江蘇省徐州市睢寧縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

江蘇省徐州市睢寧縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．2．已知拋物線和直線，過點(diǎn)且與直線垂直的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則()A．1 B．2 C．4 D．63．設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）A．60 B．65 C．80 D．814．已知集合，,則（）A． B． C． D．5．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．6．下列說法中正確的個數(shù)是（）①命題：“、，若，則”，用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)或；②若，則、中至少有一個大于；③若、、、、成等比數(shù)列，則；④命題：“，使得”的否定形式是：“，總有”.A． B． C． D．7．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足且，若在區(qū)間上的最大值為2，則的值分別為A．，2 B．， C．，2 D．，48．對變量進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是（）A． B．C． D．9．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，若，則的最小值為()A． B．4 C． D．910．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．11．在某個物理實(shí)驗(yàn)中，測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：xy則下列選項(xiàng)中對x，y最適合的擬合函數(shù)是（）A． B． C． D．12．一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎，3張無獎，現(xiàn)從此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票．設(shè)第1次抽出的彩票有獎的事件為A，第2次抽出的彩票有獎的事件為B，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓（a>b>0）的離心率為e，，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得∠是鈍角，則滿足條件的一個e的值為____________14．已知直線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，橢圓的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，若它們總有公共點(diǎn)，則取值范圍是___________．15．在1，2，3，…，80這八十個數(shù)中，隨機(jī)抽取一個數(shù)作為數(shù)，將分別除以3，5，7后所得余數(shù)按順序拼湊成一個具有三位數(shù)字的數(shù)，例如，時(shí)，時(shí)，．若，則_____.16．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.曲線的極坐標(biāo)方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.18．（12分）等邊的邊長為，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且滿足(如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.19．（12分）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，且.（1）求橢圓的離心率；（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程.20．（12分）已知矩陣.（1）求直線在對應(yīng)的變換作用下所得的曲線方程；（2）求矩陣的特征值與特征向量.21．（12分）已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）.(1線與曲線的普通方程；(2)，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），求的值.22．（10分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求目標(biāo)函數(shù)的最大值即可．【題目詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得到，平移直線，當(dāng)過A時(shí)直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由于直線與直線垂直，且直線的斜率為1，所以直線的斜率為，而直線過點(diǎn)，所以可求出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后將其坐標(biāo)代入中可求出的值.【題目詳解】解：由題意可得直線的方程為，設(shè)，由，得，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，解得故選：B【題目點(diǎn)撥】此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】由題意可得，成立，需要分五種情況討論：當(dāng)時(shí)，只有一種情況，即；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種當(dāng)時(shí)，即，有種，綜合以上五種情況，則總共為：種，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了創(chuàng)新型問題，往往涉及方程，不等式，函數(shù)等，對涉及的不同內(nèi)容，先要弄清題意，看是先分類還是先步，再處理每一類或每一步，本題抓住只能取相應(yīng)的幾個整數(shù)值的特點(diǎn)進(jìn)行分類，對于涉及多個變量的排列，組合問題，要注意分類列舉方法的運(yùn)用，且要注意變量取值的檢驗(yàn)，切勿漏掉特殊情況.4、A【解題分析】

由已知得，因?yàn)?，所以，故選A．5、B【解題分析】分析：先求曲線交點(diǎn)，再確定被積上下限，最后根據(jù)定積分求面積.詳解：因?yàn)?，所以所以由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是,選B.點(diǎn)睛：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論．6、C【解題分析】

根據(jù)命題的否定形式可判斷出命題①的正誤；利用反證法可得出命題②的真假；設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的定義和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對于命題①，由于可表示為且，該結(jié)論的否定為“或”，所以，命題①正確；對于命題②，假設(shè)且，由不等式的性質(zhì)得，這與題設(shè)條件矛盾，假設(shè)不成立，故命題②正確；對于命題③，設(shè)等比數(shù)列、、、、的公比為，則，.由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，則，命題③錯誤；對于命題④，由特稱命題的否定可知，命題④為真命題，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項(xiàng)以及特稱命題的否定，理解這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】試題分析：畫出函數(shù)圖像，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足且，且在區(qū)間上的最大值為1，所以=1，由解得，即的值分別為，1．故選A．考點(diǎn)：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．點(diǎn)評：基礎(chǔ)題，數(shù)形結(jié)合，畫出函數(shù)圖像，分析建立m,n的方程．8、A【解題分析】

根據(jù)殘差的特點(diǎn)，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．即可得到答案．【題目詳解】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了殘差分析，了解殘差分析的原理及特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵，本題屬基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．【題目詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④將④代入③，得a12+a22=2c2，∴4e12+e22==++≥+2=．故選A．【題目點(diǎn)撥】在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.10、A【解題分析】

利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。绢}目詳解】，，，故，所以．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．11、D【解題分析】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，代入各函數(shù)，計(jì)算驗(yàn)證可得結(jié)論．【題目詳解】解：根據(jù)，，代入計(jì)算，可以排除；根據(jù)，，代入計(jì)算，可以排除、；將各數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn)，函數(shù)最接近，可知滿足題意故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)關(guān)系式的確定，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，即可求出．【題目詳解】由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，所以．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一，<e<1）【解題分析】

當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，因此滿足題意時(shí)，此角必為鈍角．【題目詳解】由題意當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，為鈍角，∴，∴，，，∴．答案可為．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)．解題中注意性質(zhì)：是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大．14、【解題分析】

把參數(shù)方程化為普通方程，若直線與橢圓有公共點(diǎn)，對判別式進(jìn)行計(jì)算即可.【題目詳解】直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t化為普通方程為ax﹣y﹣1＝0，且,橢圓C的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為．聯(lián)立直線與橢圓，消y整理得，若它們總有公共點(diǎn)，則，解得且,故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的互化，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、49【解題分析】

由的個位數(shù)字為0，所以一定是7的倍數(shù)，它可能的取值為7，14，21,28,35,42,49,56,63,70,77，再分別求出它們所對應(yīng)的數(shù)，可知?！绢}目詳解】由的個位數(shù)字為0，所以一定是7的倍數(shù)，它可能的取值為7，14，21,28,35,42,49,56,63,70,77，它們所對應(yīng)的數(shù)分別為120,240,010,130,200,020,140,210,030,100,220，故?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查合情推理，列舉找規(guī)律。16、【解題分析】

本題先計(jì)算，而后求其模.或直接利用模的性質(zhì)計(jì)算.容易題，注重基礎(chǔ)知識、運(yùn)算求解能力的考查.【題目詳解】.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）因?yàn)樵跈E圓上且在第一象限，故可設(shè)，從而所求面積可用的三角函數(shù)來表示，求出該函數(shù)的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設(shè)，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點(diǎn)睛：直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當(dāng)動點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動變化時(shí)，我們可用一個參數(shù)來表示動點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一元函數(shù)求與動點(diǎn)有關(guān)的最值問題.18、（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)，.【解題分析】

（1）通過證明，即可證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后并求出平面的一個法向量及的坐標(biāo)，最后根據(jù)即可求出的值及的長度.【題目詳解】(1)證明題圖(1)中，由已知可得：，，.從而.故得，所以，.所以題圖(2)中，，，所以為二面角的平面角，又二面角為直二面角，所以，即，因?yàn)榍?、平面，所以平?(2)解存在.由(1)知，平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，過作交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，易知，，，所以.因?yàn)槠矫?，所以平面的一個法向量為.因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，解得.所以，滿足，符合題意.所以在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為，此時(shí).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面垂直的證明及通過建立空間直角坐標(biāo)系并表示出平面的法向量及直線的方向向量的坐標(biāo)，解決已知直線和平面所成的角求參數(shù)的值問題，屬中等難度題.19、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線OM的斜率，進(jìn)而得證；（2）由（1）知，橢圓方程設(shè)為，設(shè)PQ的方程，與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長公式，解方程即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程.詳解：（1）∵，，，所以.∴，解得，于是，∴橢圓的離心率為.（2）由（1）知，∴橢圓的方程為即①依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.由對稱性可知，與軸不垂直，設(shè)其直線方程為，代入①得：，設(shè)，，則，，由得，解得.于是.于是.解得：，，∴橢圓的方程為.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理以及弦長公式，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）屬于特征值的一個特征向量為，屬于特征值的一個特征向量為.【解題分析】

（1）設(shè)是直線上任一點(diǎn)，在變換作用下變?yōu)?，利用矩陣變換關(guān)系，將用表示，代入，即可求解；（2）由特征多項(xiàng)式求出特征值，進(jìn)而求出對應(yīng)的特征向量.【題目詳解】（1）設(shè)是直線上任一點(diǎn)，在矩陣變換作用下變?yōu)?，則，，，，，即，所以變換后的曲線方程為；（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令