中考數(shù)學(xué)《圓的綜合》綜合檢測試卷含答案解析

2023中考數(shù)學(xué)專題《圓的綜合》綜合檢測試卷含答案解析

一、圓的綜合

1.如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以。為圓心，OA為半徑的圓交AB于D,延長AO

交。于E,連接CD,CE,若CE是。。的切線，解答下列問題：

(1)求證：CD是00的切線；

(2)若BC=4,CD=6,求平行四邊形0ABe的面積.

【答案】(1)證明見解析(2)24

【解析】

試題分析：(1)連接。D,求出NEOC=NDOC,根據(jù)SAS推出AEOS△DOC,推出

NODC=NOEC=90。，根據(jù)切線的判定推出即可；

(2)根據(jù)切線長定理求出CE=CD=4,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出0A=0D=4,根據(jù)平行四邊

形的面積公式=24COD的面積即可求解.

試題解析：(1)證明：連接。D,

???OD=OA,

ZODA=ZA,

???四邊形OABC是平行四邊形，

OCIIAB,

ZEOC=ZA,ZCOD=ZODA,

ZEOC=ZDOC,

在4EOC和4DOC中，

0E=0D

<NEOC=NDOC

oc=oc

：.AE0醛ADOC(SAS),

ZODC=ZOEC=90",

即OD±DC,

CD是。0的切線；

(2)由(1)知CD是圓。的切線，

△CDO為直角三角形，

「SACDO=—CDeOD,

又?「0A=BC=0D=4,

I

??SACDO=X6X4=12,

?1.平行四邊形OABC的面積S=2SACDO=24.

2.如圖，點P在。。的直徑AB的延長線上，PC為。。的切線，點C為切點，連接AC,

過點A作PC的垂線，點D為垂足，AD交。。于點E.

(1)如圖1,求證：ZDAC=ZPAC；

(2)如圖2,點F(與點C位于直徑AB兩側(cè))在00上，BF=FA，連接EF,過點F作AD

的平行線交PC于點G,求證：FG=DE+DG；

【分析】

(1)連接0C,求出。CllAD,求出。C_LPC,根據(jù)切線的判定推出即可；

(2)連接BE交GF于H,連接0H,求出四邊形HGDE是矩形，求出DE=HG,FH=EH,即

可得出答案；

(3)設(shè)0c交HE于M,連接OE、OF,求出NFHO=NEHO=45。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出

12

EHIIDG,求出0M=-AE,設(shè)0M=a,則HM=a,AE=2a,AE=-DG,DG=3a,

23

求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tanNMB0=,tanP=C°=,,設(shè)

BM2PO2

OC=k,則PC=2k,根據(jù)0P=斯k=5求出k=6，根據(jù)勾股定理求出a,即可求出答案.

【詳解】

(1)證明：連接0C,

D

VPC為。。的切線，

二OC±PC,

???AD±PC,

「?OCIIAD,

ZOCA=ZDAC,

?「OC=OA,

ZPAC=ZOCA,

/.ZDAC=ZPAC；

(2)證明：連接BE交GF于H,連接OH,

,/FGIIAD,

ZFGD+ZD=180°,

???ZD=90°,

/.ZFGD=90°,

,/AB為(DO的直徑，

???ZBEA=9O°,

???ZBED=90°,

ZD=ZHGD=ZBED=90°,

.??四邊形HGDE是矩形，

/.DE=GH,DG=HE,ZGHE=90°,

???BF=AF，

/.ZHEF=ZFEA=-ZBEA=-x90°=45°,

22

??.ZHFE=90°-ZHEF=45°,

ZHEF=ZHFE,

FH=EH,

/.FG=FH+GH=DE+DG；

(3)解：設(shè)。C交HE于M,連接OE、OF,

D

,/EH=HF,OE=OF,HO=HO,

△FHOM△EHO,

/.ZFHO=ZEHO=45°,

?「四邊形GHED是矩形，

/.EHIIDG,

/.ZOMH=ZOCP=90°,

??.ZHOM=900-ZOHM=90°-45°=45°,

ZHOM=ZOHM,

HM=MO,

,/OM±BE,

BM=ME,

1

/.OM=-AE,

2

2

設(shè)OM=a,則HM=a,AE=2a,AE=-DG,DG=3a,

3

,/ZHGC=ZGCM=ZGHE=90°,

/.四邊形GHMC是矩形，

/.GC=HM=a,DC=DG-GC=2a,

,/DG=HE,GC=HM,

ME=CD=2a,BM=2a,

”,MOa1

在BOM中，tanZMBO=-------=—=—

BMla2

EHIIDP,

ZP=ZMBO,

CO1

tanP=------=—,

PO2

設(shè)OC=k,則PC=2k,

在RtAPOC中，OP=&k=5,

解得：k=BOE=OC=布,

在RSOME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,

a=l,

/.HE=3a=3,

在RtAHFE中，ZHEF=45°,

???EF=V2HE=30.

【點睛】

考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識點，能綜合運用

性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

3.如圖1,以邊長為4的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作。。，交對角線AC于點E.

（1）圖1中，線段AE=；

（2）如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，以點A為端點作NDAM=30。，交CD于點M,沿AM將四

邊形ABCM剪掉，使RtAADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖3）,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0。<（1<

150°）,在旋轉(zhuǎn)過程中AD與。0交于點F.

①當(dāng)a=30。時，請求出線段AF的長；

②當(dāng)a=60。時，求出線段AF的長；判斷此時DM與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

③當(dāng)a=。時，DM與。0相切.

【答案】（1）24（2）①2②2小，相離③當(dāng)a=90。時，DM與。。相切

【解析】（1）連接BE,是正方形A8C。的對角線，,NBAC=45。，二△AEB是等腰直

角三角形,又?.A8=8,二心我；

圖1

(2)①連接OA、OF,由題意得，ZNAD=30°,ZDAM=30°,故可得NOA/W=30。，

ZDAM=30°,則NOAF=60。，X-/OA=OF,△OAF是等邊三角形，丫OA=4,=AF=OA=4；

圖2

②連接B'F,此時NNAD=60°,/AB'=8,ZDAM=30Q,二AF=A8'cosNDAM=8x亨=4?；

此時OM與。。的位置關(guān)系是相離；

圖3

③,??AD=8,直徑的長度相等，，當(dāng)DM與。。相切時，點。在。。上，故此時可得

a=ZNAD=90°.

點睛：此題屬于圓的綜合題，主要是仔細(xì)觀察每一次旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)含30。角的直角

三角形進(jìn)行計算，另外在解答最后一問時，關(guān)鍵是判斷出點。的位置，有一定難度.

4.如圖，0M與菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點M的坐標(biāo)為（3,-1）,點A的坐

標(biāo)為（-2,G）,點B的坐標(biāo)為（-3,0）,點C在x軸上，且點D在點A的左側(cè).

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）若0M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移，同時菱形ABCD沿x軸向右以每

秒3個單位長度的速度平移，設(shè)菱形移動的時間為t（秒），當(dāng)。M與BC相切，且切點為

BC的中點時，連接BD,求：

①t的值；

②NMBD的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點M與BD所在的直線的距離為1時，求t的值.

【答案】⑴8；⑵①7；②105°；⑶t=6-6或6+L.

3

【解析】

分析：（1）根據(jù)勾股定理求菱形的邊長為2,所以可得周長為8；

（2）①如圖2,先根據(jù)坐標(biāo)求EF的長，由EE，-FE'=EF=7,列式得：3t-2t=7,可得t

的值；

②先求NEBA=60。，則NFBA=120。，再得NM8F=45。，相加可得：

ZMBD=ZMBF+NFBD=45°+60°=105°；

（3）分兩種情況討論：作出距離MN和ME,第一種情況：如圖5由距離為1可知：BD

為。/W的切線，由BC是。M的切線，得NM8E=30。，歹lj式為3t+G=2t+6,解出即可；

第二種情況：如圖6,同理可得t的值.

詳解：（1）如圖1,過A作AE_L8C于E.

■:點A的坐標(biāo)為（-2,由），點B的坐標(biāo)為（-3,0）,；,AE=6,BE=3-2=1,

A8=VAE2+BE2=7（V3）2+12=2-

...四邊形ABCD是菱形，.?.A8=8C=CD=AD=2,.,.菱形A8CD的周長=2x4=8；

（2）①如圖2,OM與x軸的切點為F,8c的中點為E.

M（3,-1）,F（3,0）.

BC=2,且E為8c的中點，「.E（-4,0）,:.EF=7,B|JEE'-FE'=EF,/.3t-2t=7,

t=7;

②由（1）可知：8E=1,AE=6

AEn

：.tanzEBA=——=—=73,，NEBA=60°,如圖4,J.NFBA=120°.

BE1

四邊形ABCD是菱形，.INFBD=，NFBA='xl20°=60°.

22

是OM的切線，MF_LBC.

??.F是BC的中點，8F=MF=1,48FM是等腰直角三角形,

ZMBF=45°,ZMBD=NMBF+ZFBD=45°+60o=105°；

（3）連接BM,過/W作MA/J_BD,垂足為N,作/WE_LBC于E,分兩種情況：

第一種情況：如圖5.

四邊形ABC。是菱形,ZABC=120°,/.ZCBD=60",/.ZNBE=60°.

?點M與BD所在的直線的距離為1,.IMN=1,，BD為。M的切線.

；BC是。M的切線，，N/WBE=30。.

ME=1,，EB=G，，3t+&=2t+6,t=6-73；

第二種情況：如圖6.

四邊形ABC。是菱形,ZABC=120Q,/.ZDBC=60°,..ZNBE=120°.

?.?點M與BD所在的直線的距離為1,..8D為。M的切線.

；BC是是。的切線，JNMBE=60。.

ME1J3

ME=MN=1,RtABEM中，tan600=——，EB=-----------=—,

BEtan6Q03

3t=2t+6+——,t—6+——；

33

綜上所述：當(dāng)點M與8D所在的直線的距離為1時，t=6-百或6+3.

3

點睛：本題是四邊形和圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)和判定、特殊的

三角函數(shù)值、等腰直角三角形的性質(zhì)、動點運動問題，此類問題比較復(fù)雜，弄清動點運動

方向、速度、時間和路程的關(guān)系，并與方程相結(jié)合，找等量關(guān)系，求出時間t的值.

5.如圖，PA、PB是。。的切線，A,B為切點，N」APB=60。，連接P。并延長與。。交于C

點，連接AC、BC.

(I)求NACB的大小；

（n）若。。半徑為1,求四邊形ACBP的面積.

【答案】（I）6。。；（口）正

2

【解析】

分析：（I）連接A。，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理，得至IJOALAP,OP平分NAPB,然

后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，得到NACB的

度數(shù)；

（H）根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等底同高的性質(zhì)求三角

形的面積即可.

詳解：（I）連接OA,如圖，

；PA、PB是。0的切線，

OA±AP,OP平分NAPB,

1

ZAPO=-ZAPB=30°,

2

ZAOP=60",

OA=OC,

ZOAC=ZOCA,

1

ZACO=-AOP=30°,

2

同理可得NBCP=30°,

ZACB=60"：

(II)在RtAOPA中，NAPO=30°,

AP=V^OA=5OP=2OA=2,

/.0P=20C,

而SAOPA—xlx-^3,

SAAOC=-SAPAO=------,

24

.c_30

??SAACP=-------，

4

?1?四邊形ACBP的面積=2SAACP=^^,

2

點睛：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

6.某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截

面的半徑.如圖，若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm,水最深的地方的高度為

4cm,求這個圓形截面的半徑.

【答案】10cm

【解析】

分析：先過圓心。作半徑CO_LAB,交AB于點D設(shè)半徑為r,得出AD、OD的長，在

《△AOD中，根據(jù)勾股定理求出這個圓形截面的半徑.

詳解：解：過點。作。CJ_AB于D,交。。于C,連接OB,

OC±AB

11

BD=—AB=—xl6=8cm

22

由題意可知，CD=4cm

，設(shè)半徑為xcm,貝ijOD=(x-4)cm

在RtABOD中,

由勾股定理得：OD2+BD2=OB2

(x-4)2+82=x2

解得：x=10.

答：這個圓形截面的半徑為10cm.

點睛：此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行

求解.

7.如圖，△ABC內(nèi)接于0。，弦ADJLBC,垂足為H,連接0B.

(1)如圖1,求證:NDAC=NABO;

⑵如圖2,在弧AC上取點F,使NCAF=ZBAD,在弧AB取點G,使AGIIOB,若NBAC=60°,

求證:GF=GD;

(3)如圖3,在⑵的條件下,AF、BC的延長線相交于點E,若AF：FE=1:9,求sinNADG的值。

【答案】(1)詳見解柝⑵詳見解柝⑶*

【解析】

試題分析：(1)延長8。交。。于點Q,連接AQ.由圓周角定理可得：NAQB=NACB,再

由等角的余角相等即可得出結(jié)論；

(2)證明ADFG是等邊三角形即可：

(3)延長GA,作FQ_LAG,垂足為Q,作。NJ_AD,垂足為N,作。M_LBC,垂足為

延長A。交00于點R,連接GR.作OP_LAG,DK±AE,垂足為P、K.設(shè)AF=k,則

FE=9k,AE=10k.在AAHE中,AH=5k.設(shè)NH=x,則AN=5k-x,AD=10k-2x.在AAQF中,

k/7

AF=k,AQ=-9FQ=—k.由(2)知：AGDF是等邊三角形，得至ljG。=GF=OF,進(jìn)而得到

22

AG=9k-2x.

0M=NH=x,BC=2>/3x,GF=BC=273x.在中,GQ=AG+AQ=-k-2xfQF=—k1

22

711

GF=2百x，由勾股定理解出X=得至ljAG=9k-2x=—k,AR=2O8=4OM=4x=7k.在

42

△GAR中，由sinzADG=sinNR即可得出結(jié)論.

試題解析：解：(1)證明：如圖1，延長B。交。。于點Q,連接AQ.

??-BQ是。。直徑，J.Z0/18=90°.1??ADA.BC,：.ZAHC=90°.

???弧止弧AB,ZAQB=NACB.

-：Z>4QB+Z480=90°,N4CB+NCAD=90°

ZABO=Z.CAD

A

（2）證明：如圖2,連接DF.

4GIIOB,ZABO=NBAG.ZABO=NCAD,：.ZCAD=ABAG.

■：ZBAC=60°,：.ZBAD+NCAD=ZBAD+NBAG=60°,即

ZGAD=NBAC=60°.'：ZBAD=ZCAF.ZCAF+NCAD=60°,：.ZGAD=NDAF=60°,

ZDGF=NCMF=60°.

弧GD=MGD,：.ZGAD=NGFD=60°,..ZGFD=NDGF=60°,：.△DFG是等邊三角形,

GD=GF.

(3)如圖3,

延長GA,作FQ_LAG,垂足為Q,作。N_LAD,垂足為N,作。M_LBC,垂足為延長

A。交。。于點R,連接GR.作DPJ_AG,DKA.AE,垂足為P、K.

AF：FE=1：9,...設(shè)AF=k,則FE=9k,AE=10k.在中,ZF=30°,AH=5k.

設(shè)NH=x,則AN=5k-x.：ONrAD,：.AD=2AN=Wk-2x

k/T

又在△AQF中，ZGAF=120°,ZQAF=60°,AF=k,：.AQ=—,FQ=—k.

22

由(2)知：4GDF是等邊三角形，：.GD=GF=DF,

ZGAD=ZDAF=60°,：.DP=DK,△GPD^△FKD,△APD^△AKD

：.FK=GP,AP=AK,ZADK=30°,：.A0=2AK=AP+AK=AF+AG

AG=10k-2x-k=9k-2x.

..?作。MJ_8C,ONJ.AD,OM=NH=x.;ZBOD=-N80C=NBAC=60°

2

8C=2BM=2A/3X.:ZBOC=NGOF,二GF=8C=2百X

在AGQF中，GQ=AG+AQ=-k-2x,QF^—k,GF=2百x

22

GQ2+FQ2=GF2

=：k,工2=_+左（舍去）?

11,

AG=9k-2x=—k,AR=2OB=4OM=4x=7k,

2

在AGAR中，NRGA=90。，

AG11

點睛:本題是圓的綜合題.熟練掌握圓的基本性質(zhì)和常用的輔助線做法是解答本題的關(guān)

鍵.

8.如圖1,四邊形ABCD為。。內(nèi)接四邊形，連接AC、C。、B。，點C為弧BD的中點.

（1）求證：ZDAC=ZACO+ZABO；

（2）如圖2,點E在。C上，連接EB,延長CO交AB于點F,若NDAB=NOBA+NEBA.求

證：EF=EB；

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=7.

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，連接0A,只要證明NCAB=N1+N2=ZACO+NABO,由點C是

RD中點，推出CO=C3，推出NBAC=NDAC,即可推出NDAC=NACO+NABO；

（2）想辦法證明NEFB=NEBF即可；

（3）如圖3中，過點0作。HLAB,垂足為H,延長BE交H0的延長線于G,作BNLCF

于N,作CK_LAD于K,連接0A.作CTN_LAB于T.首先證明△EFB是等邊三角形，再證

明^ACK空△ACT,RtADK8RtABTC,延長即可解決問題；

試題解析：（1）如圖1中，連接0A,

OA=OC,...Z1=ZACO,

1.,OA=OB,Z2=NABO,/.ZCAB=N1+Z2=NACO+ZABO,

丁點c是加中點，弓5二而，，NBAC二NDAC,

/.ZDAC=ZACO+ZABO.

圖1

(2)如圖2中,

,/ZBAD=ZBAC+ZDAC=2ZCAB,ZCOB=2ZBAC,/.ZBAD=ZBOC,

?/ZDAB=ZOBA+ZEBA,/.ZBOC=ZOBA+ZEBA,

ZEFB=ZEBF,EF=EB.

(3)如圖3中，過點O作OHJ_AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于G,作BNJLCF

于N,作CK_LAD于K,連接OA.作CTN_LAB于T.

/ZEBA+ZG=90°,ZCFB+ZHOF=90°,

ZEFB=ZEBF,/.ZG=ZHOF,

ZHOF=ZEOG,/.ZG=ZEOG,EG=EO,

/OH±AB,AB=2HB,

OE+EB=AB,GE+EB=2HB,GB=2HB,

HB1

cosZGBA=------=—,ZGBA=60°,

GB2

「.△EFB是等邊三角形，設(shè)HF二a,

/ZFOH=30°,/.OF=2FH=2a,

,/AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a+——,

2

OE=EF-OF=FB-0F=--a,OB=OC=OE+EC=--a+2=--a.

222

1113

NE=—EF=—an-----,

224

13113133

ON=OE=EN=(-------a)-(-a+—)=-------------a,

22442

BO2-ON2=EB2-EN2,

17133、，13,113,

(--a)2-(------------a)2=(a+—)2-(—a+—)2,

242224

3

解得a=—或-10(舍棄)，

2

0E=5,EB=8,0B=7,

ZK=ZATC=90°,ZKAC=ZTAC,AC=AC,△AC心△ACT,CK=CT,AK=AT,

CD-CB'DC=BC,RtADK8RtABTC,/.DK=BT,

1

???FT=-FC=5,DK=TB=FB-FT=3,/.AK=AT=AB-TB=10,，AD=AK-DK=10-3=7.

2

9..如圖，△ABC中，NACB=90。，NA=30。，AB=6.。是線段AC上一個動點(不與點A

重合)，OD與AB相切，切點為E,0。交用■線DC于點F,過F作FG_LEF交富繾BC于

點G,設(shè)。。的半徑為r.

(1)求證AE=EF；

(2)當(dāng)。。與直線8c相切時，求r的值；

(3)當(dāng)點G落在0。內(nèi)部時，直接寫出r的取值范圍.

【答案】⑴見解析,(2)r=G,⑶百＜「＜上”

【解析】

【分析】

(1)連接DE,則NADE=60°=ZDEF+ZDFE,而NDEF=ZDFE,則NDEF=ZDFE=30°=ZA,

即可求解；

(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點為F,NA=30。，AB=6,則BF=3,

AD=2r,由勾股定理，即可求解；

(3)分點F在線段AC上、點F在線段AC的延長線上兩種情況，分別求解即可.

【詳解】

解：設(shè)圓的半徑為r；

(1)連接DE,則NADE=60°=NDEF+ZDFE,

圖1

而NDEF=ZDFE,則NDEF=ZDFE=30°=ZA,

AE=EF；

(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點為F

圖2

ZA=30°,AB=6,則BF=3,AD=2r,

由勾股定理得：(3r)2+9=36,

解得：r=6；

(3)①當(dāng)點F在線段AC上時，如圖3所示，連接DE、DG,

FC=3y/3-3r,GC=&C=9-3后

②當(dāng)點F在線段AC的延長線上時，如圖4所示，連接DE、DG,

G'

圖4

FC=3百一3r,GC=MFC=3后-9

兩種情況下GC符號相反，GC2相同,

由勾股定理得：DG2=CD2+CG2,

點G在圓的內(nèi)部，故：DG2<r2,

即：(373-2r)2+(3V3r-9)2<r2

整理得：5r2-llV3r+18<0

解得：百<「<竿

【點睛】

本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；利用勾股定理計算線段的長.

10.如圖，已知：AB是的直徑，點C在上，CD是。0的切線，AD_LCD于點D,

E是AB延長線上一點，CE交0。于點F,連接OC、AC.

(1)求證：AC平分NDAO.

(2)若NDAO=105°,ZE=30°

①求NOCE的度數(shù)；

②若。。的半徑為20,求線段EF的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)①NOCE=45。：②EF=262

【解析】

【試題分析】(1)根據(jù)直線與。。相切的性質(zhì)，得。C_LCD.

又因為ADLCD,根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD//OC.

ZDAC=Z0cA.又因為0c=0A,根據(jù)等邊對等角，得N0AC=Z0cA.等量代換得：

zDAC=NOAC.根據(jù)角平分線的定義得：AC平分NDA0.

(2)①因為AD〃OC,NDAO=105。，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，

ZEOC=ZDAO=105°,在AOCE中，ZE=30。，利用內(nèi)角和定理，得：ZOCE=45".

②作OGLCE于點G,根據(jù)垂徑定理可得FG=CG,因為OC=2夜，NOCE=45。.等腰直角三

角形的斜邊是腰長的血倍，得CG=OG=2.FG=2.在RtAOGE中，NE=30°,得GE=2jL

則EF=GE-FG=202

【試題解析】

(1),直線與。。相切，OC_LCD.

又AD±CD,AD//OC.

ZDAC=ZOCA.

又OC=OA,二ZOAC=NOCA.

ZDAC=ZOAC.

AC平分NDAO.

(2)解：①,.,AD〃OC,NDAO105°,/.ZEOC=ZDAO=105°

ZE=30°,ZOCE=45°.

②作。G_LCE于點G,可得FG=CG

OC=2>/2>OCE=45°..'.CG=OG=2.

FG=2.

?在RtAOGE中,ZE=30°,GE=2V3.

EF=GE-FG=2jJ-2.

【方法點睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判

定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等.

11.如圖1,等腰直角△ABC中，NACB=90。，AC=BC,過點A,C的圓交AB于點D,交BC

于點E,連結(jié)DE

(1)若AD=7,BD=1,分別求DE,CE的長

(2)如圖2,連結(jié)CD,若CE=3,ZiACD的面積為10,求tanNBCD

(3)如圖3,在圓上取點P使得NPCD=NBCD(點P與點E不重合)，連結(jié)PD,且點D

是ACPF的內(nèi)心

①請你畫出△CPF,說明畫圖過程并求NCDF的度數(shù)

②設(shè)PC=a,PF=b,PD=c,若(a-Qc)=8,求△CPF的內(nèi)切圓半徑長.

圖1圖2圖3

【答案】（1）DE=1,CE=3A/2；（2）tan/BCD=:；（3）①135°；②2.

【解析】

【分析】

（1）由A、C、E、D四點共圓對角互補為突破口求解；

（2）找NBDF與NODA為對頂角，在。。中，ZC0D=2ZCAD,證明△OCD為等腰直角三

角形，從而得到NEDC+ZODA=45°,即可證明NCDF=135°；

（3）過點D做。“J.CB于點H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點P做。。切線PF

交CB的延長線于點F,結(jié)合圓周角定理得出NCPD=ZCAD=45。，再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形

三個內(nèi)角角平分線的交點，得出NCPF=90。，然后根據(jù)角平分線性質(zhì)得出

ZDCF+NCFD=-ZPCF+-NPFC=45°，最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求

22

解；證明NDCF+NCFD=45。，從而證明NCPF是直角，再求證四邊形PKDN是正方形，最后

以△PCF面積不變性建立等量關(guān)系，結(jié)合已知（a-、后c）（b-^c）=8,消去字母a,b求

出C值，即求出ACPF的內(nèi)切圓半徑長為"c.

2

【詳解】

（1）由圖可知:

設(shè)BC=x.在由△ABC中，AC=BC.由勾股定理得:

AC2+BC2=AB2,

AB=AD+BD,AD=7,BD=1,

x2+x2=82,

解得：x=4&.

???oo內(nèi)接四邊形，ZACD=90°,

/.ZADE=90°,

ZEDB=90",

?/ZB=45°,

??.△BDE是等腰直角三形.

DE=DB,

文:DB=1,

DE=1,

又CE=BC-BE,

二CE=4夜一夜=3折

（2）如圖所示：

圖2

在△DCB中過點D作DM_LBE,設(shè)BE=y,則DM二Ly,

2

又??CE=3,/.BC=3+y,

SAACB=SACD+SDCB,

/.gx4五x4^=10+gx（3+y）x；y,

解得：y=2或y=?ll（舍去）.

EM=1,

CM=CE+ME=l+3=4,

又「ZBCD=ZMCD,

/.tanzBCD=tanZMCD,

*uDM1

在RtADCM中，tanZMCD=-------=—,

CM4

1

/.tanzBCD=—.

4

（3）①如下圖所示：

過點D做。于點H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點P做。。切線PF交CB

的延長線于點F.

A

ZCAD=45°,

ZCPD=ZCAD=45°,

又???點D是AC。/7的內(nèi)心，

???PD、CD、DF都是角平分線,

???ZFPD=ZCPD=45°,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFD

???ZCPF=90°

/.ZPCF+ZPFC=90°

ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°

22

ZCDF=1800-ZDCF-ZCFDF=90°+45°=135°,

即NCDF的度數(shù)為135°.

②如下圖所示

過點D分別作DK_LPC,DM±CF,DN_LPF于直線PC,CF和PF于點K,M,N三點,

設(shè)^PCF內(nèi)切圓的半徑為m,則DN=m,

■■■點D是4PCF的內(nèi)心，

DM=DN=DK,

又ZDCF+ZCFD+ZFDC=180°,ZFDC=45。，

ZDCF+ZCFD=45°,

又DC,DF分別是NPCF和NPFC的角平分線，

ZPCF=2ZDCF,ZPFC=2ZDFC,

ZPCF+ZPFC=90°,

ZCPF=90°.

在四邊形PKDN中，ZPND=NNPK=NPKD=90°,

四邊形PKDN是矩形，

又丫KD=ND,

四邊形PKDN是正方形.

1:ZMBD=ZBDM=45。，

ZBDM=ZKDP,

ZKDP=45".

1."PC=a,PF=b,PD=c,

72

/.PN=PK=—c，

2

.1V2>/2

..NF=b--------c，CK=a---------c?

22

又?「CK=CM,FM=FN,CF=CM+FM,

CF=a+b-V2c，

乂SAPCF=SAPDF+SAPDC+SADCF>

1,1V21,V21z,r-,y/2

??一<ib——ax----cH—bx------cH—（a+b—\/2c）x------c?

2222222

化簡得：ab=V2（a+b）c-c2------（I）,

又,??若（a-&c）（b-血c）=8

化簡得：ab-V2c（a+b）+2c2=8--一（口）,

將（I）代入（口）得：C2=8,

解得：c=2近，或c=-2夜（舍去），

：.m=—c=—x2>/2=2.

22

即^CPF的內(nèi)切圓半徑長為2.

【點睛】

本題考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓的內(nèi)心，圓心角、圓周角，同?。ɑ虻然。┲g的相互

關(guān)系，同時也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函數(shù)值相等和三角形的面積

公式，正方形，對頂角和整式的運算等知識點；難點是作輔助線和利用等式求ACPF的內(nèi)

切圓半徑長.

12.如圖1,AB為半圓。的直徑，半徑。P_LA8,過劣弧AP上一點。作。CJLAB于點

C.連接。B,交0P于點E,NOBA=22.5。.

⑴若。C=2,則AC的長為；

⑵試寫出AC與PE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶連接A。并延長，交0P的延長線于點G,設(shè)OC=x,GP=y,請求出x與y之間的等量

關(guān)系式.（請先補全圖形，再解答）

p

o

S1

【答案】⑴20-2；⑵見解析；⑶y=2x

【解析】

【分析】

(1)如圖，連接。D,則有NAOD=45。，所以△DOC為等腰直角三角形，又0C=2,所以

DO=AO=27L故可求出AC的長；

(2)連接AD,DP,過點D作DFA.0P,垂足為點F.證AC=PF或AC=EF,證DP=DE

證PF=EF=-PE,故可證出PE=2AC；

2

(3)首先求出0。=0c缶，再求AB=20x,再證△DGE2AD8A,得

GE=AB=2y/2x，由PE=2AC得PE=2(瓜-x),再根據(jù)GP=GE-PE可求結(jié)論.

【詳解】

(1)連接0D,如圖，

；ZB=22.5",

ZDOC=45°,

；DC±AB

△DOC為等腰直角三角形,

1-0C=2,

OD=2y[2,

--A0=2后,

AC=AO-OC=2A/2-2.

⑵連接4D,DP,過點。作。FLOP,垂足為點F.

,/OP±AB,

：.ZPOD=ZDOC=45°,

AD=PD,

.「△DOC為等腰直角三角形，

??.DC=CO,

易證DF=CO,

/.DC=DF,

/.RtADAZRtADPF,

PF=AC,

,/DO=AO,ZDOA=45°

/.ZDAC=67.5°

/.ZDPE=67.5°/

,/OD=OB,ZB=22.5°,

ZODE=22.5°

/.ZDEP=22.5°+45°=67.5°

ZDEP=ZDPE

PF=EF=-PE

2

：.PE=2AC

(3)如圖2,由N08=90。，4DOC=45°得OD=OCD=Ox

AB=2OD=2y/2x

vAB是直徑，

ZADB=ZEDG=90°,

由(2)得AD=ED,NDEG=ZDAC

△DGE^△DBA

???GE=AB=2瓜

,/PE=2AC

PE=2(\f2x-x)

GP=GE-PE=2V2x-2(y/2x-x)

即：y=2x

【點睛】

本題是一道圓的綜合題，涵蓋的知識點較多，難度較大，主要考查了圓周角定理，等腰三

角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握并運用這些知識是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在△ABC中，以AC為直徑作。。交BC于點D,交AB于點G,且D是BC中

點，DE±AB,垂足為E,交AC的延長線于點F.

2

(1)求證：直線EF是。。的切線；(2)若CF=3,cosA=一，求出。。的半徑和BE的

長；

【答案】⑴見解析；⑵2,-(3)CG:EF=4：7

【解析】

試題分析：(1)連結(jié)0D.先證明0D是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到

ODIIAB,再由DEJLAB,得出0D1.EF,根據(jù)切線的判定即可得出直線EF是。。的切線；

(2)先由ODIIAB,得出NCODNA,再解心△DOF,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到

coszFOD=-設(shè)。。的半徑為R,解方程求出R=￡,那么AB=20D=",

OF5R+5533

解R3AEF,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到cosA=9^=g,求出AE="，然后由BE=AB-AE即

AF53

可求解.

試題解析：

(1)證明：如圖，連結(jié)OD.

?/CD=DB,CO=OA,

AOD是4ABC的中位線，

ODIIAB,AB=2OD,

DE±AB,

DE±OD,即OD_LEF,

???直線EF是。。的切線；

(2)解：?1-ODIIAB,

ZCOD=NA.

在RtADOF中，,:乙ODF=90",

■■cosZF0D=OD=Z,

OF5

設(shè)。。的半徑為R,則鼻=g，

R+55

解得R=-y.

AB=20D=—.

3

在R3AEF中，ZAEF=90°,

【點睛】本題考查了切線的判定，解直角三角形，三角形中位線的性質(zhì)知識點.要證某線

是圓的切線，已知此線過圓上某點，連結(jié)圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.

14.如圖，已知等邊△ABC,AB=16,以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D,過點D作

DF_LAC,垂足為F,過點F作FG_LAB,垂足