永州市2021年中考數(shù)學試題（含解析）

2021中考備戰(zhàn)年湖南省永州市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每個小題只有一個正確選項，每小題4分，

共40分

1.（4分）-2021中考備戰(zhàn)的相反數(shù)是（）

A.2021中考備戰(zhàn)B.-2021中考備戰(zhàn)C.1D.-1

20182018

2.（4分）譽為全國第三大露天碑林的"涪溪碑林"，摩崖上銘刻著500多方古今

名家碑文，其中懸針篆文具有較高的歷史意義和研究價值，下面四個懸針篆文文

字明顯不是軸對稱圖形的是（）

3.（4分）函數(shù)y=」-中自變量x的取值范圍是（）

x-3

A.x》3B.x<3C.xW3D.x=3

4.（4分）如圖幾何體的主視圖是（）

5.（4分）下列運算正確的是（）

A.m2+2m3=3m5B.m2*m3=m67C.（-m）3=-m3D.（mn）3=mn3

6.（4分）已知一組數(shù)據(jù)45,51,54,52,45,44,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)

分別為（）

A.45,48B.44,45C.45,51D.52,53

7.（4分）下列命題是真命題的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.任意多邊形的內角和為360°

D.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半

8.（4分）如圖，在AABC中，點D是邊AB上的一點，NADC=/ACB,AD=2,

BD=6,則邊AC的長為（）

A.2B.4C.6D.8

9.（4分）在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=k（bW0）與二次函數(shù)y=ax2+bx

X

（aWO）的圖象大致是（）

10.（4分）甲從商販A處購買了若干斤西瓜，又從商販B處購買了若干斤西瓜.A、

B兩處所購買的西瓜重量之比為3：2,然后將買回的西瓜以從A、B兩處購買單

價的平均數(shù)為單價全部賣給了乙，結果發(fā)現(xiàn)他賠錢了，這是因為（）

A.商販A的單價大于商販B的單價

B.商販A的單價等于商販B的單價

C.商版A的單價小于商販B的單價

D.賠錢與商販A、商販B的單價無關

二、填空題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分）

11.（4分）截止2017年年底，我國60歲以上老齡人口達2.4億，占總人口比重

達17.3%.將2.4億用科學記數(shù)法表示為.

12.（4分）因式分解：X2-1=.

13.（4分）一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點

D,貝UNBDC=

c

B

[D

AE

14.（4分）化簡：（1+，）1-占三_.=______.

x-lX2-2X+1

15.（4分）在一個不透明的盒子中裝有n個球，它們除了顏色之外其它都沒有

區(qū)別，其中含有3個紅球，每次摸球前，將盒中所有的球搖勻，然后隨機摸出一

個球，記下顏色后再放回盒中.通過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在

0.03,那么可以推算出n的值大約是.

16.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1,1）,以點。為旋轉中心,

將點A逆時針旋轉到點B的位置，則篇的長為.

17.（4分）對于任意大于0的實數(shù)x、y,滿足：Iog2（x?y）=log2x+log2y,若Iog22=l,

貝ijlog216=.

18.（4分）現(xiàn)有A、B兩個大型儲油罐，它們相距2km,計劃修建一條筆直的輸

油管道，使得A、B兩個儲油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管

道所在直線符合上述要求的設計方案有種.

三、解答題（本大題共8個小題，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）

19.（8分）計算：2遂sin60°+|l-病

2（x-l）+l<Cx+2

20.（8分）解不等式組x-1、，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

?^>-1

2

21.（8分）永州植物園"清風園”共設11個主題展區(qū).為推進校園文化建設，某

校九年級（1）班組織部分學生到“清風園”參觀后，開展"我最喜歡的主題展區(qū)"

投票調查.要求學生從"和文化"、"孝文化"、"德文化"、"理學文化"、"瑤文化"

五個展區(qū)中選擇一項，根據(jù)調查結果繪制出了兩幅不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)

計圖.結合圖中信息，回答下列問題.

A-和文化

B-孝文化

C-德文化

D-理學文化

E-瑤文化

（1）參觀的學生總人數(shù)為人;

（2）在扇形統(tǒng)計圖中最喜歡“瑤文化”的學生占參觀總學生數(shù)的百分比

為;

（3）補全條形統(tǒng)計圖;

（4）從最喜歡"德文化”的學生中隨機選兩人參加知識搶答賽，最喜歡“德文化"

的學生甲被選中的概率為.

22.（10分）如圖，在aABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以線段AB為邊向外

作等邊^(qū)ABD,點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.

（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；

（2）若AB=6,求平行四邊形BCFD的面積.

23.（10分）在永州市青少年禁毒教育活動中，某班男生小明與班上同學一起到

禁毒教育基地參觀，以下是小明和奶奶的對話，請根據(jù)對話內容，求小明班上參

觀禁毒教育基地的男生和女生的人

24.（10分）如圖，線段AB為。0的直徑，點C,E在。。上，BC=CE?CD1AB,

垂足為點D,連接BE,弦BE與線段CD相交于點F.

（1）求證：CF=BF；

（2）若cosZABE=l,在AB的延長線上取一點M,使BM=4,00的半徑為6.求

5

證：直線CM是。。的切線.

25.（12分）如圖1,拋物線的頂點A的坐標為（1,4）,拋物線與x軸相交于B、

C兩點，與y軸交于點E（0,3）.

（1）求拋物線的表達式；

（2）已知點F（0,-3）,在拋物線的對稱軸上是否存在一點G,使得EG+FG最

小，如果存在，求出點G的坐標：如果不存在，請說明理由.

（3）如圖2,連接AB,若點P是線段OE上的一動點，過點P作線段AB的垂線,

分別與線段AB、拋物線相交于點M、N（點M、N都在拋物線對稱軸的右側），

當MN最大時，求△PON的面積.

圖1

26.(12分)如圖1,在AABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點G、H分

別在BC、AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點I.若Cl=4,Hl=3,AD=1.矩

2

形DFGI恰好為正方形.

(1)求正方形DFGI的邊長;

(2)如圖2,延長AB至P.使得AC=CP,將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，

當點G剛好落在CP上時，試判斷移動后的矩形與4CBP重疊部分的形狀是三角

形還是四邊形，為什么？

(3)如圖3,連接DG,將正方形DFGI繞點D順時針旋轉一定的角度得到正方

形DF'GT,正方形DFGT分別與線段DG、DB相交于點M,N,求△MNG，的周長.

2021中考備戰(zhàn)年湖南省永州市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個小題，每個小題只有一個正確選項，每小題4分，

共40分

1.（4分）-2021中考備戰(zhàn)的相反數(shù)是（）

A.2021中考備戰(zhàn)B.-2021中考備戰(zhàn)C.D.--L-

20182018

【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

【解答】解：-2021中考備戰(zhàn)的相反數(shù)是2021中考備戰(zhàn).

故選：A.

【點評】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵.

2.（4分）譽為全國第三大露天碑林的"涪溪碑林"，摩崖上銘刻著500多方古今

名家碑文，其中懸針篆文具有較高的歷史意義和研究價值，下面四個懸針篆文文

字明顯不是軸對稱圖形的是（）

A.K淑汽咻

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，故此選項正確；

D、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖

形兩部分沿對稱軸折疊后可重合.

3.（4分）函數(shù)y=」一中自變量x的取值范圍是（）

x-3

A.x》3B.x<3C.xW3D.x=3

【分析】根據(jù)分式的意義，分母不等于0,可以求出x的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：X-3N0,

解得:x#3.

故選：C.

【點評】考查了函數(shù)自變量的范圍，注意：函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考

慮：

（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

4.（4分）如圖幾何體的主視圖是（）

【分析】依據(jù)從該幾何體的正面看到的圖形，即可得到主視圖.

【解答】解：由圖可得，幾何體的主視圖是：

故選:B.

【點評】本題主要考查了三視圖，解題時注意：視圖中每一個閉合的線框都表示

物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上.

5.（4分）下列運算正確的是（）

A.m2+2m3=3m5B.m2*m3=m6C.（-m）3=-m3D.（mn）3=mn3

【分析】根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)累的乘法、累的乘方與積的乘方逐一計算

可得.

【解答】解：A、與2m3不是同類項，不能合并，此選項錯誤；

B、m2*m3=m5,此選項錯誤；

C、（-m）3=-m3,此選項正確；

D、（mn）3=m3n3,此選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題主要考查整式的運算，解題的關鍵是掌握合并同類項法則、同底數(shù)

累的乘法、累的乘方與積的乘方.

6.（4分）已知一組數(shù)據(jù)45,51,54,52,45,44,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)

分別為（）

A.45,48B.44,45C.45,51D.52,53

【分析】先把原數(shù)據(jù)按由小到大排列，然后根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解.

【解答】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為：44,45,45,51,52,54,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為45,中位數(shù)為2（45+51）=48.

2

故選：A.

【點評】本題考查了眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).也考查了

中位數(shù).

7.（4分）下列命題是真命題的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.任意多邊形的內角和為360。

D.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半

【分析】根據(jù)矩形的判定方法對A進行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對B進行判

斷；根據(jù)多邊形的內角和對C進行判斷；根據(jù)三角形中位線性質對D進行判斷.

【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項為假命題；

B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項為假命題；

C、任意多邊形的外角和為360。，所以C選項為假命題；

D、三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，所以D選項為真命題.

故選：D.

【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都

是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，

一個命題可以寫成"如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這

樣的真命題叫做定理.

8.（4分）如圖，在AABC中，點D是邊AB上的一點，ZADC=ZACB,AD=2,

BD=6,則邊AC的長為（）

【分析】只要證明AADCs^ACB,可得挺■=歿，即AC2=AD?AB,由此即可解決

ABAC

問題；

【解答】解：VZA=ZA,NADC=NACB,

/.△ADC^AACB,

??A?C一_ADf

ABAC

，AC2=AD?AB=2X8=16,

VAC>0,

；.AC=4,

故選:B.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質、解題的關鍵是正確尋找相似三角形

解決問題，屬于中考常考題型.

9.（4分）在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=b（bW0）與二次函數(shù)y=ax2+bx

（aWO）的圖象大致是（）

【分析】直接利用二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a,b的值取值范圍，進而利用

反比例函數(shù)的性質得出答案.

【解答】解：A、拋物線y=ax2+bx開口方向向上，則a>0,對稱軸位于y軸的右

側，則a、b異號，即bVO.所以反比例函數(shù)丫=卜的圖象位于第二、四象限，故

X

本選項錯誤；

拋物線y=ax?+bx開口方向向上，則a>0,對稱軸位于y軸的左側，則a、b

同號，即b>0.所以反比例函數(shù)y=k的圖象位于第一、三象限，故本選項錯誤;

X

C、拋物線y=ax2+bx開口方向向下，則aVO,對稱軸位于y軸的右側，則a、b

異號，即b>0.所以反比例函數(shù)y=b的圖象位于第一、三象限，故本選項錯誤;

X

D^拋物線y=ax?+bx開口方向向下，則a<0,對稱軸位于y軸的右側，則a、b

異號，即b>0.所以反比例函數(shù)y=k的圖象位于第一、三象限，故本選項正確；

X

故選：D.

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，以及二次函數(shù)的圖象，要熟練掌握

二次函數(shù)，反比例函數(shù)中系數(shù)與圖象位置之間關系.

10.（4分）甲從商販A處購買了若干斤西瓜，又從商販B處購買了若干斤西瓜.A、

B兩處所購買的西瓜重量之比為3：2,然后將買回的西瓜以從A、B兩處購買單

價的平均數(shù)為單價全部賣給了乙，結果發(fā)現(xiàn)他賠錢了，這是因為（）

A.商販A的單價大于商販B的單價

B.商販A的單價等于商販B的單價

C.商版A的單價小于商販B的單價

D.賠錢與商販A、商販B的單價無關

【分析】本題考查一元一次不等式組的應用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學思想聯(lián)

系起來，讀懂題列出不等式關系式即可求解.

【解答】解：利潤=總售價-總成本=且也x5-（3a+2b）=0.5b-0.5a,賠錢了說

2

明利潤V0

A0.5b-0.5a<0,

Aa>b.

故選：A.

【點評】此題考查一元一次不等式組的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，找到

符合題意的不等關系式.

二、填空題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分）

11.（4分）截止2017年年底，我國60歲以上老齡人口達2.4億，占總人口比重

達17.3%.將2.4億用科學記數(shù)法表示為2.4X108.

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10n的形式，其中1W|a|<10,n為整數(shù).確

定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點

移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，n

是負數(shù).

【解答】解:2.4億=2.4X108.

故答案為:2.4X108

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aXIOn的

形式，其中n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.（4分）因式分解：x2-1=（x+1）（x-1）.

【分析】方程利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=（x+1）（X-1）.

故答案為：（x+1）（X-1）.

【點評】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關

鍵.

13.（4分）一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點

D,則NBDC=75°.

c

B

XD

AE

【分析】根據(jù)三角板的性質以及三角形內角和定理計算即可；

【解答】解：VZCEA=60°,ZBAE=45°,

/.ZADE=1800-ZCEA-NBAE=75°,

/.ZBDC=ZADE=75°,

故答案為75。.

【點評】本題考查三角板的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練

掌握基本知識，屬于中考基礎題.

14.(4分)化簡：(1+」-)+上空_=_工±_.

x-lX2-2X+1區(qū)包

【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以解答本題.

【解答】解：(1+」_)一

x-lX2-2X+1

_x-l+l,(xT)2

x-lx(x+l)

2

二Xr(x-l)

x-lx(x+l)

—_x-l>

x+1

故答案為：zzL.

x+l

【點評】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確分式的混合運算的計

算方法.

15.(4分)在一個不透明的盒子中裝有n個球，它們除了顏色之外其它都沒有

區(qū)別，其中含有3個紅球，每次摸球前，將盒中所有的球搖勻，然后隨機摸出一

個球，記下顏色后再放回盒中.通過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在

0.03,那么可以推算出n的值大約是100.

【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率

附近，可以從比例關系入手，列出方程求解.

【解答】解:由題意可得，1=0.03,

n

解得，n=100.

故估計n大約是100.

故答案為：100.

【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概

率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

16.(4分)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(1,1),以點。為旋轉中心,

將點A逆時針旋轉到點B的位置，則篇的長為—返

【分析】由點A(1,1),可得0人=值7?=&，點A在第一象限的角平分線上,

那么NAOB=45。，再根據(jù)弧長公式計算即可.

【解答】解：???點A(1,1),

點在第一象限的角平分線上，

.,.OA=^12+12=V2.A

；以點。為旋轉中心，將點A逆時針旋轉到點B的位置，

ZAOB=45°,

...源的長為457rx/=返巴

_1804

故答案為返2L.

4

【點評】本題考查了弧長公式：1=理(弧長為I,圓心角度數(shù)為n,圓的半徑

180

為R),也考查了坐標與圖形變化-旋轉，求出OA=J^以及NAOB=45。是解題的

關鍵.

17.（4分）對于任意大于0的實數(shù)x、y,滿足:Iog2（x*y）=log2X+log2y,若Iog22=l,

貝I」log216=4.

【分析】利用log2（x?y）=log2x+log2y得到Iog216=log22+log22+log22+log22,然后

根據(jù)log22=l進行計算.

【解答】解：Iog216=log2（2?2?2?2）=log22+log22+log22+log22=l+l+l+l=4.

故答案為4.

【點評】本題考查了規(guī)律型：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的

方法.

18.（4分）現(xiàn)有A、B兩個大型儲油罐，它們相距2km,計劃修建一條筆直的輸

油管道，使得A、B兩個儲油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管

道所在直線符合上述要求的設計方案有」種.

【分析】根據(jù)點A、B的可以在直線的兩側或異側兩種情形討論即可；

【解答】解：輸油管道所在直線符合上述要求的設計方案有4種，如圖所示；

故答案為4.

【點評】本題考查整體-應用與設計，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知

識解決問題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題（本大題共8個小題，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）

19.（8分）計算：2-1-退sin60°+|l-病

【分析】原式利用負整數(shù)指數(shù)幕法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及絕對值的代數(shù)

意義計算即可求出值.

【解答】解：原式返+2=1.

22

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

’2（x-l）+l<x+2

20.（8分）解不等式組x-l、，，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

2

【分析】分別解不等式組的兩個不等式，即可得到其公共部分，依據(jù)解集即可在

數(shù)軸上表示出來.

’2（x-l）+l<x+2

【解答】解：x-l、，，

2

解不等式①，可得

x<3,

解不等式②，可得

x>-1,

...不等式組的解集為-1VXV3,

在數(shù)軸上表示出來為：

―?----------1-------------------------1-----------1-----------1-----------4-----------1->.

-3-2-101234

【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解一元一次不等式組時，一般先

求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表

示不等式組的解集.

21.（8分）永州植物園"清風園〃共設11個主題展區(qū).為推進校園文化建設，某

校九年級（1）班組織部分學生到“清風園”參觀后，開展"我最喜歡的主題展區(qū)〃

投票調查.要求學生從"和文化"、"孝文化"、"德文化"、"理學文化"、"瑤文化"

五個展區(qū)中選擇一項，根據(jù)調查結果繪制出了兩幅不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)

計圖.結合圖中信息、，回答下列問題.

A-和文化

B-孝文化

C-德文化

D-理學文化

E-瑤文化

（1）參觀的學生總人數(shù)為人;

（2）在扇形統(tǒng)計圖中最喜歡"瑤文化”的學生占參觀總學生數(shù)的百分比為

15%；

（3）補全條形統(tǒng)計圖；

（4）從最喜歡"德文化”的學生中隨機選兩人參加知識搶答賽，最喜歡"德文化"

的學生甲被選中的概率為1.

【分析】（1）依據(jù)最喜歡"和文化”的學生數(shù)以及百分比，即可得到參觀的學生總

人數(shù)；

（2）依據(jù)最喜歡"瑤文化"的學生數(shù)，即可得到其占參觀總學生數(shù)的百分比；

（3）依據(jù)“德文化”的學生數(shù)為40-12-8-10-6=4,即可補全條形統(tǒng)計圖；

（4）設最喜歡"德文化”的4個學生分別為甲乙丙丁，畫樹狀圖可得最喜歡"德文

化”的學生甲被選中的概率.

【解答】解：（1）參觀的學生總人數(shù)為12?30%=40（人）；

（2）喜歡“瑤文化”的學生占參觀總學生數(shù)的百分比為&X100%=15%；

40

（3）“德文化"的學生數(shù)為40-12-8-10-6=4,條形統(tǒng)計圖如下：

A-和文化

B-孝文化

C-德文化

D-理學文化

E哥文化

（4）設最喜歡"德文化”的4個學生分別為甲乙丙丁，畫樹狀圖得:

開始

甲乙丙丁

/T\/1\/T\/T\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

?.?共有12種等可能的結果，甲同學被選中的有6種情況,

，甲同學被選中的概率是：邑

122

故答案為：40；15%；1.

2

【點評】此題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，樹狀圖法與列表法求概率.用到

的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.(10分)如圖，在aABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以線段AB為邊向外

作等邊^(qū)ABD,點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.

(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；

(2)若AB=6,求平行四邊形BCFD的面積.

【分析】（1）在Rt^ABC中，E為AB的中點，則CE=1AB,BE=1AB,得到NBCE=

22

ZEBC=60°.由4AEF之△BEC,得NAFE=NBCE=60°.又ND=60°,得NAFE=ND=60

度.所以FC〃BD,又因為NBAD=NABC=60。，所以AD〃BC,即FD〃BC,則四邊

形BCFD是平行四邊形.

（2）在RtZ\ABC中，求出BC,AC即可解決問題；

【解答】（1）證明：在aABC中，ZACB=90°,NCAB=30°,

，ZABC=60°.

在等邊4ABD中，ZBAD=60°,

/.ZBAD=ZABC=60°.

「E為AB的中點，

，AE=BE.

又；ZAEF=ZBEC,

/.△AEF^ABEC.

在AABC中，ZACB=90°,E為AB的中點，

.,.CE=1AB,BE=1AB.

22

CE=AE,

AZEAC=ZECA=30°,

AZBCE=ZEBC=60°.

又「△AEF?△BEC,

.,.ZAFE=ZBCE=60".

XVZD=60o,

，ZAFE=ZD=60°.

，F(xiàn)C〃BD.

又?；NBAD=NABC=60°,

.?.AD〃BC,即FD〃BC.

...四邊形BCFD是平行四邊形.

(2)解:在RtaABC中，VZBAC=30°,AB=6,

ABC=1AB=3,AC=、/§BC=3?,

2

??s平行四邊形BCFD=3X3?=9、6.

【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質、直角三角形斜邊中線定理、等邊三

角形的性質、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角

形解決問題，屬于中考?？碱}型.

23.（10分）在永州市青少年禁毒教育活動中，某班男生小明與班上同學一起到

禁毒教育基地參觀，以下是小明和奶奶的對話，請根據(jù)對話內容，求小明班上參

觀禁毒教育基地的男生和女生的人

【分析】設小明班上參觀禁毒教育基地的男生人數(shù)為X人，女生人數(shù)為y人，根

據(jù)"男生人數(shù)+女生人數(shù)=55、男生人數(shù)=1.5X女生人數(shù)+5"列出方程組并解答.

【解答】解：設小明班上參觀禁毒教育基地的男生人數(shù)為x人，女生人數(shù)為y人，

依題意得：卜+尸55,

Ix=l.5yl"5

解得卜=35.

ly=20

答：小明班上參觀禁毒教育基地的男生人數(shù)為35人，女生人數(shù)為20人.

【點評】考查了二元一次方程組的應用.分析題意，找到關鍵描述語，找到合適

的等量關系是解決問題的關鍵.

24.(10分)如圖，線段AB為的直徑，點C,E在。。上，BC=CE，CD1AB,

垂足為點D,連接BE,弦BE與線段CD相交于點F.

(1)求證:CF=BF；

(2)若COSZABE=A,在AB的延長線上取一點M,使BM=4,?0的半徑為6.求

5

證：直線CM是。。的切線.

［分析］⑴延長CD交。。于G,如圖，利用垂徑定理得到征=前,則可證明我=藍

然后根據(jù)圓周角定理得NCBE=NGCB,從而得到CF=BF；

(2)連接OC交BE于H,如圖，先利用垂徑定理得到OC_LBE,再在RtAOBH

中利用解直角三角形得到BH=24,0H=li,接著證明△OHBSZXOCM得到/

55

OCM=ZOHB=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到結論.

【解答】證明：(1)延長CD交。。于G,如圖，

VCD±AB,

?,辰=前，

VBC=CE.

???CE=BG，

/.ZCBE=ZGCB,

，CF=BF；

(2)連接0C交BE于H,如圖，

VBC=CE.

/.OC±BE,

在RtAOBH中，cos/OBH=^=&,

OB5

.,.BH=1X6=21,

55

???OH=4匚醇喈，

18

--0H=V=30B=6=3

,OC%-TOM6+4T

???O--H—_0B—',

OCOM

而NHOB=NCOM,

/.△OHB^AOCM,

/.ZOCM=ZOHB=90o,

AOC1CM,

，直線CM是。0的切線.

G

【點評】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線.也考查了垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形.

25.(12分)如圖1,拋物線的頂點A的坐標為(1,4),拋物線與x軸相交于B、

C兩點，與y軸交于點E(0,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)已知點F(0,-3),在拋物線的對稱軸上是否存在一點G,使得EG+FG最

小，如果存在，求出點G的坐標：如果不存在，請說明理由.

(3)如圖2,連接AB,若點P是線段OE上的一動點，過點P作線段AB的垂線,

分別與線段AB、拋物線相交于點M、N(點M、N都在拋物線對稱軸的右側)，

當MN最大時，求△PON的面積.

【分析】(1)根據(jù)頂點式可求得拋物線的表達式；

(2)根據(jù)軸對稱的最短路徑問題，作E關于對稱軸的對稱點E1,連接E'F交對

稱軸于G,此時EG+FG的值最小，先求EF的解析式，它與對稱軸的交點就是所

求的點G；

(3)如圖2,先利用待定系數(shù)法求AB的解析式為：y=-2x+6,設N(m,-

m2+2m+3),則Q(m,-2m+6),(0WmW3),表示NQ=-m2+4m-3,證明△

QMN^AADB,列比例式可得MN的表達式，根據(jù)配方法可得當m=2時，MN有

最大值，證明△NGPs^ADB,同理得PG的長，從而得OP的長，根據(jù)三角形的

面積公式可得結論，并將m=2代入計算即可.

【解答】解：(1)設拋物線的表達式為：y=a(x-1)2+4,

把(0,3)代入得：3=a(0-1)2+4,

a=-1,

，拋物線的表達式為：y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3；

(2)存在，

如圖1,作E關于對稱軸的對稱點E',連接E'F交對稱軸于G,此時EG+FG的值

最小，

VE(0,3),

.'.E'(2,3),

易得E'F的解析式為：y=3x-3,

當x=l時，y=3Xl-3=0,

：.G(1,0)

(3)如圖2,VA(1,4),B(3,0),

易得AB的解析式為：y=-2x+6,

設N(m,-m2+2m+3),則Q(m,-2m+6),(0WmW3),

NQ=(-m2+2m+3)-(-2m+6)=-m2+4m-3,

；AD〃NH,

，NDAB=NNQM,

VZADB=ZQMN=90",

/.△QMN^AADB,

?QNAB

?一m2+4m_3_

MN=~2~)

.?.MN=-在(m-2)2+返

55

-￡<0,

5

.?.當m=2時，MN有最大值；

過