新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計4.2隨機(jī)變量4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征2學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第二冊

4．2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(2)[課標(biāo)解讀]1.通過具體實例，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征(方差).2.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題.3.通過具體實例，了解超幾何分布及其方差，并能解決簡單的實際問題．【教材要點】知識點一離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差名稱定義意義方差一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1，x2，…，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn，則D(X)＝________________________________________，叫做這個離散型隨機(jī)變量X的方差．離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了離散型隨機(jī)變量取值相對于期望的____________(或說離散程度).標(biāo)準(zhǔn)差D(X)的算術(shù)平方根eq\r(D（X）)叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．知識點二服從兩點分布與二項分布的隨機(jī)變量的方差(1)若X服從兩點分布，則D(X)＝________；(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝________．知識點三隨機(jī)變量的數(shù)字特征的性質(zhì)如果X是一個隨機(jī)變量，a，b都是任意實數(shù)且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個隨機(jī)變量；D(Y)＝a2D(X).【基礎(chǔ)自測】1．下列說法正確的有________．(填序號)①離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的波動水平；④離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的波動水平．2．設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和A且P(A)＝m，令隨機(jī)變量ξ＝1，A發(fā)生，0，A不發(fā)生，則ξ的方差DA．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)3．已知X的分布列為：X－101P0.50.30.2則D(X)等于()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．04．已知隨機(jī)變量X，D(X)＝19，則X的標(biāo)準(zhǔn)差為題型1離散型隨機(jī)變量的方差的概念及應(yīng)用例1(1)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的方差．(2)已知X的分布列如表：X－101P11a①計算X的方差；②若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．狀元隨筆(1)先列出隨機(jī)變量X的分布列，再用定義求出方差即可．(2)利用分布列的性質(zhì)求出a值，再利用方差公式及性質(zhì)求解．方法歸納1．定義法求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取各個值的概率，寫出分布列；(3)根據(jù)分布列，由期望的定義求出E(X)；(4)根據(jù)公式計算方差．2．性質(zhì)法求離散型隨機(jī)變量X的方差應(yīng)用公式：D(aX＋b)＝a2D(X)求離散型隨機(jī)變量X的方差，既避免了求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計算，從而簡化了計算過程．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進(jìn)行檢驗，每次抽取一個，并且取出不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個數(shù)．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．題型2兩點分布與二項分布的數(shù)學(xué)方差例2某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差．狀元隨筆(1)利用兩點分布求解．(2)利用二項分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式求解．方法歸納1．常見的兩種分布的均值與方差設(shè)p為一次試驗中成功的概率，q＝1－p則(1)兩點分布E(X)＝p；D(X)＝pq(2)二項分布E(X)＝np；D(X)＝npq熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度．2．兩點分布與二項分布辨析(1)相同點：一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生．(2)不同點：①隨機(jī)變量的取值不同，兩點分布隨機(jī)變量的取值為0，1，二項分布中隨機(jī)變量的取值x＝0，1，2，…，n.②試驗次數(shù)不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進(jìn)行n次試驗．跟蹤訓(xùn)練2(1)某運(yùn)動員投籃命中率p＝0.8，則該運(yùn)動員在一次投籃中命中次數(shù)X的方差為________.(2)為防止風(fēng)沙危害，某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)＝3，D(X)＝eq\f(3,2)，則n＝______________，p＝________．題型3方差的綜合應(yīng)用【思考探究】1．A，B兩臺機(jī)床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：A機(jī)床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求E(X1)，E(X2).[提示]E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？[提示]不能．因為E(X1)＝E(X2).3．在1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺機(jī)床加工質(zhì)量？[提示]利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．例3甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．狀元隨筆(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值．方法歸納利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟1．比較均值．離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．2．在均值相等的情況下計算方差．方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．3．下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等．兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平．教材反思4．2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(2)新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點]知識點一[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝i=1n[x知識點二(1)p(1－p)(2)np(1－p)[基礎(chǔ)自測]1．解析：①錯誤．因為離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．②錯誤．因為離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度．③錯誤．因為離散型隨機(jī)變量的方差D(X)反映了X取值的波動水平，而隨機(jī)變量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．④正確．由方差的意義可知．答案：④2．解析：隨機(jī)變量ξ服從兩點分布，所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．答案：D3．解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.答案：B4．解析：X的標(biāo)準(zhǔn)差DX＝19＝答案：1課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)由題意，X的可能取值為0，1，2，P(X＝k)＝C2kC43-kCX的分布列為：X012P131所以X的均值為E(X)＝0×15＋1×35＋2×1所以X的方差為D(X)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15(2)由分布列的性質(zhì)，知12+14＋a＝1，故所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14①X的方差D(X)＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2②因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)X的可能值為0，1，2.若X＝0，表示沒有取出次品，其概率為P(X＝0)＝C20C同理，有P(X＝1)＝C21CP(X＝2)＝C22C所以X的分布列為：X012P691所以E(X)＝0×611＋1×922＋2×122D(X)＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2(2)Y的可能值為1，2，3，顯然X＋Y＝3.P(Y＝1)＝P(X＝2)＝122P(Y＝2)＝P(X＝1)＝922P(Y＝3)＝P(X＝0)＝611所以Y的分布列為Y123P196所以Y＝－X＋3，所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－12＝52，D(Y)＝(－1)2D(X)＝例2解析：(1)用ξ表示抽得的正品數(shù)，則ξ＝0，1.ξ服從兩點分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品數(shù)，則X～B(10，0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，標(biāo)準(zhǔn)差為DX≈跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)依題意知：X服從兩點分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.(2)由題意知，X服從二項分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝32得1－p＝12，所以p＝12，n答案：(1)0.16(2)61例3解析：(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因為乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．跟蹤訓(xùn)練3解析：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋