已知雙曲線0右支上的一點0到左焦點距離與道右焦點的距離之差為S,且兩條漸近

線的距離之積為□，則雙曲線的離心率為()

A.0B.0C.0D.0

9.函數(shù)以乃=2/一：/在區(qū)間[0,6]上的最大值是()

A.vB.當C.12D.9

33

10.設正數(shù)a、b、c&R,a+b+c=l,M=(l-i)(l-i)(l-i),貝lj()

A.MG(—oo,—8]B.ME(—8,0)C.MG[0,8)D.MC[8,+oo)

二、單空題(本大題共7小題，共36.0分)

11.仇章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一棱垂直

于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，已知某“塹堵”與某“陽馬”組合而成的幾何體的三視圖中

12.已知(1+ax)5=1+10尤+6刀2+…+a's,貝必=.

13.在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是mb,c,若竺色絲筆ZSi竺=2sinC,則4c的大

asinB

小為.

22

14.曲線今—3=i(a>0,b>0)的一條漸近線與圓(x-V3)+(y-I)=1相切，則此雙曲線的離

心率為______

15.為貫徹“科學防疫”，某復課學校實行“佩戴口罩，不相鄰而坐”，現(xiàn)針對一排8個座位，安

排4名同學就坐，那么不同的安排方法共有種.(用數(shù)字作答)

16.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個球，則其中含紅球個數(shù)的

數(shù)學期望是.

17.已知四邊形ABC。是邊長為3的正方形，若屁=2無，萬^2成，則荏?萬的值為.

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.函數(shù)、=5也(3刀+8)(3>0,|9|<柒在同一個周期內，當％=?時，y取最大值1,當％=工時,

y取最小值-1.

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調遞減區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)滿足方程/(x)=a(0<a<1),求在[0,2初內的所有實數(shù)根之和.

19.如圖，在棱長為1的正方體48CD-A/iCWi中，點E是棱名。的

中點，點尸在棱上且&F=2FB.

(1)求證：EF14G；

(2)求平面AEF與平面ABCQ所成角的余弦值.

20.若數(shù)列｛斯｝同時滿足條件：①存在互異的p,q6N*使得％=aq=c(c為常數(shù))；

②當n豐p且n*q時，對任意nGN*都有斯>c,則稱數(shù)列｛即｝為雙底數(shù)列.

(1)判斷以下數(shù)列｛。工是否為雙底數(shù)列(只需寫出結論不必證明)：

①an=n+*@an=siny；③斯=|(n-3)(n-5)|；

(2)設斯=楙'O'若數(shù)列國"是雙底數(shù)列，求實數(shù)的值以及數(shù)列｛。"的前〃項和

S"；

(3)設即=(kn+3)舄)%是否存在整數(shù)k,使得數(shù)列｛斯｝為雙底數(shù)列？若存在，求出所有的k的值，

若不存在，請說明理由.

21.(本小題滿分14分)

已知橢圓C：目+[=1辦0)的離心率為左，且經(jīng)過點中琲

alr

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線f：y=ir+t(t#0,)與橢圓C有兩個交點4B.若線段通的中點為U，求

證：直線QM的斜率與直線［的斜率的乘積為定值.(。為坐標原點)

22.已知函數(shù)，y=f(x)=—爐+。/+力小力￡R)

(I)要使/(X)在(0.1)上單調遞增，求a的取值范圍；

(n)當a>0時，若函數(shù)f(%)的極小值和極大值分別為1、試求函數(shù)y=f(x)的解析式；

(DI)若x6［0,1］時,y=/(x)圖象上任意一點處的切線傾斜角為。，當0W。W*時，求a的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：解：因為集合”={刈-3<工<1},N=[x\x<3},

所以MnN={x|-3<x<1},

MUN={x\x<3},

則CM(MCN)={x\x<-3或x>1},

CM(MUN)={x\x>3},

故選：C.

根據(jù)題意和交、并、補集的運算，分別求出MnN、MUN、CM(MCN)、CM(MUN),即可得答案.

本題考查交、并、補集的混合運算，屬于基礎題.

2.答案:2

解析：解：|3+4i|=V32+42=5>

:.z=——5=--S-(-l+-i-)-=一5+,5-.1.

1-i(l-i)(l+i)22

故選：D.

先求復數(shù)的模，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題.

3.答案：D

解析：由題意db得2x+3尸z,而|M+|y|<1表示的區(qū)域如圖陰影所示，根據(jù)線性規(guī)劃知識

2z_

可知：直線y=--x+—通過A(0,l)時，z取得最大值，且=2x0+3x1=3；

33

2z

當直線y=+?通過8(0,-1)時,Z取得最小值，且Zmin=2x0+3X(-1)=一3.故ze[-3,3].

4.答案：D

解析：

根據(jù)扇形的面積公式進行求解即可.

本題主要考查扇形的面積計算，根據(jù)扇形的面積公式和弧長公式是解決本題的關鍵.

解：設扇形的半徑為匕弧長為/,

貝〃+2r=1,

???圓心角為Irad的弧長1=r,

11

???3r=1,則r=7I—

則對應的扇形的面積S=|x/r=|x|x|="^,

NZ33lo

故選：D.

5.答案：D

解析:解：根據(jù)題意,/(久)=xx則xxxx

(e-e~)sinxff(-%)=(e~—e)sin(—x)=(e-e~)sinx=/(%),

則f(%)為偶函數(shù)，排除8。，

在區(qū)間(0,冗)上,(ex-e-x)>0,sinx>0,則有f(x)>0,排除A；

故選：D.

根據(jù)題意，分析可得/(%)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,7T)上，/(%)>0恒成立，據(jù)此由排除法分析可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，注意分析函數(shù)的奇偶性、單調性或特殊值.

6.答案：A

AcS<=>a=2或a=3

解析：二1=3"是的充分不必要條件.

7.答案：A

解析：

本題考查新定義的理解和運用，考查等差數(shù)列通項公式的運用，以及不等式的證明，考查推理能力，

屬于難題.

解：由題意，知12兒>…〉員>0,

所以

d=b2-bl<0.

假設人=1,由｛%｝為｛的J的一個上項子列，得尻式右

1-1

所以因為瓦=瓦+

d=b2-b1<--l=--f(k-l)d,bk>0,

111

所以(k—l)d=bk-b[=bk-1>—1,即d>一二y—~~p這與d<-->

所以假設不成立，即瓦

所以瓦

所以當瓦=?,尻=§壇=5時｛砥｝公差最小，此時公差為一七

N36o

故選A.

8.答案：D

解析：試題分析：依題意，0,又雙曲線的漸進線方程為岡，又點區(qū)兩條漸近線的距離之

積為叵]，則叵1,而點區(qū)在雙曲線上，叵],

岡，代入國求得岡，二區(qū)，選D

考點：雙曲線的性質，點到直線的距離公式.

9.答案：A

解析：

考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題，當函數(shù)在一區(qū)間上有唯一的極值時，該極值即為相應的最

值.

求導數(shù)/''(X)，根據(jù)導數(shù)的符號變化可求函數(shù)的極大值，易判斷該極大值即為最大值.

解：A(x)=4%-x2=—x(x—4),

當04x44時,f'[x)>0,f(x)遞增；

當4<xW6EI寸，1(%)<0,/'(X)遞減；

.??刀=4時/0)取得極大值，也即最大值，

"f(X)max=/(4)=2X16-1x43=y,

故選：A.

10.答案：A

解析：解：Q+b+c=1,

=（答）（鎧皚

=-OOO

<_呼）雪）呼）=-8.

當且僅當a=b=c時，取等號.

故選A.

.利用題中條件：“a+b+c=1”將式子M：M=（1（1—一｝進行轉化成：一（誓）（等）（等）,

最后利用基本不等式即可求得M的取值范圍即可.

本小題主要考查基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想.屬于基礎題.

11.答案：V3

解析:

本題考查了四棱錐與三棱柱的三視圖與體積計算公式，考查了空

間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題.

如圖所示，由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個四棱錐與三

棱柱的組合體，其直觀圖如下圖所示，分別利用體積計算公式即

可得出.

解：如圖所示，由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個四棱錐與三棱柱的組合體,

其直觀圖如下圖所示：

,該幾何體的體積為=lxixl-x+ixl2-x,

623

解得x=V3.

故答案為V5.

12.答案:40

解析：由條件可知Cba=10且C：-a2=b,

b=40.

13.答案：；

asinA+bsinB-csinC

解析：解：在△4BC中,=2sinC

asinBf

由正弦定理可得：貯空W=2sinC,

ab

???由余弦定理可得：cosC=a+°~c==sinC,

2ab2ab

V2sin(C-J)=0,可得：sin(C-^)=0,

vce(0,TT),c-e

c—￡=o,可得：c=￡

44

故答案為：a

由已知及正弦定理，余弦定理可得cosC=sinC,利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin(C-》=0,結

合范圍C*€(_%,),即可得解C的值.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，考查了轉化思

想，屬于基礎題.

14.答案：2

解析：解：???雙曲線漸近線為bx土ay=0,與圓相切，

???圓心到漸近線的距離為黑粵=1或騫粵=1，求得百a=b，

Va2+b2Va2+b2

???=Q2+匕2=4a2,

/.e=-=2.

a

故答案為：2.

先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離為圓的半徑求得a和〃的關

系，進而利用c2=a2+b2求得。和c的關系，則雙曲線的離心率可求.

本題主要考查了雙曲線的簡單性質，直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式等.考查了學生數(shù)

形結合的思想的運用.

15.答案：120

解析：解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①一排8個座位，安排4名同學就坐，有4個空座位，先將4個空座位排好，

②空座位排好后，有5個間隔，在5個間隔中任選4個，安排4名同學，有4g=120種安排方法，

故答案為：120

根據(jù)題意，分2步進行分析：①先將4個空座位排好，②空座位排好后，有5個間隔，在5個間隔

中任選4個，安排4名同學，由排列數(shù)公式計算可得答案.

本題考查排列組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

16.答案：1.2

解析：解：設含紅球個數(shù)為f,f的可能取值是0、1、2,

當《=0時，表示從中取出2個球，其中不含紅球，

當f=1時，表示從中取出2個球，其中1個紅球，1個黃球，

當$=2時，表示從中取出2個球，其中2個紅球，

=。)=修=04，

P&=1)=等=0.6

GS

=2)=1=0.3

:.Ef=0x0.1+1x0.6+2x0.3=1.2.

故答案為：1.2.

由題意知6的可能取值是0、1、2,當6=0時，表示從中取出2個球，其中不含紅球，當f=l時，

表示從中取出2個球，其中1個紅球，1個黃球，當f=2時，表示從中取出2個球，其中2個紅球，

這三種情況根據(jù)古典概型概率公式得到結果，求出期望.

本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理

科考試必出的一道問題.不過大多數(shù)題目是以解答題的形式出現(xiàn)的.

17.答案:9

解析：解：?.?屁=2正，.,?屁=|玩=|而,

又CF=2'FB,=^AD,

???AE=AD+DE=^AB+AD,

，,,—>i—>

???4F=AB-^BF=AB+-A。，

3

?.....?,一一—一>”一一一>1-一…一?

???AE-AF=(“B+AD)?(AB+海)

=-AB2+-AD2+—AB?AD

339

=-X32+-X32+0=9.

33

故答案為：9.

由平面向量基本定理，用荏和而作基底表示向量荏和方，由數(shù)量積的運算可得.

本題考查平面向量數(shù)量積的運算，用向量荏和而作基底來表示題中的向量是解決問題的關鍵，屬中

檔題.

18.答案：解：(1)函數(shù)'=新(3%+0)(3>0,|例<)在同一個周期內,

當時，y取最大值1,當％=工時，y取最小值一1.

蠟--尸居嗎所以?=拳

解得3=.277=3-,由于|9|<今77

所以當?shù)?:時，//)=sin弓一3)=1,

解得8=一?所以/（%）=sin（3x_：）,

令］+2/OTS3比一段2/OT+萼（k￡Z）,

解得?+|k兀+工(keZ),

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為《+1上兀,|上兀+工］(憶6Z),

(2)函數(shù)/(x)滿足方程f(x)=a(0<a<1),在［0,2河內恰有3個周期.

所以6個實數(shù)根的關系滿足/+右=泉x+x=耳，&+配=等，

434bO

所以在［0,2兀］內的所有實數(shù)根之和為T+邛+等=

ZooZ

解析：(1)直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質，求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間.

(2)利用函數(shù)函數(shù)/'(x)滿足方程/(x)=a(0<a<1),在［0,2司內恰有3個周期，所以有6個實數(shù)根,

故％1+次=三X+X=苑+0=￥，進一步求出和.

Z346o

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，函數(shù)的對稱性的應

用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

19.答案：(1)證明：連D$i，DB,

&G1D$T，又BBi1面IBiQDi，41cl1BB、,

又BBinDB=Bi，ACl^iDBB1D1,

又,.?EFu面?？谡?。］,［A［Ci-LEF.

(2)解：由ED1面ABCD,FBiffiABCD,

得AABD^LA4FE在面ABC。內的投影圖形，

S〉ABD=-xlxl=-,又AF=Jl+,=

AE=ll+-=-f

y]42

在OE上取點G,使。G=B尸=：,貝IJEG=±

36

.?.在Rt△EGF中，EF=12=?，

??,cosz.EAF—2康36,_言...sinZ-EAF=—,

10io

3

???S^AEF=171E-AF-sinZ-EAF

=-1x-V5xV—10x-7y-[2

22310

7

-12f

設二平面AEF與ABCD所成角為仇

則COS。=^Xy=|,

即二平面AEF與A8CC所成角余弦值為*

解析：(1)連。1當，DB,D$i，DB,由已知得&C]J■面。8當。1，由此能證明_LEF.

(2)由EDiffiABCD.FB1面A8CD,得△AB。是△AFE在面ABC。內的投影圖形，由此求出4尸=乎,

4E=漁，在。E上取點G,使。G=BF=j貝|EG=；,由此能求出二平面AEF與ABCO所成角余

236

弦值.

本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能

力的培養(yǎng).

20.答案：解：⑴在①中,4=?+：是雙底數(shù)列;

在②中，即=sin式不是雙底數(shù)列；

在③中，5=|(n—3)5—5)|是雙底數(shù)列.

(2)???即=｛器蹤"，數(shù)列5｝是雙底數(shù)列，

51-50

:.a50=劭1，即101—100=2+m=2+?n,解得m=-1,

當1<n<50時，an—101—2n,

｛冊｝是首項為由=99,公差d=—2的等差數(shù)列，

2

Sn=99n-x2=lOOn-n；

n50

當nA51時，an=2--1,

a-

???Sn=(%+@2---@50)+(51----1Qn)

2(1-2n-5。)

2

=100X50-50+-1_2---(n-50)

=2n-49-n+2548；

⑶斯=(kn+3)舄)以假設存在整數(shù)k,使得數(shù)列｛4｝為雙底數(shù)列，

根據(jù)題意，k<0,

11

由回=即+1，得(而+3)?舄)=[k(n+i)+刃.舄嚴】,

整理，得n=9

vkEZ,:.k=-1或k=-3.

解析：⑴在①中，冊=71+；是雙底數(shù)列；在②中，an=sin段不是雙底數(shù)列；在③中，an=|(n-

3)(n-5)|是雙底數(shù)列.

(2)由。50=。51，能求出實數(shù)膽的值以及數(shù)列｛斯｝的前"項和土.

(3)假設存在整數(shù)A,使得數(shù)列｛an｝為雙底數(shù)列，由即=*1，得(碗+3)?舄尸=收〃+1)+3]?

舄嚴從而"=9嶗，由此能求出結果?

本題考查雙底數(shù)列的判斷，考查實數(shù)值、數(shù)列的前〃項和的求法，考查滿足雙底數(shù)列的實數(shù)值的求

法，考查等差數(shù)列、雙底數(shù)列的性質等基礎知識，考查運用求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中

檔題.

21.答案：(1)

由題意得,

fl2="+，

(a=2

解得?所以求橢圓C的方程為+X-=1

43

⑵

y=fc+t

由消y得3f+4(虹+卅=12，

T+Y=1

即0+肥*+腕r+4p-12=0

設貼療)，雙。%)，則工％=一品，

所以線段AR的中點為V的坐標為((一