配套課件章數(shù)列數(shù)學歸納法

第4章數(shù)列INNOVATIVEDESIGN4.4數(shù)學歸納法成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，永不過期課標要求1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題.素養(yǎng)要求通過利用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題，發(fā)展學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).問題導學預習教材必備知識探究內容索引互動合作研析題型關鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導學預習教材必備知識探究11.思考

(1)如果你從袋子里拿出5個小球，發(fā)現(xiàn)全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？

提示

不能.通過考察部分對象，得到一般的結論的方法，叫不完全歸納法.不完全歸納法得到的結論不一定正確.例如，在我們數(shù)學上有費馬猜想、哥德巴赫猜想等，他們所用的就是不完全歸納法，至于最終的結論能否成立，需要驗證.(2)在多米諾骨牌游戲中，如何保證所有的骨牌全部倒下？提示

要保證任意相鄰兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊倒下，這樣的話，只需要第一塊骨牌倒下，就可導致后面所有的骨牌都能倒下.像這樣以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的推理方法叫作數(shù)學歸納法.它是一種完全歸納的方法，雖有“歸納”這兩個字，但其結論是正確的.2.填空一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題，可按如下兩個步驟進行： (1)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立； (2)假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝________時命題也成立.

根據(jù)(1)(2)就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法叫作數(shù)學歸納法(mathematicalinduction).

數(shù)學歸納法是證明與________有關的命題的常用方法.k＋1正整數(shù)溫馨提醒

數(shù)學歸納法的兩個步驟分別是數(shù)學歸納法的兩個必要條件，二者缺一不可.步驟(1)是命題論證的基礎，步驟(2)是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證，這兩個步驟缺一不可.如果缺少步驟(2)，無法對當n取n0以后的數(shù)時的結論是否正確作出判斷；如果缺少步驟(1)這個基礎，假設就失去了成立的前提，步驟(2)就沒有意義了.步驟(2)中，證明“當n＝k＋1時命題成立”的過程中，必須利用歸納假設，即必須用上“假設當n＝k時命題成立”這一條件.CHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關鍵能力提升2題型一用數(shù)學歸納法證明等式②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，即當n＝k＋1時，等式也成立，根據(jù)①和②可知，對任何n∈N*，等式都成立.用數(shù)學歸納法證明等式的策略應用數(shù)學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結構，即：(1)n＝n0時，等式的結構.(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結構：n＝k＋1時的代數(shù)式比n＝k時的代數(shù)式增加(或減少)的項.這時一定要弄清三點：①代數(shù)式從哪一項(哪一個數(shù))開始，即第一項.②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律.③代數(shù)式中最后一項(最后一個數(shù))與n的關系.思維升華訓練1

求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).證明

(1)當n＝1時，左邊12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立.(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，則當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以當n＝k＋1時，等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何n∈N*都成立.題型二用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵：思維升華題型三用數(shù)學歸納法證明整除、平面幾何等數(shù)學命題例3

證明：當n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.證明

(1)當n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除.(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64，故f(k＋1)也能被64整除.綜合(1)(2)，知當n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.(1)用數(shù)學歸納法證明整除問題時，一般先從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除，這是用數(shù)學歸納法證明整除問題的一大技巧.(2)用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找增量”，即幾何元素從k(k∈N*)個變成(k＋1)個時，所證的幾何量將增加多少個.解題時可以先用f(k＋1)－f(k)得出結果，再結合幾何圖形給予嚴謹?shù)淖C明.思維升華題型四歸納——猜想——證明

“歸納—猜想—證明”的一般步驟思維升華課堂小結1.掌握2個知識點(1)數(shù)學歸納法的基本原理與步驟.(2)數(shù)學歸納法的簡單應用.2.牢記2個方法(1)證明數(shù)學歸納法的步驟.(2)歸納—猜想—證明的思維體系.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成3C解析

因為題目要求是對n為正偶數(shù)，等式成立，故選C.D3.凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形對角線的條數(shù)f(n＋1)等于(

) A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2C解析

增加一個頂點，就增加(n＋1－3)條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故選C.4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于(

)B5.(多選)已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*).若當n＝1，2，…，1000時，p(k)成立，且當n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是(

) A.p(k)對k＝528成立 B.p(k)對每一個自然數(shù)k都成立 C.p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立 D.p(k)對某些偶數(shù)可能不成立AD解析

由題意知p(k)對k＝2，4，6，…，2002成立，當k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.7.用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應等于________.6解析

由題意，當n＝1時，21<(1＋1)2；當n＝2時，22<(2＋1)2；當n＝3時，23<(3＋1)2；當n＝4時，24<(4＋1)2；當n＝5時，25<(5＋1)2；當n＝6時，26>(6＋1)2，所以用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應等于6.所以當n＝k＋1時，不等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，對任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立.11.用數(shù)學歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設證n＝k＋1時的情況，只需展開(

) A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3A解析

假設當n＝k時，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設，只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3及9的倍數(shù)的式子即可.12.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(

) A.30 B.9 C.36 D.6C解析

由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想m＝36.下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當n＝1時，顯然成立.(2)假設n＝k(n≥1，n∈N*)時，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當n＝k＋1時，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]－18＋2×3k＋1＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1).∵3k－1－1是2的倍數(shù)，∴18(3k－1－1)能被36整除，∴當n＝k＋1時，f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知對一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36.13.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1－nan(n∈N*).(1)計算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論.下面用數(shù)學歸納法證明：①當n＝1時，猜想顯然成立.②假設n＝k(k∈N*)時，猜想成立，即n＝k＋1時，猜想也成立.故由①和②可知，猜想成