2024屆湖南省株洲二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆湖南省株洲二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知各項(xiàng)不為的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．2．下列不等式中正確的有()①；②；③A．①③ B．①②③ C．② D．①②3．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．中至少有兩個(gè)偶數(shù) B．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．都是奇數(shù) D．都是偶數(shù)4．已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．5．一車間為規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了4次試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)如下零件數(shù)（個(gè)）2345加工時(shí)間（分鐘）264954根據(jù)上表可得回歸方程，則實(shí)數(shù)的值為（）A．37.3 B．38 C．39 D．39.56．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．7．己知函數(shù),若,則()A． B． C． D．8．的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，設(shè)，則（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若角A，C，B成等差數(shù)列，且，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形10．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分D．在數(shù)列中，，可得，由此歸納出的通項(xiàng)公式11．記為虛數(shù)集，設(shè)，．則下列類比所得的結(jié)論正確的是（）A．由，類比得B．由，類比得C．由，類比得D．由，類比得12．已知函數(shù)在時(shí)取得極大值，則的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．地球的半徑為，在北緯東經(jīng)有一座城市，在北緯東經(jīng)有一座城市，飛機(jī)從城市上空飛到城市上空的最短距離______．14．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為__________．15．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，，則的取值范圍是_______．16．已知，2sin2α=cos2α+1，則cosα=__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎(jiǎng)勵(lì)，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎(jiǎng)金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。18．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求與的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與的交點(diǎn)為、，與的交點(diǎn)為、，且，求值.20．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2），，求a的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，變?yōu)椋海獾茫ㄉ崛ィ?，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B.2、B【解題分析】

逐一對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,得到答案.【題目詳解】①,設(shè)函數(shù),遞減,,即,正確②,設(shè)函數(shù),在遞增,在遞減,,即,正確③,由②知,設(shè)函數(shù),在遞減,在遞增,,即正確答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值來判斷不等式關(guān)系,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、B【解題分析】

用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【題目詳解】解：用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為“中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，求一個(gè)命題的否定，屬于中檔題.4、A【解題分析】

設(shè)，證明單調(diào)遞增，得到，構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性到正確，取，，則不成立，錯(cuò)誤，得到答案.【題目詳解】設(shè)，則恒成立，故單調(diào)遞增，，即，即，.取，，則不成立，錯(cuò)誤；設(shè)，則恒成立，單調(diào)遞增，故，就，正確；同理可得：正確.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較式子大小，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.5、C【解題分析】

求出，代入回歸方程，即可得到實(shí)數(shù)的值?！绢}目詳解】根據(jù)題意可得：,，根據(jù)回歸方程過中心點(diǎn)可得：，解得：；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性回歸方程中參數(shù)的求法，熟練掌握回歸方程過中心點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。6、B【解題分析】

由抽象函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，分母不為零，列出不等式，從而求出的定義域?！绢}目詳解】由題可得：，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?；故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題主要抽象函數(shù)與初等函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題。7、D【解題分析】分析：首先將自變量代入函數(shù)解析式，利用指對(duì)式的運(yùn)算性質(zhì)，得到關(guān)于參數(shù)的等量關(guān)系式，即可求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，解得，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是已知函數(shù)值求自變量的問題，在求解的過程中，需要對(duì)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)了如指掌.8、B【解題分析】

先求出的值，再根據(jù)，利用通項(xiàng)公式求出的值.【題目詳解】令，可得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，，設(shè)，則.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理求多項(xiàng)式的系數(shù)和，二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可求，即可判斷三角形的形狀．【題目詳解】解：由題意可知，，因?yàn)椋?，則，所以，所以，故為等邊三角形．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

推理分為合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)與演繹推理（一般→特殊），其中合情推理包含類比推理與歸納推理，利用各概念進(jìn)行判斷可得正確答案.【題目詳解】解：∵A中是從特殊→一般的推理，均屬于歸納推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)，是由特殊→特殊的推理，為類比推理，屬于合情推理；C為三段論，是從一般→特殊的推理，是演繹推理；D為不完全歸納推理，屬于合情推理．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查推理中的合情推理與演繹推理，注意理解其概念作出正確判斷.11、C【解題分析】選項(xiàng)A沒有進(jìn)行類比，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中取不大于，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，綜上正確答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)及其性質(zhì)、合情推理，涉及類比思想、從特殊到一般思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，屬于中等難題.本題可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，排除D，可得正確選項(xiàng)為C.12、D【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在x＝1取得極小值，不符合；當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），為使f（x）在x＝1取得極大值，則有l(wèi)n（﹣a）＞1，由此求得a的范圍得答案．【題目詳解】由，得f′（x）＝e2x+（a﹣e）ex﹣ae＝（ex+a）（ex﹣e）．當(dāng)a≥0時(shí)，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．∴f（x）在（﹣∞，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，則f（x）在x＝1取得極小值，不符合；當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），為使f（x）在x＝1取得極大值，則有l(wèi)n（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．∴a的取值范圍是a＜﹣e．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，關(guān)鍵是明確函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)間的關(guān)系，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求,再求出弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，再結(jié)合弧長公式運(yùn)算即可.【題目詳解】解：由地球的半徑為，則北緯的緯線圈半徑為，又兩座城市的經(jīng)度分別為，，故經(jīng)度差為，則連接兩座城市的弦長為，則兩地與地球球心連線夾角為，即，則兩地之間的距離是,故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球面距離，重點(diǎn)考查了弧所對(duì)應(yīng)的圓心角及弧長公式，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

對(duì)求導(dǎo)，然后令，判斷的單調(diào)性，再根據(jù)的值確定函數(shù)的最大值．【題目詳解】，，令，，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)，即，時(shí)，，函數(shù)的最大值為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值和三角函數(shù)求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】

利用函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，所以，解得：又又，所以，所以所以，所以的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算能力、分析能力，還考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

化簡2sin2α=cos2α+1即可得出sinα與cosα之間的關(guān)系式，再計(jì)算即可【題目詳解】因?yàn)椋?sin2α=cos2α+1所以，化簡得解得【題目點(diǎn)撥】本題考查倍角的相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解題分析】

（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分?jǐn)?shù)在的頻率為：，從而分?jǐn)?shù)在的，假設(shè)該最低分?jǐn)?shù)線為由題意得解得．故本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結(jié)果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關(guān)概念，即可求解，屬于常考題型.18、詳見解析【解題分析】

用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明當(dāng)時(shí)，等式成立再假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，進(jìn)而證明當(dāng)時(shí)，等式也成立.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊右邊，等式成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即當(dāng)時(shí)，左邊═2當(dāng)時(shí)，等式也成立．綜合，等式對(duì)所有正整數(shù)都成立．【題目點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，（1）奠基在時(shí)成立；（2）歸納在為任意自然數(shù)成立的假設(shè)下可以推出成立，則對(duì)一切自然數(shù)都成立．19、（1）的極坐標(biāo)方程為.的極坐標(biāo)方程為.（2）【解題分析】

（1）傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可以直接寫出；利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后再利用，把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，，則，，已知，所以有，運(yùn)用二角差的正弦公式，可以得到，根據(jù)傾斜角的范圍，可以求出值.【題目詳解】解：（1）因?yàn)榻?jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為，故的極坐標(biāo)方程為.的普通方程為，可得的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，，則，.所以.由題設(shè)，因?yàn)?，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知曲線的參數(shù)方程化成極坐標(biāo)方程.重點(diǎn)考查了極坐標(biāo)下求兩點(diǎn)的距離.20、（Ⅰ）；（Ⅱ），0【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)橥ㄟ^對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即要滿足，即解可得x的范圍.本小題要處理好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：三角的化一公式；解三角不等式.（Ⅱ）因?yàn)橛桑á瘢┛傻煤瘮?shù)在上遞增，又因?yàn)樗钥傻檬菃握{(diào)增區(qū)間，是單調(diào)減區(qū)間.從而可求結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）單調(diào)區(qū)間為（Ⅱ）由知（Ⅰ）知，是單調(diào)增區(qū)間，是單調(diào)減區(qū)間所以,考點(diǎn)：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題.2.區(qū)間限制的最值問題.3.解三角不等式.21、(1)．(2)．【解題分析】