浙江省寧波市諾丁漢大學附中2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

浙江省寧波市諾丁漢大學附中2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知正方體的棱長為，定點在棱上(不在端點上)，點是平面內(nèi)的動點，且點到直線的距離與點到點的距離的平方差為，則點的軌跡所在的曲線為A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線3．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q=（）A． B． C． D．4．某校派出5名老師去?？谑腥袑W進行教學交流活動，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方案有（）A．80種 B．90種 C．120種 D．150種5．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．6．曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學、清華大學、武漢大學和復旦大學錄取，他們分別被哪個學校錄取，同學們做了如下的猜想甲同學猜：曾玉被武漢大學錄取，李夢被復旦大學錄取同學乙猜：劉云被清華大學錄取，張熙被北京大學錄取同學丙猜：曾玉被復旦大學錄取，李夢被清華大學錄取同學丁猜：劉云被清華大學錄取，張熙被武漢大學錄取結果，恰好有三位同學的猜想各對了一半，還有一位同學的猜想都不對那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是（）A．北京大學、清華大學、復旦大學、武漢大學B．武漢大學、清華大學、復旦大學、北京大學C．清華大學、北京大學、武漢大學、復旦大學D．武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學7．設是實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件8．已知函數(shù)f(x)＝ex(x－b)(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，則實數(shù)b的取值范圍是()A． B．C． D．9．已知函數(shù)f(x)=ex(3x-1)-ax+a（a<1），若有且僅有兩個整數(shù)xi(i=1，A．[-2e，1） B．[73e2，110．己知弧長的弧所對的圓心角為弧度，則這條弧所在的圓的半徑為（）A． B． C． D．11．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C．平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分D．在數(shù)列中，，可得，由此歸納出的通項公式12．已知f(x-1x)=A．f(x+1)=(x+1)2C．f(x+1)=(x+1)2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列滿足，則_________.14．用一塊半徑為2分米的半圓形薄鐵皮制作一個無蓋的圓錐形容器，若銜接部分忽略不計，則該容器的容積為________立方分米.15．已知直線（，是非零常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有______條（用數(shù)字作答）.16．若以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則點的極坐標化成直角坐標為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）三棱錐中，平面平面，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若，求證：平面.18．（12分）如圖，已知在四棱錐中，為中點，平面平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）已知點A是橢圓的上頂點，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點，點N在橢圓E上，且；（1）當時，求的面積；（2）當時，求證：.20．（12分）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，且滿足.（1）求復數(shù)；（2）設復數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，求的值.21．（12分）設為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，與滿足（1）求的值；（2）求的展開式中的系數(shù)。22．（10分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若對恒成立，求正整數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)得到，的關系，利用消元法轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結論．【題目詳解】設，則，，令，所以，又在增函數(shù)，且，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增．所以，即的最小值為．故選A.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的應用，利用消元法進行轉(zhuǎn)化，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值是解決本題的關鍵，有一定的難度．2、D【解題分析】

作，，連接，以為原點建立空間直角坐標系，利用勾股定理和兩點間距離公式構造，整理可得結果.【題目詳解】作，，垂足分別為以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設，由正方體特點可知，平面，，整理得：的軌跡是拋物線本題正確選項：【題目點撥】本題考查立體幾何中點的軌跡問題，關鍵是能夠通過建立空間直角坐標系，求出動點滿足的方程，從而求得軌跡.3、C【解題分析】

先化簡集合A，再求，進而求.【題目詳解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由題意得，=（0,2），∴，故選C.【題目點撥】本題考查的是有關集合的運算的問題，在解題的過程中，要先化簡集合，明確集合的運算法則，進而求得結果．4、D【解題分析】

不同的分配方案有(C5、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.6、D【解題分析】

推理得到甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意：甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，曾玉、劉云、李夢、張熙被錄取的大學為武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學（另外武漢大學、清華大學、北京大學、復旦大學也滿足）.故選：.【題目點撥】本題考查了邏輯推理，意在考查學生的推理能力.7、B【解題分析】

求解不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．【題目詳解】解：設是實數(shù)，若“”則：，即：，不能推出“”若：“”則：，即：，能推出“”由充要條件的定義可知：是實數(shù)，則“”是“”的必要不充分條件；故選：B．【題目點撥】本題考查了充分條件和必要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．8、A【解題分析】，若存在，使得，即存在，使得，即在恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，所以的取值范圍是，故選A.9、D【解題分析】

設g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，對g（x）求導，將問題轉(zhuǎn)化為存在2個整數(shù)xi使得g（xi）在直線h（x）=ax﹣a的下方，求導數(shù)可得函數(shù)的極值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，求得a的取值范圍．【題目詳解】設g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，則g′（x）=ex（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣23），g′（x）＜0，g（xx∈（﹣23，+∞），g′（x）＞0，g（x∴x=﹣23，取最小值-∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直線h（x）=ax﹣a恒過定點（1，0）且斜率為a，∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a＜0，∴a＜2eg（﹣2）=﹣7e由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得：a≥73故答案為[73故選D.【題目點撥】本題考查求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，涉及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)．10、D【解題分析】

利用弧長公式列出方程直接求解，即可得到答案．【題目詳解】由題意，弧長的弧所對的圓心角為2弧度，則，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查了圓的半徑的求法，考查弧長公式等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．11、C【解題分析】

推理分為合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)與演繹推理（一般→特殊），其中合情推理包含類比推理與歸納推理，利用各概念進行判斷可得正確答案.【題目詳解】解：∵A中是從特殊→一般的推理，均屬于歸納推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)，是由特殊→特殊的推理，為類比推理，屬于合情推理；C為三段論，是從一般→特殊的推理，是演繹推理；D為不完全歸納推理，屬于合情推理．故選：C．【題目點撥】本題考查推理中的合情推理與演繹推理，注意理解其概念作出正確判斷.12、C【解題分析】

將等式變形為fx-1xfx+1【題目詳解】∵x-1x∵fx-1x因此，fx+1=【題目點撥】本題考查函數(shù)的解析式，屬于中等題，求函數(shù)解析式常見題型由以下幾種：（1）根據(jù)實際應用求函數(shù)解析式；（2）換元法求函數(shù)解析式，利用換元法一定要注意換元后參數(shù)的范圍；（3）待定系數(shù)法求解析式，這種方法既適合已知函數(shù)名稱的函數(shù)解析式；（4）消元法求函數(shù)解析式，這種方法適合求自變量互為倒數(shù)或相反數(shù)的函數(shù)解析式．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據(jù)數(shù)列遞推關系，列出前面幾項，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，然后根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)特點可得出的值．【題目詳解】由題干中遞推公式，可得：，，，，，，，，，數(shù)列是以6為最小正周期的周期數(shù)列．，．故答案為：.【題目點撥】本題主要考查周期數(shù)列的判定及利用周期數(shù)列的性質(zhì)特點求數(shù)列任一項的值，考查不完全歸納法的應用，考查從特殊到一般的思想和基本的運算求解能力．14、【解題分析】

先由題意得到半圓形的弧長為，設制作的圓錐形容器的底面半徑為，求出底面半徑與圓錐的高，從而可求出結果.【題目詳解】半徑為2分米的半圓形的弧長為，設制作的圓錐形容器的底面半徑為，則，則；則圓錐形容器的高為，所以容器的容積為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查求圓錐的體積，熟記圓錐的體積公式即可，屬于常考題型.15、60【解題分析】

直線是截距式方程，因而不平行坐標軸，不過原點，考察圓上橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點的個數(shù)，結合組合知識分類解答.【題目詳解】依題意直線截距均不為0，即與坐標軸不垂直，不過坐標原點，圓上的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點有12個，分別為，前個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有條；12個點過任意兩點，構成條直線，有條垂直軸，有條直線垂直軸，還有條直線過原點（圓上點的對稱性），滿足條件的直線有條.綜上可知滿足條件的直線共有條.故答案為：.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，利用組合知識是解題的關鍵，注意直線截距式方程的限制條件，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用極坐標化直角坐標公式將點的極坐標化為直角坐標.【題目詳解】由題意可知，點的橫坐標為，縱坐標為，因此，點的直角坐標為，故答案為.【題目點撥】本題考查點的極坐標化直角坐標，解題時要熟悉極坐標與直角坐標的互化公式，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】試題分析：(1)利用題意證得，由線面平行的結論有平面；(2)利用題意可得：，，結合線面垂直的結論則有平面．試題解析：（1）∵，分別為，的中點∴∵平面，平面∴平面（2）∵，為的中點∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面平面∴∵，∴∵平面，平面，∴平面．點睛：注意使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”18、（1）見解析；（2）【解題分析】

分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性質(zhì)可得，可得底面，從而可得結果；（2）以為，過作的垂線為建立坐標系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求出二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵，，，，∴，，，，∴，∵平面平面,兩平面的交線為∴平面，∴，∵，為中點，∴，梯形中與相交∴底面，∴平面平面．（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，∴，，，，設平面的一個法向量為，平面的法向量為，則由可得取，得，，即，由可得取，得，，即，∴．故二面角的余弦值為．點睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉(zhuǎn)化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.19、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）由橢圓對稱性確定直線斜率為1，斜率為-1，求出點坐標后可得三角形面積；（2）由直線方程為求得點坐標（橫坐標即可），得，同理得（直線斜率為），利用得的方程，利用函數(shù)的知識（導數(shù)）證明此方程的解在區(qū)間上．【題目詳解】（1）由橢圓對稱性知點M、N的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，且，由題意，，方程為，于是可以設點其中，于是，解得，所以.（2）據(jù)題意，直線，聯(lián)立橢圓E，得：，即：，則，那么，同理，知：，由，得：，即：.令，則，所以單調(diào)增，又，，故存在唯一零點，即.【題目點撥】本題考查直線與橢圓相交中的三角形面積，考查求直線方程．解題方法是求出直線與橢圓的交點坐標，得出弦長，由弦長關系得關系式．本題考查了運算求解能力．20、（1）；（