人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第27章 相似2 7 .1 圖形的相似

第27章相似

27.1圖形的相似

幫如校

1.相似圖形的定義

（1）我們把形狀相同的圖形叫做.

（2）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形得到.

（3）全等圖形可以看成是一種特殊的相似圖形，即不僅形狀相同，大小也相等.

2.比例線段

ac

（1）對(duì)于四條線段a,8,c,d,如果其中兩條線段的比（即它們長(zhǎng)度的比）與另兩條線段的比相等，如一=一

hd

（即ad=6c）,我們就說這四條線段.

（2）比例的相關(guān)性質(zhì)

accic

①比例的基本性質(zhì)：若一,則；若ad=bc（bd豐0），則一二一.

bdbd

②比例的有關(guān)性質(zhì)：

nc61+hdClc

合比性質(zhì)：若？=上，則巴上=上上或一^=/一（a+4c+d均不為0）.

bdbda+bc+d

丁4aca-bc—d-ac、

分比性質(zhì)：右一二一，貝（J-----=-------或-----=-----（a—b,c-d均不為0）

bdbda-bc-d

更比性質(zhì)：若g=則9=2或￡=邑（a,b,c,d均不為0）.

bdcdab

等比性質(zhì)：臉書吟吟,則小"人。）.

bdfhb廣+d廣+f+雪hb7+

3.相似多邊形

（1）兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做.

（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做.

K知識(shí)參考答案：

1.（1）相似圖形；（2）放大或縮小；

2.(1)成比例；(2)ad=bc.

3.(1)相似多邊形；(2)相似比.

幫重夕

K一重點(diǎn)了解線段的比和成比例的線段

K一難點(diǎn)相似多邊形的有關(guān)性質(zhì)

K-易錯(cuò)求線段的比時(shí)，線段的長(zhǎng)度單位不一致；找錯(cuò)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊

一、相似圖形

判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與圖形的大小、位置無關(guān)，這也是相似圖

形的本質(zhì).

【例1】下列四組圖形中，不是相似圖形的是

【答案】D

【解析】A、形狀相同，但大小不同，符合相似圖形的定義，故不符合題意:

B、形狀相同，但大小不同，符合相似圖形的定義，故不符合題意；

C、形狀相同，但大小不同，符合相似圖形的定義，故不符合題意；

D、形狀不相同，不符合相似圖形的定義，故符合題意；

故選D.

【例2】下列各組圖形一定相似的是

A.各有一角是70。的兩個(gè)等腰三角形

B.任意兩個(gè)等邊三角形

C.任意兩個(gè)矩形

D.任意兩個(gè)菱形

【答案】B

【解析】A、各有一角是70。的兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；

B、兩個(gè)等邊三角形相似對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，一定相似；

C、兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似；

D、任意兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；

故選B.

二、比例線段

一般地，四條線段mb,c,d的單位應(yīng)該一致，有時(shí)為了計(jì)算方便，a,Z?的單位一致，c,d的單位一

致也可以.

【例3】下列線段（單位：cm）成比例的是

A.1,2,3,4B.5,6,7,8

C.1,2,2,4D.3,5,6,9

【答案】C

【解析】A、"4先><3,故四條線段不成比例；

B,5x8r7*6,故四條線段不成比例;

C、Ix4=2x2,故四條線段成比例；

D、3x9#x6,故四條線段不成比例.

故選C.

三、相似多邊形

兩個(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）角分別相等；（2）邊成比例.

【例4】下列說法正確的是

A.對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形都相似

B.四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的梯形都相似

C.有一個(gè)角相等的兩個(gè)菱形相似

D.有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)等腰三角形相似

【答案】C

【解析】A、對(duì)應(yīng)邊成比例且對(duì)應(yīng)角相等的多邊形都相似，故原說法錯(cuò)誤；

B、四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等且對(duì)應(yīng)邊成比例的梯形都相似，故原說法錯(cuò)誤；

C、有一個(gè)角相等即可利用菱形的性質(zhì)得到其余的角對(duì)應(yīng)相等，且對(duì)應(yīng)邊的比相等，故這樣的菱形相似,

正確；

D、有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故原說法錯(cuò)誤.

故選C.

幫娉題

（幫基礎(chǔ)）

一、單選題

I.已知兩數(shù)X,y,且3x=2?則下列結(jié)論一定正確的是（)

x+22

A.x=2,y=3B.二=工C.-D.-----T=T

.32y3

2.如圖，若正方形內(nèi)接于正方形48C。的內(nèi)接圓，則純L的值為（）

AB

D.受

3.一個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的實(shí)際面積是6400m2,它在比例尺為1：1000的地圖上的面積是（）

A.6.4cm2B.640cm2C.64cm2D.8cm2

4.下列圖形中不是相似關(guān)系的是（）

I)

A.AB.Bc.cD.D

5.如圖，已知AB//CO//EF,那么下列結(jié)論不正確的是（)

D

ADBCBCDFCEDFBCAD

A.-------B.--------C.--------D.--------

DFCECEADEBAFBEAF

6.若（a-b）：（2=1:15,則()

A.1:15B.4:5C.15:14D.14:15

7.下面給出了相似的一些命題：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似;

（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六邊形都相似;

其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

8.如圖，將AA8C沿著過中點(diǎn)0的直線折疊，使點(diǎn)A落在3c邊上的A,稱為第1次操作，折痕。E

到3c的距離記為由；還原紙片后，再將AADE沿著過AO中點(diǎn)R的直線折疊，使點(diǎn)A落在。E邊上的4

處，稱為第2次操作，折痕。用到8c的距離記為％;按上述方法不斷操作下去…，經(jīng)過第2019次操作

后得到的折痕口染馬球，到5c的距離記為%19,若％=1，則&）19的值為（）

A_L1

C1———D

22018B.,2019-^2OJ7

二、填空題

9.已知：—=--（分0）,則q=____.

23b

10.請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按所選的第一小題計(jì)分.

（1）方程爐-9工+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為.

（2）如圖所示，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)正方形，兩個(gè)菱形各成一組，每組中的一個(gè)圖形在另一

個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個(gè)圖形不相似的一組是（請(qǐng)?zhí)顚懻_答案

11.已知線段AB,點(diǎn)C是靠近B點(diǎn)的AB的黃金分割點(diǎn).點(diǎn)G是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則——=

BC

12.已知四邊形ABCD與四邊形AECD是位似圖形，且它們的對(duì)應(yīng)邊的比為3:4,則四邊形ABCD與四

邊形ABO的周長(zhǎng)之比為,面積之比為.

三、解答題

13.已知：如圖，點(diǎn)。、尸在“WC的邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，且。E//BC,EF//DC.

求證：AD2=AFAB-

14.已知，如圖，AB、DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=12m,某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC=4m.

（1）請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影.

（2）在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)6m,請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng).

D

BCE

15.如圖，在AABC中，D、E分別是AB和AC上的點(diǎn)，且。E//BC.

A

（1）若AQ=5,DB=>EC=12,求AE的長(zhǎng).

⑵若AB=16,AD=4,AE=8,求EC的長(zhǎng).

16.如圖，mAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿折線C4一A3以每秒1個(gè)單

位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿3C-C4-AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)P，。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)8時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P,。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是1秒

（r>0）.

⑴；

（2）當(dāng)點(diǎn)P,。相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在哪條邊上？并求出此時(shí)AP的長(zhǎng).

探究：

（1）當(dāng)，=1時(shí)，APQC的面積為；

（2）點(diǎn)P,。分別在AC,5c上時(shí)，APQC的面積能否是AABC面積的一半？若能，求出，的值；若

不能，請(qǐng)說明理由.

拓展：當(dāng)PQ//BC時(shí)，直接寫出此時(shí)，的值.

參考答案

1.c

【解析】

【分析】

根據(jù)比例的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】

；3x=2y

.x_2

Ay-3

x2

等式兩側(cè)同時(shí)加1,得1+—=1+:

y3

x+V5

變形得一-=w

y3

故選c.

【點(diǎn)睛1本題考查了等式的性質(zhì)和比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是將原式根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行變形,

然后根據(jù)等式的性質(zhì)求解.

2.B

【解析】

【分析】

根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

圖形中正方形48GA和正方形ABCD一定相似QF.OFi分別是兩個(gè)正方形的邊心距,

△OC)F是等腰直角三角形，因而OF:OC尸正因而則為”的值為也L

2AB2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，邊數(shù)相同的正多邊形一定相似，邊心距的比,

半徑的比都等于相似比.

3.C

【解

【分析】

面積比是比例尺的平方比根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可得出地圖上的面積.

【詳解】

解:根據(jù)面積比是比例尺的平方比，得:圖上面積是

6400—1000000=0.0064(7n2)=64(c7n2),所以c選項(xiàng)是正確的.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形具有的性質(zhì)，其中相似圖形的面積比等于相似比的平方.

4.D

【解析】

【分析】

根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，通過比較得到正確結(jié)果.

【詳解】

解：觀察比較圖形,，A,B,C選項(xiàng)中的圖案的形狀相同，是相似圖形,D選項(xiàng)中的兩個(gè)圖

案的形狀不相同，所以不是相似圖形，故根據(jù)相似形的定義可知：不相似的圖形是D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形的定義.

5.B

【解析】

【分析】

已知AB//CD//EF,根據(jù)平行線分線段成比例定理，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】

解：山AB//CD//EF,

有——-=——，故B不正確.

CEDF

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免錯(cuò)選其他答案.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)比例式的分比性質(zhì)計(jì)算即可。

【詳解】

解：已知(。一人)：a=l:15,即上普

I5(a-b)=a,14。=15/7,

故:a:b=15:14,

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查比例式的性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用比例式的分比性質(zhì)，認(rèn)真的進(jìn)

行計(jì)算.

7.B

【解析】

【分析】

菱形和矩形不一定都相似，但是等腰直角三角形正方形和正六邊形都相似.

【詳解】

可以令矩形一邊長(zhǎng)固定，另一邊長(zhǎng)增加一倍，容易知道兩矩形不相似，對(duì)于菱形，可以

變換邊與邊之間的夾角，容易看出兩菱形不相似.等腰直角三角形正方形和正六邊形無

論怎么變都相似，故正確的有3個(gè).

【點(diǎn)睛】理解四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.B

【解析】

【分析】

根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DA，=DB,從而可得/ADA，=2/B,結(jié)合折疊的

性質(zhì)可得NADA'=2/ADE,可得NADE=NB,繼而判斷DE〃BC,得出DE是△ABC

的中位線，證得AAi_LBC,得至ljAA尸2,求出hi=2-l=l,同理，h?=2—,

2

h3=2-1xi=2-^,經(jīng)過第n次操作后得到的折痕Dn.}En.l到BC的距離為=2-擊.

【詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可得：AAUDE,DA=DAi,

又是AB中點(diǎn),

,DA=DB,

.\DB=DAi,

AZBA|D=ZB,

.*.ZADAi=2ZB,

XVZADAi=2ZADE,

AZADE=ZB,

，DE〃BC,

AAAi±BC,

AAi=2hi=2,

Ahi=2-l=l,

同理，h)=2—,h3=2—x—=2——

■22222

，經(jīng)過第n次操作后得到的折痕到BC的距離兒=2-9.

；.112019=2-寧麗?

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的有規(guī)律變化，三角形中位線的性質(zhì)，平行線等分線段定理,

要求學(xué)生通過觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的

關(guān)鍵.

2

9.——

3

【解析】

【分析】

利用比例的性質(zhì)可直接得結(jié)論.

【詳解】

..a_b

?——--，

23

.a_2

??—1.

b3

故答案為：-1■.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì),若a:b=c:d(b、毋0),則有：①ad=bc(即比例的基本

性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積)，②b:a=d:c(a、cM)(交換比較，結(jié)果仍然相

等)，③a:c=b:d、c:a=d:b,④(a+b):b=(c+d):d,@a:(a+b)=c:(c+d)(a+b#0,c+d#0),

⑥(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d)(a+b/0,c+d#)).

10.15②.

【解析】

【分析】

(1)解原方程可得方程的兩根，須=3.々=6,根據(jù)三角形的性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊，兩

邊之差小于第三邊”，可得腰為6,底邊長(zhǎng)為3,可得周長(zhǎng)；

(2)根據(jù)圖形相似要求對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案.

【詳解】

解：⑴方程因式分解可得：(x-3)(x-6)=0,故原方程的解為再=3,超=6,

???兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件“兩邊之和大于第三邊，兩邊

之差小于第三邊”，

二可得等腰三角形的腰為6,底邊長(zhǎng)為3,二所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為6+6+3=15,

故本題正確答案為15.

(2)圖形相似即要求對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60。,三條邊都相等，故①中的圖形相似；

矩形的四個(gè)內(nèi)角都是90。，對(duì)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故②中的圖形不一定相

似；

正方形的四個(gè)內(nèi)角都是90"，四條邊都相等,故③中的圖形相似；

菱形的時(shí)角相等，四條邊都相等，故④中的圖形相似；

故答案為②.

【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查一元二次方程和等腰三角形.

(2)本題考查圖形相似的性質(zhì)：圖形相似要求對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.

II.1

【解析】

【分析】

根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念進(jìn)行計(jì)算，其中較短的線段=原線段的三叵倍，較長(zhǎng)的線段=原

2

線段的叵1倍.

2

【詳解】

解：由黃金分割的公式:較短的線段=原線段的三5倍，較長(zhǎng)的線段=原線段的叵1倍.

22

???BC=AB,AG=AB,

22

BC

故答案：1.

【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，能夠根據(jù)黃金比進(jìn)行計(jì)算.把一條線段分成兩

部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割,

他們的比值(正1)叫做黃金比.

2

12.3:49:16

【解析】

【分析】

由相似多邊形對(duì)應(yīng)邊周長(zhǎng)的比等于相似比，可知四邊形ABCD與四邊形A'B'CD的周

長(zhǎng)比；

由相似多邊形的面積比等于相似比的平方，可得四邊形ABCD與四邊形的

面積比.

【詳解】

解：???四邊形ABCD與四邊形是位似圖形，且它們的對(duì)應(yīng)邊的比為3:4.

???四邊形ABCD與四邊形A'B'CD'的周長(zhǎng)之比為3:4,

二四邊形ABCD與四邊形A，B，CD'的面積之比9:16,

故答案：3:4；9:16

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，其中相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，相似

多邊形的面積比等于相似比的平方.

13.證明見解析

【解析】

【分析】

AHAPAFAF

由平行線分線段成比例可以得到——=——，—

ABACADAC

A17AT)

則根據(jù)等量代換可以推知—,即A。？=Ab-AB.

ADAB

【詳解】

DE!IBC

ADAE

AB一AC

EF//DC,

AFAE

~\D~~AC'

AFAD,

—-即

ADAB

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例.注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，以防錯(cuò)解.

14.(1)見解析；(2)DE的長(zhǎng)18米

【解析】

【分析】

(I)利用平行投影的性質(zhì)得出即可；

(2)利用同一時(shí)刻影長(zhǎng)與實(shí)際物體比值相等進(jìn)而求出即可.

【詳解】

解：(1)如圖所示:

EM即為所求；

(2)：AB=d2m,某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC=4m,

DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)6m,

二設(shè)DE的長(zhǎng)為xm,

,,,2x

則一=—，

146

解得:x=18,

答：DE的長(zhǎng)18米.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行投影的性質(zhì)，利用相同時(shí)刻影長(zhǎng)與實(shí)際物體的關(guān)系得出是

解題關(guān)鍵.

15.(I)?l￡=—；(2)EC=24.

7

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平行線分線段成比例，可以求得AE的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)平行線分線段成比例，可以求得AC的長(zhǎng),從而可以求得EC的長(zhǎng).

【詳解】

(1)VDE//BC,

.ADAE

??=二，

DBEC

?；4。=5,。3=7,EC=12,

.5AE

??-=,

712

解得，A￡=y；

（2））VDEIIBC,

.ADAE

?.---=----,

ABAC

AB=16,AD=4-AE=8，

?.?±_-_L，

16AC

解得，AC=32,

/.EC=AC—AE=32—8=24.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例.

16.發(fā)現(xiàn)（1）5；（2）相遇點(diǎn)在邊上，AP=1；探究：（1）1；（2）不能，理由見

44

解析；拓展：t——

13

【解析】

【分析】

發(fā)現(xiàn)：（1）在用AA8C中應(yīng)用勾股定理即可求解；

（2）P和Q相遇時(shí)可得方程2/-/=4,求得t后，即可進(jìn)一步AP的長(zhǎng)；

探究：（1）求出當(dāng)『=1時(shí)PC和CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；

（2）用t列出APQC的面積表達(dá)式，然后和AABC面積的一半列出方程，進(jìn)行求解即

可判斷：

拓展：根據(jù)題意作出示意圖，然后根據(jù)平行線截線段成比例列出方程，解方程即可求出

t的值.

【詳解】

發(fā)現(xiàn)：（I）在mAABC中，AB=JAC?+BC?="+42=5

，AB=5；

⑵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B需要：（4+5）+l=9s

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)需要：（3+4+5）+2=6s

當(dāng)點(diǎn)P,。相遇時(shí)，有2f—r=4.解得r=4.

相遇點(diǎn)在A8邊上，

此時(shí)AP=4-3=1.

探究：(1)當(dāng)f=l時(shí),PC=i,BQ=2,即CQ=2

S.PQC=~PC*CQ=-xlx2=l

故答案為1：

(2)不能

理由：若APQC的面積是A43c面積的一半，

即gf(4-2t)=gxgx3x4,化為「一2f+3=0.

VA=(-2)2-4xlx3<0,

二方程沒有實(shí)數(shù)根，

即APQC的面積不能是AABC面積的一半.

拓展：由題可知，點(diǎn)尸先到達(dá)A3邊，當(dāng)點(diǎn)。還在AC邊上時(shí)，存在PQ//BC,如圖

所示.

AQAP

這時(shí),

AC-AB

?.?AQ=7—2r,AP^t-3,

7-2/t-3

35

44

解得/=一，

13

44

即當(dāng)PQ//BC0^,t=^.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，一元一次方程中的動(dòng)點(diǎn)問題，平行線截線段成比例，一

元二次方程的判別式，題目較難，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握不同模塊知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵.

(幫能力)

一、單選題

1.如圖，直線a,b,c?分別與直線〃?，〃交于點(diǎn)A,B,C,D,E,F,直線a〃b〃c,

若45=2,BC=3,則二；的值為()

2.如圖，在矩形ABCD中，將AABE沿著BE翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,

再將△DEG沿著EG翻折，使點(diǎn)D落在EF邊上的點(diǎn)H處.若點(diǎn)A,H,C在同一直

線上，AB=1,則AD的長(zhǎng)為()

A.|B.C.6D.石-1

3.古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：

點(diǎn)G將一線段MN分為兩線段MG,GN,使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較

短的段GN的比例中項(xiàng)，即滿足曳生=絲=避二1,后人把避二1這個(gè)數(shù)稱為“黃

MNMG22

金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段MN的“黃金分割”點(diǎn).如圖，在AABC中，已知

AB=AC=3,BC=4,若D,E是邊5c的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則AADE的面積為

()

5-275

D.20-85/5

2

4.如圖，在矩形ABC。中，4)=2aAB=\,將矩形ABCZ)對(duì)折，得到折痕“V;

沿著CM折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,ME與BC的交點(diǎn)為F;再沿著MP折疊，使得AM

與EM重合,折痕為MP,此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G.下列結(jié)論:①ACMP是直角三角形:②

點(diǎn)C、E、G在同一條直線上;③=④A8=88P；⑤點(diǎn)F是△CMP的外

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.如圖，在矩形48co中，NCBN的正弦值等于』，BN與CO交于點(diǎn)N,/8N。的

3

平分線NM與4。交于點(diǎn)M,若CD=7,DM=2AM,則A。的長(zhǎng)為（）

A.3A/10B.6&C.8D.9

6.如圖，四邊形ABC。中，BC=6,ABIBC,BC上CD,E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)

為線段BE上的點(diǎn)，且短=』BE,則點(diǎn)尸到邊CO的距離是（）

2

1014

A.3B.—C.4D.

3T

7.如圖.AB//CD//EF,AF、BE交于點(diǎn)、G,下列比例式錯(cuò)誤的是（）

AGBGGCCDABAG

DFCE~GD~~CG~GE~~EF~EF~~GE

8.已知如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC>BC）,則下列結(jié)論中正確的是（）

AB

A.AB2=AC2+BC2B.BC2=AC?BA

BC_V5-1AC_75-1

AC-2~BC~2

二、填空題

9.已知點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC>BC）,且AB=4,則ACv_（精確到0.1）.

10.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分

別交AC、CD于點(diǎn)P、Q.則CP：AC=.

11.如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上，AD為△ABC的外角的平分線，AB=

2BC,AC=3,CD=4,則AB的長(zhǎng)為.

a2…a-2b…4G

12.已知：-=則------的值是.

b3a+2b

三、解答題

13.已知a,b,c為AABC的三邊，且（a-c）:（。+。）：（c-/?）=（-2）:7:1,

a+b+c-24.

（1）求a,b,c的值；（2）判斷AABC的形狀.

14.如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE〃BC.

（1）若AB=6,AC=5,AD=4,求CE的長(zhǎng).

（2）連接BE,作DF〃BE交AC于點(diǎn)F,如圖②，求證：AE2=AF?AC.

15.如圖，一個(gè)木框，內(nèi)外是兩個(gè)矩形ABC。和EFG”,問按圖中所示尺寸，滿足什

么條件這兩個(gè)矩形相似?

16.如圖，已知A(40)、BO2)、C(6,0),直線AB與直線CD相交于點(diǎn)D,D點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)

相同;

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P從O出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正半軸勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線分

別與直線AB、CD交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段EF的長(zhǎng)為y(y>0),求y

與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，直線CD上是否存在點(diǎn)Q,使得△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三

角形?若存在，請(qǐng)求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說明理由.

x

參考答案

1.A

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例是在代入求出即可.

【詳解】

?直線a〃b〃c,

?AB_DE

"：AB=2,BC=3,

.DE_2

?-------.

EF3

所以A選項(xiàng)是正確的.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理的應(yīng)用.

2.B

【解析】

【分析】

首先通過折疊的性質(zhì)得出四邊形ABFE,EDGH都是正方形，然后設(shè)G〃=x,根據(jù)平

rHc'C'

行線分線段成比例得出——=—,從而UJ■求出X的值，然后AD的長(zhǎng)度可求.

ADCD

【詳解】

連接AC,

?.?四邊形ABCD是矩形,

CD=AB=1,ZEAB=ZABF=NEDG=90°

由折疊的性質(zhì)可知,

AB=BF,DG=GH,NBFE=ZE4B=90°,4EHG=ZEGD=90°

AB=BF,ZEAB=ZABF=ZBFE=90°,

四邊形ABFE是正方形，

ZAEF=90。,AE=A8=1,

:.DEH=90。.

DG=GH,ZDEH=NEHG=ZEDG=90°,

二四邊形EDGH是正方形，

AD//GH,GH=DG=ED,

,GHCG

,,茄一而

設(shè)GH=x,

X1-x

----=----,

1+X1

解得x=±2叵或彳=二115（舍去），

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握正方形的判定

及性質(zhì)和平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

【分析】

作AFLBC,根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求

出BE、CD的長(zhǎng)度，得到△AQK中DE的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可解題.

【詳解】

解：過點(diǎn)A作AFLBC,

VAB=AC,

ABF=—BC=2,

2

在RtAABF,AF=SJAB2-BF2=>/32-22=后>

???D是邊BC的兩個(gè)“黃金分割''點(diǎn),

.CD75-1Hr,CDV5-1

??----=--------即-----=--------,

BC242

解得CD=26-2，

同理BE=25/？-2，

,/CE=BC-BE=4-(275-2)=6-2亞，

；.DE=CD-CE=46-8,

.'.SAABC=^X￡>fxAF=yX(4>/5-8jx75=10-4\/5，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三

角形的面積公式，求出DE和AF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵。

4.D

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到NDMC=NEMC,NAMP=/EMP,于是得到NPME+/CME=

!、180。=90。，求得ACMP是直角三角形，故①正確；根據(jù)平角的定義得到點(diǎn)C、E、

2

G在同一條直線匕故②正確；AB=1,則AD=2夜，得到DM=,AD=夜，根

3x123

據(jù)勾股定理得到CM=y/DM2+CD2=下＞-根據(jù)射影定理得到

CP=夜一后,

得到PC=JJMP,故③正確；求得PB=R2AB=92,AB=OBP，故④正確；根

22

據(jù)平行線等分線段定理得到CF=PF,求得點(diǎn)F是^CMP外接圓的圓心，故⑤正確.

【詳解】

?；沿著CM折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

???NDMC=NEMC,

?再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP,

，NAMP=NEMP,

VZAMD=180°,

ZPME+NCME=—xl80°=90°,

2

...△CMP是直角三角形；故①正確；

?.?沿著CM折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

.*.ZD=ZMEC=90°,

:再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP,

.?./MEG=NA=90。，

.,.ZGEC=180°,

.?.點(diǎn)C、E、G在同一條直線上，故②正確；

；AD=20AB,

VAB=I,則AD=20,

???將矩形ABCD對(duì)折，得到折痕MN；

DM=-yAD=y/2

，CM=yjDM2+CD2二百'

,.,/PMC=90°,MN1PC,

/.CM2=CN?CP,

3xl23

??.CP=FF

歷

/.PN=CP-CN=—

2

PM:1MN?+PN?=y-

???上=藉后

PM4

，PC=GMP,故③正確；

33叵

???PC=-AB=*±,

V22

.,.PB=2A/2--=—

22

A3=6BP，故④正確，

VCD=CE,EG=AB,AB=CD,

；.CE=EG,

*/ZCEM=ZG=90°,

，F(xiàn)E〃PG,

；.CF=PF,

VZPMC=90°,

；.CF=PF=MF,

，點(diǎn)F是△CMP外接圓的圓心，故⑤正確：

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的

性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形，熟練掌握好相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)NM交BA的延長(zhǎng)線于H.設(shè)CN=a.根據(jù)BH=BN,構(gòu)建方程即可解決問題，

【詳解】

解：延長(zhǎng)NM交BA的延長(zhǎng)線于H.設(shè)CN=a.

?.?四邊形ABCD是矩形,

；.AB=CD,AD=BC,ZC=90°

???NCBN的正弦值等于L

3

BN=3a.BC=2后a,

VDM=2AM,AH//DN,

.AHAM

NH=NBNH,

"DN~DM2

，AH

：NBNH=NDNH,

.*.ZBNH=ZH,

；.BN=BH=3a,

7-a

2

解得a=3,

；.AD=BC=6播.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.C

【解析】

【分析】

過E作EG，CD于G,過F作FHLCD于H,過E作EQ_LBC于Q,依據(jù)平行線分線

段成比例定理，即可得到HP=CQ=3,FP=-BQ=1,進(jìn)而得出FH=1+3=4.

3

【詳解】

解：如圖所示，過E作EGLCD于G,過F作FHLCD于H,過E作EQJ_BC于Q,

則EG〃FH〃BC,AB〃EQ〃CD,四邊形CHPQ是矩形，

：AB〃EQ〃CD,

.AEBQ

''~ED~QC'

：E是AD的中點(diǎn)，

；.BQ=CQ=3,

：.HP=CQ=3,

；FP〃BQ,

.EFFP

1

VFE=-BE,

3

.?.FP=1BQ=1,

3

；.FH=l+3=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線,

解題時(shí)注意：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行于三角形一邊的直

線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

7.D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

4、由則—,所以4選項(xiàng)的結(jié)論正確；

DFCE

則任=四，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；

B、由AB〃C￡）〃E尸，

GDCG

則堡=C2,所以c選項(xiàng)的結(jié)論正確：

C、由A8〃C/)〃EF,

GEEF

ARArz

。、由A8〃CD〃EF,則——,所以。選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；

EFGF

故選。.

【點(diǎn)睛】考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線

段成比例.平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線,

所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

8.C

【解析】

黃金分割定義知，一=—，所以

ABAC

設(shè)A8=l,AC=x,

\-x_X

X1

解得：廣-1-源—=必二1選C.

2AC2

9.2.5

【解析】

【分析】

根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AC為較長(zhǎng)線段：則AC=XJAB,代入數(shù)據(jù)即可得出

2

AC的值.

【詳解】

：C為線段AB=5的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC,AC為較長(zhǎng)線段,

V5-1

2與A8x4?2.5

2

故答案為：2.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AC和BC(AOBC),

且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)(即竺=―),叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C

ACBC

叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).其中=是需要熟記的內(nèi)容.

2

10.1:4

【解析】

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)，可以得出AC〃DE,且AC=DE,根據(jù)線段成比例即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：：四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，

；.AC〃DE,BC=AD=CE,

.PCBC

"~RE~~BE'

BE2'

.PC1

??---,

RE2

?點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，

/.PC：DE=1：4,

即PC：AC=1：4,

故答案為1：4.

【點(diǎn)睛】題考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線

被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例.推論：平行于三角形一邊，并且和

其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)

應(yīng)成比例.

24

II.—

5

【解析】

【分析】

如圖，作CE〃AD交AB于E.利用平行線分線段成比例定理解決同題即可.

【詳解】

如圖，作CE〃AD交AB于E.

5

故答案為y.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造

平行線解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題.

1

12.——

2

【解析】

【分析】

根據(jù)已知等式設(shè)a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

【詳解】

解：由4@=—2,可設(shè)a=2k,b=3k,(kr0),

b3

,,a-2b2k-2x3k-4k1

故：------=-----------=----=--,

h+2h2k+2x3k8k2

故答案：一工.

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查比例的性質(zhì)，a、b都用k表示是解題的關(guān)鍵.

13.(1)a=6,h=S,c=10；(2)AABC是直角三角形.

【解析】

【分析】

(1)解此類含等比式的題目，解題關(guān)鍵是能否想到設(shè)出比例系數(shù)k,從而通過解方程

組來得到a、b、c和k的值.

(2)判斷△ABC的形狀，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角形,

通過計(jì)算來判斷出a,b,c三者之間的關(guān)系.

【詳解】

解:(1)V(n-c):(a+Z?):(c-Z?)=(-2):7:1,

a-ca+bc-b

>>.------=-------=-------

-271

a—ca+hc-b

設(shè)k,

7

a-C—~~2k,a=3k,

解得卜二他

則<〃+/?=7k,

c-b=k,c=5k.

又丁Q+b+c=24,

???3女+軟+5%=24,解得、=2.

，Q=6,b=8,c=10

(2)V?2+/,2=62+82=102=C2

/.AABC是直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查比例的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵在于利用“設(shè)k法”.

14.(1)-(2)證明見解析

3

【解析】

【分析】

4AF

(I)如圖①，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到一=——，則利用比例性質(zhì)可計(jì)算出

65

AE的長(zhǎng)，然后計(jì)算AC-4E即可g；

4/7AnAnAF

(2)由DF//BE得到—=——，由。E〃8c得到2-=2-,利用等量代換得

AEABABAC

AFAF

—=——，然后利用比例的性質(zhì)可得到結(jié)論.

AEAC

【詳解】

(1)如圖①.

ADAE4AE10105

,:DE〃BC,：.----,即nn一=--f.\AE=—,/.CE=AC-AE=5-----=

AB~AC65