正定中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

正定中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．2．2019年6月7日，是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”。這天，小明的媽媽煮了7個(gè)粽子，其中3個(gè)臘肉餡，4個(gè)豆沙餡。小明隨機(jī)抽取出兩個(gè)粽子，若已知小明取到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為臘肉餡的概率為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B．3 C． D．4．“所有的倍數(shù)都是的倍數(shù)，某奇數(shù)是的倍數(shù)，故該奇數(shù)是的倍數(shù).”上述推理（）A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤C．結(jié)論錯(cuò)誤 D．正確5．已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，，以線(xiàn)段為直徑的圓與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若直線(xiàn)與圓相切，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．6．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則的最大值為A． B． C． D．7．橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A． B． C． D．2709．已知隨機(jī)變量，且，則A． B． C． D．10．以下幾個(gè)命題中：①線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程恒過(guò)樣本中心；②用相關(guān)指數(shù)可以刻畫(huà)回歸的效果，值越小說(shuō)明模型的擬合效果越好；③隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值和真實(shí)值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差；④在含有一個(gè)解釋變量的線(xiàn)性模型中，相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，若，則A． B． C． D．12．如圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客．已知圖中直角三角形兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)分別為2和1．若從圖中任選一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為6，則此三棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_____．14．己知函數(shù)，則不等式的解集是_______.15．函數(shù)的定義域是_____.16．已知復(fù)數(shù)z＝2＋6i，若復(fù)數(shù)mz＋m2(1＋i)為非零實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某小組10名學(xué)生參加的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)分別為：92、77、75、90、63、84、99、60、79、85，求總體平均數(shù)μ、中位數(shù)m、方差σ2和標(biāo)準(zhǔn)差σ；(列式并計(jì)算，結(jié)果精確到0.1)18．（12分）某輪胎集團(tuán)有限公司生產(chǎn)的輪胎的寬度(單位:)服從正態(tài)分布,公司規(guī)定:輪胎寬度不在內(nèi)將被退回生產(chǎn)部重新生產(chǎn).(1)求此輪胎不被退回的概率(結(jié)果精確到)；(2)現(xiàn)在該公司有一批輪胎需要進(jìn)行初步質(zhì)檢,檢驗(yàn)方案是從這批輪胎中任取件作檢驗(yàn),這件產(chǎn)品中至少有件不被退回生產(chǎn)部,則稱(chēng)這批輪胎初步質(zhì)檢合格.(?)求這批輪胎初步質(zhì)檢合格的概率;(??)若質(zhì)檢部連續(xù)質(zhì)檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質(zhì)檢合格的批數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.附:若,則.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，是過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，求.20．（12分）已知函數(shù)在處取得極值.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式至少有三個(gè)不同的整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓相交于，，兩點(diǎn).（1）若，求弦的長(zhǎng)；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，滿(mǎn)足，求直線(xiàn)l的方程.22．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

取的中點(diǎn)為，由二面角平面角的定義可知；根據(jù)球的性質(zhì)可知若和中心分別為，則平面，平面，根據(jù)已知的長(zhǎng)度關(guān)系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半徑，代入球的表面積公式可得結(jié)果.【題目詳解】取的中點(diǎn)為由和都是正三角形，得，則是二面角的平面角，即設(shè)球心為，和中心分別為由球的性質(zhì)可知：平面，平面又，，外接球半徑：外接球的表面積為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定球心的大致位置，從而可利用勾股定理求解出球的半徑.2、B【解題分析】

設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，計(jì)算（A）、的值，從而求得的值．【題目詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，則（A），，．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型和條件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.3、D【解題分析】

根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)、求值，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

分析：要分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀(guān)察所給的大前提，小前提和結(jié)論是否都正確，根據(jù)三個(gè)方面都正確，得到結(jié)論．詳解：∵所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故某奇數(shù)是3的倍數(shù)，大前提：所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，小前提：某奇數(shù)是9的倍數(shù)，結(jié)論：故某奇數(shù)是3的倍數(shù)，∴這個(gè)推理是正確的，故選D．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)演繹推理的定義問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要先分清大前提、小前提和結(jié)論分別是什么，之后結(jié)合定義以及對(duì)應(yīng)的結(jié)論的正確性得出結(jié)果.5、B【解題分析】

先設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線(xiàn)方程.【題目詳解】設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以，又因?yàn)閳A與直線(xiàn)的切點(diǎn)為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線(xiàn)的方程為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，熟記雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.6、D【解題分析】

設(shè)這個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員得1分的概率為c，由題設(shè)知

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．【題目詳解】設(shè)這個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員得1分的概率為c，

∵這個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，得0分的概率為0.5，

投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，

∴

，

解得2a+b=0.5，

∵a、b∈（0，1），

∴

=

=

，

∴ab

，

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=

時(shí)，ab取最大值

．

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的靈活運(yùn)用．7、A【解題分析】

利用點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且A在橢圓上，得，即得橢圓C的離心率；【題目詳解】∵點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A為，且A在橢圓上，即，∴，∴橢圓C的離心率．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的離心率，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】分析：先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于，且的冪指數(shù)等于，求得的值，即可求得結(jié)果詳解：的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為令，且，求得項(xiàng)的系數(shù)是故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是二項(xiàng)式定理，先求出其通項(xiàng)公式，即可得到其系數(shù)，本題較為簡(jiǎn)單。9、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可得到答案.【題目詳解】由于，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布中概率的計(jì)算，難度不大.10、C【解題分析】

由線(xiàn)性回歸直線(xiàn)恒過(guò)樣本中心可判斷①，由相關(guān)指數(shù)的值的大小與擬合效果的關(guān)系可判斷②，由隨機(jī)誤差和方差的關(guān)系可判斷③，由相關(guān)指數(shù)和相關(guān)系數(shù)的關(guān)系可判斷④.【題目詳解】①線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程恒過(guò)樣本中心,所以正確.②用相關(guān)指數(shù)可以刻畫(huà)回歸的效果，值越大說(shuō)明模型的擬合效果越好，所以錯(cuò)誤.③隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值和真實(shí)值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差；所以正確.④在含有一個(gè)解釋變量的線(xiàn)性模型中，相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方,所以正確.所以①③④正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程和相關(guān)指數(shù)刻畫(huà)回歸效果、以及與相關(guān)系數(shù)的變形，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】由得，，解得，從而，故選C.12、C【解題分析】

直接根據(jù)幾何概型計(jì)算得到答案.【題目詳解】，，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何概型，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解題分析】

畫(huà)出滿(mǎn)足題意的三棱錐P-ABC圖形，根據(jù)題意，畫(huà)出高，利用直角三角形，求出此三棱錐的側(cè)面上的高，即可求出棱錐的側(cè)面積．【題目詳解】由題意畫(huà)出圖形，如圖所示：因?yàn)槿忮FP-ABC是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因?yàn)槿切蜳DF三邊長(zhǎng)PD=1，DF=3所以PF=2，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積S=3×故答案為：18?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查數(shù)形結(jié)合思想，還考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題，棱錐的側(cè)面積是每一個(gè)側(cè)面的面積之和。14、【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，則不等式f（2x+1）+f（1）0可以轉(zhuǎn)化為2x+1﹣1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）＝（﹣x）2（2﹣x﹣2x）＝﹣x2（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝2x（2x﹣2﹣x）+x2?ln2（2x+2﹣x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；不等式f（2x+1）+f（1）0?f（2x+1）﹣f（1）?f（2x+1）f（﹣1）?2x+1﹣1，解可得x﹣1；即f（2x+1）+f（1）0的解集是[﹣1,+∞）；故答案為[﹣1,+∞）．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域滿(mǎn)足真數(shù)要大于零【題目詳解】由，解得，故定義域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)的定義域，只需滿(mǎn)足真數(shù)大于零即可，然后解不等式，較為簡(jiǎn)單16、-6【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由虛部為0且實(shí)部不為0列式求解．【題目詳解】由題意，，解得．故答案為-6.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、，，，【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式求得結(jié)果，根據(jù)中位數(shù)的定義可排列順序后求得.【題目詳解】平均數(shù)名學(xué)生按成績(jī)自低到高排列為：則中位數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差【題目點(diǎn)撥】本題考查已知數(shù)據(jù)求解平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）0.8（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：(1)根據(jù)輪胎的尺寸服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合題中所給的相應(yīng)概率，利用公式求得結(jié)果；(2)(?)根據(jù)題意可知抽檢屬于獨(dú)立重復(fù)試，合格包括三件都不需要被退回和有一件需要退回，利用相應(yīng)的公式求得結(jié)果；(??)根據(jù)題意，可知X服從二項(xiàng)分布，利用公式求得結(jié)果.詳解：(1)，.，即此輪胎不被退回的概率為(2)(i)這批輪胎初步質(zhì)檢合格的概率為.(ii)由題可得服從二項(xiàng)分布，.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確正態(tài)分布的性質(zhì)，利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，利用相關(guān)的公式，結(jié)合題的條件求得結(jié)果；二是要明確抽檢相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，再者就是要明確該事件包括兩種情況；三就是明確變量服從二項(xiàng)分布，利用公式求得結(jié)果.19、（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）;；（2）【解題分析】

分析：(1)先根據(jù)傾斜角寫(xiě)直線(xiàn)的參數(shù)方程，根據(jù)，將曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，(2)將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得.詳解：（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.由曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，得，把，，代入得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.（2）把代入圓的方程得，化簡(jiǎn)得，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，∴，，則.點(diǎn)睛：直線(xiàn)的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線(xiàn)l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線(xiàn)段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線(xiàn)段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0.20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)定義可知，由此構(gòu)造方程求得，得到；令即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少有三個(gè)不同的整數(shù)解；通過(guò)的單調(diào)性可確定函數(shù)的圖象，結(jié)合，和的值可確定所滿(mǎn)足的范圍，進(jìn)而得到不等式，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，，在處取得極值，，解得：，，.由得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），等價(jià)于.由（1）知：時(shí)，；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，；時(shí)，，可得圖象如下圖所示：，，，若至少有三個(gè)不同的整數(shù)解，則，解得：.即的取值范圍為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)極值