考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)講義考點知識點,概念定理總結(jié)

考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)講義考點知識點,概念定理總

結(jié)）

目錄

第一章

第二章

第三章

第四章

第五章

第八早

第七章

第八章

函數(shù)、極限、連

1一元函數(shù)微分

一元函數(shù)積分

常微分方

程

..................................................................................................0

向量代數(shù)與空間解析兒

何.................................................

??多元函數(shù)微分

學(xué)????????????????????????

多元函數(shù)積分

...........................................................................10無窮級

數(shù).................................................

??129

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

1.1函數(shù)

內(nèi)容要點

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義.分段函數(shù)

二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象

三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)

四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù)

1.用極限表示的函數(shù)

y?limfnn??3.反函數(shù).隱函數(shù)

y?limft?x

2.用變上、下限積分表示的函數(shù)

y?

y?

則？xafdt其中f連續(xù)，則dy?fdx???21fdt其

中？1,?2可導(dǎo),f連續(xù),dy??f[?l]?l??f[?2]?2dx

五、函數(shù)的兒種性質(zhì)

1.有界性：設(shè)函數(shù)y?f在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M,

使x?X都有f?M,則稱f在X上是有界的。

2.奇偶性：設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點對稱，若對x?X,都有

f??f,則稱f在X上是奇函數(shù)。

若對x?X,都有f?f,則稱f在X上是偶函數(shù)，奇函數(shù)

的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。

3.單調(diào)性：設(shè)f在X上有定義，若對任意xl?X,x2?X,

xl?x2都有f?f

[f?f]則稱f在X上是單調(diào)增加的[單調(diào)減少的]；若對

任意xl?X,x2?X,xl?x2都有則稱f在X上是單

調(diào)不減[單調(diào)不增]

4.周期性：設(shè)f在X上有定義，如果存在常數(shù)T?0,

使得任意x?X,x?T?X,都有

f?f,則稱f是周期函數(shù)，稱T為f的周期。

由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一般我們把其

中最小正周期稱為周期。

1.極限

內(nèi)容要點

一、極限的概念與基本性質(zhì)

1.極限的概念

數(shù)列的極限limxn?An??

函數(shù)的極限limf?A；limf?Ax???x???x??

f?A；limf?Alimf?A；lim??x?xOx?xOx?xO

2.極限的基本性質(zhì)

定理1設(shè)limf?A,貝ijA二B

定理設(shè)limg?B

若x變化一定以后，總有f?g,則A?B

反之，A?B,則x變化一定以后，有f?g

定理設(shè)

則當(dāng)x變化一定以后，f是有界的。

定理設(shè)limf?A,limg?B

則lim[f?g]?A?B

lim[f?g]?A?B

lim[f?g]?A?B

limfA?gB

lim[f]g?AB

二、無窮小

liml.無窮小定義：若則稱f為無窮小xx

2.無窮大定義：任給M>0,當(dāng)x變化一定以后，總有

f?M,則稱f為無窮大，記以limf??。

3.無窮小與無窮大的關(guān)系：在x的同一個變化過程中,

若f為無窮大，則1為無窮小，f

1為無窮大。f若f為無窮小，且f?0,則

4.無窮小與極限的關(guān)系：

limf?A?f?A??,其中l(wèi)im??O

5.兩個無窮小的比較

設(shè)limg?O,且g

1?0,稱f是比g高階的無窮小，記以f?o[g]

稱g是比f低階的無窮小

1?0,稱f與g是同階無窮小。

1?1,稱f與g是等階無窮小，記以f~g

6.常見的等價無窮小，當(dāng)x?0時

sinx~x,tanx~x,arcsinx^x,arctanx^x,l?cosx~

12x,ex?l~x,2

ln~x,??r?xo

7.無窮小的重要性質(zhì)

有界變量乘無窮小仍是無窮小。

三、求極限的方法

1.利用極限的四則運算和幕指數(shù)運算法則

2.兩個準則

準則1：單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在

若xn?l?xn又xn?m,則limxn?A存在，且A?mn??

若xn?l?xn又xn?M,貝Ulimxn?A存在，且A?Mn??

準則2：夾逼定理

設(shè)g?f?h。若limg?A,limh?A,則limf?A

3.兩個重要公式

公式1：limsinx?lx?Ox

llnlu公式2：lim?e；lim?e；limv?en??u??v?Onu

4.用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換

5.用泰勒公式

x2xn

????o當(dāng)x?0時,e?l?x?2!n!x

x3x5x2n?l

nsinx?x?????o!5!!

2nx2x4

nxcosx?l??????o!4!!

nx2x3

n?lxln?x?????o3n

2n?lx3x5

n?lxarctanx?x??????o52n?l

??l??x?

6.洛必達法則

?2!x2?????[??!n!xn?o

第

內(nèi)容要點一、基本概念與性質(zhì)

1、原函數(shù)與不定積分的概念

一元函數(shù)積分學(xué)

3.1不定積分

設(shè)函數(shù)f和F在區(qū)間I上有定義，若F??x?二f在區(qū)間

I上成立。則稱F為f在區(qū)間I的原函數(shù)，f在區(qū)間I中的

全體原函數(shù)成為f在區(qū)間I的不定積分，記為

?fdx

其中

O

稱為積分號，X稱為積分變量，f稱為被積分函數(shù)，fdx

稱為被積

?

表達式。

2、不定積分的性質(zhì)

設(shè)fdx=F+C，其中F為f的一個原函數(shù)，C為任意常

數(shù)。則F??x?dx=F+C或dF=F+C

?

??

?

?

二f或d??fdx?fdx?

?=fdx

kfdx=kfdx

??

??f?g?dx=?fdx??gdx

sinxcosxdx—x2

e,,,?x?x?lnx?dx

3、原函數(shù)的存在性

設(shè)f在區(qū)間I上連續(xù)，則f在區(qū)間I上原函數(shù)一定存

在，但初等函數(shù)的原函數(shù)不一定

22

是初等函數(shù)，例如sindx,cosdx,

??

等被積函數(shù)有原函數(shù)，但不能用初等函數(shù)表示，故這

些不定積分均稱為積不出來。

二、基本積分表三、換元積分法和分部積分法1、

第一換元積分法

設(shè)

?fdu?F+C,

又??x?可導(dǎo)，

則？f????x??????x?dx=?f????x???d??x?

令u=??x??fdu=F+C=F[??x?]+C這里要求讀者對常用

的微分公式要“倒背如

流”，也就是非常熟練地湊出微分。

2、第二換元積分法

???t?dt=G?t?+C，則f?x?dx令x=??t?設(shè)x=??t?

可導(dǎo)，且？？？t??0,若f???t??

??

49

?1?1

?????????f?t?tdt=G+C=G?x?C其中t=?x?為x

=??t?的反函數(shù)。??

??

3、分部積分法

設(shè)u,v均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則

?udv

=uv—

?vdu

或

?uv?dx=uv—?u?vdx

Pne

ax

,Pnsinax,Pncosax情形，Pn為n次多項式，a為常

數(shù)。要進行

ax

n次分部積分法，每次均取e

,sinax,cosax為v??x?；多項式部分為u。

Pnlnx,Pnarcsinx,Pnarctanx情形，Pn為n次多項

式取Pn為v??x?,而Inx,arcsinx,arctanx為u,用分部

積分法一次，被積函數(shù)的形式發(fā)生變化，再

考慮其它方法。

50

3.定積分和廣義積分的概念與計算方法

內(nèi)容要點一、定積分的概念與性質(zhì)

1、定積分的定義及其幾何意義、定積分的性質(zhì)

中值定理，設(shè)f在?a,b?上連續(xù)，則存在???a,b?使得

定義：我們稱

?

b

a

fdx?f

lb

fdx為f在?a,b?上的積分平均值。？ab?a

二、基本定理

1、變上限積分的函數(shù)

定理：設(shè)f在?a,b?上連續(xù)，則F=推廣形式，設(shè)F=

?

x

a

fdt在?a,b?上可導(dǎo),且F??f

????

1

?2?x?

x

fdt,?l?x?,?2?x?可導(dǎo),f連續(xù)，

9

則F?=f???2?x????2?x??f???l?x????l?x?、牛頓一

萊布尼茲公式

設(shè)f在?a,b?上可積，F(xiàn)為f在?a,b?上任意一個原函

數(shù)，則有

b

?

?

a

fdx=

F

b

a

=F-F

三、定積分的換元積分法和分部積分法1、

?

b

b

a

fdx=

??f???t?????t5)dt.

b

?

2、

?

a

?uv??x?dx?uvba??vu?x?dx

a

四、廣義積分

定積分

?

b

a

fdx的積分區(qū)間？a,b?是有限區(qū)間，又f在?a,b?上是有

界的，如果積

分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或f推廣到無界函數(shù)就是兩種

不同類型的廣義積分。

1、無窮區(qū)間上的廣義積分定義：

?

+?

a

fdx=lim?fdx

b?+?a

b

若極限存在，則稱廣義積分則稱廣義積分

?

+?

a

fdx是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，

?

+?

a

fdx是發(fā)散的。而發(fā)散的廣義積分沒有值的概念。

51

?

b

—9

fdx=lim

c

a?—?a

?

b

fdx

+?

同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的廣義積分有值的概

念。

?

+?

—?

fdx=?fdx+?

—?

c

fdx=lim

a?—?a

?

c

fdx+lim

b?+?c

?

b

fdx

2、無界函數(shù)的廣義積分

f=?，則稱b為f的瑕點。設(shè)f在?a,b?內(nèi)連續(xù)，且

lim—

x?b

定義

?fdx=lim?

a

bb-?

??0+a

fdx

b

若極限存在，則稱廣義積分廣義積分

?

a

fdx收斂，且它的值就是極限值，若極限不存在，則稱

?

b

a

fdx發(fā)散。發(fā)散的廣義積分沒有值的概念。

x?a

f=?,則稱a為f的瑕點設(shè)f在?a,b?內(nèi)連續(xù)，且lim

+

定義

?

b

a

fdx=limfdx+?

??0

a+?

b

若極限存在，則稱廣義積分

?

b

a

fdx收斂，且它的值就是極限值,

若極限不存在，則稱廣義積分

?

b

a

fdx發(fā)散，它沒有值。

x?c

設(shè)f在?a,C?和？c,b?皆連續(xù)，且則稱C為

f的瑕點定義

?

b

b

a

fdx=

?fdx

a

c

+

?

b

c

fdx=

?l?O+a

lim

?

c—?1

fdx+

?2?0+c+?2

lim

?fdx

3.有關(guān)變上限積分和積分證明題

3.定積分的應(yīng)用

內(nèi)容要點

一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)系模型ISl=

??y?x??y?x??dx,

a

2

1

b

其中y2?x??yl?x?,x?

?a,b?

52

模型HS2=

?

d

c

??x2?y??xl?y???dy,

其中x2?y??xl?y?,y??c,d?

注：復(fù)雜圖形分割為若干個小圖形，使其中每一個符

合模型I或模型H加以計算，然后再相

加。

2.極坐標(biāo)系

模型ISl=

1?2

r???d???2

1?22

模型IIS2=?r2????rl???d?

2?

3.參數(shù)形式表出的曲線所圍成的面積設(shè)曲線C的

參數(shù)方程？

??

9x=99t9999t?99

???y=?t

????=a,????=b,??t?在?？,??上有連

續(xù)導(dǎo)數(shù)，且???t?不變號，？?t??0且連續(xù)。

則曲邊梯形面積S=ydx=

a

?

b

?

二、平面曲線的弧長三、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體

積

平面圖形由曲線y二f與直線x=a,x=b和x軸圍成

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積Vx??

?

b

a

f2?x?dx繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積

Vy?2??xf

a

b

?x?dx

平面圖形由曲線x二g與直線y=c,y=d和y軸圍成

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積

Vy??g2?y?dy

d

?

c

）繞*軸旋轉(zhuǎn)一周的體積

Vx?2??yg?y?dy

c

d

四、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積

53

第六章多元函數(shù)微分學(xué)

6.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

內(nèi)容要點

一、多元函數(shù)的概念

1.二元函數(shù)的定義及其兒何意義設(shè)D是平面上的一

個點集，如果對每個點PED,按照某一對應(yīng)規(guī)則f,變量z

都有一個值與之對應(yīng)，則稱z是變量x,y的二元函數(shù)，記

以z二f,D稱為定義域。

二元函數(shù)z=f的圖形為空間一塊曲面，它在xy平面上

的投影域就是定義域Do

22

例如z??x?y,

D:x2?y2?l二元函

數(shù)的圖形為以原點為球心，半徑為1的上半球面，其

定義域D就是xy平面上以原點為圓心，半徑為1的閉圓。.三

元函數(shù)與n元函數(shù)

u?f,??空間一個點集，稱為三元函數(shù)

u?f稱為n元函數(shù)。

它們的兒何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會用

到三元函數(shù)。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多

元函數(shù)。

二、二元函數(shù)的極限

設(shè)f在點的鄰域內(nèi)有定義，如果對任意

??0,存在??0,只要

2?2??,就有f?A??

則記以limf?A或x?x

y?y0

?

limf?A

稱當(dāng)趨于時，f的極限存在，極限值為A。否則，稱為

極限不存在。值得注意：這里趨于是在平面范圍內(nèi)，可以

按任何方式沿任意曲線趨于

,所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復(fù)雜，但考

試大綱只要求知道基本概念和

簡單的討論極限存在性和計算極限值不象一元函數(shù)求

極限要求掌握各種方法和技巧。

三、二元函數(shù)的連續(xù)性

1.二元函數(shù)連續(xù)的概念

92

若則稱f在點處連續(xù)x?x

y?yO

若f在區(qū)域D內(nèi)每一點皆連續(xù),則稱f在D內(nèi)連續(xù)。.閉

區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1設(shè)f在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f在D上一定有界

定理設(shè)f在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f在D上一定有最大值和

最小值maxf?M,

?D

?D

minf?m

定理設(shè)f在閉區(qū)域D上連續(xù)，M為最大值，m為最小

值，若

m?c?M,則存在?D,使得f?C

6.偏導(dǎo)數(shù)與全微分

內(nèi)容要點

一、偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念1.偏導(dǎo)數(shù)

二元：設(shè)z?f

?zf?f

?fx??lim

?x?O?x?x

?zf?f

?fy??lim

?y?O?y?y

三元：設(shè)u?f

?u?u?u

?fx?;?fy?;?fz??x?y?z

2.二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z?f,

?2z??z?2z??z?????f?,?f?xxxy

?x?x?x2?x?y?y?x

?2z??z?2z??z

???,?fyy????fyx

?y?x?x?y?y?y?y

93

3.全微分

設(shè)z?f,增量？z?f?f

22

若?z?A?x?B?y?o?)

當(dāng)?x?O?y?O時

則稱z?f可微，而全微分dz?A?x?B?y

定義：dx??x,

dy??y

定理:可微情況下，A?fx?,B?fy?

?dz?fx?dx?fy?dy

三元函數(shù)u?f

全微分du?fx?dx?fy?dy?fz?dz.相互關(guān)系

fx?

fy?連續(xù)

?df存在fx?,fy?存在f連續(xù)

5.方向?qū)?shù)與梯度二、復(fù)合函數(shù)微分法——鎖鏈公

式三、隱函數(shù)微分法

設(shè)F?0確定z?z

Fy?Fx??z?z

則??;??

?xFz??yFz?

四、幾何應(yīng)用

1.空間曲面上一點處的切平面和法線.空間曲線上一

點處的切線和法平面

94

6.多元函數(shù)的極值和最值

內(nèi)容要點

一、求z?f的極值

第一步？

?fx??O

求出駐點

??fy?O

??fyy???fxy??第二步令?k?fxx

若？k?0若？k?0若？k?0

則f不是極值

則不能確定

??

2

則f是極值

進一步

???0則f為極小值若fxx

???0則f為極大值若fxx

二、求多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法

求u?f的極值

??1?0?

?約束條件？

???0

n?ml

令F?F?f???i?i

i?l

?Fx?l?O

?????Fx?n?O??

?F?1??1?O?????F??m??m?O

k

k

求出是有可能的條件極值點，一般再由實際問題的含

義確

定其充分性，這種方法關(guān)鍵是解方程組的有關(guān)技巧。

三、多元函數(shù)的最值問題

95

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

2.1導(dǎo)數(shù)與微分

內(nèi)容要點一、導(dǎo)數(shù)與微分概念1、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y?f在點xO的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x在xO

處有增量?x,相應(yīng)地函數(shù)增量?y?f?f。如果極限

?y?x

f?f

?x

?x?0

?x?0

存在，則稱此極限值為函數(shù)f在xO處的導(dǎo)數(shù)，記作f?,

或y?

dydx

x?xO

x?xO

dfdx

x?xO

等，并稱函數(shù)y?f在點xO處可導(dǎo)。如果上面的極限不

存在，則

稱函數(shù)y?f在點xO處不可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)定義的另一等價形式，令x?xO??x,?x?x?xO,則

f??

ffxO

我們也引進單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。右導(dǎo)數(shù)：f???lim

f?f

x?xOf?f

x?xO

?lim?

?x?0

f?f

?x

f?f

?x

x?xO

?

左導(dǎo)數(shù)：f???lim

則有

x?xO

?

?lim?

?x?0

f在點xO處可導(dǎo)?f在點xO處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相

等。

2.導(dǎo)數(shù)的兒何意義與物理意義

如果函數(shù)y?f在點xO處導(dǎo)數(shù)f?存在，則在幾何上f?

表示曲線y?f在點處的切線的斜率。切線方程：y?f?f?

24

法線方程：y?f??

If?

?0)

設(shè)物體作直線運動時路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系為

S?f,如果f?存在，則f?表示物體在時刻tO時的瞬時速度。

3.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

如果函數(shù)y?f在點xO處可導(dǎo)，則f在點xO處一定連

續(xù)，反之不然，即函數(shù)

y?f在點xO處連續(xù)，卻不一定在點xO處可導(dǎo)。例如，

y?f?|x|,在x0?0處連

續(xù)，卻不可導(dǎo)。

4.微分的定義

設(shè)函數(shù)y?f在點xO處有增量?x時，如果函數(shù)的增

量?y?f?f有下面的表達式

?y?A?x?o

其中A為？x為無關(guān)，則稱f在xO處可微，。是?x?0時

比?x高階的無窮小，并把?y中的主要線性部分A?x稱為f

在xO處的微分，記以dy我們定義自變量的微分dx就是?x。

5.微分的幾何意義

?y?f?f是曲線y?f在點xO處相應(yīng)

x?xO

或df

x?xO

o

于自變量增量?X的縱坐標(biāo)f的增量，微分dy

x?xO

是曲線

y?f在點M0）處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量。

6.可微與可導(dǎo)的關(guān)系

f在xO處可微?f在xO處可導(dǎo)。

且dy

x?xO

?A?x?f?dx

一般地，y?f則dy?f?dx

25

所以導(dǎo)數(shù)f??

dydx

也稱為微商，就是微分之商的含義。

7.高階導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù)y?f的導(dǎo)數(shù)y??f?在點xO處仍是可導(dǎo)的，則

把y??f?在點xO處

dydx

2

x?xO

2

的導(dǎo)數(shù)稱為y?f在點xO處的二階導(dǎo)數(shù)，記以y??稱f

在點xO處二階可導(dǎo)。

x?xO

，或f??,或

等，也

如果y?f的n?l階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為y?f的n階

導(dǎo)數(shù)，記以y,

dydx

nn

y

，等，這時也稱y?f是n階可導(dǎo)。

二、導(dǎo)數(shù)與微分計算1.導(dǎo)數(shù)與微分表

2.導(dǎo)數(shù)與微分的運算法則

四則運算求導(dǎo)和微分公式

反函數(shù)求導(dǎo)公式

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式隱函數(shù)求導(dǎo)法則對數(shù)求導(dǎo)

法

用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式

2.微分中值定理

本節(jié)專門討論考研數(shù)學(xué)中經(jīng)?？嫉乃拇蠖ɡ恚毫_爾定

理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理。

［注：數(shù)學(xué)三不考泰勒定理，數(shù)學(xué)四不考泰勒定理］

這部分有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比較高，

因此典型例題比較多，討論比較詳細。

內(nèi)容要點

一、羅爾定理

設(shè)函數(shù)f滿足

在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

26

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；f?f

則存在?？，使得f??0

幾何意義：條件說明曲線y?f在A）和B）之間是連續(xù)曲

線；［包括點A和點B］。

條件說明曲線y?f在A,B之間是光滑曲線，也即每一

點都有不垂直于x軸的切線［不包括點A和點B］o

條件說明曲線y?f在端點A和B處縱坐標(biāo)相等。

結(jié)論說明曲線y?f在點A和點B之間［不包括點A和點

B］至少有一點，它的切線平行于x軸。

二、拉格朗日中值定理

設(shè)函數(shù)f滿足

在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則存在??，

使得

f?fb?a

?f?

或?qū)懗蒮?f?f?

有時也寫成f?f?f???x這里xO相當(dāng)a或b都可以，?x

可正可負。

幾何意義：條件說明曲線y?f在點A）和點B）之間［包

括點A和點B］是連續(xù)曲線:

條件說明曲線y?f［不包括點A和點B］是光滑曲線。

27

結(jié)論說明：曲線y?f在A,B之間［不包括點A和點

B］,至少有點，它的切線與割線AB是平行的。

推論1若f在內(nèi)可導(dǎo)，且f??0,則f在內(nèi)為常數(shù)。推

論若f和g在內(nèi)可導(dǎo)，且f'?g?,則在［a,b］內(nèi)

f?g?C,其中C為一個常數(shù)。

三、柯西中值定理

設(shè)函數(shù)f和g滿足：在閉區(qū)間［a,b］上皆連續(xù)；

在開區(qū)間內(nèi)皆可導(dǎo)；且g??0,則存在??使得f?fg?g

f?g?

?

?x?g

9

?y?f

t?［a,b］

點A,f),點B,f)曲線，除端點外是光滑曲線，那么在

曲線上至少有一點，它

的切線平行于割線AB.值得注意：在數(shù)學(xué)理論上，拉

格朗日中值定理最重要，有時也稱為微分學(xué)基本定理。羅爾

定理看作拉格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值定理雖然

更廣，但用得不太多。在考研數(shù)學(xué)命題中，用羅爾定理最多,

其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。

四、泰勒定理

定理1設(shè)f在xO處有n階導(dǎo)數(shù)，則有公式

f?f?

fl!

?

f2!

???

2

f

n!

?Rn

n

28

第五章向量代數(shù)與空間解析幾何

5.1向量代數(shù)

內(nèi)容要點

一、空間直角坐標(biāo)系二、向量概念

?

a=xi+yj+zk

???

坐標(biāo)?x,y,z?

222

模a=x?y?z

?

方向角？,?,?

方向余弦cos?,cos?,cos?

cos?=

xx?y?z

2

2

2

；cos?=

yx?y?z

2

2

2

；cos?=

zx?y?z

2

2

2

三、向量運算

設(shè)axl,yl,zl；bx2,y2,z2；cx3,y3,zl.加法a?b

=xl?x2,yl?y2,zl?z2.數(shù)乘?a???xl,?yl,?zl?

????

3.數(shù)量積定義a,b=abcos??a,b?

??

?

??

?

9

??

?

??

?

??

??

?

????

坐標(biāo)公式a,b=xlx2+yly2+zlz重要應(yīng)用a,b=O?a?b

?

?

?

?

????

4.向量積定義a?b=absin??a,b?

??

?

?

?

??

a?b與a和b皆垂直，且a,b,a?b構(gòu)成右手系

99999??

82

i

坐標(biāo)公式a?b=xl

?

?

?

jyly2

?

?

kzlz2

?

?

x2

9

?

?

重要應(yīng)用a?b=0?a,b共線

5、混合積定義=,c

?

?

??

9

?

?

?

?

xlx3

yly2

zlzz3

坐標(biāo)公式二x2

???

9999?

?a,b,c?表示以a,b,c為棱的平行六面體的體積

??

5.平面與直線

內(nèi)容要點一、空間解析幾何

1空間解析幾何研究的基本問題。

已知曲面作為點的幾何軌跡，建立這曲面的方程，已

知坐標(biāo)x,y和z間的一個方程，研究這方程所表示的曲面。

距離公式空間兩點A?xl,yl,zl?與B?x2,y2,z2?間的距離d

為

d?

x2?xl2?y2?yl2?z2?zl2

AM

??，點A,B的坐標(biāo)為A?xl,yl,zl?,MB

定比分點公式M?x,y,z?是AB的分點：

B?x2,y2,z2?,則

x?當(dāng)M為中點時，x?

xl??x2y??y2z??z2

，y?l,z?l

1??1??1??

xl?x2y?y2z?z2

,y?l,z?122

二、平面及其方程。

1法向量，法方向數(shù)。

與平面?垂直的非零向量，稱為平面？的法向量，通常

記成n。法向量？m,n,p?的坐標(biāo)

83

?