初中數(shù)學(xué)由三角函數(shù)值求銳角強(qiáng)化練習(xí)2

初中數(shù)學(xué)由三角函數(shù)值求銳角強(qiáng)化練習(xí)2

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖，四個(gè)全等的直角三角形紙片既可以拼成（內(nèi)角不是直角）的菱形也

可以拼成正方形￡7七”，則菱形ABC。面積和正方形EFG"面積之比為（）

2

A.1B.亭L.----D.

23

2.如圖，矩形。I8C的邊Of,OC分別在x軸、歹軸的正半軸上，點(diǎn)。在04的延長(zhǎng)

線上，若4（2,0）,D（4,0）,以。為圓心、。。長(zhǎng)為半徑的弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,交）軸正

半軸于點(diǎn)E,連接。E,BE,則口5瓦）的度數(shù)是（）

C.30°D.45°

3.若a為銳角，且sin（a-10°）=走，則a等于（）

A.80B.70°C.60°D.50°

4.在A/BC中，E14,口8均為銳角，且有|tan5-G|+(2cos/I-1)2-0,貝必/8(7是

()

A.直角（不等腰）三角形B.等邊三角形

C.等腰（不等邊）三角形D.等腰直角三角形

5.已知為銳角，且siM=注,那么口才等于（）

2

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.如圖，在矩形N8CZ）中，N8=8cm,/Z）=10cm,點(diǎn)E,尸分別是邊8c上的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)E不與48重合，且G是五邊形/EF8內(nèi)一點(diǎn)，GE=G尸且

口EG尸=90。.□點(diǎn)E為48中點(diǎn)時(shí)，□JEG=75°；□點(diǎn)G至Ij/B,8c的距離一定相等；

點(diǎn)G到AB邊的距離最大為4人；□點(diǎn)G到AB邊的距離可能為3.則以上說(shuō)法正確的

是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.當(dāng)銳角A的cosA＞也時(shí)，ZA的值為（）

2

A.小于45。B.小于30。C.大于45。D.大于60。

8.如圖，直線y=^x+26與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)/、B兩點(diǎn)，圓心尸的坐標(biāo)為

（2,0）.□尸與y軸相切于點(diǎn)O,若將口「沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)口尸與該直線相交時(shí)，

橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

二、填空題

9.如圖，AABC中，NA8C=90。，AB=2,AC=4,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，以。為圓

心，以08為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是一.

10.如圖，在口48。中，BC=4&高4），交于點(diǎn)若口42。的外接圓的半徑

長(zhǎng)為4,則DW■的最大值為.

A

11.如圖，在次/8C中，C=90°,BC=5,AC=12,貝lj48=,A=

,口8=.（角度精確到1'）

12.AABC中，若卜inA——4—--cosB=0,則NC=.

13.如圖，在RSABC中，^^=90。，b=20,c=20夜，則0B的度數(shù)為.

14.已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果AA3C

是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)尸是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

ZAP8=N8PC=NCPA=120。.（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若

AB=AC=布,BC=26,尸為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則A4+依+PC=；若

A8=2K,BC=2,AC=4,尸為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則%+PB+PC=.

15.在AABC中，若NA,滿足|cos4-@|+（l-tanB）2=0,貝”NC=.

2----------------

16.如果Jcos4-；+|6tan8-3|=0,則AABC的形狀是.

三、解答題

萬(wàn)

17.在銳角三角形力BC中，若sinJ=yi,8=75。，求cosC的值.

18.如圖，48是OO的弦，點(diǎn)C是在過(guò)點(diǎn)8的切線上，且OCLOA且交Z8于點(diǎn)P.

A

O

CB

⑴求證：CP=CB

(2)若的半徑為26，AB=6求證：APBC為等邊三角形.

19.筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水

能利物，輪乃曲成如圖，半徑為3m的筒車O。按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)。圈，筒車

與水面分別交于點(diǎn)A、B,筒車的軸心。距離水面的高度0C長(zhǎng)為2.2m,簡(jiǎn)車上均勻

分布著若干個(gè)盛水筒.若以某個(gè)盛水筒尸剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間.

(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，盛水筒尸首次到達(dá)最高點(diǎn)？

(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒尸距離水面多高？

(3)若接水槽MN所在直線是的切線，且與直線A8交于點(diǎn)M,M0=8m.求盛

水筒尸從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間恰好在直線MN上.(參考數(shù)據(jù)：

cos43=sin47?,sin16=cos74°?—,sin22°=cos68?—)

15408

20.如圖，直線丫=屈+6與雙曲線y=2叵(x>0)的交點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為

X

B.

(1)求/43O的度數(shù);

(2)求A3的長(zhǎng);

(3)已知點(diǎn)C為雙曲線y=2叵(x>0)上的一點(diǎn)，當(dāng)NAOC=60。時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

X

21.定義一種新運(yùn)算：d^b=2a-hn.例如：2X5=2x2-5°=3.

(1)求(-2)※(-1)的值;

(2)已知，算式“(_%)°+"丹+(*)-?"的最終結(jié)果是1,“?”部分的值和

0※匕仍/0)相等,且a=2sin(戶+15°),求銳角夕的值.

22.如圖，在圓。中，過(guò)半徑。。的中點(diǎn)C作4?_LQD交圓。于工、B兩點(diǎn),且

AB=2y/3.

(1)求。。的長(zhǎng)；

(2)計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng).

參考答案:

1.c

【解析】

【分析】

設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為方，短直角邊長(zhǎng)為〃，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得b=入，從而得

至U§菱形ABCZ)=2,S正方形切加=4q-,即可解答.

【詳解】

解：設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為6,短直角邊長(zhǎng)為。，

???四邊形ABCD是菱形，

AD=AB=2a,

/.ZA=60°,

/.b=x/3a，

S菱形ABCD=4xaab=lab=26,

222

S正方形EFGH=EF2=O+b2-a1+(V3iz)=4a,

S受彩ABCD2島②百

S正方形EFGH4?2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的理解

題意是解題的關(guān)鍵.

2.C

【解析】

【分析】

連接。8,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系口08/的度數(shù)，進(jìn)而求出/08的度數(shù)，再利用圓周

角定理求出答案.

【詳解】

解：連接08,,

答案第1頁(yè)，共20頁(yè)

DA(2,0),D(4,0),矩形OABC,

□04=2,OD=OB=4,ZOAB=90°,

□sinZOBA==—=—,

0842

□N08A=30。，

□ZAOB=90°-30°=60°,

nZBED=-ZAOB=30°,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，熟記各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用解決問(wèn)題是

解題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)sin60'=且得出a的值.

2

【詳解】

解：sin60=

2

□a-10°=60°,

即a=70°.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選

擇題、填空題為主.

4.B

【解析】

答案第2頁(yè)，共20頁(yè)

【分析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出B,「A的度數(shù)，再求出第三個(gè)角角度，進(jìn)而得出答

案.

【詳解】

解：口|tanB-5/3|+(2cosA-l)2=0,

EtanB-6=0,得tanB=J5=0,貝1］匚B=60°；

2cosA-l=0,得cosA=1,則A=60°.

2

□□C=180o-nA-DB=60°

□□C=DA=nB

□□ABC是等邊三角形.

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，得出三個(gè)內(nèi)角的角度，再證明出三角形是等邊三

角，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

5.C

【解析】

【詳解】

歷

解：□sinJn=,14=45°.故選C.

2

6.C

【解析】

【分析】

與矩形的性質(zhì)可知4?，8C,由題意知Eb=AB=8,AEGF是等腰直角三角形,

EFBE」AB=4,

NGEF=NGFE=45°,EG=FG==4&,1點(diǎn)E為Z8中點(diǎn)時(shí),

正2

BE1

cosZB￡F=——=-,可知的值，根據(jù)ZAEG=180?！狽8f產(chǎn)一NGE尸計(jì)算可求ZA￡G

EF2

的值，進(jìn)而可判斷□的正誤；口如圖，作于M,GNLBC于N,可知點(diǎn)G到

AB,8C的距離分別為GM,GN,證明AMGE絲ANGF(A4S),有GM=GN,進(jìn)而可判斷

口的正誤；□由□可知，在R/AMEG中，GM<GE,當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)G到邊的距離

答案第3頁(yè)，共20頁(yè)

最大，最大值為4夜，進(jìn)而可判斷□的正誤；」由點(diǎn)E,尸分別是邊8c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

E不與48重合，可知點(diǎn)廠不與8,C重合，有NEFB>0。,NGFE+NEFB>45°,

G/V>GFxsin45°=4,GM>4,可知點(diǎn)G到48邊的距離大于4,進(jìn)而可判斷口的正誤.

【詳解】

解：口四邊是“B8是矩形

0ABVBC

由題意知所=48=8,

DGE=GF,ZEGF=90°

匚△￡<正是等腰直角三角形

口NGEF=NGFE=45。

EFr-

□EG=FG=-y=r=4V2

□點(diǎn)E為45中點(diǎn)時(shí)，

BE」AB=4

2

/n”BE1

cosZ-BEr==—

EF2

□ZB￡F=60°

ZAEG=180°-4BEF-/GEF=75°

故口正確；

□如圖，作碗，?15于加，GNIBC于N,

□點(diǎn)G到3C的距離分別為GN,GN

□GM1AB,GNIBC

□GM_LGN

□ZMGN=ZEGF=90°

□AMGN-4EGN=ZEGF-/EGN

答案第4頁(yè)，共20頁(yè)

口NMGE=2NGF

在AMGE和VWG/中

.NMGE=NNGF

□"NGME=NGNF=90。

GE=GF

□AMGE%NGF（AAS）

QGM=GN

故□正確；

□由口可知，在R/AMEG中，GM<GE

口當(dāng)￡M重合時(shí)，點(diǎn)G到Z8邊的距離最大，最大值為4夜

故□正確；

□□點(diǎn)E,尸分別是邊N8,8c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與48重合

□點(diǎn)尸不與8,C重合

□NEFB>0。

□NGFE+NEFB〉45。

□GN>GFxsin45°=4

口GM=GN

□GM>4

□點(diǎn)G到邊的距離大于4,

故□錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的

三角形函數(shù)值.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握和靈活運(yùn)用.

7.A

【解析】

【分析】

明確cos45°=叵,余弦函數(shù)隨角增大而減小進(jìn)行分析.

2

【詳解】

答案第5頁(yè)，共20頁(yè)

解：根據(jù)8545。=也，余弦函數(shù)隨角增大而減小，則口4一定小于45。.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

8.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，口尸沿x軸向左移動(dòng)，分別與直線A8相切于點(diǎn)"、N,且圓心分別為點(diǎn)片、

巴：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求得A（-6,0）,40,26）；根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得

ZOAB=30°,結(jié)合平移的性質(zhì)，推導(dǎo)得。片；同理，推導(dǎo)得。鳥；根據(jù)直線與圓位置關(guān)系

的性質(zhì)，得符合題意要求的點(diǎn)P坐標(biāo)，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意，口尸沿x軸向左移動(dòng)，分別與直線AB相切于點(diǎn)"、N,且圓心分別為點(diǎn)＜、

如下圖；

QM^=NP2=OP=2,且將□尸沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)口尸與該直線相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的

點(diǎn)、P,再點(diǎn)6和￡之間

直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)48兩點(diǎn)

□A（-6,0）,8（0,26）

口AO=6,BO=2y/3

DtanZOAB=—=—

AO3

答案第6頁(yè)，共20頁(yè)

□ZOAB=30°

MP,

□A6==4

sinZOAB

UO^=AO-A^=2f即《(一2,0)

□乙NAP?=ZOAB=30°

□*NP°=4

2

sinZNAP2

QOP1=AP,+AO=\0,即《(-10,0)

□符合題意要求的點(diǎn)尸坐標(biāo)為：(TO),(—8,0),(-7,0),(-6,0),(-5,0),(T,0),

(TO)

□當(dāng)口「與該直線相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)是：7

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平移、一次函數(shù)、圓、三角函數(shù)、直角坐標(biāo)系的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握

平移、直線與圓位置關(guān)系、切線、特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

O5百71

y.-----------

42

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得?！甑拈L(zhǎng)、/。。8的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰

影部分的面積是A43C的面積減去△COD的面積和扇形80。的面積，從而可以解答本

題.

【詳解】

解：連接OD,過(guò)點(diǎn)D作DEJ.BC于E,

答案第7頁(yè)，共20頁(yè)

A

在△ABC中ZABC=90。，AB=2,AC=4f

；“C=空二1

AC42

BC=y/AC2-AB2=^42-22=273,

□ZC=30°,

口NDOB=60。,

QOD=-BC=y[39

2

3

QDE=-

29

□陰影部分的面積是：

1。。6?0360?乃x3567i

—x2x273xyJ3x---------------=-----------9

22236042

故答案為：生8-工.

42

【點(diǎn)睛】

本題主要考查扇形面積的計(jì)算、勾股定理、特殊角銳角三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明

確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.2

【解析】

【分析】

如圖1,連接。&OC,過(guò)點(diǎn)。作ONQBC于M則NC=gBC=26,利用三角函數(shù)求出

口CCW=60。，得到口8/。=60。，延長(zhǎng)49交A/8C的外接圓于點(diǎn)F,連接8尸，由

DEBC+OBMD=UEBC+DC=90°,推出口F=EJ8A/。，得到。M=OF,當(dāng)點(diǎn)尸在BC的中點(diǎn)

答案第8頁(yè)，共20頁(yè)

時(shí)，。尸最大即。M有最大值，此時(shí)，垂直平分8C,點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，如圖2,根據(jù)

直角三角形30度角的性質(zhì)求出8尸=3/尸=4,再求出。產(chǎn)即可得到。〃的最大值.

【詳解】

解：如圖1,連接。夙OC,過(guò)點(diǎn)。作ONQBC于N,則NC=；8c=2百，

□OC=4,

./「CNCNG

sinZ.CON=-----=——，

OC2

□□CON=60。，

□□BOC=120°,UBAC=60°f

延長(zhǎng)/。交EU8C的外接圓于點(diǎn)片連接8尸，

DADUBC,BEUAC,

□□J￡)5=D5EC=90°,

□[JEBC+QBMD=UEBC+□C=90°,

D\JBMD=DACB,

□□尸=口4。6,

□□F=D5MD,

□BM=BF,

DBDQMF,

\JDM=DFf當(dāng)點(diǎn)尸在Be的中點(diǎn)時(shí)，。尸最大即。加有最大值，此時(shí)，垂直平分8C,

點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，如圖2,

□/尸為直徑，

QDABF=90°f

Q[JBAF^CAF=30°f

□BF=；4F=4,

□□BZ)F=90°,[JCBF="4尸=30。,

ODF=-BF=2,

2

□OM的最大值為2,

故答案為：2.

答案第9頁(yè)，共20頁(yè)

【點(diǎn)睛】

此題考查了利用正弦值求角度，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，等腰

三角形的判定及性質(zhì)，最值問(wèn)題與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

11.1322°36'67°24'

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理以及銳角三角函數(shù)即可求出答案.

【詳解】

解：□□C=90°,8c=5,AC=\2,

口由勾股定理可知：AB={BC、AC。=13,

BC5

□sin/A=--=——,

AB13

□□/i~22°36\

□□5=90°-口/=67。2中；

故答案為：13,22°36\67°24,.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

12.120°

【解析】

【分析】

根據(jù)偶數(shù)次幕和絕對(duì)值的非負(fù)性得出sinA和cosB的值，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值得出角

度即可.

【詳解】

答案第10頁(yè)，共20頁(yè)

2

解：[Z][sinA-4--------cosB=0,

2

□sinA=-,nA=30°,

2

n

cosB=Xl,□B=30°,

2

□□C=1800-300-30°=1200,

故答案為：120。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊角三角函數(shù)值和偶數(shù)次幕和絕對(duì)值的非負(fù)性，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

13.45°

【解析】

【分析】

根據(jù)特殊的三角函數(shù)值,表示出「B的正弦值即可解題.

【詳解】

解：□在RtZiABC中，DC=900,b=20,c=2O0,

,.b72

OrsinnB=—=——，

c2

□□B=45°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的特殊值，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

14.52不

【解析】

【分析】

□作出圖形，過(guò)氏C分別作NDBP=ZDCP=30°，勾股定理解直角三角形即可

□作出圖形，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，尸為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)則四點(diǎn)共

線，即R4+依+PC=BC',再用勾股定理求得即可

【詳解】

口如圖，過(guò)A作A￡>_L8C,垂足為￡>,

過(guò)8,C分別作NDBP=ZDCP=30°,則PB=PC,P為^ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

答案第11頁(yè)，共20頁(yè)

A

AB=AC=不,BC=26

:.BD=DC=LBC=>5

2

.?.3。。=四=且

BD3

:.PD=\

3蠡=2

AD=>JAB2-BD2=77^3=2

PA+PB+PC=5

□如圖:

???AB=2GBC=2,AC=4.

AB2+BC2=\6,BC2=16

答案第12頁(yè)，共20頁(yè)

AB-+BC2=AC2

ZABC=90°

?：sinZ.BAC==—=sin30°

AC2

：.ABAC=30°

將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

由旋轉(zhuǎn)可得：^APC^/^PC'

：.AP=AP,PC=P'C',AC=ACZCAC'=NPAP=60°

尸是等邊三角形，

???ABAC'=90°

???P為AASC的費(fèi)馬點(diǎn)

即B,P,P',C'四點(diǎn)共線時(shí)候，PA+PB+PC=BC

：.PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC'

=y/AB2+AC2=?2廚+4。=2近

故答案為：口5,12幣

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是

解題的關(guān)鍵.本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

15.105°

【解析】

【分析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出一5=30。，匚8=45。，進(jìn)而利用三角形

內(nèi)角和定理求出答案.

【詳解】

解：1|cosA-亨|+(1-tan8鏟=0,

□cosJ—-=0,

2

l-tanB=0,

□□4=30。，DB=45°,

□□C=180o-30°-45o=105°.

答案第13頁(yè)，共20頁(yè)

故答案為：105。.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

16.等邊三角形

【解析】

【分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的判定可得答案.

【詳解】

解：EJ^cosA—；+|btanB-3=0,

□cosA——=0,Gtan8-3=0,

2

□cosA=—,tanB=y/3,

2

□4=60。，ZB=60°,

□ZC=18()°-60°-60°=6()°,

□△ABC為等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值以及非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)，也考查了等邊三角形的判定.

17.—.

2

【解析】

【分析】

先利用特殊角的三角函數(shù)值得到1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出DC的度數(shù)，然后根

據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.

【詳解】

解：口5段=正，

2

□銳角/=60。，

□□C=180°-UA-J5=180o-600-75o=45°,

答案第14頁(yè)，共20頁(yè)

□cosC=cos45°=——.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟記幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.

18.(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明NCPB=NCBP,進(jìn)而可證CP=CB；

(2)如圖，作ODLAB于。，由余弦值可知ZOBD=30°,NCBP=60°,進(jìn)而可證

△PBC是等邊三角形.

(1)

證明：.aociOA,

□Z4OC=90°,

□Z4+ZAPO=90°

□BC切于點(diǎn)B,08為半徑

□ZOBC=90°,

DZABC+ZOBA=90°,

DOA=OB,

□ZA=ZOBA,

DZAPO=ZABC,

QZCPB=ZCBP,

□CP=CB.

(2)

證明：如圖，作OD_LA8于。

答案第15頁(yè)，共20頁(yè)

4

o

cB

UAD=BD=-AB=3

2

BD3n

cosZ.OBD=

麗―語(yǔ)一

□NOBD=30。

□NCBP=60。

口CP=CB,

Q^PBC是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，特殊角的余弦值，等邊三角形的判

定.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

19.(1)27.4秒;(2)0.7m；(3)7.6秒

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)筒車筒車每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度計(jì)算出筒車每秒旋轉(zhuǎn)的速度，再利用三角函數(shù)確定

NAOC=43°,最后再計(jì)算出所求時(shí)間即可；

(2)先根據(jù)時(shí)間和速度計(jì)算出NAOP,進(jìn)而得出NPOC,最后利用三角函數(shù)計(jì)算出。。，

從而得到盛水筒P距離水面的高度；

(3)先確定當(dāng)尸在直線MN上時(shí)，此時(shí)P是切點(diǎn)，再利用三角函數(shù)得到NPOM=68",

NCOM=74,從而計(jì)算出NPO4=38°,最后再計(jì)算出時(shí)間即可.

【詳解】

(1)如圖1,由題意得，筒車每秒旋轉(zhuǎn)360°x?+60=5°.

答案第16頁(yè)，共20頁(yè)

OC2211

連接04,在Rt&4CO中，cosZAOC=—=—=所以NAOC=43".

OA315

所以180；43=274(秒).

答：盛水筒P首次到達(dá)最高點(diǎn)所需時(shí)間為27.4秒.

(2)如圖2,盛水筒P浮出水面3.4秒后，此時(shí)ZAOP=3.4x5°=17°.

所以ZPOC=ZAOC+AAOP=43°+17°=60".

過(guò)點(diǎn)P作PDLOC,垂足為。，在MAPOD中，OD=OP-cos60c=3xl=1.5.

2

22-1.5=0.7.

答：此時(shí)盛水筒尸距離水面的高度0.7m.

(3)如圖3,因?yàn)辄c(diǎn)P在上，且MN與OO相切，

所以當(dāng)P在直線MN上時(shí)，此時(shí)P是切點(diǎn).

連接OP,所以O(shè)P_LMN.

OP3

在R/M)尸河中，cosZPOM=——=-,所以NPOM=68°.

OM8

OC2211

在RtZXOCM中，CQSZ.COM-...=——=——,所以NCOM=74°.

OM840

所以NPOH=180°-NPOM-ZCOM=180'-68-74°=38".

所以需要的時(shí)間為玄=7.6(秒).

答：從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，7.6秒后盛水筒P恰好在直線MN上.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，靈活運(yùn)用題目所給數(shù)量關(guān)系以及特

殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

20.(1)Z4fiO=60°；(2)4；(3)

【解析】

【分析】

(1)分別利用直線的解析式與雙曲線的解析式求出48的坐標(biāo)，然后利用

答案第17頁(yè)，共20頁(yè)

A.

tanAABO=——求解即可；

Ax-B、

（2）直接利用勾股定理求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)A作交0C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,則?△ADFs及△04E,然后利用相似

三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)。的坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后與雙曲線

的解析式聯(lián)立求解即可.

【詳解】

解：（1）由6x+6=0,得x=T,

點(diǎn)的坐標(biāo)為（T,。）

由限+6=氈，得x=-2或x=l.

X

：X>0,則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2石）

/.tanAABO=-----=——-=A/3

4-紇1-（-1）

ZA