初中數(shù)學(xué)-22.6三角形、梯形的中位線（1）三角形中位線（課件）-2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊同步備課系列（滬教版）

22.6三角形、梯形的中位線（1）三角形中位線第二十二章四邊形思考與歸納

一張三角形紙片，用一條平行于這個三角形一邊的直線把它分割成一個梯形和一個小三角形.如果所得的梯形和小三角形恰好拼成一個平行四邊形，那么這條用于分割的直線與三角形另外兩邊的交點(diǎn)在什么位置？為什么？觀察：三角形的中位線段DE與邊BC有什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？DEBACDEBC（A）

聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.操作如圖，過△ABC邊AC上的任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、C外），作BC的平行線，可將三角形分割成一個三角形和一個梯形.移動平行線，是否存在某個特殊的位置，恰好使分割得的梯形和三角形拼成一個平行四邊形？答：存在的，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).怎么拼？答：若平行線與AB邊交于點(diǎn)D，將△AED繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，即得到□DBCD′.

操作如圖，過△ABC邊AC上的任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、C外），作BC的平行線，可將三角形分割成一個三角形和一個梯形.為什么拼出的圖形是平行四邊形？圖形的旋轉(zhuǎn)△ADE≌△CD′E

∠A=∠1AB∥CD′DE∥BC

四邊形DBCD′是平行四邊形操作如圖，過△ABC邊AC上的任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、C外），作BC的平行線，可將三角形分割成一個三角形和一個梯形.這時，點(diǎn)D位于線段AB的什么位置上？

答：由于CD′=DB

，且CD′=AD，所以AD=BD，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，則線段DE是△ABC的一條特殊線段.為什么拼出的圖形是平行四邊形？連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.ABCDE知識要點(diǎn)兩層含義:②如果DE為△ABC的中位線，那么D、E分別為AB、AC的

.①如果D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),那么DE為△ABC的

；中位線中點(diǎn)問題3：你能通過剪拼的方式，將一個三角形拼成一個與其面積相等的平行四邊形嗎？小明的做法：將△ADE繞點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△CFE的位置（如圖），這樣就得到了一個與△ABC面積相等的平行四邊形DBCF.ADEFCB動畫演示猜一猜:三角形兩邊中點(diǎn)的連線與第三邊有怎樣的關(guān)系？能證明你的猜想嗎？ADEFCBDE和邊BC的關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：平行DE是BC的一半能說出理由嗎?三角形中位線的概念聯(lián)結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.一個三角形共有幾條中位線呢？點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，則DF、FE、ED都是△ABC的中位線.一個三角形共有三條中位線.三角形的中位線與三角形的中線有何區(qū)別？適時小結(jié)三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別.三角形概念圖形中位線中線聯(lián)結(jié)兩邊中點(diǎn)的線段.聯(lián)結(jié)頂點(diǎn)與其對邊中點(diǎn)的線段.兩邊中點(diǎn)一頂點(diǎn)一中點(diǎn)學(xué)習(xí)三角形中位線定理

通過上述的操作過程，你能猜想△ABC的中位線DE與邊BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系嗎？DE∥BC且答：猜想并歸納三角形中位線的性質(zhì).如何證明你的猜想.答：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.如何證明四邊形DBCF是平行四邊形？

∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），根據(jù)實(shí)驗(yàn)操作，如何添輔助線，構(gòu)造與△ADE全等的三角形？

已知：如圖，在△ABC中，AD=BD，AE=CE．求證：DE∥BC，且．

延長DE至點(diǎn)F，使EF=DE，聯(lián)結(jié)CF.證明：∵AE=EC，∠2=∠3，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∠A=∠1，∴AB∥CF，即BD∥CF.∵AD=BD，AD=CF，∴DB=CF.∴DF∥BC，且DF=BC.∴DE∥BC，且.適時小結(jié)：

倍長中位線也是輔助線的常添方法之一.學(xué)習(xí)三角形中位線定理

如何解決？

三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.在△ABC中,∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC，且（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）.符號語言：【定理的理解】(1)從條件看，以后我們看到中點(diǎn)，尤其是兩個或者兩個以上的中點(diǎn)時我們就要聯(lián)想到三角形的中位線定理.(2)從結(jié)論看，它既可以得到線段的位置關(guān)系（平行），又可以得到線段的數(shù)量關(guān)系（倍份關(guān)系），大家以后在解決相關(guān)問題時要兩方面結(jié)合起來靈活應(yīng)用.新知運(yùn)用（2）如果DE=5，那么BC=____.10（一）口答練習(xí)1、如圖，已知AD=DB，AE=EC，（1）如果BC=，那么DE=____；1.如左圖，MN為△ABC的中位線，若∠ABC=61°，則∠AMN=

，若MN=12，則BC=

.AMBCN61°24練一練ADBCE2.如右圖，△ABC中，

D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)BC=10㎝時，則DE=

.5㎝新知運(yùn)用2、如圖，B、C兩點(diǎn)被海水隔開，在B、C外選擇一點(diǎn)A，找到AB、AC的中點(diǎn)E、F，測量得EF=22米.這樣就能求出B、C兩點(diǎn)間的距離.請說出這是為什么？答：∵點(diǎn)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，且BC=2EF=44米（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．3.(1)已知:三角形的各邊分別為6cm,8cm,12cm，則連接各邊中點(diǎn)所成三角形的周長為____

cm.

13（2）已知:三角形的周長為64cm，則連接各邊中點(diǎn)所成三角形的周長為____cm.32（3）△ABC的周長為aD、E、F分別為△ABC各邊中點(diǎn),△DEF的周長為

；G、H、I分別為△DEF各邊中點(diǎn),△GHI的周長為

；CABDFEGHI像這樣下去,第3個三角形的周長為

;第n個三角形的周長為

.a12a14a18a12n你發(fā)現(xiàn)了什么？你還有什么想法？4.如圖,D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)你能發(fā)現(xiàn)△DEF的面積與△ABC的面積有什么關(guān)系嗎？為什么？●●●ABCDEF解：S△DEF=S△ABC.理由如下：由題意得DE,DF,EF是△ABC的中位線，∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,∴四邊ADFE,BDEF,DECF都是平行四邊形，∴S△DEF=S△ADE=S△BDF=S△CEF,∴S△DEF=S△ABC.3.如圖，已知△ABC中，AB=3㎝，BC=3.4㎝，AC=4㎝且D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC邊的中點(diǎn)，則△DEF的周長是

㎝.ABCDEF5.2練一練4.如下圖：在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E、F分別是各邊中點(diǎn)，AB=6cm，AC=8cm，則△DEF的周長=______cm．12EFBACD

典例精析例1已知:如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為各邊的中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是平行四邊形.ABCHDEFG分析:將四邊形ABCD分割為三角形,利用三角形的中位線可轉(zhuǎn)化兩組對邊分別平行或一組對邊平行且相等來證明.證明:連接AC.∵E,F,G,H分別為各邊的中點(diǎn),∴EF∥HG,EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.ABCHDEFG∴EF∥AC,HG∥AC,1.如圖：EF是△ABC

的中位線，BC=20，則EF=________;10

2.在△ABC中，中線CE、BF相交點(diǎn)O、M、N分別是OB、OC的中點(diǎn)，則EF和MN的關(guān)系是_______________.平行且相等4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,D是斜邊AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn).

（2）若AB=10,DE=4,求△ABC的面積.（1）DE⊥BC嗎？為什么？ABCDE∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥BC.∵DE=4，∴AC=8.∵AB=10，AC=8,∴BC=6.例題講解例題6

已知：如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，D、E、F、G分別是OB、

OC、AC、AB的中點(diǎn)．求證：四邊形DEFG是平行四邊形．由已知條件你能在圖中找到什么？

GF、DE分別是△ABC和△OBC的中位線，且這兩個三角形有公共邊BC.如何證明？

例題講解例題6

已知：如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，D、E、F、G分別是OB、

OC、AC、AB的中點(diǎn)．求證：四邊形DEFG是平行四邊形．證明：∵點(diǎn)G、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴GF∥BC，且（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．同理：DE∥BC，且.∴GF∥DE，且GF=DE.∴四邊形DEFG是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.變式2：順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形（稱為“中點(diǎn)四邊形”），是平行四邊形嗎？分析：例題講解例題6

已知：如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，D、E、F、G分別是OB、

OC、AC、AB的中點(diǎn)．求證：四邊形DEFG是平行四邊形．變式1：如圖，點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，以上結(jié)論是否還成立？答：成立.變點(diǎn)O的位置不變GF、DE仍是△ABC和△OBC的中位線，且這兩個三角形有公共邊BC.結(jié)論四邊形DEFG是平行四邊形．答：是的.如何證明？

方法類似.形變質(zhì)不變課堂練習(xí)求證：順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.已知：如圖，四邊形ABCD中，

E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：四邊形DEFG是平行四邊形．證明：聯(lián)結(jié)BD.適時小結(jié)1、以上的三個問題圖形變化，而本質(zhì)是不變的.2、任意四邊形的“中點(diǎn)四邊形”是平行四邊形.平行四邊形的“中點(diǎn)四邊形”是

.平行四邊形矩形的“中點(diǎn)四邊形”是

.菱形菱形的“中點(diǎn)四邊形”是

.矩形正方形的“中點(diǎn)四邊形”是

.正方形對角線互相垂直的四邊形的“中點(diǎn)四邊形”是

.矩形對角線相等的四邊形的“中