（課標(biāo)全國(guó)版）高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 第26講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示（講）原卷版+解析

第26講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示【學(xué)科素養(yǎng)】1.與歸納推理相結(jié)合，考查數(shù)列的概念與通項(xiàng)，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.與函數(shù)相結(jié)合，考查數(shù)列的概念性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3.與遞推公式相結(jié)合，考查對(duì)求通項(xiàng)公式的方法的掌握，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【課標(biāo)解讀】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù)．【備考策略】從近三年高考情況來(lái)看，本講一般不單獨(dú)命題．預(yù)測(cè)2022年高考可能與遞推數(shù)列、等差、等比數(shù)列及前n項(xiàng)和綜合考查，涉及題型有：①由Sn求an；②由遞推關(guān)系求an；③根據(jù)an＝f(n)求最值．題型一般為客觀題，也可能作為解答題中的一問(wèn)，試題難度一般不大，屬中檔題型.【核心知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)1.數(shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．(2)數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)原則類(lèi)型滿(mǎn)足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an按周期分類(lèi)周期數(shù)列對(duì)于n∈N*，存在正整數(shù)k，使an＋k＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(3)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．知識(shí)點(diǎn)2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an＝f(n)來(lái)表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．(3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【必會(huì)結(jié)論】1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1.（2023·新課標(biāo)Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【變式探究】(2019·上海卷)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn＋an＝2，則S5＝________.【舉一反三】（2023·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________．【變式探究】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(n（n＋1）,2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2C．a(chǎn)n＝eq\f(n,2) D．a(chǎn)n＝eq\f(n2,2)高頻考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2.設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋\f(1,a3)＋…＋\f(1,a2020)))＝()A．1B．2C．3D．4【方法技巧】由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法方法適用類(lèi)型要點(diǎn)累加法an＋1＝an＋f(n)，變形為an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解累乘法an＋1＝f(n)an，變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解待定系數(shù)法an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*)變形為an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系數(shù)法求t)，可得以p為公比的等比數(shù)列{an＋t}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求an取倒數(shù)法an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項(xiàng)；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解賦值法a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意對(duì)n＝1的情況進(jìn)行討論)【變式探究】數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝3，且對(duì)于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，則a39＝________.高頻考點(diǎn)三數(shù)列的周期性及應(yīng)用例3.（2023·新課標(biāo)Ⅱ）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿(mǎn)足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)其為0-1周期序列，并稱(chēng)滿(mǎn)足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿(mǎn)足的序列是（）A.11010…… B.11011…… C.10001…… D.11001……【變式探究】設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Pn，則P2021()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．1D．－1【變式探究】在數(shù)列{an}中，a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，則a2021的值為()A．－eq\f(1,4) B．5C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)高頻考點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用例4.(2020·四川綿陽(yáng)中學(xué)模擬)已知an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么數(shù)列{an}是()A．遞減數(shù)列 B．遞增數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列【變式探究】(2020·河南新鄉(xiāng)一中模擬)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．【舉一反三】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2,2anan＋1＝aeq\o\al(2,n)＋1，設(shè)bn＝eq\f(an－1,an＋1)，則數(shù)列{bn}是()A．常數(shù)列 B．?dāng)[動(dòng)數(shù)列C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列高頻考點(diǎn)五數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)【例5】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(9nn＋1,10n)，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為_(kāi)_______．【方法技巧】求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類(lèi)型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng)．(2)通過(guò)通項(xiàng)公式an研究數(shù)列的單調(diào)性，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng)．(3)比較法：①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0（或an>0時(shí)，eq\f(an＋1,an)>1），則an＋1>an，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1＝f(1)；②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0（或an>0時(shí)，eq\f(an＋1,an)<1），則an＋1<an，即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1＝f(1)．【變式探究】若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，則a2021的值為()A．2 B．－3C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)【舉一反三】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是()A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng)C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)

第26講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示【學(xué)科素養(yǎng)】1.與歸納推理相結(jié)合，考查數(shù)列的概念與通項(xiàng)，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.與函數(shù)相結(jié)合，考查數(shù)列的概念性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3.與遞推公式相結(jié)合，考查對(duì)求通項(xiàng)公式的方法的掌握，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【課標(biāo)解讀】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù)．【備考策略】從近三年高考情況來(lái)看，本講一般不單獨(dú)命題．預(yù)測(cè)2022年高考可能與遞推數(shù)列、等差、等比數(shù)列及前n項(xiàng)和綜合考查，涉及題型有：①由Sn求an；②由遞推關(guān)系求an；③根據(jù)an＝f(n)求最值．題型一般為客觀題，也可能作為解答題中的一問(wèn)，試題難度一般不大，屬中檔題型.【核心知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)1.數(shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．(2)數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)原則類(lèi)型滿(mǎn)足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an按周期分類(lèi)周期數(shù)列對(duì)于n∈N*，存在正整數(shù)k，使an＋k＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(3)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．知識(shí)點(diǎn)2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an＝f(n)來(lái)表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．(3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【必會(huì)結(jié)論】1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1.（2023·新課標(biāo)Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.【變式探究】(2019·上海卷)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn＋an＝2，則S5＝________.【答案】eq\f(31,16)【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，S1＋a1＝2，所以a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，兩式相減得an＝eq\f(1,2)an－1(n≥2)，所以{an}是以1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(n))),1－\f(1,2))，所以S5＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(5))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).【舉一反三】（2023·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________．【解析】因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝eq\f(－1×（1－26）,1－2)＝－63.【答案】－63【變式探究】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(n（n＋1）,2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2C．a(chǎn)n＝eq\f(n,2) D．a(chǎn)n＝eq\f(n2,2)【答案】B【解析】∵eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(n（n＋1）,2)，∴eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)＝eq\f(n（n－1）,2)(n≥2)，兩式相減得eq\r(an)＝eq\f(n（n＋1）,2)－eq\f(n（n－1）,2)＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①又當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(a1)＝eq\f(1×2,2)＝1，a1＝1，適合①式，∴an＝n2，n∈N*.故選B。高頻考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2.設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋\f(1,a3)＋…＋\f(1,a2020)))＝()A．1B．2C．3D．4A解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝eq\f(nn＋1,2)，則eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2020)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2020)－\f(1,2021)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2021)))＝eq\f(4040,2021).所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋…＋\f(1,a2020)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4040,2021)))＝1.【方法技巧】由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法方法適用類(lèi)型要點(diǎn)累加法an＋1＝an＋f(n)，變形為an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解累乘法an＋1＝f(n)an，變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解待定系數(shù)法an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*)變形為an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系數(shù)法求t)，可得以p為公比的等比數(shù)列{an＋t}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求an取倒數(shù)法an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項(xiàng)；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解賦值法a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意對(duì)n＝1的情況進(jìn)行討論)【變式探究】數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝3，且對(duì)于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，則a39＝________.820解析：因?yàn)閍n＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)．上面(n－1)個(gè)式子左右兩邊分別相加得an－a1＝eq\f(n＋4n－1,2)(n≥2)，即an＝eq\f(n＋1n＋2,2)(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3適合上式，所以an＝eq\f(n＋1n＋2,2)，n∈N*，所以a39＝eq\f(40×41,2)＝820.高頻考點(diǎn)三數(shù)列的周期性及應(yīng)用例3.（2023·新課標(biāo)Ⅱ）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿(mǎn)足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)其為0-1周期序列，并稱(chēng)滿(mǎn)足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿(mǎn)足的序列是（）A.11010…… B.11011…… C.10001…… D.11001……【答案】C【解析】由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿(mǎn)足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿(mǎn)足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿(mǎn)足；【變式探究】設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Pn，則P2021()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．1D．－1D解析：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，得a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，此時(shí)數(shù)列的項(xiàng)開(kāi)始重復(fù)出現(xiàn)，呈現(xiàn)周期性，周期為3.且P3＝－1,2021＝3×673＋2，所以P2021＝(－1)673×a1a2＝－1.【變式探究】在數(shù)列{an}中，a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，則a2021的值為()A．－eq\f(1,4) B．5C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)【答案】B【解析】因?yàn)樵跀?shù)列{an}中，a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－eq\f(1,－\f(1,4))＝5，a3＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，a4＝1－eq\f(1,\f(4,5))＝－eq\f(1,4)，所以{an}是以3為周期的周期數(shù)列，所以a2021＝a673×3＋2＝a2＝5.高頻考點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用例4.(2020·四川綿陽(yáng)中學(xué)模擬)已知an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么數(shù)列{an}是()A．遞減數(shù)列 B．遞增數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列【答案】B【解析】an＝1－eq\f(2,n＋1)，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，n∈N*，易知{an}是遞增數(shù)列．【變式探究】(2020·河南新鄉(xiāng)一中模擬)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．【答案】9或10【解析】∵an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n＋1)－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)×eq\f(9－n,11)，當(dāng)n＜9時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞9時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，∴該數(shù)列中有最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第9，10項(xiàng)．【舉一反三】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2,2anan＋1＝aeq\o\al(2,n)＋1，設(shè)bn＝eq\f(an－1,an＋1)，則數(shù)列{bn}是()A．常數(shù)列 B．?dāng)[動(dòng)數(shù)列C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列【答案】D【解析】∵2anan＋1＝aeq\o\al(2,n)＋1，∴an＋1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an))).∵bn＝eq\f(an－1,an＋1)，∴bn＋1＝eq\f(an＋1－1,an＋1＋1)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))－1,\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))＋1)＝eq\f(an－12,an＋12)＝beq\o\al(2,n)>0.∵a1＝2，∴b1＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3)，b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4，b4＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))8，∴數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，故選D.高頻考點(diǎn)五數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)【例5】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(9nn＋1,10n)，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為_(kāi)_______．【解析】法一：an＋1－an＝eq\f(9n＋1n＋2,10n＋1)－eq\f(9nn＋1,10n)＝eq\f(9n,10n)·eq\f(8－n,10)，當(dāng)n<8時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an；當(dāng)n＝8時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>8時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1<an.則a1<a2<a3<…<a8，a8＝a9，a9>a10>a11>…，故數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且a8＝a9＝eq\f(98×9,108)＝eq\f(99,108).法二：設(shè)數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq