復(fù)習(xí)篇第1講立體幾何專題1線面位置關(guān)系的證明2024年高二寒假數(shù)學(xué)專題化復(fù)習(xí)與重點(diǎn)化預(yù)習(xí)（人教A版2019）（原卷版）

第1講立體幾何專題1：線面位置關(guān)系的證明本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理（1）線面平行①判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②性質(zhì)一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.（2）面面平行①判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行；推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行.②性質(zhì)a?αα//β?a//β(α//βα∩γ=aβ∩γ=b?a//b(面面平行夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.（3）線面垂直①判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.②性質(zhì)(i)l⊥α,a?α?l⊥a(線面垂直?線線垂直)(ii)垂直同一平面的兩直線平行a⊥α,b⊥α?a//b（4）面面垂直①判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.②性質(zhì)兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.2空間向量的應(yīng)用(1)線面平行設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是n，則要證明只需證明a⊥n(2)面面平行若平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2,要證α||β，只需證n(3)線面垂直①(法一)設(shè)直線l的方向向量是a,平面α的法向量是n，則要證明l⊥α，只需證明a②(法二)設(shè)直線l的方向向量是a，平面α內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為m,若a(4)面面垂直若平面α的法向量為n1，平面β的法向量為只需證n1⊥n【題型1】非向量法證明線面位置關(guān)系【典題1】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAB∥平面EFG；(2)證明：平面EFG⊥平面PAD．【鞏固練習(xí)】1.(★★)如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，點(diǎn)F在棱PA上．(1)求證：PA∥平面CDE；(2)求證：平面PAB∥平面CDE；(3)求證：BF⊥AD．2.(★★)如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，求證：面OQG∥平面PBC．3.(★★★)如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，(1)求證：CE∥平面PAB；(2)若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)N，使MN∥平面PAB？說明理由．【題型2】向量法證明線面位置關(guān)系【典題1】在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°(1)求證：AC⊥平面FBC；(2)線段ED上是否存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．【鞏固練習(xí)】1.(★★★)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC(1)證明：A1B∥平面(2)證明：平面ADC1⊥【題型3】線面位置關(guān)系中存在性問題【典題1】如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，BC＝4，AA1′分別交BB1，CC1于點(diǎn)P，Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中(Ⅰ)求證：AB⊥PQ；(Ⅱ)在底邊AC上是否存在一點(diǎn)M，滿足BM∥平面APQ，若存在試確定點(diǎn)M的位置，若不存在請(qǐng)說明理由．【典題2】如圖，四棱錐S－ABCD中．ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=3．E為CD(1)求證：AE⊥平面SBD；(2)M、N分別在線段SB、CD上的點(diǎn)，是否存在M、N，使【鞏固練習(xí)】1.(★★)在三棱錐P－ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=23，E、G(I)求證：平面BCG⊥平面PAC；(II)在線段AC上是否存在一點(diǎn)N，使PN⊥BE？證明你的結(jié)論．2.(★★★)如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是菱形，側(cè)面PAB是正三角形，M是PD上一動(dòng)點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)．(Ⅰ)當(dāng)M是PD中點(diǎn)時(shí)，求證：PC∥平面BMN；(Ⅱ)若∠ABC＝60°，求證：PC⊥AB；(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，是否存在點(diǎn)M，使得PC⊥BM？若存在，求PMMD3.(★★★★)如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2．(1)求證：AC⊥BF；(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出|PE1.(★★)如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，AA1，D1C1的中點(diǎn)，連接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．(1)證明：D1C∥平面EMN；(2)證明：E，F(xiàn)，N，M四點(diǎn)共面．2.(★★)在邊長是2的正方體ABCD－A1B1C1D1(1)求EF的長；(2)證明：EF∥平面AA1D1D；(3)3.(★★★)如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是邊長為4的等邊三角形，BC＝2，∠ABC＝60°，M是PC上一點(diǎn)．(1)若M是PC的中點(diǎn)，證明：PA∥平面BDM；(2)若平面MAB⊥平面PCD，求PMPC4.(★★★)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)(1)求異面直線AG與BF所成角的余弦值；(2)求證：AG∥平面BEF；(3)試在棱BB1上找一點(diǎn)M，使DM⊥平面5.(★★★)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1(1)求證:直線A1F∥平面(2)若?ABC是正三角形,E為C1C中點(diǎn)，能否在線段B1B上