東莞市重點中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末達標檢測試題含解析

東莞市重點中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐的體積為，，，，，且平面平面PBC，那么三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．2．設集合，，則A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)在處取極值10，則（）A．4或 B．4或 C．4 D．5．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則（）A． B． C． D．6．設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內切圓半徑為.將此結論類比到空間四面體：設四面體的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內切球半徑為r＝（）A． B．C． D．7．將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學等三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為（）A．150種 B．180種 C．240種 D．540種8．在復平面內，復數(shù)的對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，命題：總存在，有；命題：若函數(shù)在區(qū)間上有，則是的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要10．用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是()A．假設三內角都不大于60° B．假設三內角都大于60°C．假設三內角至多有一個大于60° D．假設三內角至多有兩個大于60°11．若函數(shù)沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C． D．12．在2018年初的高中教師信息技術培訓中，經(jīng)統(tǒng)計，哈爾濱市高中教師的培訓成績X～N(85,9)，若已知，則從哈爾濱市高中教師中任選一位教師，他的培訓成績大于90的概率為（）A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩位同學進行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進行三次投籃.乙恰好比甲多投進2次的概率是______.14．某互聯(lián)網(wǎng)公司借助手機微信平臺推廣自己的產(chǎn)品，對今年前5個月的微信推廣費用與利潤額（單位：百萬元）進于了初步統(tǒng)計，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：經(jīng)計算，月微信推廣費用與月利潤額滿足線性回歸方程，則的值為______．15．在極坐標系中，點到直線的距離為_____.16．_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和，且（）．（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值；（2）求數(shù)列的通項公式。18．（12分）已知橢圓C:的離心率為，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）設直線：交橢圓C于A、B兩點，0為坐標原點，求△OAB面積的最大值.19．（12分）如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點．（Ⅰ）求r的取值范圍（Ⅱ）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標．20．（12分）某公司的一次招聘中，應聘者都要經(jīng)過三個獨立項目，，的測試，如果通過兩個或三個項目的測試即可被錄用.若甲、乙、丙三人通過，，每個項目測試的概率都是.（1）求甲恰好通過兩個項目測試的概率；（2）設甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學期望.21．（12分）甲乙兩人報名參加由某網(wǎng)絡科技公司舉辦的“技能闖關”雙人電子競技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關”結果都采取計分制，若在一輪闖關中，一人過關另一人未過關，過關者得1分，未過關得分；若兩人都過關或都未過關則兩人均得0分.甲、乙過關的概率分別為和，在一輪闖關中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報名者基礎分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過關三輪者獲勝，此二人比賽結束.表示“甲的累積得分為時，最終認為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點的中點橫坐標為；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.22．（10分）已知函數(shù).（1）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；（2）當時，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：取中點，連接，由知，則，又平面平面，所以平面，設，則，又，則，，，，顯然是其外接球球心，因此．故選D．考點：棱錐與外接球，體積．2、C【解題分析】由，得：∴；∵，∴∴故選C3、A【解題分析】由題意，循環(huán)依次為，，所以可能取值的集合為，故選A.4、C【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)的極值點和極值得到關于的方程組，解方程組并進行驗證可得所求．詳解：∵，∴．由題意得，即，解得或．當時，，故函數(shù)單調遞增，無極值．不符合題意．∴．故選C．點睛：（1）導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點，所以在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點．（2）對于可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件，因此在根據(jù)函數(shù)的極值點或極值求得參數(shù)的值后需要進行驗證，舍掉不符合題意的值．5、D【解題分析】

首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機變量的概率即可算出．【題目詳解】因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的概率,解題時要注意二項分布公式的靈活運用.屬于基礎題．6、C【解題分析】

由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【題目詳解】設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為：，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應用，屬于中檔題.7、A【解題分析】先將個人分成三組,或,分組方法有中,再將三組全排列有種,故總的方法數(shù)有種.選A.8、D【解題分析】

化簡復數(shù)，再判斷對應象限.【題目詳解】，對應點位于第四象限.故答案選D【題目點撥】本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題.9、C【解題分析】

利用充分、必要條件的定義及零點存在性定理即可作出判斷.【題目詳解】命題推不出命題q，所以充分性不具備；比如：，區(qū)間為，滿足命題p，但，根據(jù)零點存在性定理可知，命題能推出命題p，所以必要性具備；故選：C【題目點撥】本題考查充分必要條件，考查零點存在性定理，屬于基礎題.10、B【解題分析】

“至少有一個”的否定變換為“一個都沒有”，即可求出結論.【題目詳解】“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，反設是假設三內角都大于.故選：B.【題目點撥】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語的否定，屬于基礎題.11、A【解題分析】

由已知函數(shù)解析式可得導函數(shù)解析式，根據(jù)導函數(shù)不變號，函數(shù)不存在極值點，對討論，可得答案．【題目詳解】∵，∴，①當時，則，在上為增函數(shù)，滿足條件；②當時，則，即當時，恒成立，在上為增函數(shù)，滿足條件綜上，函數(shù)不存在極值點的充要條件是：．故選：A．【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，本題是一道基礎題．12、D【解題分析】

先求出,再求出培訓成績大于90的概率.【題目詳解】因為培訓成績X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，所以P(X＞90)=，所以培訓成績大于90的概率為0.15.故答案為：D.【題目點撥】（1）本題主要考查正態(tài)分布，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)解答正態(tài)分布問題，不要死記硬背，要根據(jù)函數(shù)的圖像和性質解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】

將事件拆分為乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次，再根據(jù)二項分布的概率計算公式和獨立事件的概率計算即可求得.【題目詳解】根據(jù)題意，甲和乙投進的次數(shù)均滿足二項分布，且甲投進和乙投進相互獨立；根據(jù)題意：乙恰好比甲多投進2次，包括乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次.則乙投進3次，甲投進1次的概率為；乙投進2次，甲投進0次的概率為.故乙恰好比甲多投進2次的概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布的概率計算，屬綜合基礎題.14、【解題分析】

計算,，代入線性回歸方程即可得解.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得.由線性回歸方程經(jīng)過樣本中心,.有：，解得.故答案為50.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程過樣本中心，屬于基礎題.15、【解題分析】

把點的極坐標化為直角坐標，把直線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式求出A到直線的距離．【題目詳解】解：點A（2，）的直角坐標為（0，2），直線ρ（cosθ+sinθ）＝6的直角坐標方程為x+y﹣6＝0，利用點到直線的距離公式可得，點A（2，）到直線ρ（cosθ+sinθ）＝6的距離為，故答案為.【題目點撥】本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．16、【解題分析】

設,則,然后根據(jù)定積分公式計算可得.【題目詳解】設,則,所以===.故答案為:.【題目點撥】本題考查了定積分的計算,屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）（）【解題分析】分析：（1）由可得，∴a2=3，a3=7，依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1；（2）由（1），知當n≥2時，，即數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得，即可求通項．詳解：（1）當時，由，得．當時，，即，∴，．依題意，得，解得，當時，，，即為等比數(shù)列成立，故實數(shù)的值為1；（2）由（1），知當時，，又因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以，∴（）.點睛：（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列時，常運用等比數(shù)列的定義去證明，在證明過程中，容易忽視驗證首項不為零這一步驟。（2）數(shù)列通項的求法方法多樣，解題時要根據(jù)數(shù)列通項公式的特點去選擇。常用的方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、取倒數(shù)等。18、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由離心率和過點建立等式方程組求解即可；（2）根據(jù)弦長公式可求得AB的長作為三角形的底邊，然后由點到直線的距離求得高即可表示三角形的面積表達式，然后根據(jù)基本不等式求解最值即可.詳解：（1）由已知可得，且，解得，，∴橢圓的方程為.（2）設，，將代入方程整理得，，∴，∴，，，，，，當且僅當時取等號，∴面積的最大值為.點睛：考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，弦長，點到直線的距離的應用，對常用公式的熟悉是解題關鍵，屬于中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）（）【解題分析】（Ⅰ）聯(lián)立方程組與，可得，所以方程由兩個不等式正根由此得到解得，所以r的范圍為（Ⅱ）不妨設E與M的四個交點坐標分別為設直線AC,BD的方程分別為，解得點p的坐標為設t=，由t=及（1）可知由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積將代入上式，并令，得求導數(shù)，令，解得當時，，當，；當時，當且僅當時，由最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為（）20、(1)；(2)答案見解析.【解題分析】分析：（1）利用二項分布計算甲恰好有2次發(fā)生的概率；（2）由每人被錄用的概率值，求出隨機變量X的概率分布，計算數(shù)學期望.詳解：（1）甲恰好通過兩個項目測試的概率為；（2）因為每人可被錄用的概率為，所以，，，；故隨機變量X的概率分布表為：X0123P所以，X的數(shù)學期望為．點睛：解離散型隨機變量的期望應用問題的方法(1)求離散型隨機變量的期望關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用期望公式進行計算．(2)要注意觀察隨機變量的概率分布特征，若屬二項分布的，可用二項分布的期望公式計算，則更為簡單．21、（1）分布列見解析；（2）見解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見解析【解題分析】

（1）由題意得：，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列.（2）由題意得，，，推導出，根據(jù)中點公式能證明點的中點橫坐標為；（3）由，求出，從而，，由此推導出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目詳解】（1），，，的分布列為：01（2）由題意得：，，.于是，有，整理可得：，根據(jù)中點公式有：，命題得證.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最終認為甲獲勝概率，由計算結果可以看出，在甲過關的概率為0.5，乙過關的概率為