數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(較全面)

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法觀察法:給出前n項(xiàng)，寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式方法：觀察、歸納，抓住第n項(xiàng)與n的關(guān)系。二、公式法：利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列：或等比數(shù)列或利用前n項(xiàng)和：由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式方法：如：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：（1）當(dāng)（2）當(dāng)時(shí)，故即分析：本題并非為數(shù)列的前n項(xiàng)和。而是數(shù)列的前項(xiàng)和，增加了難度。如：(07重慶21題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為滿足＞1且6=n∈求{}的通項(xiàng)公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴從而{}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故{}的通項(xiàng)為=2+3(n-1)=3n-1.如：(07陜西理22)已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列{}的前k項(xiàng)和為，且=(k∈)其中=1，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)k=1時(shí)，=及=1得=2；當(dāng)k≥2時(shí)，由==得=2∵≠0∴=2從而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).如：(07福建文21)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，=1，(n∈),求{}的通項(xiàng)公式。解：由=1，=2，當(dāng)n≥2時(shí)==得=3，因此{(lán)}是首項(xiàng)為=2，q=3的等比數(shù)列。故=(n≥2),而=1不滿足該式所以=。如：(06全國(guó)Ⅰ理22)該數(shù)列{}的前n項(xiàng)和(n=1、2、3……)求{}的通項(xiàng)公式。解：由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=（n=2、3…）…②將①和②相減得：==整理得（n=2、3…）因而數(shù)列{}是首項(xiàng)為,q=4的等比數(shù)列。即==，因而。累加、累乘1、形如方法：累加法2、形如方法：累乘法如：（1）已知數(shù)列滿足，試用表示.（2）已知數(shù)列滿足的通項(xiàng).解：（1）由遞推式得…共個(gè)式子相加得，.（2）當(dāng)時(shí)，…，；當(dāng)時(shí)，滿足故五、構(gòu)造數(shù)列類(lèi)型1（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。如：數(shù)列：=1,當(dāng)時(shí)，有+2，求.解：由+2，兩邊同加1，得（）故是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，故.說(shuō)明:本題亦可由，+2（）兩式相減得：得為等比數(shù)列求解．類(lèi)型2如：設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說(shuō)明：（1）若為的二次式，則可設(shè);（2）本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.類(lèi)型3（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。如：已知數(shù)列{}中，=1，=，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個(gè)數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得∴新數(shù)列是首項(xiàng)為=，q=2的等比數(shù)列∴=∴=如:數(shù)列{}滿足=()，首項(xiàng)為，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：=兩邊同除以得=+1∴數(shù)列是首項(xiàng)為=1，d=1的等差數(shù)列∴=1+故=類(lèi)型4（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。如：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)——迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是故取倒數(shù)解法：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。如：已知數(shù)列{}，=，，求=？解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項(xiàng)為，d=的等差數(shù)列故∴。如：（06江西理22）已知數(shù)列{}滿足，且（）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：把原式變形成兩邊同除以得即……⑴構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q=的等比數(shù)列即整理得：滿足⑴式使∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，q=的等比數(shù)列∴∴。如：（06江西文22）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足：，且求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：把原式變形為兩邊同除以得移項(xiàng)得：所以新數(shù)列是首項(xiàng)為q=2的等比數(shù)列。故解關(guān)于的方程得。六、取對(duì)數(shù)解法：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。如：已知，，求。解：對(duì)遞推式左右兩邊分別取對(duì)數(shù)得，令，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。七、特征根法（、）思路（特征根法）：遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為即。當(dāng)特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用、求得）；當(dāng)特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根、時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項(xiàng)間接求得）；當(dāng)特征方程的根為虛根時(shí)數(shù)列通項(xiàng)的討論方法與上同理，此處暫不作討論。如：已知，（），求。解：當(dāng)時(shí)，遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，設(shè)，由得則，，即，從而，。八、歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法如：設(shè)數(shù)列的前和為,滿足，且.(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;九：周期法解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。如：若數(shù)列滿足，若，