高三數(shù)學(xué)一輪提能一日一講（11月25日）

一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案填在題后括號內(nèi)．1．(2013·湖南卷)某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名．為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法解析因為被抽取的個體有明顯差異，所以宜采用分層抽樣．答案D2．(2013·陜西卷)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14解析由系統(tǒng)抽樣的等距抽樣特點知，840人要分成42組，每組20人，[481,720]包含的是第25組到第36組，每組抽1人，則共抽到12人，故選B.答案B3．(2013·遼寧卷)某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45 B．50C．55 D．60解析低于60分的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以總?cè)藬?shù)為eq\f(15,0.3)＝50(人)．答案B4．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357則y與x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過()A．(1,3) B．(2,5)C．(1.5,4) D．(3,7)解析由題意知，樣本中心點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))一定在回歸直線上．答案C5．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析由于回歸直線的斜率為正值，故y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，選項A中的結(jié)論正確；回歸直線過樣本點的中心，選項B中的結(jié)論正確；根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項C中的結(jié)論正確；由于回歸分析得出的是估計值，故選項D中的結(jié)論不正確．答案D6．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”解析根據(jù)獨立性檢驗的思想方法，正確選項為C.答案C二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在題中橫線上．7．一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為________．解析利用樣本中各層人數(shù)的比例與總體中各層人數(shù)的比例相等的特點進(jìn)行求解．抽取男運動員的人數(shù)為eq\f(48,48＋36)×21＝12.答案128．(2013·湖北卷)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中x的值為________；(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為________．解析(1)由直方圖得(0.0012＋0.0024×2＋0.0036＋x＋0.0060)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50×100＝70.答案(1)0.0044(2)709．(2013·遼寧卷)為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為________．解析設(shè)5個班級的數(shù)據(jù)分別為0≤a≤b≤c≤d≤e.由平均數(shù)及方差的公式得eq\f(a＋b＋c＋d＋e,5)＝7，eq\f(a－72＋b－72＋c－72＋d－72＋e－72,5)＝4.設(shè)a－7，b－7，c－7，d－7，e－7分別為p，q，r，s，t，則p，q，r，s，t均為整數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＋r＋s＋t＝0，,p2＋q2＋r2＋s2＋t2＝20.))設(shè)f(x)＝(x－p)2＋(x－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20－t2，由(x－p)2，(x－q)2，(x－r)2，(x－s)2不能完全相同知f(x)>0，則判別式Δ<0，解得－4<t<4，所以－3≤t≤3，所以e的最大值為10.答案10三、解答題：本大題共3小題，共30分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．10．(本小題10分)某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦录祝?12554528549536556534541522538乙：515558521543532559536548527531(1)用莖葉圖表示兩學(xué)生的高考備考成績；(2)分別求兩學(xué)生的高考備考成績的中位數(shù)和平均分．解(1)兩學(xué)生的高考備考成績的莖葉圖如圖所示：(2)將甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績從小到大排列為：甲：512522528534536538541549554556乙：515521527531532536543548558559從以上排列可知甲學(xué)生的高考備考成績的中位數(shù)為eq\f(536＋538,2)＝537.乙學(xué)生的高考備考成績的中位數(shù)為eq\f(532＋536,2)＝534.甲學(xué)生的高考備考成績的平均分為500＋eq\f(12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋56,10)＝537；乙學(xué)生的高考備考成績的平均分為500＋eq\f(15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋59,10)＝537.11．(本小題10分)(理)(2013·福建泉州一模)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同一型號零件．記生產(chǎn)的零件的尺寸為t(cm)，相關(guān)行業(yè)質(zhì)檢部門規(guī)定：若t∈(2.9,3.1]，則該零件為優(yōu)等品；若t∈(2.8,2.9]∪(3.1,3.2]，則該零件為中等品；其余零件為次品．現(xiàn)分別從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取50件，經(jīng)質(zhì)量檢測得到下表數(shù)據(jù)：尺寸[2.7,2.8](2.8,2.9](2.9,3.0](3.0,3.1](3.1,3.2](3.2,3.3]甲機(jī)床零件頻數(shù)23202041乙機(jī)床零件頻數(shù)35171384(1)設(shè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為：優(yōu)等品3元，中等品1元，次品虧本1元．若將頻率視為概率，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估算甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學(xué)期望；(2)對于這兩臺機(jī)床生產(chǎn)的零件，在排除其他因素影響的情況下，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估計約有多大的把握認(rèn)為“零件優(yōu)等與否和所用機(jī)床有關(guān)”，并說明理由．參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635解(1)設(shè)甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件獲得的利潤為X元，它的分布列為X31－1P0.80.140.06則有E(X)＝3×0.8＋1×0.14＋(－1)×0.06＝2.48(元)．所以，甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學(xué)期望為2.48元．(2)由表中數(shù)據(jù)可知：甲機(jī)床優(yōu)等品40個，非優(yōu)等品10個；乙機(jī)床優(yōu)等品30個，非優(yōu)等品20個．制作2×2列聯(lián)表如下：甲機(jī)床乙機(jī)床合計優(yōu)等品403070非優(yōu)等品102030合計5050100計算K2的觀測值k＝eq\f(100×40×20－30×102,50×50×70×30)＝eq\f(100,21)≈4.762.考察參考數(shù)據(jù)并注意到3.841<4.762<5.024，可知：對于這兩臺機(jī)床生產(chǎn)的零件，在排除其他因素影響的情況下，根據(jù)樣本估計總體的思想，約有95%的把握認(rèn)為“零件優(yōu)等與否和所用機(jī)床有關(guān)”．11．(本小題10分)(文)(2013·重慶卷)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．解(1)由題意知n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又lxx＝eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，lxy＝eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－n×eq\o(x,\s\up6(－))×eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．12．(本小題10分)(理)(2013·遼寧大連一模)為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行抽樣檢查，測得身高情況的頻率分布直方圖如下：已知樣本中身高在[150,155)cm的女生有1人．(1)求出樣本中該校男生的人數(shù)和女生的人數(shù)；(2)估計該校學(xué)生身高在170～190cm之間的概率；(3)從樣本中身高在185～190cm之間的男生和樣本中身高在170～180cm之間的女生中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3人中的女生人數(shù)為X.求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．解(1)設(shè)女生的人數(shù)n，∴eq\f(1,n)＝eq\f(1,150)×5，∴n＝30.∵抽取的樣本人數(shù)700×10%＝70，∴樣本中該校有男生40人和女生30人．(2)由頻率分布直方圖可得出樣本中身高在170～190cm之間的學(xué)生人數(shù)有37人，樣本容量為70，所以樣本中學(xué)生身高在170～190cm之間的頻率等于eq\f(37,70)，所以估計該校學(xué)生身高在170～190cm之間的概率等于eq\f(37,70).(3)由頻率分布直方圖可得出樣本中身高在185～190cm之間的男生有2人和樣本中身高在170～180cm之間的女生有4人，∴X的可能取值為1,2,3，∵P(X＝1)＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(1,5)，∴X的分布列為X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)∴數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.12．(本小題10分)(文)(2013·石家莊高三模擬)為了調(diào)查某大學(xué)學(xué)生在周日上網(wǎng)的時間，隨機(jī)對100名男生和100名女生進(jìn)行了不記名的問卷調(diào)查，得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表上網(wǎng)時間(分鐘)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,