離散經(jīng)濟(jì)變量無限求和

08二月20241無窮級數(shù)在微積分中占有很重要的地位，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)和進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具。本章主要介紹無窮級數(shù)的一些基本知識。第一至四節(jié)介紹常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念、性質(zhì)和斂散性判斷；第五節(jié)為冪級數(shù)的概念、性質(zhì)和展開；最后一節(jié)討論級數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。08二月20242§6.1

從一個問題談起我國古代關(guān)于圓周率的計(jì)算：《九章算術(shù)》：周三徑一張衡劉徽：祖沖之：割圓術(shù)08二月20243圓的面積S記六邊形面積為u1；記這六個等腰三角形的面積之和為u2；記十二個等腰三角形的面積之和為u3；…劉徽08二月20244結(jié)論可列個數(shù)相加，其結(jié)果可以認(rèn)為是有限個數(shù)相加的極限。割之彌細(xì)所失彌少割之又割以至于不可割則與圓周合體而無所失矣

劉徽︽九章算術(shù)注︾08二月20245§6.2

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

定義

給定數(shù)列{un}，稱u1+u2+…+un+…為常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為其中un為第n項(xiàng)或一般項(xiàng)。Sn=

u1+u2+…+un稱為部分和。

注意部分和Sn本身構(gòu)成一個數(shù)列；無窮項(xiàng)相加(級數(shù))不一定有結(jié)果。例若Sn=

n3+2n+3，則un=

。08二月20246

定義若級數(shù)∑un=u1+u2+…+un+…部分和Sn的極限存在，則稱此級數(shù)收斂，并稱其部分和的極限值為此級數(shù)的和。即不存在，則此級數(shù)發(fā)散。

例

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為幾何級數(shù)，討論幾何級數(shù)的斂散性。

備忘08二月20247

例

討論級數(shù)

練習(xí)

討論級數(shù)

例常數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為調(diào)和級數(shù)。證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散。08二月20248二、性質(zhì)若A≠0為常數(shù)，則且當(dāng)它們都收斂時，

級數(shù)去掉或增加有限項(xiàng)不改變其斂散性。08二月20249收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍為收斂級數(shù)，且收斂于原級數(shù)的和。

注逆命題不真。級數(shù)收斂的必要條件：

08二月202410§6.3

正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法一、正項(xiàng)級數(shù)

定義若對任意n∈N，有un≥0，則稱級數(shù)Σun為正項(xiàng)級數(shù)。

定理正項(xiàng)級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)其部分和有(上)界。

例

證明p>1時級數(shù)08二月202411二、正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法

1、比較判別法

定理(比較判別法)若對任意n∈N，有0≤un

≤vn

，則若∑vn收斂，則∑un收斂；若∑un發(fā)散，則∑vn發(fā)散。

注意逆命題不真。

例

證明p<1時級數(shù)08二月202412

備忘

幾何級數(shù)和p-級數(shù)的斂散性結(jié)果：幾何級數(shù)：p-級數(shù)：

例判斷級數(shù)

練習(xí)判斷級數(shù)08二月202413

推論若∑un、∑vn皆為正項(xiàng)級數(shù)，存在A∈R+和N∈Z+，使得0≤un≤Avn，則若∑vn收斂，則∑un收斂；若∑un發(fā)散，則∑vn發(fā)散。

例判斷級數(shù)08二月202414定理(比較判別法的極限形式)若∑un、∑vn皆為正項(xiàng)級數(shù)，且0<l<+∞時，l=0時，l=+∞時，例

討論下列級數(shù)的斂散性：08二月202415通項(xiàng)為有理分式練習(xí)

討論下列級數(shù)的斂散性：通項(xiàng)中含對數(shù)練習(xí)

討論級數(shù)08二月202416無窮小量的應(yīng)用推論若正項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng)un與vn為同階無窮小量，則例討論下列級數(shù)的斂散性：練習(xí)判斷下列級數(shù)的斂散性：例判斷級數(shù)08二月2024172、比值判別法

定理(比值判別法或D’Alembert判別法)r<1時，∑un收斂；r>1(包括r=+∞)時，∑un發(fā)散；r=1時，∑un可能收斂也可能發(fā)散。

注意級數(shù)中含有n!、an、nn時一般選用比值判別法。定理中用的是極限值而非直接用un+1與un的的比值。當(dāng)r=1時不能用比值判別法判定級數(shù)是否收斂。08二月202418

例

討論下面級數(shù)的斂散性。

練習(xí)討論級數(shù)

定理

若s<1時，∑un收斂；s>1(包括s=+∞)時，∑un發(fā)散；s=1時，∑un可能收斂也可能發(fā)散。08二月2024193、根式判別法

定理(根式判別法或Cauchy判別法)r<1時，∑un收斂；r>1(包括r=+∞)時，∑un發(fā)散；r=1時，∑un可能收斂也可能發(fā)散。

例討論級數(shù)

練習(xí)討論級數(shù)08二月2024204、積分判別法

定理(Cauchy積分判別法)

設(shè)f(x)是[1,+∞)上的連續(xù)、遞減、正值函數(shù)，記un=f(n)，則有

例討論級數(shù)08二月202421

總結(jié)

正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別的一般思路：首先判斷通項(xiàng)是否趨于零：若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則利用比值、根式、積分判別法；若這三種方法不能判別，則用比較判別法

(先考慮極限形式)；若上述方法都不可行，則考慮計(jì)算級數(shù)的部分和。

練習(xí)

討論下面級數(shù)的斂散性：08二月202422§6.4

任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法

定義相對于正項(xiàng)級數(shù)，通項(xiàng)中的符號任意(即可正可負(fù))的級數(shù)，通常稱為任意項(xiàng)級數(shù)。一、絕對收斂與條件收斂

定理若∑|un|收斂，則∑un收斂。

注意

08二月202423

定義

若級數(shù)∑|un|收斂，則稱級數(shù)∑un絕對收斂；若級數(shù)∑|un|發(fā)散而∑un收斂，則稱級數(shù)∑un條件收斂。

例

證明級數(shù)練習(xí)

證明級數(shù)08二月202424二、交錯級數(shù)

定義

當(dāng)un>0，n=1、2、…時，稱級數(shù)∑(-1)n-1un或∑(-1)nun為交錯級數(shù)或Leibniz級數(shù)。

例下列級數(shù)中()是交錯級數(shù)。08二月202425

定理若交錯級數(shù)∑(-1)n-1un或∑(-1)nun滿足un≥un+1，n=1、2、…

則此交錯級數(shù)收斂。

注

此定理中的條件為交錯級數(shù)收斂的充分條件而非必要條件。

例

討論級數(shù)08二月202426

總結(jié)任意項(xiàng)級數(shù)∑un的斂散性判別的考慮順序：08二月202427

例

判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂指出是絕對收斂還是條件收斂：

練習(xí)

判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂指出是絕對收斂還是條件收斂：08二月202428總結(jié)對任意項(xiàng)級數(shù)∑un，若則級數(shù)∑un發(fā)散。

例證明級數(shù)08二月202429§6.5

冪級數(shù)與函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、冪級數(shù)的概念

定義

設(shè)un(x)在D上有定義，n=1,2,…,n,…，稱為D上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。08二月2024部分和08二月202408二月202408二月202408二月2024在[n-1,n]上應(yīng)用Lagrange中值定理得因此對任意n∈N，有因此部分和有界，則原正項(xiàng)級數(shù)收斂。08二月202408二月202408二月202408二月202408二月202408二月202408二月2024用比較判別法，由由比較判別法，分析過程08二月2024分析

用比較判別法，顯然與p級數(shù)為確定p，計(jì)算相應(yīng)的極限：若取p>2，則極限為無窮大，但無法判別；若取p<2，則極限為零，即需要取p>1。通過以上分析，只要選擇1<p<2，就可以用p級數(shù)判別。08二月202408二月202408二月202408二月2024由比值判別法知，級數(shù)當(dāng)x<1時收斂；當(dāng)x>