新教材2023版高中數(shù)學(xué)第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課標(biāo)解讀1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義．2．通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一分類變量與列聯(lián)表1．分類變量：區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的________稱為分類變量?.2．2×2列聯(lián)表?一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cd________合計(jì)________b＋d________要點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)1．獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)?，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝助學(xué)批注批注?(1)分類變量的取值一定是離散的．(2)分類變量是大量存在的，如是否吸煙，商品的等級(jí)等．批注?能清晰給出成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)，是傳統(tǒng)的調(diào)查研究中最常用的表格之一．批注?(1)卡方越小，獨(dú)立性越強(qiáng)，相關(guān)性越弱；卡方越大，獨(dú)立性越弱，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．夯實(shí)雙基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù)．()(2)事件A與B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個(gè)事件互不影響．()(3)χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量．()(4)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和數(shù)學(xué)上的反證法是一樣的．()2．為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測得某校150名男生中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有說服力()A．回歸分析B．均值與方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn)D．概率3．在吸煙與患肺病是否有關(guān)的研究中，下列屬于兩個(gè)分類變量的是()A．吸煙，不吸煙B．患病，不患病C．是否吸煙，是否患病D．以上都不對4．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則表中a處的值為________.y1y2合計(jì)x1ab73x2225c合計(jì)d46題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1用2×2列聯(lián)表判斷兩個(gè)分類變量間的關(guān)聯(lián)關(guān)系例1[2022·河北石家莊高二期末]在下列兩個(gè)分類變量X，Y的樣本頻數(shù)列聯(lián)表中，可以判斷X、Y之間有無關(guān)系的是()y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA.aa+b-bC．ba+b-c方法歸納用2×2列聯(lián)表判斷兩個(gè)分類變量間的關(guān)聯(lián)關(guān)系鞏固訓(xùn)練1在調(diào)查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，請根據(jù)題目的條件列出2×2列聯(lián)表并由列聯(lián)表估計(jì)色盲與性別是否有關(guān)．題型2獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的基本應(yīng)用例2[2022·山東菏澤高二期末]為加強(qiáng)素質(zhì)教育，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)，立德中學(xué)為高一年級(jí)提供了“書法”和“剪紙”兩門選修課．為了了解選擇“書法”或“剪紙”是否與性別有關(guān)，調(diào)查了高一年級(jí)1500名學(xué)生的選擇傾向，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)選擇兩門課程人數(shù)如下表：(1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表；選書法選剪紙共計(jì)男生4050女生共計(jì)30(2)依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選擇“書法”或“剪紙”與性別有關(guān)？參考附表：α0.1000.0500.025x02.7063.8415.024方法歸納利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想解題的一般步驟鞏固訓(xùn)練2[2022·遼寧撫順·高二期末]食品安全問題越來越受到大家的關(guān)注，某組織隨機(jī)調(diào)查詢問了500名消費(fèi)者在購買食品時(shí)是否查看營養(yǎng)成分表和生產(chǎn)日期，得到如下列聯(lián)表數(shù)據(jù)．查看不查看總計(jì)男性消費(fèi)者60女性消費(fèi)者260總計(jì)150500(1)將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)填寫完整；(2)判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為消費(fèi)者是否查看營養(yǎng)成分表和生產(chǎn)日期與性別有關(guān)．題型3獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用例3[2022·湖北武漢高二期末]某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的甲，乙兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用甲種生產(chǎn)方式，第二組工人用乙種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下表格：完成任務(wù)工作時(shí)間(60，70](70，80](80，90](90，100]甲種生產(chǎn)方式2人3人10人5人乙種生產(chǎn)方式5人10人4人1人(1)將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過80min和不超過80min的工人數(shù)填入下面列聯(lián)表：生產(chǎn)方式工作時(shí)間合計(jì)超過80min不超過80min甲乙合計(jì)(2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲，乙兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？(3)若從完成生產(chǎn)任務(wù)所需的工作時(shí)間在(60，70]的工人中選取3人去參加培訓(xùn)，設(shè)X為選出的3人中采用甲種生產(chǎn)方式的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．方法歸納獨(dú)立性檢驗(yàn)解答題常與概率、分層抽樣、頻率直方圖、計(jì)數(shù)原理、經(jīng)驗(yàn)回歸方程、正態(tài)分布等知識(shí)結(jié)合考查．解決此類問題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，注意參考公式和數(shù)據(jù)．鞏固訓(xùn)練3[2022·河北保定高二期末]某校舉辦數(shù)學(xué)競賽，競賽分為初賽和決賽．現(xiàn)從通過初賽的學(xué)生中選拔男生30名，女生30名參加決賽，根據(jù)決賽得分情況，按[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若規(guī)定得分不低于80分者在本次競賽中表現(xiàn)優(yōu)秀，其中表現(xiàn)優(yōu)秀的女學(xué)生有5名．(1)求學(xué)生得分的平均值(各組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表)；(2)請完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否在數(shù)學(xué)競賽中表現(xiàn)優(yōu)秀與性別有關(guān)？性別是否表現(xiàn)優(yōu)秀合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀男生女生5合計(jì)608．3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一1．隨機(jī)變量2．c＋da＋ca＋b＋c＋d[夯實(shí)雙基]1．(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：分析已知條件，易得如下表格：男生女生合計(jì)近視8070150不近視7070140合計(jì)150140290根據(jù)列聯(lián)表可得：χ2，再根據(jù)與臨界值比較，檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)，故利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法最有說服力．故選C.答案：C3．解析：“是否吸煙”是分類變量，它的兩個(gè)不同取值：吸煙和不吸煙．“是否患病”是分類變量，它的兩個(gè)不同取值：患病和不患?。芍狝、B都是一個(gè)分類變量所取的兩個(gè)不同值．故選C.答案：C4．解析：依題意得b＝46－25＝21，a＝73－b＝52.答案：52題型探究·課堂解透例1解析：∵χ2＝nad則分類變量X和Y有關(guān)系時(shí)，ad與bc差距會(huì)比較大，由aa+b-cc+d＝故aa+b與c即aa+b-cc+d的大小可以判斷X答案：D鞏固訓(xùn)練1解析：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)列出如下列聯(lián)表：色盲不色盲合計(jì)男38442480女6514520合計(jì)449561000∵3838+442＝38480＝19240，6顯然19240>3例2解析：(1)根據(jù)題意補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，如下：選書法選剪紙共計(jì)男生401050女生302050共計(jì)7030100(2)先假設(shè)H0：選擇“書法”或“剪紙”與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得χ2＝100×40×根據(jù)小概率α＝0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即有95%的把握認(rèn)為選“書法”或“剪紙”與性別有關(guān)．鞏固訓(xùn)練2解析：(1)查看不查看總計(jì)男性消費(fèi)者6090150女性消費(fèi)者90260350總計(jì)150350500(2)由題可知χ2＝500×60又因?yàn)椴楸砜傻肞(χ2≥7.879)＝0.005，且10.204>7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為消費(fèi)者是否查看營養(yǎng)成分表和生產(chǎn)日期與性別有關(guān)．例3解析：(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：生產(chǎn)方式工作時(shí)間合計(jì)超過80min不超過80min甲15520乙51520合計(jì)202040(2)設(shè)H0：甲，乙兩種生產(chǎn)方式的效率無差異，根據(jù)(1)中列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得χ2＝4015×15依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為甲，乙兩種生產(chǎn)方式的效率有差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.(3)由題意知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝C53C73＝27，P(X＝P(X＝2)＝C22C所以X的分布列為X012P241所以E(X)＝0×27＋1×47＋2×17鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由頻率分布直方圖可得(0.015＋n＋0.035＋0.015＋0.01)×10＝1，解得n＝0.025.則學(xué)生得分的平均值x＝55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.15＋95×0.1＝73(分)．(2)由頻率分布直方圖可知表現(xiàn)優(yōu)秀的人數(shù)為60×(0.015＋0.01)×10＝15，則表現(xiàn)優(yōu)秀的男學(xué)生人數(shù)為15－5＝1