3.1 勾股定理 蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊同步測試題(含答案)

2023-2024學(xué)年蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊《3.1勾股定理》同步測試題（附答案）一、單選題（滿分32分）1．已知直角三角形兩條直角邊的長分別為3和4，則斜邊的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．6，6，63．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中點，則AD的長為（

）

A．4 B．5 C．6 D．74．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，作邊AB的垂直平分線DE，垂足為D，交AC于點E，且AB=8，BC=6，則△BEC的周長是（

A．14 B．16 C．18 D．225．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，則圖中陰影部分的正方形的面積為（

）

A．4 B．8 C．16 D．256．《九章算術(shù)》中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長、短．橫之不出四尺，從之不出二尺，斜之適出．問戶高、廣、斜各幾何？譯文是：今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長、短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬、對角線長分別是多少？若設(shè)門對角線長為x尺，則可列方程為（

）A．x2=(x+4)C．x2=47．如圖，在△ABC中CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=3，則CE

A．36 B．24 C．9 D．68．已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點B重合，則CE的長是（

）

A．54 B．74 C．154二、填空題（滿分32分）9．在Rt△ABC中，斜邊BC=3．則AB210．如圖，BC⊥AB，CD⊥AC，且AB=4，BC=3，CD=12，則線段AD的長為．

11．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，則另一邊BC=，面積為，AB邊上的高為．12．如圖，四邊形ABCD中，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，則△ABC的面積為．

13．在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面積依次為5，7，20，則正方形B的面積是．

14．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，AC=13cm，將△ABC折疊，使點C與點A重合，得折痕DE，則△ABE的周長等于

15．如圖，在長方形ABCD中，AB=10，AD=6，E為BC上一點，把△CDE沿DE折疊，使點C落在AB邊上的F處，則CE的長為．16．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD是∠BAC的平分線，若P、Q分別是AD、AC上的動點，則

三、解答題（滿分56分）17．如圖所示，在邊長為單位1的網(wǎng)格中，△ABC是格點圖形，求△ABC中AB邊上的高．

18．如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地的高度AB為2.5米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時，感應(yīng)門就會自動打開．一個身高1.6米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時(BC=1.2米），感應(yīng)門自動打開，AD為多少米？

19．如圖，△ABC與△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．

(1)求證：△BCD≌△ACE；(2)若BD=4，BA=7，求DE的長．20．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-B-C-A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（

(1)若點P在BC上，且滿足PA=PB，求此時t的值；(2)若點P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時t的值：(3)在運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，△ACP為等腰三角形．21．公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這個結(jié)論稱之為“勾股定理”．

(1)如圖1，將等腰直角三角板ABD頂點A放在直線l上，過點B作BC⊥l，過點D作DE⊥l，垂足分別為C,E，設(shè)AC=b,BC=a,AB=c，請結(jié)合此圖證明勾股定理．(2)如圖2，朵朵同學(xué)把四個直角三角板緊密地拼接在一起，已知外圍輪廓（實線）的周長為48，OC=6，求這個圖案的面積．22．問題探究（1）如圖1，M，N分別是正方形ABCD的邊BC，CD上的動點，∠MAN=45°，DN=2，BM=3，求MN的長．

深入探究（2）若把（1）中的條件改為5DN=CD=5，∠DAM=∠AMN，求MN的長．類比探究（3）在（2）的條件下，如圖2，當(dāng)點M，N分別在正方形ABCD的邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出MN的長度．參考答案1．解：由勾股定理得：斜邊長為：32+故選：B．2．解：A、12B、22C、62D、62故選：C．3．解：∵BC=6，D是BC的中點，∴BD=CD=1∵AB=AC=5，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD=故選：A．4．解：在Rt△ABC中，AB=8，BC=6AC=∵DE是AB的垂直平分線∴EA=EB，∴△BEC的周長為BE+EC+CB=AE+EC+CB=AC+CB=10+6=16,故選：B．5．解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=5∴4×4=16，所以圖中陰影部分的正方形的面積為16，故選：C．6．解：設(shè)門對角線長為x尺，根據(jù)勾股定理可得：x2故選：B．7．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB∴∠ECF=1∴△EFC為直角三角形，∵EF∥∴∠BCE=∠CEM，∠DCF=∠CFM，∴∠ACE=∠CEM，∠DCF=∠ACF，∴CM=EM=MF=3，∴EF=EM+MF=6，由勾股定理可知CE故選：A．8．解：∵△ADE翻折后與△BDE完全重合，∴AE=BE，設(shè)AE=x，則BE=x，CE=8-x，∵在Rt△BCE中，C即8-x2解得，x=7∴CE=7故選：B9．解：∵Rt△ABC中，斜邊BC=3∴AB∴AB故答案為：18．10．解：∵BC⊥AB，AB=4，BC=3，∴在Rt△ABC中，∵CD⊥AC，CD=12，∴在Rt△ACD中，故答案為：13．11．解：如圖所示，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=AB2設(shè)AB上的高為h，則根據(jù)面積可得：S△ABC∴h=12故答案為：4，6，12512．解：過點A作AE⊥BD交BD于點E，如圖，∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥∴S∵AB=AD=5，∴△ABD是等腰三角形，∴BE=1∴AE=A∴S∴S故答案為：12．13．解：由題意：S正方形∴S∵正方形A、C、D的面積依次為5、7、20，∴S正方形∴S正方形故答案為：8．14．解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，由勾股定理，得BC=A由翻折的性質(zhì)，得CE=AE．△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17(cm)故答案為：17．15．解：在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，由折疊的性質(zhì)可得：DF=DC=AB=10，∴AF=DF2-A∴BF=AB-AF=10-8=2，設(shè)CE=x，則：EF=CE=x，BE=BC-CE=6-x，在Rt△BEF22解得：x=103∴CE=103故答案為：10316．解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP=CP，BD=12BC=由勾股定理，得AD=A如圖，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示．

∵S∴BQ=BC?AD即PC+PQ的最小值是245故答案為：24517．解：如圖所述，過點A作AD⊥BC的延長于點D，過點C作CE⊥AB于點E，

∵△ABC是格點圖形，每個小正方形的邊長為單位1，∴AD=3，BC=3，BD=4，∴在Rt△ABD中，AB=∵S△ABC∴CE=BC·AD∴△ABC中AB邊上的高為9518．解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=答：AD為2.5米．

19．（1）證明：∵△ABC與△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．∴BC=AC,CD=CE，∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACESAS（2）∵BD=4，BA=7，∴AD=AB-BD=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°．∴∠CBD=∠CAB=45°,∵△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE=45°，BD=AE=4，∴∠DAE=∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°，在Rt△DAE中，DE=即DE的長為5．20．（1）解：如圖，設(shè)PB=PA=xcm，則PC=

∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4∴AC=A在Rt△ACP中，由勾股定理得A∴3解得x=25∴BP=25∴t=AB+BP（2）解：如圖所示，當(dāng)點P在AC上時，過P作PD⊥AB于D，

∵BP平分∠ABC，∠C=90°，PD⊥AB∴PD=PC，∠DBP=∠CBP，在△BCP與△BDP中，∠BDP=∠BCP∠DBP=∠CBP∴△BDP≌△BCP∴BC=BD=4cm∴AD=5-4=1cm設(shè)PD=PC=ycm，則AP=在Rt△ADP中，由勾股定理得A∴1解得y=4∴CP=4∴t=AB+BC+CP當(dāng)點P與點B重合時，點P也在∠ABC的角平分線上，此時，t=AB綜上所述，點P恰好在∠ABC的角平分線上，t的值為316或5（3）解：分四種情況：①如圖，當(dāng)P在AB上且AP=CP時，

∴∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP=AP，∴P是AB的中點，即AP=1∴t=AP②如圖，當(dāng)P在AB上且AP=CA=3cm

∴t=AP③如圖，當(dāng)P在AB上且AC=PC時，過C作CD⊥AB于D，∵S△ABC∴CD=AC?BC

在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=∴AP=2AD=18∴t=AP④如圖，當(dāng)P在BC上且AC=PC=3cm時，則BP=4-3=1

∴t=AB+BP綜上所述，當(dāng)t的值為54或32或95或321．（1）證明：由已知，得AD=AB，∠BAD=90°，∠BAC+∠DAE=90°．又∵BC⊥l，DE⊥l，∴∠BCA=∠DEA=90°，∠BAC+∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ABC，∴Rt∴BC=AE=a，AC=DE=b∴S又∵S∴1∴a（2）∵圖形的周長為48，由圖可知4AB+AC∴AB+AC=12．由圖可知OB=OC=6，在Rt△OAB中，O即62解得AC=2，∴OA=8，∴圖案的面積S=4S22．解：（1）如圖，延長CD至點B1，使DB

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，在△ABM和△ADB1中∴△ABM≌△ADB∴AM=AB又∵∠MAN=45°，∴∠NAB∴∠MAN=∠NAB在△AMN和△AB1N∴△AMN≌△AB∴MN=B（2）如圖，過點A作AP⊥MN于點P，則∠APM=∠APN=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAM=∠AMB．又∵∠DAM=∠AMN，∴∠AMB=∠AMN．在△ABM和△APM中，AM=AM∠B=∠APM=90°∴△ABM≌△APM(AAS∴AB=AP，在Rt△APN和Rt△ADN中，∴Rt△APN≌∴PN=DN．∵5DN=CD=5，∴PN=DN=1，設(shè)BM=MP=x，則MN=x+1，在Rt△MCN中，由勾股定理得M∴(5-x