吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)市第四中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)市第四中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則有（）A． B． C． D．2．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關(guān)系同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且到l、m的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線3．已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8xC．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度5．從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是（）A．18 B．24 C．30 D．366．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．已知集合，集合中至少有3個(gè)元素，則（）A． B． C． D．8．設(shè)a,b,c為三角形ABC三邊長(zhǎng)，a≠1,b<c，若logc+ba+logc-bA．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無(wú)法確定9．已知函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則在上的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．11．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)大于，反證假設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都大于 B．假設(shè)三內(nèi)角都不大于C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于12．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此名計(jì)，如果年該公司的收入為億元時(shí)，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，若，則__________.14．在的展開(kāi)式中的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，則正數(shù)______.15．若向量，且，則等于________.16．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為.（1）求；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．18．（12分）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從年秋季高中入學(xué)的新生開(kāi)始，不分文理科；年開(kāi)始，高考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外門(mén)統(tǒng)考科目成績(jī)和物理、化學(xué)等六門(mén)選考科目成績(jī)構(gòu)成.將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為共個(gè)等級(jí)．參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為．選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中化學(xué)考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布．（Ⅰ）求化學(xué)原始分在區(qū)間的人數(shù)；（Ⅱ）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取人，求這人中至少有人成績(jī)?cè)诘母怕?；（III）若小明同學(xué)選擇物理、化學(xué)和地理為選考科目，其中物理、化學(xué)成績(jī)獲得等的概率都是，地理成績(jī)獲得等的概率是，且三個(gè)科目考試的成績(jī)相互獨(dú)立.記表示小明選考的三個(gè)科目中成績(jī)獲得等的科目數(shù)，求的分布列.（附：若隨機(jī)變量，則，，.）19．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)P(4，－2)，Q(－1，3)兩點(diǎn)，且圓心C在直線x＋y－1＝0上．(1)求圓C的方程；(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證:.22．（10分）如圖所示，四邊形為菱形，且，，，且，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關(guān)系.詳解：，，故.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)集合的包含關(guān)系的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

作出直線m在平面α內(nèi)的射影直線n，假設(shè)l與n垂直，建立坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)軌跡即可得出答案．【題目詳解】解：設(shè)直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設(shè)l與n垂直，設(shè)直線m與平面α的距離為d，在平面α內(nèi)，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標(biāo)系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點(diǎn)軌跡為雙曲線．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線面位置關(guān)系、軌跡方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．3、B【解題分析】

求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即可求解.【題目詳解】∵，．令，得，.故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)定義的運(yùn)用.求解在處的導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.4、D【解題分析】

將函數(shù)表示為，結(jié)合三角函數(shù)的變換規(guī)律可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】，因此，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換，解決三角函數(shù)平移變換需要注意以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）變換前后兩個(gè)函數(shù)名稱要保持一致；（2）平移變換指的是在自變量上變化了多少.5、C【解題分析】

由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類，一類是1男2女，一類是2男1女.【題目詳解】由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類：（1）3人中是1男2女，共有；（2）3人中是2男1女，共有；所以男女生都有的選法種數(shù)是.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類與分步計(jì)算原理，考查分類討論思想及簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題.6、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可求得；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】試題分析：因?yàn)橹械缴儆袀€(gè)元素，即集合中一定有三個(gè)元素，所以，故選C.考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).8、B【解題分析】試題分析：兩邊除以logc+balogc-ba考點(diǎn)：1.解三角形；2.對(duì)數(shù)運(yùn)算.9、B【解題分析】

本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個(gè)解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)可得，故時(shí)，；時(shí)，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.10、B【解題分析】解析：因，故，因，故，則，所以，應(yīng)選答案B．11、B【解題分析】

反證法的第一步是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，根據(jù)這個(gè)原則，選出正確的答案.【題目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)大于不成立，即假設(shè)三內(nèi)角都不大于，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了反證法的第一步的假設(shè)過(guò)程，理解至少有一個(gè)大于的否定是都不大于是解題的關(guān)鍵.12、B【解題分析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時(shí)，支出為億元，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】

由向量平行關(guān)系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【題目詳解】因?yàn)椋?，解得，則，故．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行以及向量模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式中的系數(shù)、展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)它們相等，求出的值.【題目詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.令，求得，故展開(kāi)式中的系數(shù)為，所以，因?yàn)闉檎龜?shù)，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】

根據(jù)題目，可知，根據(jù)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律，即可求解出的值．【題目詳解】由題意知，向量，即解得，故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)向量的垂直關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求參數(shù)．16、【解題分析】分析：令即可求出定義域詳解：令，，解得綜上所述，函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)睛：在求定義域時(shí)找出題目中的限制條件，有分母的令分母不等于零，有根號(hào)的令根號(hào)里面大于或者等于零，對(duì)數(shù)有自身的限制條件，然后列出不等式求出定義域。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）8；（2）.【解題分析】

⑴觀察可知，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開(kāi)式中的第項(xiàng)，即通項(xiàng)公式，將第一問(wèn)的代入，并整理，令的次數(shù)為，解出，得到答案【題目詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項(xiàng)展開(kāi)式中的第項(xiàng)為T(mén)r＋1＝，令＝0，得r＝2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為＝28.【題目點(diǎn)撥】本題主要考的是利用賦值法解決展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題，考查了利用二次展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二次展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題。18、（Ⅰ）1227人（Ⅱ）（III）見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)正態(tài)分布的區(qū)間及對(duì)稱性質(zhì)，利用原則及數(shù)據(jù)即可得化學(xué)原始分在區(qū)間的概率，進(jìn)而求得改區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（Ⅱ）先求得再區(qū)間內(nèi)學(xué)生所占比例，即可得隨機(jī)抽取1人成績(jī)?cè)谠搮^(qū)間的概率，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，即可求得人中至少有人成績(jī)?cè)诟膮^(qū)間的概率；（III）根據(jù)題意可知隨機(jī)變量的可能取值為.根據(jù)所給各科目獲得等的概率，由獨(dú)立事件的乘法公式可得各可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列.【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)榛瘜W(xué)考試原始分基本服從正態(tài)分布，即，所以，所以化學(xué)原始分在區(qū)間的人數(shù)為人.（Ⅱ）由題意得，位于區(qū)間內(nèi)所占比例為，所以隨機(jī)抽取人，其成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率為，所以隨機(jī)抽取人，相當(dāng)于進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).設(shè)這人中至少有人成績(jī)?cè)跒槭录瑒t.（III）隨機(jī)變量的可能取值為.則，，，.所以的分布列為【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及綜合應(yīng)用，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，獨(dú)立事件概率乘法公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量分布列的求法，屬于中檔題.19、（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3【解題分析】

（1）由圓的性質(zhì)知圓心在線段的垂直平分線上，因此可求得線段的垂直平分線的方程，與方程聯(lián)立，可求得圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為．代入圓方程，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，即，由此可求得，得直線方程．【題目詳解】(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，∴線段PQ的中點(diǎn)M，斜率kPQ＝－1，則PQ的垂直平分線方程為，即．解方程組得∴圓心C(1，2)，半徑．故圓C的方程為．(2)由l∥PQ，設(shè)l的方程為．代入圓C的方程，得．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，依題意知OA⊥OB，則．∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2，于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝2，即m2－m－12＝2．∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足Δ>2．故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3．【題目點(diǎn)撥】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．求圓的方程，可先確定圓心坐標(biāo)，求得圓的半徑，然后寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程．本題直線與圓相交問(wèn)題中采用設(shè)而不求法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程與圓方程聯(lián)立方程組消元后可得（不直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)），代入A，B滿足的其他條件（本題中就是）求得參數(shù)值．20、(1).(2)證明見(jiàn)解析.【解題分析】試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)n=1時(shí)，有.數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（II）由（I）有，則,用裂項(xiàng)相消法可求其前n項(xiàng)和.試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，有，解得.當(dāng)時(shí)，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（II）由（I）有，則故得證.21、（1）在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

(1)先對(duì)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)與0的大小比較即可得到單調(diào)區(qū)間.(2),從而利用（1）中相關(guān)結(jié)論求出的極值點(diǎn)證明不等式.【題目詳解】（1），．，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：．由（1）知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，且時(shí)，，在時(shí)取得最小值，即，故.【題目點(diǎn)撥