浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二年級上冊期中聯(lián)考+數(shù)學(xué)含解析

2021-2022學(xué)年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟高二（上）期中考試

數(shù)學(xué)試卷

1.直線/的方程是H+v+l=0,則直線/的傾斜角為（）

A.1B.-1C.45。D.135。

2.容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分成10組，并填寫頻率分布表，若前6組頻率之和為0.7,則剩下4組的

頻率之和為（）

A.0.3%B.0.3C.30D.無法確定

3.已知向量包,冗分別是平面a和平面0的法向量，若cos（方，H>=-,則平面a與平面0的夾角

為（）

A.60?；?20。B.30?；?50。C.60。D.30。

4.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個，一次任意摸出2個小球，則與事件“2個小球都

為紅色”互斥而不對立的事件有（）

A.2個小球不全為紅色B.2個小球恰有一個紅色

C.2個小球至少有一個紅色D.2個小球不全為綠色

5.過橢圓9（=13〉6>0）左焦點尸作x軸的垂線，交橢圓于P,Q兩點，A是橢圓與x軸正半軸的

交點，且|PQ|=|E4|,則該橢圓的離心率是（）

A.-B.避C.逛D.迎

2422

6.已知直線ac+by+c=0過點M（co8a,8ina）,則（）

A.a?十匕2忘iB.a2-f-b2>1C.a2+62<c2D.a2+62>c2

7.正方體ABCD-AiHiGDi的棱長為2,E,F,G,H分別為43,AD,BQi，GA的中點，則

過G”且與EF平行的平面截正方體所得的截面的面積為（）

A.y/2B.2C.2〃D.4

8.點P（z,v）是直線2工+：/-5=0上任意一點，O是坐標(biāo)原點，則以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

9.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在放學(xué)后體育運動的情況，抽出了一個容量為"的樣本，其頻率分布直方圖如圖

所示，其中運動時間在［40,50）分鐘內(nèi)的有72人，則下列說法正確的是（）

頻率組距

A.樣本中放學(xué)后體育運動時間在［40,50）分鐘的頻率為0.36

B.樣本中放學(xué)后體育運動時間不少于40分鐘的人數(shù)有132

C.n的值為200

D.若該校有1000名學(xué)生，則必定有300人放學(xué)后體育運動時間在［50,60）分鐘

10.已知直線/的一個方向向量為/=（—v@,1），且/經(jīng)過點（1,通），則下列結(jié)論中正確的是（）

A./的傾斜角等于150。B./在x軸上的截距等于這

3

C./與直線總+3?+2=0平行D./上存在與原點距離等于2的點

11.橢圓C的方程為Q+,=1，焦點為Fi，另，則下列說法正確的是（）

2516

A.橢圓C的焦距為3

B.橢圓C的長軸長為10

C.橢圓C的離心率為2

D.橢圓C上存在點P,使得ZFiP為為直角

12.如圖，已知正方體ABCO—431GD1的棱長為2,點E,尸在平面

4B1GD1內(nèi)，若|AE|=，K，ACA.DF,則下述結(jié)論正確的是（）

A.點E的軌跡是一個圓

B.點尸的軌跡是一個圓

C.舊題的最小值為四_1

D.直線力尸與平面所成角的正弦值的最大值為也

3

13.己知向量W=（工,2,—1）,b=（2,1,0），|同=,則了=.

14.從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上

的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為.

15.如果方程A:工2+峭=2表示焦點在），軸上的橢圓，那么實數(shù)左的取值范圍是.

16.如圖，光線從P（a,0）（a>0）出發(fā)，經(jīng)過直線/：z—2?=0反射到Q（b,0）,該光線又在。點被x軸

反射，若反射光線恰與直線/平行，且6》22,則實數(shù)。的最小值是.

17.已知直線/經(jīng)過點尸(2,3).

(1)若原點到直線/的距離為2,求直線/的方程；

(2)若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線/的方程.

18.已知兩個定點4(一2,0),5(1,0),如果動點P滿足|P4|=2|尸皿.

(1)求點尸的軌跡方程：

⑵若直線/：2/=/+6在點P的軌跡與圓3+2)2+(?-4)2=4之間通過，求實數(shù)6的取值范圍.

19.己知橢圓。：田+貯=1的左、右焦點分別為后，E，過點巴作斜率不為零的直線交橢圓C于M,N

32

兩點.

(1)求△尸1MN的周長；

(2)若N6同M=￥，求弦長|MN|.

4

20.在正四棱錐P-ABC。中，側(cè)棱長為4,底面邊長為2囂，M,N,E分

別為PA,BC,PB的中點.

(1)證明：EN〃平面8OM；

(2)求點N到直線P。的距離.

21.己知直三棱柱ABC-力iBQi中，A3=BC=BBi=2,E,尸分別為AC和CQ

的中點，。為棱上的點，BF1AB.

(1)證明：BF1DE；

(2)若。為中點，求平面與平面OFE的夾角的余弦值.

22.已知橢圓1+《=l(a>b>0)的焦距為2,O為坐標(biāo)原點，尸為右焦點，點E(l,臺在橢圓上.

Q)(JN

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/的方程為2=4,AB是橢圓上與坐標(biāo)軸不平行的一條弦，M為弦的中點，直線交/于

點P,過點O與A8平行的直線交/于點Q,直線PF交直線OQ于點R,直線QF交直線MO于點S.

(1)證明：O,S,F,R四點共圓;

⑵記的面積為Si，QS的面積為s，求得的取值范圍.

4。02

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由直線方程工+?+1=0,

得其斜率為=—1,

設(shè)其傾斜角為a(0oWa<180o),

則tana=-1,

a=135o.

故選：D.

由直線方程求出直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求得直線的傾斜角.

本題考查直線的傾斜角，考查了直線傾斜角和斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分成10組，并填寫頻率分布表，

若前6組頻率之和為0.7,

則剩卜4組的頻率之和為P=1—0.7=0.3.

故選：B.

利用頻率分布表的性質(zhì)直接求解.

本題考查頻率的運算，考查頻率分布表的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：設(shè)平面a與平面的夾角為6，

因為向量記,討分別是平面a和平面0的法向量，

所以8=〈詞，討>或&=180。一<赤，B>，

因為cos<夜，~ft>=所以〈竊，7?>=120o,

2

所以0=60?；?20o.

故選：A.

用法向量成角與二面角的關(guān)系判斷.

本題考查了用法向量成角求二面角問題，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個，一次任意摸出2個小球，

對于A,2個小球不全為紅色與事件“2個小球都為紅色”是對立事件，故A錯誤；

對于B,2個小球恰有一個紅色與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立事件，故B正確；

對于C,2個小不球至少有一個紅色與事件“2個小球都為紅色”有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C

錯誤；

對于。，2個小球不全為綠色與事件”2個小球都為紅色”有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤.

故選：B.

利用互斥事件、對立事件的定義直接判斷.

本題考查命題真假的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由題意得：甲Q|=",|R4|=a+c，

a

因為|PQ|=|F周，

所以=Q+c，即2b2=a?+GC，

a

即2c2+oc—潦=0，

即2e2+e-l=o，

解得e=]

2

故選：A,

根據(jù)橢圓的幾何特征得到|PQ|=",|尸⑷=a+c，再由|PQ|=|尸局求解.

a

本題主要考查橢圓離心率的求解，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：?.?點M是單位圓/+?2=1的點，

直線as+%=l和圓①?+/=1有公共點.

則,/F/L即a2十戶》看

va+tr

故選：D.

由題意可得，直線3+如=1和圓/+短=1有公共點，再由圓心到直線的距離小于等于半徑求解.

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：取AB中點P,8c中點M,CD中點N,連結(jié)FP、EP、MN、

MG、NH,

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得MG//NH,則四邊形MGHN為平面圖形，

又EP//MG,AfGC平面MGHN,EP《平面MGHN,：.EP//平面MGHN,

?.-FP//MN,MNC平面MGHN,FP《平面MGHN,FP〃平面MGHN,

EPFP=尸，..?平面EPF//平面MGHN,

.?.過G4且與E尸平行的平面截正方體所得截面為矩形MGHN,

■：MG=2,GH=\/12+12=V2-

所求截面的面積為：S矩形MGHN=2，5.

故選：C.

由已知畫出圖形，由正方體的結(jié)構(gòu)特征及面面平行的性質(zhì)找出截面，再由矩形面積公式求解.

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征吧，考查平面與平面平行的判定與性質(zhì)，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：如圖，過。作0M垂直直線2工十9—5=0于點M,

則以0P為直徑的圓經(jīng)過定點。和M,

0M的方程為2x-y=0,

聯(lián)立］:一？=：n可得］即砥2,1),

［2x+y-5=0(?=］

故選：D.

過。作0M垂直直線2劣+y-5=0于點則以0P為直徑的圓經(jīng)

過定點。和M，求得0，M的坐標(biāo)即可.

本題考查了直線與圓的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想、運算能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：對于選項A,樣本中放學(xué)后體育運動時間在［40,50)分鐘的頻率為

1-0.01X10-0.024x10-0.03xl0=0.36,故正確；

對于選項B,樣本中放學(xué)后體育運動時間不少于40分鐘的人數(shù)有

72

—X(0.36+0.3)=132.故正確；

0.36

對于選項C,〃的值為烏=200,故正確；

0.36

對于選項。，若該校有1000名學(xué)生，則可預(yù)估有300人放學(xué)后體育運動時間在［50,60)分鐘，不是一定,

故不正確；

故選：ABC.

由頻率分布直方圖的性質(zhì)依次對4個選項檢驗即可.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：?.?直線/的一個方向向量為/=（—8,1），,

直線/的斜率為=_遺，故直線的傾斜角是150。，故A正確；

3

又/經(jīng)過點（1,，^），

則直線方程為：y——，3（工—1）,即、+3稅—=0,

3

故/和直線岳+3?+2=0平行，故C正確；

整理得：x+V3y-4=0；

令?/=0，解得：仍=4,

/在x軸上的截距等于4,故B錯誤；

4

原點到/的距離d=7鼻=2,

故/上存在與原點距離等于2的點，故。正確；

故選：ACD.

根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，求出直線的傾斜角即可，

根據(jù)點斜式方程求出/的方程，令n=o,求出x的值，判斷B,

根據(jù)直線的平行關(guān)系判斷C,根據(jù)點到直線的距離判斷D.

本題考查了直線的方向向量，考查直線方程以及直線的平行關(guān)系，截距的定義，點到直線的距離，是基礎(chǔ)

題.

11.【答案】BC

【解析】解：由題意，a2=25-d2=16?c2=a2-62=9-

橢圓的焦距為2c=6,A錯誤；

橢圓的長軸長為2a=10,B正確；

橢圓的離心率e=g="C正確；

a5

當(dāng)點P為上頂點或者下頂點時，/“凡最大，此時tan"iPO=^<l，

4

7T7T

又/尸1PO為銳角，可得NF1PO<W，故NBP凡<5，

因此橢圓C上不存在點P,使得ZF1P6為直角，。錯誤.

故選：BC.

由橢圓方程，計算a",c,由焦距、長軸、離心率的定義可判斷ABC,當(dāng)點P為上頂點或者下頂點時，NF"

最大，分析可判斷D.

本題主要考查橢圓的焦距，橢圓的離心率的求解，橢圓中的存在性問題等知識，屬于中等題.

12.【答案】AC

［解析］解：對于選項4：在正方體ABCD-AiBiCiDi中，4小_1_平面AiBtCiDi，A^Ec平面ABiGNi，

所以44L41E,

故4次=AA：+4IE2,

則有小E=1,

所以點E的軌跡是以4為圓心，1為半徑的圓，

故選項A正確；

對于選項B：在正方體中，47,平面3BOO1，

因為ACJ_DF,

則。FC平面813IZD1，

故尸在BiDi上，

所以產(chǎn)的軌跡是線段8101，

故選項B錯誤；

對于選項C：|EF|的最小值即為求線段場。1上的點到以小為圓心，1為半徑的圓的最小距離,

又圓心4到線段BiDi的距離為d=V2>

所以舊尸|的最小值為方_1，

故選項C正確；

對于選項。：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為點尸的軌跡是線段BiDi，設(shè)瓦R=X瓦夙，則

F(2A,2-2A,2),

則4(0,0,0),41(0,0,2),8(2,0,0),0(0,2,0),

所以項=(2,0,-2)，舐=(-2,2,0)，D^=(2X,-2A,2).

設(shè)平面48。的一個法向量為H=(x,y,z),

則有(=。，即］2^^=0

討?初=0I-2?4-21/-0

令w=l,貝Ua=l，z=1>

故平面4BD的一個法向量為元=(1,1,1),

設(shè)。廠與平面48。所成的角為a,

則sina=|cos<'Dp，|23-2人+2|瓜

\/3x，4\2+432+43\/2A2+1

當(dāng)入=0時，sina有最大值

3

故AE與平面43。所成角的正弦值的最大值為遺,

3

故選項。錯誤.

故選：AC.

利用線面垂直的性質(zhì)定理得到A4_L4E，利用勾股定理得到4E=1,由圓的定義即可判斷選項4利用

線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷選項B,轉(zhuǎn)化成線段上的點到圓上點距離的最值進(jìn)行分析求解，即可判斷選

項C,建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用圓的參數(shù)方程設(shè)出點E的坐標(biāo)，然后求出直線的方向向量和平面

的法向量，然后利用線面角的求解公式求出線面角的正弦值的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)求最值求解，即可

判斷選項D.

本題考查了立體兒何的綜合應(yīng)用，涉及了線面關(guān)系的判斷和應(yīng)用、動點軌跡的求解、線面角的求解、三角

函數(shù)求最值問題，在求解空間角時，經(jīng)常會選用空間向量法進(jìn)行研究，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：因為向量/=(你2,-1),同=遍，

所以^/x2+22+(-l)2=V5，

解得b=0,所以向量胃=(0,2,-1),

又了=(2,1,0)，

所以N?7=0x2+2x14-(-1)x0=2.

故答案為：2.

由模的坐標(biāo)運算可求出x的值，從而可得向量過的坐標(biāo)，再利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求得結(jié)論.

本題主要考查空間向量數(shù)量的坐標(biāo)運算，模的運算，考查方程思想與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3

8

【解析】

【分析】

本題考查分步計數(shù)原理和古典概型，屬于基礎(chǔ)題.

利用用分步計數(shù)原理可得全部情況個數(shù)16種；再根據(jù)古典概型可計算.

【解答】

解：抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)

考慮第一次抽到的數(shù)為4,則有3種情況滿足題意；

第一次抽到的數(shù)為3,則有2種情況滿足題意；

第一次抽到的數(shù)為2,則有1種情況滿足題意；

滿足題意的情況個數(shù)為：1+2+3=6；

全部情況個數(shù)：4x4=16種；

所以：P=?=:；

168

故答案為P=?；

8

15.【答案】{k\k>1}

【解析】解：已知方程可化為"+萬=1,它表示焦點在y軸上的橢圓，

k

則0<?<2，解得%>1.

k

故答案為：{k\k>1}.

將方程化為橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程然后判斷求解即可.

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】10

【解析】解：設(shè)P關(guān)于直線/的對稱點則可得直線/為線段PP的中垂線，

m+an-

--n2,—=0nA

n----------,解得：m=-a，n=-a，

(m—a"

即P串,

4

4a

可得如Q=3----=萬一拓，

°?da—oo

^a—o

5

所以直線PQ倍X軸反射的直線的斜率為-A向Q,

由題意可得^^3=：，解得a=鼻，

oa—00211

因為6222,

所以可得a?10,

即。的最小值為10,

故答案為：10.

設(shè)尸關(guān)于直線/的對稱點的坐標(biāo)，由PP的中垂線為/，可得P的橫縱坐標(biāo)與P的坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線P'Q

的斜率，再由題意可得直線PQ關(guān)于直線x軸對稱的直線的斜率，由題意可得a,6的關(guān)系，再由b的范圍

求出”的范圍，進(jìn)而求出“的最小值.

本題考查點關(guān)于線的對稱點的坐標(biāo)的求法及直線關(guān)于直線對稱的直線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解:⑴直線/經(jīng)過點尸(2,3).

當(dāng)直線/的斜率不存在時.，直線/的方程為『=2,

原點到直線/的距離為2,符合條件；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為沙-3=網(wǎng)2-2),即板一y-2A+3=0,

則叵3券等電=2,解得比=務(wù)

，7+112

直線/的方程為船—2x^+3=0，即5工一12?+26=0.

綜上，直線/的方程為仍=2或5H—12?+26=0.

(2)直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

當(dāng)直線/在x軸上的截距a=0時，直線/在x軸上的截距b=0，

此時直線/過點(0,0),P(2,3),

直線方程為旻=鼠即3*2y=0,

當(dāng)直線/在x軸上的截距a￥0時，直線/在x軸上的截距b=a,

設(shè)直線方程為?+'=1,把P(2,3)代入得1+(=1,解得a=5，

r.直線方程為^'+3=1,即±+?—5=0.

OO

綜上，直線/的方程為30—2夕=0或H+?-5=0.

【解析】(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為c=2；當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為

kx-y-2k-i-3=Q,由點到直線距離公式列方程求出鼠由此能求出直線/的方程.

(2)當(dāng)直線/在x軸上的截距a=0時，直線/在x軸上的截距b=0,此時直線/過點(0,0),P(2,3),求

出直線方程；當(dāng)直線/在x軸上的截距a￥0時，直線/在x軸上的截距6=a,

設(shè)直線方程為?+;=1,把P⑵3)代入求出直線方程，由此能求出直線/的方程.

本題考查直線方程的求法，考查點到直線距離公式、兩點式方程、點斜式方程、截距式方程等基礎(chǔ)知識，

考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)設(shè)P的坐標(biāo)(z,y),

因為4(一2,0),5(1,0),動點P滿足|P川=2|PB|.

所以+2)2+y2=2-J(z—1)2+1,

整理可得：/+/—4x=0,

即(z—2產(chǎn)+/=4；

(2)由(1)可得如圖所示:

點⑵0)到直線的y=x+6的距離d=上要，

v2

當(dāng)直線/與圓相切時，d=2,

解得6=-2±2\/2，

點(-2,4)到直線y=7+6的距離d=1-2鏟"=也竦，

當(dāng)直線/與圓相切時，d=2,

即2=粵1,解得：6=6土4g，

V2

綜上所述：當(dāng)直線/從兩圓之間經(jīng)過時，的范圍為(一2+2g,6—4/).

【解析】⑴設(shè)戶的坐標(biāo)，由|P圖與|PB|的關(guān)系可得尸的軌跡方程；

(2)分別求出兩圓與直線/的相切時的h的值，進(jìn)而求出直線/從兩圓之間通過時h的范圍.

本題考查求點的軌跡方程的方法及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴由橢圓的定義得：+|扭用=2X/5,|N6|+|N%|=2，1，

所以的周長為2通+2&=4g.

⑵由題意得民(L0),直線MN的傾斜角為，或生，

不妨直線MN的方程為y=x-1,

與橢圓方程聯(lián)立可得：5]2-66-3=0，

設(shè)M(zi,gi),N(此,儀)，

',6

/1+=三

則有I1

O

-Z,

5

所以弦長|MN|=\/1+I2?|工1—的|=,yj8l+H2)2—4工1,工2=—.

【解析】(1)利用橢圓的定義求解；

(2)不妨直線MN的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求解.

本題考查橢圓的定義，及橢圓中求弦長的問題，屬于中檔題.

20.【答案】(1)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(O,0,2Vzi),8(020),0(0,—2,0),4(2,0,0),Af(l,0,x/3),C(-2,0,0),N(—1,1,0),E(0,l,㈣,

所以方X=(0,4,0)，五或=(1,2,4)，

~rt-=4y=0

設(shè)平面DBM的H=(%y,z)，則＜

r??DA^=x+2y+y/3z——0

令①=①，則z=—l,y=0,所以”=—1),

而河為=(1,0,⑥)，?.,”.n％=()，所以

因為NEC平面。BM,

NE〃平面DBM；

⑵解：?.?罰=(-1,3,0),罰=(0,2,2/)

所以耐?京=-1X0+3X2+0X2V^=6，

所以人阿亨,

即點N到直線PD的距離為吏I.

2

【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面。BM的法向量，即可得到元.溫=(),即可判斷;

(2)利用空間向量法求出點到直線的距離.

本題主要考查空間向量及其應(yīng)用，線面平行的證明，點線距離的計算等知識，屬于中等題.

21.【答案】(1)證明：ABC-41B1G直三棱柱所以ByB±BC,又

因為4BLBC，

所以氏4、BC、RB1兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

E(IJO),F(0,2,l),

設(shè)。也0,2),

勵=(0,2,1)，瓦=(1一打1,一2)，

因為亙京瓦=0，所以/_L瓦.

(2)解:因為-為為馬中點,0(1,0,2),5^=(0,1,-2).=(-1,1,1).

令7?=(3,2,1),因為瓦.討=0，亙聲.耐=0,

所以平面OEF的法向量為H=（3,2,l）,

平面BBiCiC的法向量為nt=（1,0,0）,

因為平面?！晔c平面平面BBQiC夾角的為銳角,

所以平面3B1GC與平面DFE的夾角的余弦值為厚$=—1==打區(qū).