2.2 圓的對稱性 蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末試題分類選編(含答案)

2.2圓的對稱性1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期末）如圖，為的直徑，弦于點，，，則的半徑為（

）A．5 B．8 C．3 D．102．（2022·江蘇揚州·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝20，CD＝16，則BE的長為（

）A．2 B．4 C．5 D．63．（2022·江蘇南通·九年級期末）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，則截面圓心O到水面的距離OC是(

)A．4 B．5 C．6 D．84．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD，垂足為E，若CD＝BE＝16，則⊙O的半徑為(

)A．8 B．9 C．10 D．115．（2022·江蘇南京·九年級期末）平面直角坐標系內(nèi)，已知點，，．當時，若最大，則t的值為（

）A． B． C． D．6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期末）如圖，的半徑為，將劣弧沿弦翻折，恰好經(jīng)過圓心，點為優(yōu)弧上的一個動點，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．7．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）如圖，點E在y軸上，⊙E與x軸交于點A、B，與y軸交于點C、D，若C（0，9），D（0，－1），則線段AB的長度為（

）A．3 B．4 C．6 D．88．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10，OE＝6，則AB＝_______．9．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦于點E，若，，則OA長為______．10．（2022·江蘇南京·九年級期末）在一個殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8cm，的中點D到弦BC的距離DE＝2cm，則這個圓形工件的半徑是_______cm．11．（2022·江蘇南通·九年級期末）如圖，在半徑為5的⊙O中，M為弦AB的中點．若OM＝1，則AB的長為_____．12．（2022·江蘇揚州·九年級期末）如圖，已知的半徑，若弦AB垂直平分OC，則______cm．13．（2022·江蘇揚州·九年級期末）如圖，以CD為直徑的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16，則MD＝_____．14．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）秋千吊繩的長度為4m，當秋千擺動時，吊繩擺動的角度為90°．則秋千擺動的最高位置與最低位置的高度差為______m．（結(jié)果保留根號）15．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直于點D，M為AD的中點，N為上的點，且MNCD．若CD＝5，MN＝4，則⊙O的半徑為_______．16．（2022·江蘇泰州·九年級期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它，（如圖②）當量得深度CE為1寸時，鋸開的寬度AB為1尺，間木材的直徑CD是________寸．（1尺＝10寸）17．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）如圖，一個寬為2cm的刻度尺在圓形光盤上移動，當刻度尺的一邊與光盤相切時，另一邊與光盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：cm），那么該光盤的直徑是_____________cm．18．（2022·江蘇省南京二十九中教育集團致遠中學(xué)九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長．19．（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，在中，AB是直徑，弦EF∥AB．(1)請僅用無刻度的直尺畫出劣弧EF的中點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接OP交EF于點Q，，，求PQ的長度．20．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，在⊙O中，弦AC與弦BD交于點P，AC＝BD．（1）求證AP＝BP；（2）連接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半徑．21．（2022·江蘇南京·九年級期末）【數(shù)學(xué)認識】數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，在初中幾何學(xué)習(xí)的歷程中，常常把角與角的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊的數(shù)量關(guān)系，把邊與邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為角與角的數(shù)量關(guān)系．【構(gòu)造模型】（1）如圖①，已知△ABC，在直線BC上用直尺與圓規(guī)作點D，使得∠ADB＝∠ACB．（不寫作法，保留作圖痕跡）【應(yīng)用模型】已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的半徑為r，△ABC的周長為c．（2）如圖②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范圍．（3）如圖③，已知線段MN，AB是⊙O一條定長的弦，用直尺與圓規(guī)作點C，使得c＝MN．（不寫作法，保留作圖痕跡）22．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）如圖所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直徑，弦CG⊥AB于D，F(xiàn)是⊙O上的點，且，BF交CG于點E，求證：CE＝BE．參考答案：1．A【解析】作輔助線，連接OA，根據(jù)垂徑定理得出AE=BE=4，設(shè)圓的半徑為r，再利用勾股定理求解即可.解：如圖，連接OA，設(shè)圓的半徑為r，則OE=r-2，∵弦,∴AE=BE=4，由勾股定理得出：，解得：r=5，故答案為：A.本題考查的知識點主要是垂徑定理、勾股定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用勾股定理等幾何知識點來分析、判斷或解答.2．B【解析】由垂徑定理可求得AB⊥CD及CE的長，再利用勾股定理可求解OE的長，進而可求解．解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故選：B．本題主要考查垂徑定理，勾股定理，求解OE的長是解題的關(guān)鍵．3．C【解析】根據(jù)垂徑定理得出BC=AB，再根據(jù)勾股定理求出OC的長．∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=AB=8．在Rt△BOC中，OB=10，BC=8，∴．故選C．4．C【解析】根據(jù)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；連接OC，設(shè)圓的半徑為r，在Rt△OEC中由勾股定理列方程求解即可；解：如圖，連接OC，設(shè)圓的半徑為r，則OE=16-r，AB為圓的直徑，AB⊥CD，則CE=CD=8，Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，∴r2=（16-r）2+82，解得：r=10，故選：C．本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．5．C【解析】過A、B作與y軸相切的圓，設(shè)圓心為M，切點為C，連接AC、BC，取C1為y軸上相異于C的一點，連接C1A、C1B，設(shè)C1B交圓于D，利用圓周角定理和三角形外角性質(zhì)可證得∠ACB最大，過M作MN⊥AB于N，根據(jù)垂徑定理證得AN=BN=AB，可證明四邊形MNOC為矩形，則有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答．解：過A、B作與y軸相切的圓，設(shè)圓心為M，切點為C，連接AC、BC，取C1為y軸上相異于C的一點，連接C1A、C1B，設(shè)C1B交圓于D，如圖，則∠ADB=∠ACB，∵∠ADB是△ADC1的外角，∴∠ADB＞∠AC1B，∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角，過M作MN⊥AB于N，連接MC、MA，則MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y軸，∴四邊形MNOC為矩形，

∴MC=ON，OC=MN，∵，，，t＞0，∴AB=4，OC=t，OA=1，∴AN=AB=2，∴MC=ON=OA+AN=3，在Rt△AMN中，MA=MC=3，由勾股定理得：，∴OC=MN=，即t=，故選：C．本題考查切線性質(zhì)、圓周角定理、三角形外角性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、坐標與圖形、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，得出過A、B、C三點的圓與y軸相切時∠ACB最大是解答的關(guān)鍵．6．A【解析】當點C運動到優(yōu)弧中點時，以AB為底，高最大，面積最大，先求出AB，再求出CH，求面積即可．解：如圖：連接CO，并延長CO交AB于點H，連接AO．當點C運動到優(yōu)弧中點時，以AB為底，高最大，故面積最大∵點C運動到優(yōu)弧中點∴,且∵將劣弧沿弦翻折，恰好經(jīng)過圓心，∴OH=HM∵的半徑為∴，∴在中，利用勾股定理得：，∴∴故選A．此題考查了垂徑定理及其逆運用，勾股定理性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵，利用垂徑定理找到符合要求的點和線段的長度．7．C解：連接EB，如圖所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，∴AO=BO=AB，OB==3，∴AB=2OB=6；故選：C．本題考查垂徑定理；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．8．16【解析】連接，由垂徑定理可得，在中利用勾股定理即可求得的長，進而求得．解：連接，∵OE⊥AB于E，∴，在中，，OE＝6，∴，∴，故答案為：本題考查了垂徑定理和勾股定理，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．3.4【解析】連接OC，根據(jù)垂徑定理可得，然后設(shè)，則OE=BE-OB=5-r，在中，利用勾股定理求解即可得利用垂徑定理，勾股定理解決問題即可．解：連接OC，∵，，∴，設(shè)，則OE=BE-OB=5-r，在中，∵，∴，解得：r=3.4，故答案為：3.4．題目主要考查垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題是解題關(guān)鍵．10．5【解析】在圓中構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可求出工件半徑．解：如圖所示，設(shè)圓的半徑為xcm，∵BC=8cm，DE=2cm，∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，∴在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=5．∴原形工件的半徑為5cm．故答案為：5．本題主要考查的是圓中的性質(zhì)以及勾股定理的運用，構(gòu)建合適的圖形是解題的關(guān)鍵．11．4．【解析】連接OA，根據(jù)垂徑定理的推論得到OM⊥AB，根據(jù)勾股定理求出AM，得到答案．解：連接OM，OA，∵M為AB的中點，OM過圓心O，∴OM⊥AB，AM＝BM，∴∠OMA＝90°，由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝2，∴AB＝AM+BM＝2+2＝4，故答案為：4．本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦是解此題的關(guān)鍵．12．【解析】連接OA，如圖，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=cm，，根據(jù)垂徑定理得到AD=BD，然后根據(jù)勾股定理計算出AD，也就也可以求出AB=2AD=cm．連接OA，如圖∵弦AB垂直平分OC，垂足為D，∴，．∴AD=BD，在中，∵OA=2cm，OD=1cm．∴cm，∴AB=2AD=cm．故答案為：．本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾炝斯垂啥ɡ淼南嚓P(guān)內(nèi)容．13．4【解析】連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OM=16-r，根據(jù)垂徑定理得到AM=BM=8，再根據(jù)勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后計算CD-CM即可．解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴CD=2r=20，∴MD=CD-CM=20-16=4．故答案為：4．本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?4．【解析】如圖所示，連接AB，過點O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，只需要利用勾股定理求出CD的長即可得到答案．解：如圖所示，連接AB，過點O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，∴，∠ODA=90°，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠AOD=45°，∴AD=OD，設(shè)，則，∵，∴，解得（不合題意的值已經(jīng)舍去），∴秋千擺動的最高位置與最低位置的高度差為，故答案為：．本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握垂徑定理．15．##10.5【解析】連接AO，ON，延長NM交⊙O于F，過O作OE⊥NF于E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，AD=t，先證明四邊形MEOD是矩形得到OE=DM=t，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得①，②，然后解方程組即可．解：連接AO，ON，延長NM交⊙O于F，過O作OE⊥NF于E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，AD=t，∵CD⊥AB，MNCD，∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，∴四邊形MEOD是矩形，∴OE=DM=t，OD=ME=r-5，在Rt△AOD中，，①在Rt△NOE中，，②②×4-①得2r-21=0，解得r=，即⊙O的半徑為．故答案為：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理，理解題意，熟練掌握運用這些知識點是解題關(guān)鍵．16．26【解析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑為x寸，則OE=(x?1)寸，由垂徑定理得AC=BC=AB=5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：連接OA，如圖：設(shè)⊙O的半徑為x寸，則OE=(x?1)寸，∵OE⊥AB，AB=10寸，∴AC=BC=AB=5(寸)，在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2=(x?1)2+52，解得：x=13，∴⊙O的直徑AC=2x=26(寸)，即木材的直徑CD是26寸，故答案為：26．本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．17．10【解析】本題先根據(jù)垂徑定理構(gòu)造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦長和弓形高，根據(jù)勾股定理求出半徑，從而得解．如圖，設(shè)圓心為O，弦為AB，切點為C．如圖所示．則AB＝8cm，CD＝2cm．連接OC，交AB于D點．連接OA．∵尺的對邊平行，光盤與外邊緣相切，∴OC⊥AB．∴AD＝4cm．設(shè)半徑為Rcm，則R2＝42＋（R?2）2，解得R＝5，∴該光盤的直徑是10cm．故答案為：10.此題考查了切線的性質(zhì)及垂徑定理，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵．18．【解析】如圖，連接，設(shè)，由垂徑定理知，，在中，由勾股定理知，解出的值，由，計算求解即可．解：如圖，連接，設(shè)由垂徑定理知在中，由勾股定理知∴解得∴的長為．本題考查了垂徑定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于明確線段的數(shù)量關(guān)系．19．(1)見解析(2)1【解析】（1）如圖，連接BE，AF，BE交AF于C，作直線OC交于點P，點P即為所求．（2）利用垂徑定理結(jié)合勾股定理求得OQ=4，進一步計算即可求解．(1)解：如圖中，點P即為所求．(2)解：連接OF，由作圖知OP⊥EF，EQ=QF=EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=AB=5，∴OQ==4，∴PQ=OP-OQ=1，∴PQ的長度為1．本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計，垂徑定理，勾股定理，，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．20．（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接，先證出，再根據(jù)圓周角定理可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；（2）連接，并延長交于點，連接，過作于點，先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差、勾股定理可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理可得的長，從而可得的長，在中，利用勾股定理即可得．證明：（1）如圖，連接，，，，即，，；（2）連接，并延長交于點，連接，過作于點，，，是的垂直平分線，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，在中，，即的半徑為．本題考查了圓周角定理、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．21．（1）見解析；（2）16＜c≤8＋8；（3）見解析【解析】（1）可找到兩個這樣的點：①當點D在BC的延長線上時：以點C為圓心，AC長為半徑，交BC的延長線于點D，連接AD，即為所求；②當點D在CB的延長線上時：以點A為圓心，AD長為半徑，交CB的延長線于點，連接，即為所求；兩種情況均可利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)證明；（2）考慮最極端的情況：當C與A或B重合時，則，可得此時，根據(jù)題意可得，當點C為優(yōu)弧AB的中點時，連接AC并延長至D，使得，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得點D的運動軌跡為一個圓，點C為優(yōu)弧AB的中點時，點C即為外接圓的圓心，AC長為半徑，連接CO并延長交AB于點E，連接AO，根據(jù)垂徑定理及勾股定理可得，當AD為直徑時，c最大即可得；（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分線交⊙O于點P；第2步：以點P為圓心，PA為半徑作⊙P；第3步：在MN上截取AB的長度；第4步：以A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交⊙P于點E；第5步：連接AE交⊙O于點C，即為所求；方法二：第1步：在圓上取點D，連接AD、BD，延長AD使得；第2步：作的外接圓；第3步：在MN上截取AB的長度；第4步：以點A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交△ABE的外接圓于點F；第5步：連接AF交⊙O于點C，即為所求．（1）如圖所示：①當點D在BC的延長線上時：以點C為圓心，AC長為半徑，交BC的延長線于點D，連接AD，即為所求；②當點D在CB的延長線上時：以點A為圓心，AD長為半徑，交CB的延長線于點，連接，即為所求；證明：①∵，∴，∴；同理可證明；（2）當C與A或B重合時，則，∴，∵，∴，如圖，當點C為優(yōu)弧AB的中點時，連接AC并延長至D，使得，∴，∵同弧所對的圓周角相等，∴為定角，∴為定角，∴點D的運動軌跡為一個圓，當點C為優(yōu)弧AB的中點時，點C即為外接圓的圓心，AC長為半徑，連接CO并延長交AB于點E，連接AO，由垂徑定理可得：CE垂直平分AB，∴，在中，，∴，∴，∴AD為直徑時最長，∴最長，∴的周長最長