配套課件章數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法

第4章數(shù)列INNOVATIVEDESIGN4.4數(shù)學(xué)歸納法成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過期課標(biāo)要求1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題.素養(yǎng)要求通過利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究內(nèi)容索引互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究11.思考

(1)如果你從袋子里拿出5個(gè)小球，發(fā)現(xiàn)全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？

提示

不能.通過考察部分對(duì)象，得到一般的結(jié)論的方法，叫不完全歸納法.不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確.例如，在我們數(shù)學(xué)上有費(fèi)馬猜想、哥德巴赫猜想等，他們所用的就是不完全歸納法，至于最終的結(jié)論能否成立，需要驗(yàn)證.(2)在多米諾骨牌游戲中，如何保證所有的骨牌全部倒下？提示

要保證任意相鄰兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊倒下，這樣的話，只需要第一塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致后面所有的骨牌都能倒下.像這樣以一種不同的方式來證明任意一個(gè)給定的情形都是正確的推理方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.它是一種完全歸納的方法，雖有“歸納”這兩個(gè)字，但其結(jié)論是正確的.2.填空一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可按如下兩個(gè)步驟進(jìn)行： (1)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時(shí)命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝________時(shí)命題也成立.

根據(jù)(1)(2)就可以斷定命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法(mathematicalinduction).

數(shù)學(xué)歸納法是證明與________有關(guān)的命題的常用方法.k＋1正整數(shù)溫馨提醒

數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)必要條件，二者缺一不可.步驟(1)是命題論證的基礎(chǔ)，步驟(2)是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證，這兩個(gè)步驟缺一不可.如果缺少步驟(2)，無法對(duì)當(dāng)n取n0以后的數(shù)時(shí)的結(jié)論是否正確作出判斷；如果缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)就沒有意義了.步驟(2)中，證明“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立”的過程中，必須利用歸納假設(shè)，即必須用上“假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立”這一條件.CHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升2題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，根據(jù)①和②可知，對(duì)任何n∈N*，等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：(1)n＝n0時(shí)，等式的結(jié)構(gòu).(2)n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時(shí)的代數(shù)式比n＝k時(shí)的代數(shù)式增加(或減少)的項(xiàng).這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：①代數(shù)式從哪一項(xiàng)(哪一個(gè)數(shù))開始，即第一項(xiàng).②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.③代數(shù)式中最后一項(xiàng)(最后一個(gè)數(shù))與n的關(guān)系.思維升華訓(xùn)練1

求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).證明

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何n∈N*都成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵：思維升華題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除、平面幾何等數(shù)學(xué)命題例3

證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.證明

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64，故f(k＋1)也能被64整除.綜合(1)(2)，知當(dāng)n∈N*時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，一般先從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除，這是用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的一大技巧.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找增量”，即幾何元素從k(k∈N*)個(gè)變成(k＋1)個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少個(gè).解題時(shí)可以先用f(k＋1)－f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合幾何圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.思維升華題型四歸納——猜想——證明

“歸納—猜想—證明”的一般步驟思維升華課堂小結(jié)1.掌握2個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本原理與步驟.(2)數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用.2.牢記2個(gè)方法(1)證明數(shù)學(xué)歸納法的步驟.(2)歸納—猜想—證明的思維體系.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成3C解析

因?yàn)轭}目要求是對(duì)n為正偶數(shù)，等式成立，故選C.D3.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)等于(

) A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2C解析

增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加(n＋1－3)條對(duì)角線，另外原來的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故選C.4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于(

)B5.(多選)已知一個(gè)命題p(k)，k＝2n(n∈N*).若當(dāng)n＝1，2，…，1000時(shí)，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是(

) A.p(k)對(duì)k＝528成立 B.p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立 C.p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立 D.p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立AD解析

由題意知p(k)對(duì)k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立，故選AD.7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時(shí)，初始值n0應(yīng)等于________.6解析

由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，21<(1＋1)2；當(dāng)n＝2時(shí)，22<(2＋1)2；當(dāng)n＝3時(shí)，23<(3＋1)2；當(dāng)n＝4時(shí)，24<(4＋1)2；當(dāng)n＝5時(shí)，25<(5＋1)2；當(dāng)n＝6時(shí)，26>(6＋1)2，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時(shí)，初始值n0應(yīng)等于6.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立.11.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開(

) A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3A解析

假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3及9的倍數(shù)的式子即可.12.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(

) A.30 B.9 C.36 D.6C解析

由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想m＝36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立.(2)假設(shè)n＝k(n≥1，n∈N*)時(shí)，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]－18＋2×3k＋1＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1).∵3k－1－1是2的倍數(shù)，∴18(3k－1－1)能被36整除，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36.13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1－nan(n∈N*).(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立.②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，猜想成立，即n＝k＋1時(shí)，猜想也成立.故由①和②可知，猜想成