專題06導數在函數中的應用（解密講義）

專題06導數在函數中的應用（解密講義）【知識梳理】【考點1】導數的定義1、導數的定義如果函數f（x）在（a，b）中每一點處都可導，則稱f（x）在（a，b）上可導，則可建立f（x）的導函數，簡稱導數，記為f′（x）；如果f（x）在（a，b）內可導，且在區(qū)間端點a處的右導數和端點b處的左導數都存在，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導，f′（x）為區(qū)間[a，b]上的導函數，簡稱導數．2、導數的幾何意義函數f（x）在x＝x0處的導數就是切線的斜率k．例如：函數f（x）在x0處的導數的幾何意義：k切線＝f′（x0）＝．3、導數的運算（1）基本函數的導函數①C′＝0（C為常數）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．（2）和差積商的導數①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．（3）復合函數的導數設y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）方法技巧：導數的幾何意義是每年高考的重點內容，考查題型多為選擇題或填空題，有時也會作為解答題中的第一問，難度一般不大，屬中低檔題型，求解時應把握導數的幾何意義是切點處切線的斜率，常見的類型及解法如下：（1）已知切點P(x0，y0)，求y=f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程；（2）已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程k=f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程；（3）已知切線上一點(非切點)，求y=f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程．（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率，再由k=f′(x0)求出切點坐標(x0，y0)，最后寫出切線方程．（5）①在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上．②過點P的切線即切線過點P，P不一定是切點．因此在求過點P的切線方程時，應首先檢驗點P是否在已知曲線上．【考點2】利用導數研究函數相關問題1、導數和函數的單調性的關系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導數求解多項式函數單調性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導數f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應區(qū)間上是增函數，對應區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應區(qū)間上是減函數，對應區(qū)間為減區(qū)間．3、極值的定義：（1）極大值：一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；（2）極小值：一般地，設函數f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．4、極值的性質：（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小；（2）函數的極值不是唯一的，即一個函數在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關系，即一個函數的極大值未必大于極小值；（4）函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點．5、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側f（x）的導數異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．6、求函數f（x）的極值的步驟：（1）確定函數的定義區(qū)間，求導數f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值．在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領域內成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內的連續(xù)點取得．一個函數在定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內有極值，那么f（x）在（a，b）內絕不是單調函數，即在區(qū)間上單調的函數沒有極值．（4）若函數f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數f（x）在[a，b]內的極大值點、極小值點是交替出現的，（5）可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．7、函數的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內連續(xù)的函數f（x）不一定有最大值與最小值．如函數f（x）＝在（0，+∞）內連續(xù)，但沒有最大值與最小值；（2）函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．（3）函數f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個8、用導數求函數的最值步驟：由上面函數f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數所有的極值與定義區(qū)間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了．設函數f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內可導，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數f（x）在[a，b]上的最值．在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領域內成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內的連續(xù)點取得．一個函數在定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內有極值，那么f（x）在（a，b）內絕不是單調函數，即在區(qū)間上單調的函數沒有極值．（4）若函數f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數f（x）在[a，b]內的極大值點、極小值點是交替出現的，（5）可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．方法技巧：函數的單調性及應用是高考中的一個重點內容，題型多以解答題的形式呈現．常見的題型及其解法如．由函數的單調性求參數的取值范圍的方法（1）可導函數在某一區(qū)間上單調，實際上就是在該區(qū)間上(或)(在該區(qū)間的任意子區(qū)間內都不恒等于0)恒成立，然后分離參數，轉化為求函數的最值問題，從而獲得參數的取值范圍；（2）可導函數在某一區(qū)間上存在單調區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數的單調性問題轉化成了不等式問題；（3）若已知在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數時，可先求出的單調區(qū)間，令I是其單調區(qū)間的子集，從而可求出參數的取值范圍．4．利用導數解決函數的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內至少有一個零點，再利用導數判斷在所給區(qū)間內的單調性，由此求解．從近年高考情況來看，導數的概念及計算一直是高考中的熱點，對本知識的考查主要是導數的概念及其運算法則、導數的幾何意義等內容，常以選擇題或填空題的形式呈現，有時也會作為解答題中的一問．解題時要掌握函數在某一點處的導數定義、幾何意義以及基本初等函數的求導法則，會求復合函數的導數．導數的應用也一直是高考的熱點，尤其是導數與函數的單調性、極值、最值問題是高考考查的重點內容，一般以基本初等函數為載體，考查導數的相關知識及應用，題型有選擇題、填空題，也有解答題中的一問，難度一般較大，常以把關題的位置出現．解題時要熟練運用導數與函數單調性、極值與最值之間的關系，理解導數工具性的作用，注重數學思想和方法的應用．考點命題點考題導數的定義=1\*GB3①導數的概念=2\*GB3②導數的計算2023全國甲卷（文）T8，2023全國乙卷（文）T202023北京卷T202022新高考II卷T9，2022新高考II卷T142022新高考I卷T15，2022北京卷T20利用導數研究函數相關問題=1\*GB3①利用導數研究函數的單調性=2\*GB3②利用導數研究函數的極值和最值2023全國乙卷（理）T21，2023全國乙卷（理）T162023新高考I卷T19，2023新高考I卷T112022全國乙卷（文）T11，2022全國甲卷（文）T20考點一導數的定義命題點1導數的概念典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線y=exx+1在點1,A．y=e4x B．y=e2x【答案】C【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.【詳解】設曲線y=exx+1在點1,因為y=e所以y'所以k=所以y-所以曲線y=exx+1在點1,故選：C典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為，【答案】y=1e【分析】分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設切點為x0,lnx0【詳解】[方法一]：化為分段函數，分段求分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設切點為x0,lnx0，求出函數導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出解：因為y=ln當x>0時y=lnx，設切點為x0,lnx0又切線過坐標原點，所以-lnx0=1x0當x<0時y=ln-x，設切點為x1,ln-x又切線過坐標原點，所以-ln-x1=1x1-x[方法二]：根據函數的對稱性，數形結合當x>0時y=lnx，設切點為x0,lnx0又切線過坐標原點，所以-lnx0=1x0因為y=lnx是偶函數，所以當x<0時的切線，只需找到y(tǒng)=1ex關于y軸的對稱直線[方法三]：因為y=ln當x>0時y=lnx，設切點為x0,lnx0又切線過坐標原點，所以-lnx0=1x0當x<0時y=ln-x，設切點為x1,ln-x又切線過坐標原點，所以-ln-x1=1x故答案為：y=1ex典例03（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是【答案】-【分析】設出切點橫坐標x0，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于x0的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得a【詳解】∵y=(x+a)ex，∴設切點為x0,y0,則y切線方程為：y-x∵切線過原點，∴-x整理得：x0∵切線有兩條，∴Δ=a2+4a>0,解得∴a的取值范圍是-∞故答案為：-命題點2導數的計算典例01（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當x=1時，函數f(x)=alnx+bx取得最大值-2，則A．-1 B．-12 C．12【答案】B【分析】根據題意可知f1=-2，f'1=0【詳解】因為函數fx定義域為0,+∞，所以依題可知，f1=-2，f'1=0，而f'x=ax-bx2，所以故選：B.典例02（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數f(x)=exx+a．若f'(1)=【答案】1【分析】由題意首先求得導函數的解析式，然后得到關于實數a的方程，解方程即可確定實數a的值【詳解】由函數的解析式可得：f'則：f'1=整理可得：a2-2a+1=0，解得：故答案為：1.【點睛】本題主要考查導數的運算法則，導數的計算，方程的數學思想等知識，屬于中等題.典例03（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數fx:①fx1x2=fx1fx2【答案】fx=x4（答案【分析】根據冪函數的性質可得所求的fx【詳解】取fx=x4，則f'x=4x3，x>0f'x=4又f'-x=-4x3故答案為：fx=x4（答案1．已知fx=2sinx+φ-1,φ＞0在πA．12 B．32 C．π2【答案】D【分析】由fx=2sinx+φ-1,φ＞【詳解】因為fx=2sinx+φ-所以fπ=2因為φ＞0，對照四個選項，只有當k=1時，φ=故選：D2．已知x>0，y∈R，(x-y)2+xA．2 B．2 C．433 D【答案】B【分析】設Ax,x2-lnx+2是函數f(x)=x2-lnx+2圖象上的點，B(y,y)是函數y=x上的點，把(x-y)2+x【詳解】(x-y)2+x2-lnx+2-y2可以轉化為：Ax,x當與直線y=x平行且與f(x)的圖象相切時，切點到直線y=x的距離為|AB|的最小值.令f'x=2x-1x=1，解得所以切點C(1,3)到直線y=x的距離即為|AB|的最小值.所以|AB|min=故選：B.【點睛】方法點睛：距離的計算方法有兩類：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數法：把距離表示為函數，利用函數求最值.3．（多選）意大利畫家列奧納多·達?芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》中，女士脖頸上黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現出不一樣的美與光澤，達?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”．后人給出了懸鏈線的函數解析式：f(x)=acosh(xa)，其中a為曲線頂點到橫坐標軸的距離，coshx稱為雙曲余弦函數，其函數表達式為coshx=ex+e-x2，相應地，雙曲正弦函數的表達式為sinhx=ex-e-x2．若直線x=m與雙曲余弦函數C1雙曲正弦函數C2的圖象A．coshB．y=sinhC．(D．若△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，則實數m=0【答案】ACD【分析】根據雙曲余弦函數、雙曲正弦函數的表達式可判斷A的正確，根據奇函數的定義可判斷B的正誤，根據導數的計算公式可判斷C的正誤，利用導數的幾何意義可判斷D的正誤.【詳解】coshxcoshy-A正確；y=sinhxcoshx=eg(x)為奇函數，即y=sinhxcosh(ex+e-x因為AB⊥x軸，設S(x)=ex+e所以若△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，則kPA由kPA=S'(m)=故選：ACD．考點二利用導數研究函數相關問題命題點1利用導數研究函數的單調性典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數fx=aex-lnxA．e2 B．e C．e-1 D【答案】C【分析】根據f'x=aex-【詳解】依題可知，f'x=aex-1x設gx=xex,x∈1,2，所以gx>g1=e，故e≥1故選：C．典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數fx(1)討論fx(2)證明：當a>0時，fx【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導，再分類討論a≤0與a>0兩種情況，結合導數與函數單調性的關系即可得解；（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為a2-12-lna>0的方法二：構造函數hx=ex-x-1，證得ex≥x+1，從而得到【詳解】（1）因為f(x)=aex+a-x，定義域為當a≤0時，由于ex>0，則aex所以fx在R當a>0時，令f'x=a當x<-lna時，f'x<0當x>-lna時，f'x>0綜上：當a≤0時，fx在R當a>0時，fx在-∞,-lna上單調遞減，（2）方法一：由（1）得，fx要證f(x)>2lna+32，即證1+令ga=a令g'a<0，則0<a<22所以ga在0,22所以gamin=g2所以當a>0時，f(x)>2lna+3方法二：令hx=e由于y=ex在R上單調遞增，所以h'又h'所以當x<0時，h'x<0；當x>0所以hx在-∞,0故hx≥h0=0，則因為f(x)=ae當且僅當x+lna=0，即所以要證f(x)>2lna+32，即證令ga=a令g'a<0，則0<a<22所以ga在0,22所以gamin=g2所以當a>0時，f(x)>2lna+3典例03（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數g（x）=f(x)-f(a)x-a【答案】（1）-1,+∞；（2）g(x)在區(qū)間(0,a)和(a,+【分析】（1）[方法三]不等式f(x)≤2x+c轉化為f(x)-2x-c≤0，構造新函數，利用導數求出新函數的最大值，進而進行求解即可；（2）對函數g(x)求導，把導函數g'(x)的分子構成一個新函數m(x)，再求導得到m'(x)，根據m'(x)的正負，判斷m(x)【詳解】（1）[方法一]【最優(yōu)解】：f(x)≤2x+c等價于2ln設h(x)=2lnx-2x，則當0<x<1時，h'(x)>0，所以h(x)在區(qū)間當x>1時，h'(x)<0，所以h(x)在區(qū)間故[h(x)]max=h(1)=-2，所以c-1≥-2，即c≥-1，所以c[方法二]：切線放縮若f(x)≤2x+c，即2lnx+1≤2x+c，即lnx≤x+c-1而y=lnx在點(1,0)處的切線為y=x-1，從而有當x∈(0,+∞)時恒成立，即c-12≥-1，則c≥-1．所以[方法三]：利用最值求取值范圍函數f(x)的定義域為：(0,+f(x)≤2x+c?f(x)-2x-c≤0?2ln設h(x)=2lnx+1-2x-c(x>0)，則有當x>1時，h'當0<x<1時，h'所以當x=1時，函數h(x)有最大值，即h(x)要想不等式(*)在(0,+∞)只需h(x)所以c的取值范圍為[-1,+∞（2）gx=2因此g'(x)=2(x-a-xln則有m'當x>a時，lnx>lna，所以m'(x)<0，g'(x)<0，所以當0<x<a時，lnx<lna，所以m'(x)>0，m(x)單調遞增，因此有m(x)<m(a)=0，即所以函數g(x)在區(qū)間(0,a)和(a,+∞)【整體點評】(1)方法一：分類參數之后構造函數是處理恒成立問題的最常用方法，它體現了等價轉化的數學思想，同時是的導數的工具也得到了充分利用；方法二：切線放縮體現了解題的靈活性，將數形結合的思想應用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎.方法二：利用最值確定參數取值范圍也是一種常用的方法，體現了等價轉化的數學思想.命題點2利用導數研究函數的極值和最值典例01（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數fx=cosx+x+1A．-π2，π2 B．-3π【答案】D【分析】利用導數求得fx的單調區(qū)間，從而判斷出fx在區(qū)間0,2【詳解】f'所以fx在區(qū)間0,π2和3π2,2在區(qū)間π2,3π2上又f0=f2π=2所以fx在區(qū)間0,2π上的最小值為-3π故選：D典例02（多選）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數f(x)=x3-x+1A．f(x)有兩個極值點 B．f(x)有三個零點C．點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D．直線y=2x是曲線y=f(x)的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合f(x)的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.【詳解】由題，f'x=3x2-1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(-∞,-33)，(33因f(-33)=1+23所以，函數fx在-當x≥33時，fx≥f3綜上所述，函數f(x)有一個零點，故B錯誤；令h(x)=x3-x，該函數的定義域為R則h(x)是奇函數，(0,0)是h(x)的對稱中心，將h(x)的圖象向上移動一個單位得到f(x)的圖象，所以點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心，故C正確；令f'x=3x2當切點為(1,1)時，切線方程為y=2x-1，當切點為(-1,1)時，切線方程為y=2x+3，故D錯誤.故選：AC.典例03（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當0<x<1時，x-x（2）已知函數fx=cosax-ln1-x【答案】（1）證明見詳解（2）-【分析】（1）分別構建Fx=x-sin（2）根據題意結合偶函數的性質可知只需要研究fx在0,1上的單調性，求導，分類討論0<a2<2和a【詳解】（1）構建Fx=x-sinx,x∈0,1，則則Fx在0,1上單調遞增，可得F所以x>sin構建Gx則G'構建gx=G'x,x∈則gx在0,1上單調遞增，可得g即G'x>0對則Gx在0,1上單調遞增，可得G所以sinx>x-綜上所述：x-x（2）令1-x2>0，解得-1<x<1，即函數f若a=0，則fx因為y=-lnu在定義域內單調遞減，y=1-x2在則fx=1-ln1-x故x=0是fx的極小值點，不合題意，所以a≠0當a≠0時，令b=因為fx且f-x所以函數fx由題意可得：f'（i）當0<b2≤2時，取m=min1由（1）可得f'且b2所以f'即當x∈0,m?0,1時，f'x結合偶函數的對稱性可知：fx在-m,0所以x=0是fx（ⅱ）當b2>2時，取x∈0,由（1）可得f'構建hx則h'且h'0=b3>0,可知hx在0,1b所以hx在0,1b當x∈0,n時，則hx<0則f'即當x∈0,n?0,1時，f'x結合偶函數的對稱性可知：fx在-n,0所以x=0是fx綜上所述：b2>2，即a2>2，解得故a的取值范圍為-∞【點睛】關鍵點睛：1.當0<a2≤22.當a2≥2時，利用x-典例04（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數fx（1）若a=0，求曲線y=fx在點1,f（2）若fx在x=-1處取得極值，求f【答案】（1）4x+y-5=0；（2）函數fx的增區(qū)間為-∞,-1、4,+∞，單調遞減區(qū)間為-1,4，最大值為1，最小值為-【分析】（1）求出f1、f（2）由f'-1=0可求得實數a的值，然后利用導數分析函數【詳解】（1）當a=0時，fx=3-2xx2，則f此時，曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為y-1=-4x-1（2）因為fx=3-2x由題意可得f'-1=故fx=3-2xx-∞,-1-1-1,444,+∞f+0-0+f增極大值減極小值增所以，函數fx的增區(qū)間為-∞,-1、4,+∞，單調遞減區(qū)間為-1,4當x<32時，fx>0；當所以，fxmax=f1．（多選）設函數f(x)=Asin(ωx+φ)-12A>0,ω>0,0≤φ≤π2的最小正周期T>3π，且f(x+2π)+f(x)=0，f(x)的極大值與極小值的差為2．若f(x)A．π7 B．π5 C．π3【答案】AC【分析】根據題目條件求出ω=2πT=12，A=1，轉化為sin12x+φ=12在[0,5π]內恰有3個解，又12x+φ∈φ,【詳解】∵f(x+2π∴f(x+2π∴f(x+4π∴f(x)是以4π又f(x)的最小正周期T>3π∴T=4π∴ω=2∵f(x)的極大值與極小值的差為2，∴2A=2，A=1，∴f(x)=sin∵f(x)在[0,5π]內恰有3個零點，即sin12x+φ其中12∵0≤φ≤π∴5π2+φ則0≤φ≤π6且2或者π6<φ≤π2解①可得0≤φ≤π6，解②可得∴φ的取值范圍是0,π∴φ的值可能是π7或π故選：AC．2．已知函數f(x)=lnx2+1+x+ex-e【答案】1【分析】構造函數g(x)，h(x)，利用導數討論g(x)，h(x)的單調性、奇偶性，進而構造函數F(x)=f(x)-3，將原不等式等價轉化Faex>F(lnx-lna)【詳解】令g(x)=lnx2+1+x，因為x∈R易知g(x)在R上單調遞增．同理令h(x)=ex-由于h'(x)=ex+因此f(x)=lnx2令F(x)=f(x)-3=gx+hx則F(x)是在R上單調遞增的奇函數．不等式faex故Faex>-F(ln即ex+lna則G'(x)=ex+1>0，G(x)在R則x+lna>ln令H(x)=lnx-x，則H'(x)=1令H'(x)<0，得x>1，故H(x)在(0,1)上單調遞增，在故H(x)max=H(1)=-1，故ln故實數a的取值范圍是1e故答案為：1【點睛】方法點睛：利用導數比較大小的基本步驟（1）作差或變形；（2）構造新的函數hx（3）利用導數研究hx（4）根據單調性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數的最值問題．3．已知函數f(x)=x(1)討論函數f(x)的單調性；(2)已知x1，x20<x1<x2,x【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數的定義域與導函數，再分a≥18，0<a<1（2）首先得到a<0，即可得到g(x)min=g(-a)=a[ln(-a)-1]<0，則0<x1<-a<【詳解】（1）∵f(x)=x∴f'令h(x)=2x2-x+a(x>0)，則h'(x)=4x-1當0<x<14時h'(x)<0，當所以h(x)在0,14上單調遞減，在∴h當a-18≥0，即a≥18時，h(x)min≥0，當a-18<0，即a<18時，若1-1-8a≤0，即∴當0<x<1+1-8a4時，h(x)<0，∴f∴當x>1+1-8a4時，h(x)>0，∴f若1-1-8a>0，即0<a<18，∴當∴f'(x)<0，此時∴當0<x<1-1-8a4或x>1+1-8a4時，h(x)>0，綜上，當a≥18時，f(x)在當a≤0時，f(x)在0,1+1-8a4當0<a<18時，f(x)在1-1-8a4,（2）證明：g(x)=f(x)-x則g'∵x1，x2為g(x)的兩個零點，∴aln若a≥0，則ax+1>0，則g(x)在∴此時g(x)沒有兩個零點；若a<0，令g'(x)=0，得則令g'(x)<0，得0<x<-a，令g'∴g(x)在(0,-a)上單調遞減，在(-a,+∞∴g(x)∴l(xiāng)n(-a)-1>0，∴l(xiāng)n(-a)>1，∴-a>e，∴∴0<x又x1+x2=3e，∴∴g'aln1x1x【點睛】方法點睛：利用導數證明或判定不等式問題：1．通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；2．利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4．構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.4．已知函數f(x)=xe(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(2)當a∈(0,1)時，證明：f(x)>0恒成立．【答案】(1)y=(1-a(2)證明見解析【分析】（1）根據條件求出f(1)，函數f(x)的導函數，并得到f'（2）已知條件變形得到ex-1-x+1>a利用導數得到g(x)min，h(x)max【詳解】（1）由題易知f(1)=1，f'則f'所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=(1-ae)(x-1)，即（2）證明：由題意得x>0，當a∈(0,1)時，要證xex-1-令g(x)=ex-1-x+1(x>0),令g'(x)=φ(x)，則φ'(x)=e又因為g'(1)=0，所以當x∈(0,1)時，當x∈(1,+∞)時，g'因為h'(x)=1-lnx令h'(x)<0，解得x∈(e因為a∈(0,1)，所以aelnxx所以當a∈(0,1)時，f(x)>0恒成立得證．【點睛】本題考查曲線的切線方程、函數與導數的綜合應用、不等式恒成立的證明，考查考生運算求解能力、推理論證能力、函數與方程的思想．AA·新題速遞1．（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃┡c曲線在某點處的切線垂直，且過該點的直線稱為曲線在某點處的法線，若曲線y=x4的法線的縱截距存在，則其最小值為（A．34 B．1 C．1716 D【答案】A【分析】在曲線y=x4上任取一點Pt,t4，求出曲線y=x【詳解】在曲線y=x4上任取一點Pt,t4，對函數y=若曲線y=x4的法線的縱截距存在，則所以，曲線y=x4在點P處的法線方程為即y=-14t3x+t4令s=t2>0，令f則f's=2s-14當0<s<12時，f'當s>12時，f'所以，fs故選：A.2．（2023·海南?？凇ば？寄M預測）已知x表示不超過x的最大整數，xm為函數f(x)=x+xlnxx-1（x1）的極值點，則fmA．3+3ln32 B．4+4ln43【答案】A【分析】求導函數f'(x)=x-lnx-2x-12，令g(x)=x-lnx-2，x>1，求導從而可確定g(x)的零點取值情況，即可得函數f(x)【詳解】函數f(x)=x+xlnxx-1令g(x)=x-lnx-2則g'(x)=1-1x>0因為g3=1-ln3<0，所以，函數g(x)=x-lnx-2,(x>1)存在唯一零點xx(1,(x0f-+f(x)單調遞減單調遞增所以x=x0∈(3,4)是函數f(x)的極小值點，即m=x0故選：A．3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）數學與音樂有著緊密的關聯(lián).聲音中也包含正弦函數，聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的.純音的數學模型是函數y=Asinωx，我們平時聽到的音樂一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復合音．已知刻畫某復合音的函數為sinx+12A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用導數研究函數的單調性與極值，與選項中的圖象比較即可得出答案.【詳解】令y=fx求導得f=cos當x∈0,π時，由f'當x∈0,π4時，f當x∈π4,2π3當x∈2π3,3π4當x∈3π4,π時，所以，當x=π4和x=3π4時，fx由于f0可得fπ4>f3π結合圖象，只有C選項滿足．故選：C．4．（多選）（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知f(x)=ln|cosA．f(x)的值域為[0,+B．fx+C．若xi(i=1,2,3?)為函數f(x)的零點，且xD．f(x)的單調遞增區(qū)間為k【答案】BC【分析】選項A：將f(x)=ln選項B：根據奇函數的定義證明；選項C：根據函數的周期和零點計算求解；選項D：判斷函數在x∈0,【詳解】對于A，f(x)=ln|cosx|-ln|sin對于B，f=lnsinx+對于C，顯然函數滿足f(-x)=f(x)且關于π4,0對稱，所以f(x)是以又因為fπ4=f-π對于D，當x∈0,π2f'(x)=-2sin2x<0，所以f(x)在所以f(x)的單調遞增區(qū)間為kπ-π故選：BC．5．（多選）（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數fn(x)=x-nlnx（n∈N*）有兩個零點，分別記為xn，yn（xnA．fn(x)在B．n>e（其中eC．xD．2θ<α+β【答案】BCD【分析】利用導數研究函數的單調性和極值、最值，以及利用導數證明不等式，對以上各項逐一判斷，即可求得本題答案.【詳解】∵f'n(x)=1-nx,由f'n(x)>0，得：x>n∵y=fn(x)有兩個零點，即方程1n令g'(x)>0，解得0<x<e，令可得g(x)在(0,e)上遞增，在(e,+∞)上單調遞減，∴g(x)在x=e處取得極大值g(e)=由上可得：xn<e<y∵1n>1n+1，∴xn+1<xn由已知，有f'n∴f令t=βα(t>1)，則ln則h'(t)=(t-1)2t(t+1)2，當t>1時，∴h(t)>h(1)=0，∴l(xiāng)nβα-2(β-α)β+α∴-nβ-α<0，∴f'n又f'n(x)=1-nx在(0,+∞)單調遞增，∴θ<故選：BCD【點睛】方法點睛：利用導數證明或判定不等式問題：1．通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；2．利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4．構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.6．（多選）（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知函數fx=4sinx-2ax-3a∈A．當a=94時，函數fx和gB．若函數fx在-πC．函數gx在-D．若存在x∈0,π，使得f【答案】ACD【分析】對函數fx與gx求導，根據導數的幾何意義分別計算f'0與g'0，再根據直線垂直的斜率公式計算并判斷選項A，將條件轉化為f'x=4cosx-2a<0在-π,0內有解，參變分離后，求解2cosx的最小值即可得a的取值范圍，判斷選項【詳解】對于選項A，當a=94時，所以f'0=-12因為f'所以函數fx和gx在x=0處的切線互相垂直，故對于選項B，因為f'若函數fx在-可知f'x=4則a>2cosx在所以a>2cosx-2<2cosx<2，即a>-2，故對于選項C，當x∈-π2gx<0，此時函數當x∈-π,-令hx=cos則h'x=-1sin可得hx>h-π2可得g'x<0，所以函數g由于g-π=2所以函數gx在-綜上函數gx在-π,0對于選項D，由fx≥gx令mx=2則m'令nx=2xcos當x∈0,π2時，n'x當x∈0,π2此時m'x>0，則函數m當x∈π2,π時，n'因為nπ2=所以存在x0∈π變形可得2cos當x∈π2,x0時，n所以函數mx在0,x0mxmax=m令函數φ(x)=cosx+xsinx，所以φ(x)=cosx+xsin則φx<φπ所以a<π2成立，故故選：ACD．【點睛】利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.7．（2023下·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）若fx是區(qū)間a,b上的單調函數，滿足fa<0，fb>0，且f″x>0（f″x為函數f'x的導數），則可用牛頓切線法求fx=0在區(qū)間a,b上的根ξ的近似值：取初始值x0=b，依次求出y=fx圖象在點xk-1,fxk-1處的切線與x軸交點的橫坐標xkk=1,2,3,???，當xk與ξ的誤差估計值【答案】25【分析】根據牛頓切線法，求解切線方程為y=3xk-12+2x-2xk-13+1，進一步得到【詳解】設fx=x3+2x-1，則f'x=3x2+2，由于f'x=3x2+2在x∈0,34y=fx圖象在點xk-1,fxk-1令y=0，則xk由于x0=b=34，所以fx1=fx2=故x2作為ξ故答案為：2，58．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）設a，b為實數，且a>1，函數fx=ax+(1)若直線y=bx與函數fx=ax+(2)當a=e時，直線y=bx與函數fx有兩個不同的交點，交點橫坐標分別為x1，x2，且【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由條件可得x0lnaax0=ax（2）根據題意，轉化為ex-bx+e2=0有【詳解】（1）設切點橫坐標為x0，可得f'得ax0+化簡得x0ln令t=x0ln記ht=所以t∈-∞,0時，h當t∈0,+∞，ht單增，h2=0，所以fx0=（2）當a=e時，由（1）得切線的斜率為e直線y=bx與函數fx有兩個不同的交點，得b>即ex-bx+e2=0由題意得ex1+做差得ex2-欲證x1+x2<2ln令ex2=t2下面先證明t2-t即證m-1lnm>先證12m-1?'m=12所以?m>0，證得用m替換m，可得m-1ln所以t2-t1ln9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知正實數0<a≤12≤b<1，函數fx=ax+(1)若a+b=1，求證：gb(2)求證；對任意正實數m，n，m+n=1，有mn【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）化簡要證明的不等式后構造hx=xln（2）由（1）知，應用單調性證明可得.【詳解】（1）fxfg∴gx在0,1上單調遞增，得要證：g只需證：ablna≤即證：ln令φx=lnx∴φx在0,1故證aa≤令hx=xlnx-h'12=lne2∴存在唯一x0∈hx在0,x0∴h∴aa≤b（2）由（1）知，fx在0,1∴fb≤f由于m+n=1，且m，n為正實數，不妨令0<m≤∴mnBB·易錯提升1．已知函數fx滿足f'x-fxtanA．fx的定義域為x∈Rx≠kπ BC．fx在x=7π6處取極小值 D．【答案】C【分析】根據已知等式有意義可構造不等式求得函數定義域，知A錯誤；由已知等式變形可得fxsinx'=2cosx，由此得到fx=2sin2x+Csinx，根據f'-【詳解】對于A，∵f'x∴sinx≠0且cosx≠0∴fx的定義域為x∈Rx≠k對于B，∵f∴sinxf∴fx=2sin∵fx在x=-π6處取極值，∴∴fx∴f-x=2sin2x-2對于C，由B知：f'令f'x=0，解得：x=-則當x∈π,7π6時，f'∴fx在π,7π∴fx在x=7π6對于D，令t=sinx，則∵gt=2t即fx<4，D故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查采用構造函數的方式來求解函數的相關性質的問題，解題關鍵是能夠通過對已知等式的變形，將其轉化為fxsinx的導函數的形式，進而結合極值定義推導得到函數2．已知函數fx=ea?x+lnx+aa∈R，過坐標原點O作曲線y=fx的切線l，切點為A，過A且與l垂直的直線lA．e+1,+∞ B．2e,+∞ C【答案】D【分析】先設出切點x0,fx0，求出f'x0，根據點斜式寫出切線l方程，根據切線l過原點求出切點坐標和直線l的斜率；再根據已知條件求出直線【詳解】因為fx所以f'設切點A為x0則f'x0所以切線l方程為y=e因為切線l過坐標原點O，所以將0,0代入切線方程，整理得lnx0+a-1=0所以fx則點Ae1-a,因為直線l1過A且與直線l所以kl則直線l1的方程為y=-令y=0，解得x=e所以點B坐標為e+2+所以S△OAB因為e+2+1eea所以S△OAB故選：D【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于：先利用導數的幾何意義解決過原點的曲線切線方程問題；再根據平面兩直線垂直得出直線l1的方程，進而求出點B坐標；最后表示出△OAB面積，利用基本不等式求解即可3．（多選）已知定義在R上的連續(xù)可導函數f(x)，g(x)，f(x)的導函數為f'(x)，若f'(x)-f(x)=ex，g(x)xA．g(x)=x?2x B．f(x)在C．n∈N*，gn【答案】AC【分析】由f'(x)-f(x)=ex及f(0)=0可得函數f(x)的解析式，結合導數即可判斷B；由g(x)x是指數函數及g(1)=2可得g(x)的解析式，可判斷A；由解析式計算可判斷C；D選項代入后為比較e2與2e的大小關系，可轉化為比較【詳解】由f'(x)-f(x)=e即有f(x)ex'=1，可得又f(0)=0，故c=0，所以f(x)=xe對于選項A，g(x)x=ax（a>0且a≠1），由故g(x)=x?2x，故對于選項B，f'(x)=(x+1)ex，當故f(x)在(-∞,-1)上單調遞減，故對于選項C，gnln2故gnln2=n