天津市北辰區(qū)天津四十七中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023—2024天津市第四十七中學(xué)高二年級(jí)第一學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷第I卷（共三部分；滿(mǎn)分150分）一?選擇題（每題5分，共45分）1.直線(xiàn)傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線(xiàn)一般式化為斜截式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)，可化為，所以直線(xiàn)的斜率為（其中為直線(xiàn)的傾斜角），又，所以.故選：C.2.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算、三角形的中位線(xiàn)及線(xiàn)段中點(diǎn)的向量表示進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.【詳解】如圖，連接，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則.故選：D.3.已知雙曲線(xiàn)：的一條漸近線(xiàn)方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)及焦點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組，解得、，即可得解.【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)為，又雙曲線(xiàn)：的一條漸近線(xiàn)方程為，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)方程為.故選：C4.已知點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A.13 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)所在圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓，將距離等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，根據(jù)三角形中任意兩邊之差小于第三邊的關(guān)系即可解決本題.【詳解】設(shè)直線(xiàn)：，圓，圓，易知點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，以為圓心，以1為半徑的圓即為圓關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圓.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則有，∴，如圖，連接，在中，有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得等號(hào)，故求解的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求最大值問(wèn)題，故當(dāng)直線(xiàn)過(guò)圓心和圓心且距離最遠(yuǎn)且點(diǎn)恰好為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)可取得最大值.由題意知點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，兩圓半徑分別為1和2，故最大值為：.故選：B.5.點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)C：的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)AF平行于雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b的值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】由題可得坐標(biāo)，根據(jù)可得答案.【詳解】由題，，則.因直線(xiàn)AF平行于雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，則.故選：B6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用求出，再由即可求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為．由，得，解得，又得．故選：A7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.578 B.579C.580 D.581【答案】B【解析】【分析】由的關(guān)系得出通項(xiàng)公式，再討論，兩種情況，結(jié)合求和公式得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，不成立.故得到.令，則，解得，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故：，.故選：B.8.如圖，在正三棱柱中，若，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，則，

以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．故選：B.9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線(xiàn)分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，，若，則四邊形的面積為（）A.6 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】結(jié)合雙曲線(xiàn)圖像對(duì)稱(chēng)性，可得軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線(xiàn)，，的關(guān)系可計(jì)算出，，，的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出四邊形的面積.【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知軸，，，又因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)到漸近線(xiàn)距離為，所以，所以，，則，所以，故選：B二?填空題（每題5分，共30分）10.已知向量，，，且，則___________.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列方程組求解參數(shù)，即可得結(jié)論.【詳解】由題意得，因?yàn)椋?，得，，所?故答案為：.11.已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，利用拋物線(xiàn)的定義，由求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，所以，解得，所以該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，故答案為：12.等差數(shù)列前項(xiàng)和分別是與，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到，代入即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，而，所以.故答案為：13.已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)l的斜率為_(kāi)________；【答案】【解析】【分析】由橢圓離心率和關(guān)系可得關(guān)系，再由點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)的斜率公式可得所求值.【詳解】由題意可得，整理可得，設(shè)，則，兩式相減可得，的中點(diǎn)為，，則直線(xiàn)斜率.故答案為：.14.若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】作出圖形，考查直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)以及直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí)實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，整理可得，即，其中，故曲線(xiàn)表示圓的下半圓，作出直線(xiàn)與曲線(xiàn)的圖形如下圖所示：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí)，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.由題意,可得，且，解得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，因此b的取值范圍為.故答案為：.15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿(mǎn)足，其中．則使不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】##0.75【解析】【分析】先通過(guò)遞推公式求出通項(xiàng)公式，代入求出的通項(xiàng)公式，最后代入轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，研究新數(shù)列的單調(diào)性即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，兩邊同除可得，又因?yàn)闀r(shí)，所以，所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即，所以，代入不等式可得，即，令，則，所以，因?yàn)椋?，所以恒成立，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，所以，即的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列的恒成立問(wèn)題往往需要研究數(shù)列的單調(diào)性，一般通過(guò)作差法來(lái)判斷單調(diào)性.三?解答題（共75分，解答需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明推理過(guò)程或計(jì)算步驟，只有結(jié)果的不給分）16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線(xiàn)的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心所在直線(xiàn)，解方程組求得圓心坐標(biāo)，繼而求得半徑，即可求得圓的方程；（2）討論直線(xiàn)l的斜率是否存在，存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離的表達(dá)式，根據(jù)弦長(zhǎng)列式計(jì)算，求得斜率，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得圓心在過(guò)點(diǎn)和直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上，該直線(xiàn)方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心為，半徑為，故圓M方程為；【小問(wèn)2詳解】由于，故在圓M外，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，若直線(xiàn)l斜率不存在，則方程為，圓心到l的距離為，則弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，則圓心到l的距離為，由于直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，故，解得，故直線(xiàn)l的方程為,綜合得直線(xiàn)的方程為或.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點(diǎn)在棱上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為中點(diǎn).（1）若，求證：直線(xiàn)平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解（2）（3）存在，，理由見(jiàn)詳解.【解析】【分析】(1)取的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，利用平行的傳遞性得到，進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形，則，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可求解；(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入向量的夾角公式即可求解；(3)假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)（2）中平面的法向量以及題中與平面所成角的正弦值為，求出即可求解.【小問(wèn)1詳解】取的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以直線(xiàn)平面.【小問(wèn)2詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，又為的中點(diǎn)，則，所以，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】存在，.假設(shè)存在點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，設(shè)，即，，由（2）得，且平面的法向量，，則，所以，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，則，整理得：，解得：或（舍去），故存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，此時(shí).18.設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）,（2）（3）【解析】【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求和；（3）利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍），所以，設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，所以，，所以，解得，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，所以，，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】，所以.19.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)．求直線(xiàn)的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）利用直線(xiàn)與圓相切，得到，設(shè)出直線(xiàn)的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，求出直線(xiàn)的斜率，從而得解.【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，，由，得，又由，得，所以，橢圓的方程為；（Ⅱ）直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，所以，根據(jù)題意可知，直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率均存在，設(shè)直線(xiàn)斜率為，則直線(xiàn)的方程為，即，，消去，可得，解得或.將代入，得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，直線(xiàn)的斜率為，又因?yàn)?，所以，整理得，解得?所以，直線(xiàn)的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線(xiàn)垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要想到聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿(mǎn)足.數(shù)列滿(mǎn)足，且満足（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足；求（3），數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：