湖北省鄂西南三校2023-2024學年高一上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題

鄂西南三校高一年級12月聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、考號填寫在答題卡與試題卷上，并將考號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答在試題卷、草稿紙上無效．3．非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，只交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式，再根據(jù)交集定義計算即可.

【詳解】因為，所以.故選：B.2.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結合抽象函數(shù)的定義域的求解方法，以及函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，則函數(shù)滿足，解得或，即函數(shù)的定義域為.故選：C.3.已知，則函數(shù)的解析式為（）A. B.（）C.（） D.（）【答案】C【解析】【分析】令（），采用換元法求函數(shù)的解析式.【詳解】設（），則，，所以（），故選：C.4.已知函數(shù)，則的圖象大致是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷A選項；由可以判斷B、C選項，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，在定義域內(nèi)有，所以函數(shù)在定義域上是偶函數(shù)，則A選項錯誤；又，則B、C選項錯誤；故選：D.5.碳14是碳元素的一種同位素，具有放射性.活體生物組織內(nèi)的碳14質量大致不變，當生物死亡后，其組織內(nèi)的碳14開始衰減.已知碳14的半衰期為5730年，即生物死亡年后，碳14所剩質量，其中為活體生物組織內(nèi)碳14的質量.科學家一般利用碳14這一特性測定生物死亡年代.2023年科學家在我國發(fā)現(xiàn)的某生物遺體中碳14的質量約為原始質量的0.92倍，已知，則根據(jù)所給的數(shù)據(jù)可推斷該生物死亡的朝代為（）A.金（公元年） B.元（公元年）C.明（公元年） D.清（公元16161911年）【答案】B【解析】【分析】設活體生物組織內(nèi)碳14的質量，由題意建立方程求解即可.【詳解】設活體生物組織內(nèi)碳14的質量，由題意知：，又，，，所以該生物死亡的朝代為元.故選：B.6.已知關于的不等式恰有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化不等式為，分，和三種情況討論，求得不等式的解集，結合題意即可求解．【詳解】不等式，可化為，當時，不等式的解集為空集，不合題意；當時，不等式的解集為，要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，當時，不等式的解集為，要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．故選：C．7.已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即，時取等號，所以，因為恒成立，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C8.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為（）A.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增B.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由，解得函數(shù)的定義域為.由于開口向下，對稱軸為.在上遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：D【點睛】本小題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的求法，考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列比較大小正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以A正確；對于B，由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得成立，所以B不正確；對于C，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)，可得成立，所以C正確；對于D，由，所以，所以D不正確.故選：AC.10.中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】BCD【解析】【分析】定義域、對應法則相同的函數(shù)為同一函數(shù)即可判斷各選項函數(shù)是否為同一函數(shù).【詳解】對于A，的定義域為，的定義域為，定義域不同，故不同一個函數(shù)；對于B，由得，即的定義域為，由得，即的定義域為，結合，故是同一函數(shù)；對于C，因為與的定義域、解析式相同，故是同一函數(shù)；對于D，因為與（恒成立）的定義域、解析式相同，故是同一函數(shù)；故選：BCD.11.定義函數(shù)為實數(shù)的小數(shù)部分，為不超過的最大整數(shù)，則不正確的有（）A.的最小值為0，最大值為1 B.在為增函數(shù)C.是奇函數(shù) D.滿足【答案】ABC【解析】【分析】首先注意到，使得，結合函數(shù)新定義先得到是周期為1的周期函數(shù)，由此可以依次判斷DBC選項，最后研究在上的最值情況即可.【詳解】對于D，因為，使得，此時，，這表明了，故D正確；對于B，首先，由D選項分析可知，，故B錯誤；對于C，由D選項分析可知，是周期為1的周期函數(shù)，所以，故C錯誤；對于A，由D選項分析得知，是周期為1的周期函數(shù)，所以只需研究它在上的最值情況即可，而當時，，即的最小值為0，沒有最大值，故A錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是注意到，使得，結合函數(shù)新定義得出是周期函數(shù).12.已知定義在的函數(shù)滿足：當時，恒有，則（）A.B.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)D.【答案】BD【解析】【分析】令可判斷A；不妨設，可得，即，即可判斷B；結合選項B，可取判斷C；結合選項B及不等式的性質判斷D.【詳解】令，則有，即，故A錯誤；不妨設，由，可得，∴，∴函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，故B正確；由選項B可知，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，可取，此時在區(qū)間為增函數(shù)，而，可知函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故C錯誤；∵函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，，∴，∴，∴，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，16題第一空2分，第二空3分．13.命題“?x∈R，<0”的否定是________________．【答案】,使得.【解析】【分析】對全稱量詞的否定用特稱量詞，直接寫出.【詳解】因為對全稱量詞的否定用特稱量詞，所以命題“?x∈R，<0”即為：“?x∈R，”，所以其否定是：“,使得”.故答案為：,使得.14.已知在定義域內(nèi)單調(diào)，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性，結合分段函數(shù)單調(diào)性的要求即可求解.【詳解】由分段函數(shù)中當時，，對稱軸為，所以，當時，函數(shù)在上增函數(shù)；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增函數(shù)，而在上不單調(diào).綜上可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增函數(shù).因此可得，解得.故的取值范圍是.15.已知，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】分類討論，在時由可得．【詳解】時，不合題意，因此且，∴，故答案為：．16.已知函數(shù)的定義域為，滿足，的圖象關于直線對稱，且，則______；______.附注：.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)已知可得的圖象關于對稱、關于直線對稱，利用對稱性可得的周期，結合已知條件和周期即可求和.【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，且；又的圖象關于直線對稱，所以的圖象關于直線對稱，即為偶函數(shù)，所以，所以以4為周期，所以，，，，所以，因為，所以，同理，，，，，所以.所以.故答案為：；【點睛】關鍵點睛：根據(jù)函數(shù)的對稱性得函數(shù)的周期，從而利用周期和對稱性求和是解決本題的關鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算下列各式的值（1）（2）設，的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的計算可得；（2）根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的關系，將指數(shù)式化成對數(shù)，再根據(jù)對數(shù)的運算及性質計算可得；【詳解】解：（1）.（2），，，【點睛】本題考查分數(shù)指數(shù)冪的運算，對數(shù)和指數(shù)的關系，以及對數(shù)的運算，屬于基礎題.18.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)a的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合A，B，根據(jù)集合的交集運算即得答案；（2）由得，分類討論，根據(jù)判別式討論集合B中元素，判斷是否滿足題意，確定a的值，即可得答案.【小問1詳解】由題意得集合，，故；【小問2詳解】由得，由于，故時，，滿足題意；當時，對于，，當時，，此時，滿足題意；當時，，，此時，要滿足，則，故實數(shù)a的取值集合為.19.已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)，偶函數(shù)的定義以及題意可知，，，即可求出，得到函數(shù)的解析式；（2）由偶函數(shù)的性質以及函數(shù)的單調(diào)性可得，即，即可解出．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)，∴，即．(2)∵∴，，，∴，即的取值范圍為．20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）當時，求，的值：（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減.（i）求實數(shù)的取值范圍：（ii）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到時的解析式，求出，的值；（2）（i）根據(jù)函數(shù)開口方向，對稱軸，得到不等式，求出；（ii）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到不等式，轉化為恒成立，求出答案.【小問1詳解】當時，，當時，，，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，故，所以，所以；【小問2詳解】（i）在上單調(diào)遞減，，開口向下，對稱軸為，所以，解得，（ii）為定義在上的奇函數(shù)，故，又在上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞減，故，即恒成立，由于，故，實數(shù)的取值范圍為.21.2023年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設備，通過市場分析，全年需投入固定成本5000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬元），且，已知每輛車售價15萬元，全年內(nèi)生產(chǎn)的所有車輛都能售完.（1）求2023年的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關系式；（2）2023年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】（1）（2），萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤＝銷售額－成本，結合分類討論思想進行求解即可；（2）根據(jù)配方法、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】當時，，當時，，綜上，.【小問2詳解】由（1）知，，當時，，因為，所以，當時，，當時，，當且僅當，即時取等號，此時，又，所以，2023年產(chǎn)量為百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為萬元.22.函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為y關于x的奇函數(shù)，給定函數(shù)．（1）求的對稱中心；（2）已知函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】22.23.【解析】【分析】（1）構造函數(shù)，