湖南省衡陽市衡陽縣江山學校2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測模擬試題含解析

湖南省衡陽市衡陽縣江山學校2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，的圖象過點，且在上單調(diào)，的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，若存在兩個不相等的實數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．3．已知袋中有編號為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，則所取3只球的最大編號是5的概率等于（）A． B． C． D．4．若，則（）A． B．1 C．0 D．5．若點為圓C：的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．6．高三(1)班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目、2個舞蹈節(jié)目和l個曲藝節(jié)目的演出順序要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）A．800 B．5400 C．4320 D．36007．觀察下列各式：，則的末尾兩位數(shù)字為（）A．49 B．43 C．07 D．018．已知函數(shù)，若關于的方程有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若是離散型隨機變量，，，又已知，，則的值為（）A． B． C．3 D．110．若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．設隨機變量，若，則（）A． B． C． D．12．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點圖分析可知y與x線性相關，且求得回歸方程為，據(jù)此預測：當時，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下表為生產(chǎn)產(chǎn)品過程中產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)耗能（噸）的幾組相對應數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得到關于的線性回歸方程為，則__________．14．某中學開設A類選修課4門，B類選修課5門，C類選修課2門，每位同學從中共選4門課，若每類課程至少選一門，則不同的選法共有_______種.15．設等差數(shù)列的前項和為，，，則取得最小值的值為________．16．甲、乙、丙三名同學中只有一人考了滿分，當他們被問到誰考了滿分時，甲說：丙沒有考滿分；乙說：是我考的；丙說：甲說真話．事實證明：在這三名同學中，只有一人說的是假話，那么得滿分的同學是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍．18．（12分）（理科學生做）某一智力游戲玩一次所得的積分是一個隨機變量,其概率分布如下表，數(shù)學期望.（1）求a和b的值；（2）某同學連續(xù)玩三次該智力游戲，記積分X大于0的次數(shù)為Y，求Y的概率分布與數(shù)學期望.X036Pab19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.20．（12分）（1）已知，都是正數(shù)，并且，求證：；（2）若，都是正實數(shù)，且，求證：與中至少有一個成立.21．（12分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月，兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月，兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用和僅使用的學生中各隨機抽取1人，以表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；22．（10分）已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于直線．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由圖像過點可得，由的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，可知，結合在上單調(diào)，從而得到，由此得到的解析式，結合圖像，即可得到答案?！绢}目詳解】因為的圖象過點，則，又，所以.一方面，的圖象向左平移單位后得到的圖象與原函數(shù)圖象重合，則，即，化簡可知．另一方面，因為在上單調(diào)，所以，即，化簡可知.綜合兩方面可知．則函數(shù)的解析式為，結合函數(shù)圖形，因為，當時，，結合圖象可知則，故選A．【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)圖像的應用，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。2、D【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對選項中的函數(shù)逐一驗證判斷即可.詳解：四個選項中的函數(shù)都是偶函數(shù)，在上三個函數(shù)在上都遞減，不符合題意，在上遞增的只有，而故選D．點睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，意在考查綜合應用所學知識解決問題的能力.3、B【解題分析】

先求出袋中有編號為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有多少種取法，再求出所取3只球的最大編號是5有多少種取法，最后利用古典概型概率計算公式，求出概率即可.【題目詳解】袋中有編號為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有種方法.所取3只球的最大編號是5，有種方法，所以所取3只球的最大編號是5的概率等于，故本題選B.【題目點撥】本題考查了古典概型概率計算方法，考查了數(shù)學運算能力.4、D【解題分析】分析：根據(jù)題意求各項系數(shù)和，直接賦值法令x=-1代入即可得到.詳解：已知，根據(jù)二項式展開式的通項得到第r+1項是，故當r為奇數(shù)時，該項系數(shù)為負，故原式令x=-1代入即可得到.故答案為D.點睛：這個題目考查了二項式中系數(shù)和的問題，二項式主要考查兩種題型，一是考查系數(shù)和問題；二是考查特定項系數(shù)問題；在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等.5、A【解題分析】

根據(jù)題意，先求出直線PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點斜式，即可求出結果.【題目詳解】由題意知，圓心的坐標為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A【題目點撥】本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點斜式方程即可，屬于?？碱}型.6、D【解題分析】先排4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目共有種排法，再從5個節(jié)目的6隔空插入兩個不同的舞蹈節(jié)目有種排法，∴共有種排法，故選D7、B【解題分析】

通過觀察前幾項，發(fā)現(xiàn)末尾兩位數(shù)分別為49、43、01、07，以4為周期重復出現(xiàn)，由此即可推出的末尾兩位數(shù)字?！绢}目詳解】根據(jù)題意，得，發(fā)現(xiàn)的末尾兩位數(shù)為49，的末尾兩位數(shù)為43，的末尾兩位數(shù)為01，的末尾兩位數(shù)為07，（）；由于，所以的末兩位數(shù)字為43；故答案選B【題目點撥】本題以求的末尾兩位數(shù)的規(guī)律為載體，考查數(shù)列的通項公式和歸納推理的一般方法的知識，屬于基礎題。8、C【解題分析】

利用導數(shù)研究函數(shù)y=的單調(diào)性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合得答案．【題目詳解】設y=，則y′=，由y′=1，解得x=e，當x∈（1，e）時，y′＞1，函數(shù)為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，y′＜1，函數(shù)為減函數(shù)．∴當x=e時，函數(shù)取得極大值也是最大值為f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化為[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如圖畫出函數(shù)圖象：可得m的取值范圍是（1，）．故答案為：C．【題目點撥】（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合運用，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結合分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)本題的解答關鍵有兩點，其一是利用導數(shù)準確畫出函數(shù)的圖像，其二是化簡得到f（x）=m或f（x）=．9、D【解題分析】分析：由期望公式和方差公式列出的關系式，然后變形求解．詳解：∵，∴隨機變量的值只能為，∴，解得或，∴．故選D．點睛：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解題關鍵是確定隨機變量只能取兩個值，從而再根據(jù)其期望與方差公式列出方程組，以便求解．10、A【解題分析】，所以，選A.11、A【解題分析】

根據(jù)對立事件的概率公式，先求出，再依二項分布的期望公式求出結果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點撥】本題主要考查二項分布的期望公式，記準公式是解題的關鍵．12、B【解題分析】

先計算數(shù)據(jù)的中心點，代入回歸方程得到，再代入計算對應值.【題目詳解】數(shù)據(jù)中心點為代入回歸方程當時，y的值為故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計算數(shù)據(jù)中心點代入方程是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：首先求得樣本中心點，然后利用回歸方程的性質(zhì)求得實數(shù)a的值即可.詳解：由題意可得：，，線性回歸方程過樣本中心點，則：，解得：.點睛：本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14、160【解題分析】

每位同學共選4門課，每類課程至少選一門，則必有某類課程選2門，另外兩類課程各選1門，對選2門的這類課程進行分類，可能是A類，可能是B類，可能是C類.【題目詳解】（1）當選2門的為A類，N1（2）當選2門的為B類，N2（3）當選2門的為C類，N3∴選法共有N1【題目點撥】分類與分步計數(shù)原理，要確定好分類與分步的標準，本題對選2門課程的課程類進行分類，再對每一類情況分3步考慮.15、2【解題分析】

求出數(shù)列的首項和公差，求出的表達式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號成立時的值，于此可得出答案．【題目詳解】設等等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，所以，，等號成立，當且僅當時，等號成立，但，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當或時，取最小值，當時，；當時，，，因此，當時，取最小值，故答案為．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數(shù)求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個條件，在等號不成立時，則應考查雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分析能力與計算能力，屬于中等題．16、甲【解題分析】

分析題意只有一人說假話可知，假設只有甲說的是假話，即丙考滿分，則乙也是假話，故假設不成立；假設只有乙說的是假話，則甲和丙說的都是真話，即乙沒有得滿分，丙沒有得滿分，故甲考滿分.假設只有丙說的是假話，即甲和乙說的是真話，即丙說了真話，矛盾，故假設不成立.綜上所述，得滿分的是甲.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先求得函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)三種情況，討論的單調(diào)性.（2）由題可知在上恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調(diào)性和最值，對分成兩種進行分類討論，根據(jù)在上恒成立，求得的取值范圍.【題目詳解】（1），當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當時，在上單調(diào)遞增．當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題可知在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為減函數(shù)，．當時，，即在上為減函數(shù)，則，所以，即，得．當時，令，若，則，所以，所以，又，所以在上有唯一零點，設為，在上，，即單調(diào)遞增，在上，，即單調(diào)遞減，則的最大值為，所以恒成立．由，得，則．因為，所以，由，得．記，則，所以在上是減函數(shù)，故．綜上，的取值范圍為．【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.18、(1).(2)分布列見解析，.【解題分析】分析：（1）根據(jù)分布列的性可知所有的概率之和為1然后再根據(jù)期望的公式得到第二個方程聯(lián)立求解即可；（2）根據(jù)二項分布求解即可.詳解：(1)因為，所以，即．①又，得．②聯(lián)立①，②解得，．(2)，依題意知，故，，，．故的概率分布為的數(shù)學期望為．點睛：考查分布列的性質(zhì)，二項分布，認真審題，仔細計算是解題關鍵，屬于基礎題.19、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當時，，整理得，當n=1時，有.數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項公式．（II）由（I）有，則,用裂項相消法可求其前n項和.試題解析：（I）當時，有，解得.當時，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項公式為：．（II）由（I）有，則故得證.20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）利用綜合法，將兩式做差，化簡整理，即可證明（2）利用反證法，先假設原命題不成立，再推理證明，得出矛盾，即得原命題成立?！绢}目詳解】（1）因為，都是正數(shù)，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假設和都不成立，即和同時成立.且，，.兩式相加得，即.此與已知條件相矛盾，和中至少有一個成立.【題目點撥】本題主要考查綜合法和反證法證明，其中用反證法證明時，要從否定結論開始，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾，即假設不成立，原命題成