江西省吉安市新干中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)測試試題含解析

江西省吉安市新干中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1－i)·z＝2i，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是()A．z＝1－i B．C． D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)表示的點在第四象限2．設(shè)，若，則的值為（）A． B． C． D．3．設(shè)F是橢圓=1的右焦點，橢圓上至少有21個不同的點（i=1,2,3,···），，，···組成公差為d（d>0）的等差數(shù)列，則d的最大值為A． B． C． D．4．已知定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，滿足，則（）A． B． C． D．5．已知直線傾斜角是，在軸上截距是，則直線的參數(shù)方程可以是（）A． B． C． D．6．已知，則（）A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.2167．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．8．為了研究經(jīng)常使用手機是否對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進行了調(diào)查，隨機抽取高二年級50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績，并制成下面的2×2列聯(lián)表：及格不及格合計很少使用手機20525經(jīng)常使用手機101525合計302050則有（）的把握認為經(jīng)常使用手機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響．參考公式:，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%9．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直D．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直10．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．2411．若向量，滿足，與的夾角為，則等于（）A． B． C．4 D．1212．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題“，”為假命題，則的取值范圍是__________.14．已知函數(shù).為的導(dǎo)函數(shù)，若，則實數(shù)的值為__________.15．半徑為的圓形鐵片剪去一個扇形，用剩下的部分卷一個圓錐．圓錐的體積最大值為______16．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8.高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為6.高為4的等腰三角形，則該幾何體的體積為______；側(cè)面積為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，正實數(shù)滿足，證明.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.(1)求g(x)的解析式并判斷g(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)g(x)的值域.19．（12分）已如變換對應(yīng)的變換矩陣是，變換對應(yīng)的變換矩陣是.（Ⅰ）若直線先經(jīng)過變換，再經(jīng)過變換后所得曲線為，求曲線的方程；（Ⅱ）求矩陣的特征值與特征向量.20．（12分）在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.，當(dāng)點在圓上運動時，（1）求點的軌跡的方程；（2）若，直線交曲線于、兩點（點、與點不重合），且滿足.為坐標(biāo)原點，點滿足，證明直線過定點，并求直線的斜率的取值范圍.21．（12分）盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用.（1）從盒中每次隨機抽取1個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率；（2）從盒中隨機抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與圓相切，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求出z，然后逐一核對四個選項得答案．【題目詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點在第二象限，故選C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

分別取代入式子，相加計算得到答案.【題目詳解】取得：取得：兩式相加得到故答案選D【題目點撥】本題考查了二項式定理，取特殊值是解題的關(guān)鍵.3、B【解題分析】

求出橢圓點到的距離的最大值和最小值，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得結(jié)論．【題目詳解】橢圓中，而的最大值為，最小值為，∴，．故選B．【題目點撥】本題考查橢圓的焦點弦的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大．4、D【解題分析】分析：通過計算前幾項，可得n=3，4，…，2018，數(shù)列以3為周期的數(shù)列，計算可得所求和．詳解：定義域為R的奇函數(shù)f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），當(dāng)x＞0時，滿足，可得x＞時，f（x）=f（x﹣3），則f（1）=﹣log25，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=﹣log25，f（5）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（6）=f（3）=f（0）=0，f（7）=f（4）=f（1）=﹣log25，f（8）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672=0，故選：D．點睛：歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.5、D【解題分析】

由傾斜角求得斜率,由斜截式得直線方程,再將四個選項中的參數(shù)方程化為普通方程,比較可得答案.【題目詳解】因為直線傾斜角是,所以直線的斜率,所以直線的斜截式方程為:,由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故正確;故選:D.【題目點撥】本題考查了直線方程的斜截式,參數(shù)方程化普通方程,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)二項分布的期望的計算公式求解即可得到結(jié)果．【題目詳解】∵，∴．故選B．【題目點撥】本題考查二項分布的期望，解題的關(guān)鍵是熟記此類分布期望的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

先求出直線和圓相交時的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可．【題目詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得．所以在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選C．【題目點撥】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

根據(jù)2×2列聯(lián)表，求出的觀測值，結(jié)合題中表格數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.【題目詳解】由題意，可得：，所以有99.5%的把握認為經(jīng)常使用手機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響.故選C.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

可在正方體中選擇兩個相交平面，再選擇由頂點構(gòu)成且與其中一個面垂直的直線，通過變化直線的位置可得正確的選項．【題目詳解】

如圖，平面平面，平面，但平面內(nèi)無直線與平行，故A錯．又設(shè)平面平面，則，因，故，故B、C錯，綜上，選D．【題目點撥】本題考察線、面的位置關(guān)系，此種類型問題是易錯題，可選擇合適的幾何體去構(gòu)造符合條件的點、線、面的位置關(guān)系或不符合條件的反例．10、D【解題分析】試題分析：先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學(xué)，故有種考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題11、B【解題分析】

將平方后再開方去計算模長，注意使用數(shù)量積公式.【題目詳解】因為，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查向量的模長計算，難度一般.對于計算這種形式的模長，可通過先平方再開方的方法去計算模長.12、A【解題分析】由三視圖可知，該幾何體是半個圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體，其中半圓柱底面半徑為，高為，體積為，四棱錐體積為，所以該幾何體體積為，故選A.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)命題真假得恒成立，即得的最大值.詳解：因為命題為假命題，所以恒成立，所以的最大值.點睛：根據(jù)命題與命題否定的真假性關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，即特稱命題為假命題，則對應(yīng)全稱命題為真命題，再根據(jù)恒成立知識轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題.14、【解題分析】

通過對原函數(shù)求導(dǎo)，代入1即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，所以，故.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的運算法則，難度不大.15、【解題分析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，構(gòu)造關(guān)于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時，；時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查圓錐體積最值的求解，關(guān)鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構(gòu)造為關(guān)于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導(dǎo)數(shù)求解得到函數(shù)的最值.16、64【解題分析】

根據(jù)三視圖可得該幾何體表示一個四棱錐，且四棱錐的底面是一個長為8，寬為6的矩形，其中高為4，即可利用體積公式和表面積公式求解，得到答案.【題目詳解】由題意可知，這個幾何體是一個四棱錐，且四棱錐的底面是一個長為8，寬為6的矩形，四棱錐高為4，所以四棱錐的體積為，四棱錐的側(cè)面為等腰三角形，底邊長分別為，斜高分別為，所以側(cè)面積為.【題目點撥】本題主要考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用，以及四棱錐的體積與側(cè)面積的計算，其中解答中根據(jù)幾何體的三視圖得到幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f（x）的最大值為f（1）=1．（2）見解析（3）見解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）代入求出值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，進而判斷最值；（Ⅱ）求出，求出導(dǎo)函數(shù)，分別對參數(shù)分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)的正負，得出函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）整理方程，觀察題的特點，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)的方法求出右式的最小值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以a=-2，此時f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=1時函數(shù)有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，當(dāng)a=1時，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時，x∈（1，）時，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；x∈（，+∞）時，g'（x）＜1，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a＜1時，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；（Ⅲ）當(dāng)a=2時，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，則由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在區(qū)間（1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正實數(shù)x1，x2，∴．18、（1）,為奇函數(shù);（2）.【解題分析】試題分析：(1)先求出,即可得的解析式，然后利用奇偶性的定義判斷的奇偶性;

(2)根據(jù)分式的特點，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解值域.試題解析：（1）由，得，故，所以.因為，而，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2），，所以，即函數(shù)的值域為（）.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）先求出變換矩陣，然后設(shè)曲線上一點，列出方程即可得到方程；（Ⅱ）先利用多項式求出特征根，然后求出特征向量.【題目詳解】解：（Ⅰ），在曲線上任取一點，在變換的作用下得到點，則即，整理得，則即代入中得.（Ⅱ）矩陣的特征多項式為，令得或，①當(dāng)時，由，得即令，則.所以矩陣的一個特征向量為；②當(dāng)時，由，得，即令，則.所以矩陣的一個特征向量.【題目點撥】本題主要考查矩陣變換，特征值和特征向量的相關(guān)運算.意在考查學(xué)生的分析能力和計算能力，難度中等.20、(1).(2).【解題分析】試題分析：（1）由相關(guān)點法得到M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=（2）聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)條件結(jié)合韋達定理得到，，，進而求得范圍.解析：(1)設(shè)M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=y0,代入圓方程有.即為N點的軌跡方程.(2)當(dāng)直線垂直于軸時,由消去整理得,解得或,此時,直線的斜率為；當(dāng)直線不垂直于軸時,設(shè),直線:(),由,消去整理得,依題意,即(*),且,,又,所以,所以,即,解得滿足(*),所以,故,故直線的斜率,當(dāng)時,,此時；當(dāng)時,,此時；綜上,直線的斜率的取值范圍為.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．21、（1）3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率p=150（2）隨機變量X的分布列為:X

2

3

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P

12110211021EX=24【解題分析】試題分析：（1）這是一個有放回地抽取的問題，可以看作獨立重