大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)22Laplace變換性質(zhì)課件(課堂講解)

大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)22Laplace變換性質(zhì)課件(課堂講解)匯報(bào)人：AA2024-01-26AAREPORTING目錄Laplace變換基本概念與性質(zhì)逆Laplace變換求解方法Laplace變換在電路分析中應(yīng)用Laplace變換在微分方程求解中應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法在Laplace變換中應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展延伸PART01Laplace變換基本概念與性質(zhì)REPORTINGAA定義設(shè)函數(shù)$f(t)$在$tgeq0$上有定義，且積分$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$在復(fù)平面$s$的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則稱此積分為函數(shù)$f(t)$的Laplace變換，記為$F(s)=L[f(t)]$。存在性函數(shù)$f(t)$的Laplace變換存在的充分必要條件是函數(shù)$f(t)$在$tgeq0$上分段連續(xù)，并且當(dāng)$trightarrowinfty$時(shí)，$f(t)$的增長(zhǎng)速度不超過某一指數(shù)函數(shù)。Laplace變換定義及存在性指數(shù)函數(shù)$L[e^{at}]=frac{1}{s-a}$單位階躍函數(shù)$L[u(t)]=frac{1}{s}$正弦函數(shù)$L[sin(omegat)]=frac{omega}{s^2+omega^2}$冪函數(shù)$L[t^n]=frac{n!}{s^{n+1}}$余弦函數(shù)$L[cos(omegat)]=frac{s}{s^2+omega^2}$常用函數(shù)Laplace變換表若$a,b$為常數(shù)，$f_1(t),f_2(t)$的Laplace變換分別為$F_1(s),F_2(s)$，則$L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)$。線性性質(zhì)若$f_1(t),f_2(t),cdots,f_n(t)$的Laplace變換分別為$F_1(s),F_2(s),cdots,F_n(s)$，則$sum_{i=1}^{n}f_i(t)$的Laplace變換為$sum_{i=1}^{n}F_i(s)$。疊加原理線性性質(zhì)與疊加原理若$f(t)$的Laplace變換為$F(s)$，則$f(t-a)u(t-a)$的Laplace變換為$e^{-as}F(s)$。時(shí)移性質(zhì)若$f(t)$的Laplace變換為$F(s)$，則$e^{at}f(t)$的Laplace變換為$F(s-a)$。頻移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)與頻移性質(zhì)PART02逆Laplace變換求解方法REPORTINGAA查表法與部分分式法查表法通過查閱Laplace變換表，找到與給定象函數(shù)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)。此方法適用于簡(jiǎn)單、常見的象函數(shù)。部分分式法將復(fù)雜象函數(shù)分解為簡(jiǎn)單部分分式之和，再分別查表或進(jìn)行逆變換。此方法適用于具有有理分式形式的象函數(shù)。在復(fù)變函數(shù)中，留數(shù)定理用于計(jì)算圍線積分。在逆Laplace變換中，可以利用留數(shù)定理計(jì)算圍線積分，從而得到原函數(shù)。留數(shù)定理確定圍線、計(jì)算圍線上的奇點(diǎn)、應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算積分。應(yīng)用步驟留數(shù)定理在逆變換中應(yīng)用卷積定理在Laplace變換中，卷積定理指出兩個(gè)時(shí)域函數(shù)的卷積的象函數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)象函數(shù)的乘積。此定理在求解具有卷積形式的微分方程時(shí)非常有用。應(yīng)用舉例求解具有卷積形式的微分方程、計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)等。通過卷積定理，可以將復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化求解過程。卷積定理及其應(yīng)用舉例PART03Laplace變換在電路分析中應(yīng)用REPORTINGAA線性時(shí)不變系統(tǒng)定義滿足疊加原理和時(shí)不變性的系統(tǒng)。傳遞函數(shù)定義系統(tǒng)輸出與輸入之間的Laplace變換之比，描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)性質(zhì)穩(wěn)定性、頻率響應(yīng)等。線性時(shí)不變系統(tǒng)描述與傳遞函數(shù)030201電路元件阻抗函數(shù)求解電路元件兩端電壓與電流的Laplace變換之比。阻抗函數(shù)定義串并聯(lián)化簡(jiǎn)、阻抗函數(shù)運(yùn)算等。復(fù)合電路阻抗函數(shù)求解方法復(fù)雜電路分析方法支路電流法、網(wǎng)孔電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法等。簡(jiǎn)化方法電源等效變換、星角變換、戴維南定理等。Laplace變換在復(fù)雜電路分析中的應(yīng)用將時(shí)域電路轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域電路，便于分析和計(jì)算。復(fù)雜電路分析與簡(jiǎn)化方法PART04Laplace變換在微分方程求解中應(yīng)用REPORTINGAA初始值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解通過對(duì)像函數(shù)進(jìn)行反Laplace變換，可以得到原函數(shù)的解析表達(dá)式。利用反Laplace變換求得原函數(shù)通過Laplace變換，將含有初始條件的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而方便求解。利用Laplace變換將初始值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程對(duì)轉(zhuǎn)化后的代數(shù)方程進(jìn)行求解，得到原函數(shù)在Laplace變換下的像函數(shù)。求解代數(shù)方程得到像函數(shù)利用Laplace變換將邊值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程對(duì)于具有邊值條件的微分方程，可以通過Laplace變換將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解。求解代數(shù)方程得到像函數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)化后的代數(shù)方程進(jìn)行求解，得到原函數(shù)在Laplace變換下的像函數(shù)。利用反Laplace變換求得原函數(shù)通過對(duì)像函數(shù)進(jìn)行反Laplace變換，可以得到原函數(shù)的解析表達(dá)式，并結(jié)合邊值條件確定相關(guān)參數(shù)。邊值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解利用Laplace變換降低微分方程階數(shù)對(duì)于高階微分方程，可以通過Laplace變換將其降階為一階或二階微分方程，從而簡(jiǎn)化求解過程。求解降階后的微分方程對(duì)降階后的微分方程進(jìn)行求解，得到原函數(shù)在Laplace變換下的像函數(shù)。利用反Laplace變換求得原函數(shù)通過對(duì)像函數(shù)進(jìn)行反Laplace變換，可以得到原函數(shù)的解析表達(dá)式。同時(shí)需要注意，在降階處理過程中可能會(huì)引入額外的初始條件或邊值條件，需要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行處理。高階微分方程降階處理PART05數(shù)值計(jì)算方法在Laplace變換中應(yīng)用REPORTINGAA將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)，便于計(jì)算機(jī)處理和數(shù)值計(jì)算。離散化處理根據(jù)離散化處理后的信號(hào)，建立差分方程，描述信號(hào)的變化規(guī)律。差分方程建立通過求解差分方程，得到離散時(shí)間信號(hào)的數(shù)值解。差分方程求解離散化處理和差分方程建立差分方程的穩(wěn)定性是指當(dāng)輸入信號(hào)有界時(shí)，輸出信號(hào)也有界的性質(zhì)。穩(wěn)定性定義根據(jù)差分方程的特征根或特征方程的解來判斷差分方程的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性判據(jù)包括時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法等。穩(wěn)定性分析方法差分方程穩(wěn)定性分析數(shù)值計(jì)算誤差來源和減小誤差措施誤差來源：主要包括截?cái)嗾`差、舍入誤差和初始誤差等。選擇合適的算法和計(jì)算精度；對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差估計(jì)和校正；減小誤差措施采用高精度數(shù)值計(jì)算方法；采用迭代算法加速收斂等。PART06總結(jié)回顧與拓展延伸REPORTINGAALaplace變換的定義和性質(zhì)01Laplace變換是一種將時(shí)域函數(shù)轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域函數(shù)的積分變換，具有線性性、時(shí)移性、頻移性、微分性、積分性等重要性質(zhì)。常用函數(shù)的Laplace變換02包括指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、冪函數(shù)等常用函數(shù)的Laplace變換公式和性質(zhì)。逆Laplace變換03通過Laplace變換的逆變換，可以將復(fù)頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換回時(shí)域函數(shù)，是解決微分方程和卷積運(yùn)算等問題的重要工具。關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧123忽視Laplace變換的收斂域。在求解Laplace變換時(shí)，需要注意其收斂域，否則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。誤區(qū)一混淆Laplace變換與Fourier變換。雖然兩者都是積分變換，但它們的定義、性質(zhì)和應(yīng)用場(chǎng)景有所不同，需要加以區(qū)分。誤區(qū)二加強(qiáng)對(duì)Laplace變換基本概念和性質(zhì)的理解，多做相關(guān)練習(xí)題，注意區(qū)分不同變換之間的差異和聯(lián)系。避免方法常見誤區(qū)及避免方法微分方程求解Laplace變換是求解線性常系數(shù)微分方程的重要工具，可以將微分方程轉(zhuǎn)