2024屆安徽省合肥三十五中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆安徽省合肥三十五中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，給出了樣本容量均為7的A、B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r1，B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r2，則（）A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．無法判定2．函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．3．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．4．的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)為（）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)5．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①；②與及中至少有一個(gè)成立；③，，不能同時(shí)成立．A． B． C． D．6．如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績單位：分，已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則x、y的值分別為A．7、8 B．5、7C．8、5 D．7、77．高二（3）班共有學(xué)生56人，現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知3號、31號、45號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號是A．15 B．16 C．17 D．188．用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，共有種不同的涂色方案．A．420 B．180 C．64 D．259．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽車的準(zhǔn)時(shí)到站的概率為，則他在3天乘車中，此班車恰有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為（）A． B． C． D．10．不等式x-5+A．-5,7 B．-∞,+∞C．-∞,-5∪7,+∞11．已知，則（）A． B．186 C．240 D．30412．已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說法，其中錯(cuò)誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離______.14．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為_____.15．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為__________．16．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)若任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若方程在上只有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19．（12分）已知拋物線，過焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn).（1）若，求；（2）過焦點(diǎn)再作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且分別是線段的中點(diǎn)，若，證明：直線過定點(diǎn).20．（12分）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足．（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．21．（12分）小明某天偶然發(fā)現(xiàn)班上男同學(xué)比女同學(xué)更喜歡做幾何題，為了驗(yàn)證這一現(xiàn)象是否具有普遍性，他決定在學(xué)校開展調(diào)查研究：他在全校3000名同學(xué)中隨機(jī)抽取了50名，給這50名同學(xué)同等難度的幾何題和代數(shù)題各一道，讓同學(xué)們自由選擇其中一道題作答，選題人數(shù)如下表所示，但因不小心將部分?jǐn)?shù)據(jù)損毀，只是記得女生選擇幾何題的頻率是.幾何題代數(shù)題合計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)合計(jì)（1）根據(jù)題目信息補(bǔ)全上表；（2）能否根據(jù)這個(gè)調(diào)查數(shù)據(jù)判斷有的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)？參考數(shù)據(jù)和公式：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中.22．（10分）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用“散點(diǎn)圖越接近某一條直線線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大”判斷即可.【題目詳解】根據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖知，組樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上，且成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為應(yīng)最接近1，組數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為，滿足，即，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查散點(diǎn)圖與線性相關(guān)的的關(guān)系，屬于中檔題.判斷線性相關(guān)的主要方法：（1）散點(diǎn)圖（越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)）；（2）相關(guān)系數(shù)（絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng)）.2、A【解題分析】

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用特征值的符號是否一致進(jìn)行排除即可．【題目詳解】解：f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B，D，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距離原點(diǎn)最近的零點(diǎn)為π，則f（）0，排除C，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用對稱性以及特殊值進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵．3、A【解題分析】

根據(jù)對立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．4、C【解題分析】由題設(shè)可知展開式中的通項(xiàng)公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)展開式中項(xiàng)的系數(shù)最小，則，即第8項(xiàng)的系數(shù)最小，應(yīng)選答案C。5、C【解題分析】

①假設(shè)等式成立，由其推出a、b、c的關(guān)系，判斷與題干是否相符；②假設(shè)其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時(shí)成立.【題目詳解】對①，假設(shè)（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對②，假設(shè)都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時(shí)成立，∴③不正確．

故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時(shí)運(yùn)用舉例說明的方式更快捷.6、D【解題分析】

根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的公式分別進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，得，則，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的公式是解決本題的關(guān)鍵．中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).7、C【解題分析】試題分析：由系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)—等距離可得，∴3號、17號、號、號同學(xué)在樣本中.考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣.8、B【解題分析】分析：由于規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法，根據(jù)乘法原理可得結(jié)論．詳解：由題意，由于規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法∴共有5×4×3×3=180種不同的涂色方案．故答案為：B.點(diǎn)睛：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．9、B【解題分析】由題意，恰有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為，故選擇B。10、B【解題分析】

利用絕對值三角不等式，得到x-5+x+3【題目詳解】x-5x-5+x+3故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對值不等式，利用絕對值三角不等式簡化了運(yùn)算.11、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積的形式，利用兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，就可以求出的會下，最后可以計(jì)算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，正確求出通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.12、D【解題分析】由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點(diǎn)都在圓的圓上，其實(shí)為圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)．漸近線方程都為，由于實(shí)軸長度不同故離心率不同．故本題答案選，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解題分析】

求出的大小，得出A,O,B三點(diǎn)共線，即可求解.【題目詳解】設(shè)極點(diǎn)為O，由題意可知即A,O,B三點(diǎn)在一條直線上所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極坐標(biāo)的性質(zhì)，要清楚極坐標(biāo)的含義，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

模擬程序的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的S值．【題目詳解】運(yùn)行該程序框圖,，滿足執(zhí)行程序滿足執(zhí)行程序滿足執(zhí)行程序不滿足,故輸出.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的運(yùn)行問題，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15、.【解題分析】

由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得到的值，然后求解的系數(shù)即可.【題目詳解】結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.【題目點(diǎn)撥】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中和的隱含條件，即、均為非負(fù)整數(shù)，且，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解．16、【解題分析】

先根據(jù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)單調(diào)性，再化簡不等式，分類討論分離不等式，最后根據(jù)函數(shù)最值求m取值范圍，即得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此不等式恒成立，等價(jià)于不等式恒成立，即，平方化簡得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對恒成立，；當(dāng)時(shí)，對恒成立，（舍）；綜上，因此實(shí)數(shù)的最大值是.【題目點(diǎn)撥】解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解題分析】分析：（1）由二倍角公式對函數(shù)化一，得到值域；（2），則，根據(jù)三角函數(shù)的圖像得到或，解出即可.詳解：（Ⅰ）解法1：=，函數(shù)的值域?yàn)?解法2：=，函數(shù)的值域?yàn)?（Ⅱ），則，或，即：或.由小到大的四個(gè)正解依次為：，，，.方程在上只有三個(gè)實(shí)數(shù)根.，解得：.點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個(gè)數(shù)問題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)。同時(shí)在解題過程中要注意轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論思想的應(yīng)用．18、(1)見解析；(2)見解析【解題分析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得時(shí)，函數(shù)的最大值，分別討論，，，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.【題目詳解】解：（1），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有無零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，又，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，由于，，，若，即時(shí)，，由函數(shù)單調(diào)性知使得，使得,故此時(shí)函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)，，且，，由函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，在內(nèi)沒有零點(diǎn)，從而在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）證明見解析【解題分析】

（1）設(shè)，，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程可得，然后利用即可求出（2）根據(jù)（1）中結(jié)果可得到，同理，由可推出，然后寫出直線的方程化簡即可.【題目詳解】（1），設(shè)，由得，，解得（2），同理，，所以化簡得：直線過定點(diǎn)【題目點(diǎn)撥】涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.20、（1），，；（2）猜想：；證明見解析.【解題分析】

（1）分別代入，根據(jù)，解方程可求得結(jié)果；（2）猜想，驗(yàn)證時(shí)成立；假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，利用假設(shè)可證得結(jié)論成立，從而證得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，，解得：(2)猜想：證明：（1）當(dāng)時(shí)，由（1）可知結(jié)論成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即成立，則當(dāng)時(shí)，由與得：又成