香農(nóng)采樣定理

采樣定理由于數(shù)字化和計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，使傳感與系統(tǒng)互連時(shí)必須考慮接口界面問題。大多數(shù)傳感器是用來獲取連續(xù)的模擬信號(hào)的，這種信號(hào)是數(shù)字系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)系統(tǒng)無法接收的輸入。因此，傳感器系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，除了硬件接口外，還要考慮軟件接口問題。這就是所謂采樣定理。傳感器檢測/監(jiān)視系統(tǒng)大多是利用基于離散數(shù)字信號(hào)的連續(xù)采樣硬件系統(tǒng)。它們利用采得的離散數(shù)字信號(hào)再現(xiàn)傳感器獲得的連續(xù)模擬信號(hào)。1．香農(nóng)采樣定理該采樣定理表述為，如果信號(hào)y）中所包括的頻率不高于爲(wèi)，則/&）可由一系列相隔1/（2?）時(shí)間的抽樣值所確定。該定理的物理含義是，遵循香農(nóng)采樣定理對(duì)連續(xù)模擬信號(hào)進(jìn)行周期性的離散采樣，所采得的離散信號(hào)數(shù)列可以保持頻率特性不變，即不發(fā)生混頻（疊）現(xiàn)象。圖表示了模擬信號(hào)A的兩類離散采樣結(jié)果。其中圖a表示遵從香農(nóng)采樣定理對(duì)模擬信號(hào)A進(jìn)行采樣后，按采樣系列值恢復(fù)得到的信號(hào)B與信號(hào)A相比不發(fā)生“混疊”現(xiàn)象，即兩者的信號(hào)頻率相等。圖b表示不遵從香農(nóng)采樣定理采得的信號(hào)B'與信號(hào)A頻率不一致，發(fā)生“混疊”現(xiàn)象。1模擬信號(hào)A采樣與“混疊”現(xiàn)象a）遵循采樣定理，不:發(fā)生混疊”不遵循采樣定理，產(chǎn)生“混疊”a）遵循采樣定理，不:發(fā)生混疊”1)例如：對(duì)頻率了=100kHz?1MHz的聲發(fā)射信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，其最高頻率為比=1MHz,由式（1）可知，采樣的間隔（周期）TS應(yīng)為1/T二2恣 （2）S或T'l/（2^） （3）S上例的采樣周期是TS<1/（2比）=l/2xlMHz=0.5ysS2.工程采樣的考慮由于工程要求的不同，應(yīng)用采樣定理時(shí)有不同的考慮。1）把香農(nóng)采樣定理作為近似準(zhǔn)則使用，嚴(yán)格地講，采樣定理只適于窄帶信號(hào)的采樣。所謂窄帶信號(hào)指的是信號(hào)的頻率分散在信號(hào)中心頻率附近一個(gè)較窄的頻率范圍內(nèi)。信號(hào)的頻帶寬W定義為W=歸”一貝］ （4）式中懇1一被采樣信號(hào)的最低頻率。例如，上例的聲發(fā)射信號(hào)頻帶寬為W=1MHz-100kHz=900kHz，而其中心頻率為W0=55OkHz,故嚴(yán)格地講，上例計(jì)算的采樣頻率X=2MHz是不符合采樣定理要求的。但因?yàn)楝F(xiàn)有的聲發(fā)射監(jiān)視儀電路和計(jì)算速度與存儲(chǔ)量的限制（否則會(huì)導(dǎo)致成本過高）無法提高采樣頻率，故按香農(nóng)采樣定理設(shè)計(jì)采樣頻率。所幸的是，聲發(fā)射波的傳播過程必然導(dǎo)致混頻故從“映射”角度來進(jìn)行信號(hào)識(shí)別，被實(shí)踐證明是可行的。2）在采樣電路設(shè)計(jì)中，常常把香農(nóng)采樣定理修正成電310込 （5）其目的不僅要保證不發(fā)生“混疊”，而且希望盡可能采到幅值的最大值或近似值。3）當(dāng)按香農(nóng)采樣定理計(jì)算得出的采樣頻率過高時(shí)的工程處理方法，對(duì)于窄帶信號(hào)也可以把香農(nóng)采樣定理修正為2Qk2靠〒<G,<^^ （6）式中N—自然數(shù)。若可以表示為°R=kW (7)則式（6）可改寫為＜込＜＜込＜2址-1網(wǎng)27-1式中k—自然數(shù)。根據(jù)式（8）可以列出表1，供窄帶信號(hào)確定低于香農(nóng)采樣定理計(jì)算值的采樣用實(shí)際頻率。表1窄帶信號(hào)許用采樣頻率范圍信號(hào)上限角頻率許用采樣頻率的范圍N=1N=2N=3N=4N=5N=6N=7N=8W2W?co2W4W?co2W3W6W?co3W?4W2W4W8W?co4W?6W⑻3)W?3W2W5W10W?co5W?8W(10/3)W?4W⑸2)W?(8/3)W2W6W12W?co6W?10W4W?5W3W?(10/3)W(12/5)W?(5/2)W2W7W14W?00(14/2)W?12W(14/3)W?4W(14/4)W?4W(14/5)W?3W(14/6)W?(12/5)W2W8W16W?co(16/2)W?14W(16/3)W?(14/2)W(16/4)W?(14/3)W(16/5)W?(14/4)W(16/6)W?(14/5)W(16/7)W?(14/6)W2W注：1.W二爲(wèi)一°1,即上下限信號(hào)角頻率之差。2?粽$的豎列應(yīng)表示為W的倍數(shù)，且k取自然數(shù)。23.2.3量化一個(gè)連續(xù)的模擬信號(hào)Xa（t）被采樣為離散信號(hào)系列（信號(hào)列）X（nT）,在進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換（A/D轉(zhuǎn)換）時(shí)，不能夠達(dá)到精確的結(jié)果，只能用有限的二進(jìn)制數(shù)來近似它。用幅值不連續(xù)的數(shù)來逼近信號(hào)實(shí)際值的過程稱為量化。常采用截尾法或舍入法進(jìn)行量化處理。量化處理大多是用A/D轉(zhuǎn)換器來完成的。因此，按照上述定義和量化方法進(jìn)行采樣必然會(huì)產(chǎn)生誤差。統(tǒng)計(jì)分析證明，一個(gè)比較復(fù)雜的信號(hào)在其變化劇烈時(shí)，可以認(rèn)為量化誤差服從于白噪聲。量化信噪比指的是信號(hào)功率與量化噪聲功率之比。它又稱為量化的信噪比。在采用常用對(duì)數(shù)表達(dá)量化信噪比時(shí)，把它記作SNR或S/N。SNR（dB）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

=尿+i（m+ig3；）9）9）式中：耳一信號(hào)的功率；XG—信號(hào)量化噪聲功率，它是由于量化誤差產(chǎn)生的;eb一字長，b表達(dá)為10）10）式（10）中SNR用dB表達(dá)。應(yīng)將按式（10）算出的b值圓整為整數(shù)。例如：要求量化信噪比SNR=80dB，其所需的字長b=80-1.24/6=13.127，圓整后取b=14。概念采樣定理，又稱香農(nóng)采樣定律、奈奎斯特采樣定律，是信息論，特別是通訊與信號(hào)處理學(xué)科中的一個(gè)重要基本結(jié)論.E.T.Whittaker（1915年發(fā)表的統(tǒng)計(jì)理論），克勞德?香農(nóng)與HarryNyquist都對(duì)它作出了重要貢獻(xiàn)。另外，V.A.Kotelnikov也對(duì)這個(gè)定理做了重要貢獻(xiàn)。采樣是將一個(gè)信號(hào)（即時(shí)間或空間上的連續(xù)函數(shù)）轉(zhuǎn)換成一個(gè)數(shù)值序列（即時(shí)間或空間上的離散函數(shù)）。采樣得到的離散信號(hào)經(jīng)保持器后，得到的是階梯信號(hào)，即具有零階保持器的特性。如果信號(hào)是帶限的，并且采樣頻率高于信號(hào)最高頻率的一倍，那么，原來的連續(xù)信號(hào)可以從采樣樣本中完全重建出來。帶限信號(hào)變換的快慢受到它的最高頻率分量的限制，也就是說它的離散時(shí)刻采樣表現(xiàn)信號(hào)細(xì)節(jié)的能力是有限的。采樣定理是指，如果信號(hào)帶寬小于奈奎斯特頻率（即采樣頻率的二分之一），那么此時(shí)這些離散的采樣點(diǎn)能夠完全表示原信號(hào)。高于或處于奈奎斯特頻率的頻率分量會(huì)導(dǎo)致混疊現(xiàn)象。大多數(shù)應(yīng)用都要求避免混疊，混疊問題的嚴(yán)重程度與這些混疊頻率分量的相對(duì)強(qiáng)度有關(guān)。采樣過程所應(yīng)遵循的規(guī)律，又稱取樣定理、抽樣定理。采樣定理說明采樣頻率與信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，是連續(xù)信號(hào)離散化的基本依據(jù)。采樣定理是1928年由美國電信工程師H.奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1933年由蘇聯(lián)工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴(yán)格地表述這一定理，因此在蘇聯(lián)文獻(xiàn)中稱為科捷利尼科夫采樣定理。 1948年信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對(duì)這一定理加以明確地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又稱為香農(nóng)采樣定理。采樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理。采樣定理在數(shù)字式遙測系統(tǒng)

時(shí)分制遙測系統(tǒng)、信息處理、數(shù)字通信和采樣控制理論等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。時(shí)域采樣定理頻帶為F的連續(xù)信號(hào)f(t)可用一系列離散的采樣值f(tl),f(t1土△t)，f(tl±2△t)，...來表示,只要這些采樣點(diǎn)的時(shí)間間隔△t<1/2F,便可根據(jù)各采樣值完全恢復(fù)原來的信號(hào)f(t)。￡1114* msnxj UP采樣定理時(shí)域采樣定理的另一種表述方式是：當(dāng)時(shí)間信號(hào)函數(shù)f(七)的最高頻率分量為fM時(shí)，f(t)的值可由一系列采樣間隔小于或等于l/2fM的采樣值來確定，即采樣點(diǎn)的重復(fù)頻率f±2fM。圖為模擬信號(hào)和采樣樣本的示意圖。時(shí)域采樣定理是采樣誤差理論、隨機(jī)變量采樣理論和多變量采樣理論的基礎(chǔ)。頻域采樣定理對(duì)于時(shí)間上受限制的連續(xù)信號(hào)f(t)(即當(dāng)丨t|>T時(shí)，f(t)=0,這里T=T2-T1是信號(hào)的持續(xù)時(shí)間)，若其頻譜為F(①),則可在頻域上用一系列離散的采樣值來表示，只要這些采樣點(diǎn)的頻率間隔。込塁三編輯本段釆樣簡介從信號(hào)處理的角度來看，此采樣定理描述了兩個(gè)過程：其一是采樣，這一過程將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào);其二是信號(hào)的重建，這一過程離散信號(hào)還原成連續(xù)信號(hào)。連續(xù)信號(hào)在時(shí)間(或空間)上以某種方式變化著，而采樣過程則是在時(shí)間(或空間)上，以T為單位間隔來測量連續(xù)信號(hào)的值。T稱為采樣間隔。在實(shí)際中，如果信號(hào)是時(shí)間的函數(shù)，通常他們的采樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級(jí)。采樣過程產(chǎn)生一系列的數(shù)字，稱為樣本。樣本代表了原來地信號(hào)。每一個(gè)樣本都對(duì)應(yīng)著測量這一樣本的特定時(shí)間點(diǎn)，而采樣間隔的倒數(shù)，1/T即為采樣頻率，fs,其單位為樣本/秒，即赫茲(hertz)。信號(hào)的重建是對(duì)樣本進(jìn)行插值的過程，即，從離散的樣本 x[n]中，用數(shù)學(xué)的方法確定連續(xù)信號(hào)x(t)。從采樣定理中，我們可以得出以下結(jié)論：如果已知信號(hào)的最高頻率fH,采樣定理給出了保證完全重建信號(hào)的最低采樣頻率。這一最低采樣頻率稱為臨界頻率或奈奎斯特采樣率，通常表示為fN。

相反，如果已知采樣頻率，采樣定理給出了保證完全重建信號(hào)所允許的最高信號(hào)頻率。以上兩種情況都說明，被采樣的信號(hào)必須是帶限的，即信號(hào)中高于某一給定值的頻率成分必須是零，或至少非常接近于零，這樣在重建信號(hào)中這些頻率成分的影響可忽略不計(jì)。在第一種情況下，被采樣信號(hào)的頻率成分已知，比如聲音信號(hào)，由人類發(fā)出的聲音信號(hào)中，頻率超過 5kHz的成分通常非常小，因此以10kHz的頻率來采樣這樣的音頻信號(hào)就足夠了。在第二種情況下，我們得假設(shè)信號(hào)中頻率高于采樣頻率一半的頻率成分可忽略不計(jì)。這通常是用一個(gè)低通濾波器來實(shí)現(xiàn)的。編輯本段混疊如果不能滿足上述采樣條件，采樣后信號(hào)的頻率就會(huì)重疊，即高于采樣頻率一半的頻率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號(hào)。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊，而重建出來的信號(hào)稱為原信號(hào)的混疊替身，因?yàn)檫@兩個(gè)信號(hào)有同樣的樣本值。一個(gè)頻率正好是采樣頻率一半的弦波信號(hào)，通常會(huì)混疊成另一相同頻率的波弦信號(hào)，但它的相位和幅度改變了。以下兩種措施可避免混疊的發(fā)生：提高采樣頻率，使之達(dá)到最高信號(hào)頻率的兩倍以上；引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數(shù)；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器抗混疊濾波器可限制信號(hào)的帶寬，使之滿足采樣定理的條件。從理論上來說，這是可行的，但是在實(shí)際情況中是不可能做到的。因?yàn)闉V波器不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的信號(hào)，所以，采樣定理要求的帶寬之外總有一些“小的”能量。不過抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計(jì)。編輯本段減釆樣當(dāng)一個(gè)信號(hào)被減采樣時(shí)，必須滿足采樣定理以避免混疊。為了滿足采樣定理的要求，信號(hào)在進(jìn)行減采樣操作前，必須通過一個(gè)具有適當(dāng)截止頻率的低通濾波器。這個(gè)用于避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。編輯本段香農(nóng)釆樣定理為了不失真地恢復(fù)模擬信號(hào)，采樣頻率應(yīng)該不小于模擬信號(hào)頻譜中最高頻率的2倍。Fs±2Fmax采樣率的提高要求轉(zhuǎn)換電路必須具有更快的轉(zhuǎn)換速度。

轉(zhuǎn)換電路即模/數(shù)轉(zhuǎn)換電路，Analog-to-DigitalConverter，目前工業(yè)中應(yīng)用的ADC主要有一下三種：并聯(lián)比較型ADC的最大優(yōu)點(diǎn)是轉(zhuǎn)換速度快。適用于要求高速、低分辨率的場合。逐次逼近型ADC的電路規(guī)模比并聯(lián)比較型ADC小得多，是目前集成ADC產(chǎn)品中用的最多的一種電路。雙積分型ADC最突出的優(yōu)點(diǎn)是工作性能比較穩(wěn)