山東省濟南市錦澤技工學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

山東省濟南市錦澤技工學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由時的假設(shè)到證明時，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．2．已知集合，，那么()A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對任意實數(shù)，都有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．4．已知，其中、是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．復(fù)數(shù),則對應(yīng)的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．給出下列命題：①命題“若，則方程無實根”的否命題；②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題；③命題“若，則”的逆否命題；④“若，則的解集為”的逆命題；其中真命題的序號為（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③7．若是極坐標(biāo)系中的一點，則四個點中與點重合的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位的虛部是A． B．1 C． D．i9．已知，則（）A．1 B． C． D．10．設(shè)，則（）A． B． C． D．11．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．12．已知，則（）A． B．3 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．120，168的最大公約數(shù)是__________．14．某旋轉(zhuǎn)體的三視圖如圖所示，則該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是________.主視圖左視圖俯視圖15．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為___________．16．，若，則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xex（1）求函數(shù)f（x）的極值．（2）若f（x）﹣lnx﹣mx≥1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．18．（12分）某醬油廠對新品種醬油進行了定價，在各超市得到售價與銷售量的數(shù)據(jù)如下表：單價（元）55.25.45.65.86銷量（瓶）9.08.48.38.07.56.8（1）求售價與銷售量的回歸直線方程；（，）（2）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶，為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？相關(guān)公式：，．19．（12分）若函數(shù)，.（1）把化成或的形式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并求的最大值．20．（12分）在提出的“變害為利，造福人民”的木蘭溪全流域治理系統(tǒng)過程中，莆田市環(huán)保局根據(jù)水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到木蘭溪某段流域的每年最高水位（單位：米）的頻率分布直方圖（如圖）.若將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨立．（1）求在未來3年里，至多有1年河流最高水位的概率（結(jié)果用分數(shù)表示）；（2）根據(jù)評估，該流域?qū)ρ睾悠髽I(yè)影響如下：當(dāng)時，不會造成影響；當(dāng)時，損失1000萬元；當(dāng)時，損失6000萬元．為減少損失，莆田市委在舉行的一次治理聽證會上產(chǎn)生了三種應(yīng)對方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程費用380萬元；方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程費用200萬元；方案三：不采取措施；試問哪種方案更好，請說明理由．21．（12分）已知函數(shù)f(x)=m（1）當(dāng)n-m=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-3m2x2的兩個零點分別為x1,x2(22．（10分）如圖，在棱長為3的正方體中，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】因為當(dāng)時，等式的左邊是，所以當(dāng)時，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項是什么，使得問題獲解．2、C【解題分析】

解出集合B，即可求得兩個集合的交集.【題目詳解】由題：，所以.故選：C【題目點撥】此題考查求兩個集合的交集，關(guān)鍵在于準確求出方程的解集，根據(jù)集合交集運算法則求解.3、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)等式可得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出該函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得出，利用函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)解出該不等式即可.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，對任意實數(shù)，都有，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，即，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，解得，因此，實數(shù)的最小值為，故選A.【題目點撥】本題考查函數(shù)不等式的求解，同時也涉及函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，難點在于根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，并利用定義判斷奇偶性以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.4、D【解題分析】

由得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出的值，從而可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，得到答案.【題目詳解】由有，其中、是實數(shù).所以，解得，所以則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的運算和根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

先求得的共軛復(fù)數(shù)，由此判斷出其對應(yīng)點所在象限.【題目詳解】依題意，對應(yīng)點為，在第一象限，故選A.【題目點撥】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

①寫出其否命題，再判斷真假；②寫出其逆命題，再判斷真假；③根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，直接判斷原命題的真假即可；④寫出其逆命題，再判斷真假.【題目詳解】①命題“若，則方程無實根”的否命題為：“若，則方程有實根”,為真命題，所以正確.②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題為：“若為等邊三角形，則”為真命題，所以正確.③命題“若，則”為真命題，根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，所以正確.④“若，則的解集為”的逆命題為：“若的解集為，則”當(dāng)時，不是恒成立的.當(dāng)時,則解得：，所以正確.故選：A【題目點撥】本題考查四種命題和互化和真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

分別將各點化為直角坐標(biāo)即可判斷【題目詳解】P（2，）化直角坐標(biāo)為，即為同理化直角坐標(biāo)分別為則與點P重合的點有3個．故選：C．【題目點撥】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，從而可得答案．【題目詳解】，復(fù)數(shù)的虛部是1．故選B．【題目點撥】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的摸這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.9、C【解題分析】

由二項式定理可知，為正數(shù)，為負數(shù)，令代入已知式子即可求解.【題目詳解】因為，由二項式定理可知，為正數(shù)，為負數(shù)，所以.故選：C【題目點撥】本題考查二項式定理求系數(shù)的絕對值和；考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【題目詳解】因為，，所以，故選A.【題目點撥】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結(jié)果.詳解：因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.12、D【解題分析】

根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故選D．【題目點撥】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】∵，∴120，168的最大公約數(shù)是24.答案：2414、【解題分析】

根據(jù)已知可得該幾何體是一個圓錐，求出底面半徑和母線長，代入側(cè)面積公式，可得答案．【題目詳解】解：由已知有可得：該幾何體是一個圓錐，底面直徑為2，底面半徑r＝1，高為3，故母線長l，故圓錐的側(cè)面積S＝πrl，故答案為：【題目點撥】本題考查的知識點是空間幾何體的三視圖，圓錐的體積和表面積，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．15、4【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，將條件轉(zhuǎn)化為距離問題即可得到答案【題目詳解】設(shè)，由得所以即點是圓心為，半徑為1的圓上的動點，表示的是點與點的距離所以其最小值為點到圓心的距離減去半徑即故答案為：4【題目點撥】本題考查的是復(fù)數(shù)模的幾何意義，圓當(dāng)中的最值問題一般向圓心進行轉(zhuǎn)化.16、【解題分析】

均值不等式推廣；【題目詳解】【題目點撥】熟練掌握。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值.無極大值；（2）【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即可得到函數(shù)的極值；（2）由題意得恒成立，即恒成立，設(shè)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)在有唯一零點，進而得到函數(shù)最小值，得到的取值范圍．【題目詳解】(1)由題意，函數(shù)的定義域為，則因為,所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；函數(shù)在處取得極小值.無極大值(2)由題意知恒成立即（）恒成立設(shè)=，則設(shè)，易知在單調(diào)遞增，又=<0,>0,所以在有唯一零點，即=0，且，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，所以=，由=0得=，即，由（1）的單調(diào)性知，，，所以==1，即實數(shù)的取值范圍為【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（1）．（2）6.75元【解題分析】

（1）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.（2）求得利潤的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價.【題目詳解】解：（1）因為，，所以，，從而回歸直線方程為．（2）設(shè)工廠獲得的利潤為元，依題意得當(dāng)時，取得最大值故當(dāng)單價定為6.75元時，工廠可獲得最大利潤．【題目點撥】本小題主要考查回歸直線方程的計算，考查實際應(yīng)用問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．最大值為.【解題分析】

（1）利用輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡為；（2）由計算出，分別令，可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，再由函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)的最大值.【題目詳解】（1）；（2）∵，∴，令，則在上單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．令，得.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)，函數(shù)有最大值.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵在于將三角函數(shù)解析式利用三角恒等變換思想化簡，并利用正弦或余弦函數(shù)的性質(zhì)求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）先在頻率分布直方圖中找出河流最高水位在區(qū)間的頻率，然后利用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算出所求事件的概率；（2）計算出三種方案的損失費用期望，在三種方案中選擇損失最小的方案．【題目詳解】（1）由題設(shè)得，所以，在未來3年里，河流最高水位發(fā)生的年數(shù)為，則～，記事件“在未來3年里，至多有1年河流水位”為事件，則，∴未來3年里，至多有1年河流水位的概率為．（2）由題設(shè)得，，用分別表示方案一、方案二、方案三的損失，由題意得萬元，的分布列為：20062000.990.01萬元，的分布列為：0100060000.740.250.01∴萬元，三種方案采取方案二的損失最小，采取方案二好．【題目點撥】本題考查獨立重復(fù)試驗概率的計算，考查離散型隨機變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在求解時要弄清隨機變量所服從的分布列類型，考查計算能力，屬于中等題．21、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間，（2）先求導(dǎo)數(shù)得函數(shù)g(x)的圖像在x=x【題目詳解