福建省寧德市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(含答案)

寧德市2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末高二質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1．答題，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效．一、單項(xiàng)選擇題（木題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列中，，，則等于（）A．13 B．14 C．15 D．163．直線與互相平行，則實(shí)數(shù)的做等于（）A．1 B．-1 C．1或-1 D．04．學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有壽寧下黨鄉(xiāng)、福安柏柱洋、屏南潦頭村、福鼎赤溪村4條路線供3個(gè)年段選擇，每個(gè)年段必項(xiàng)且只能選擇一條路線，則不同的選擇方法有（）A．4種 B．24種 C．64種 D．81種5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（）A．6 B．8 C．9 D．106．若，則的值為（）A．45 B．55 C．120 D．1657．已知是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．68．在數(shù)列中，如果存在正整數(shù)，使得，對(duì)于任意的正整數(shù)均成立，那么稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，如果，，當(dāng)數(shù)列的周期最小時(shí)，該數(shù)列前2024項(xiàng)的和是（）A．674 B．1348 C．1350 D．2024二、多項(xiàng)選擇題（本題每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．?dāng)?shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．是等學(xué)數(shù)列 D．成等比數(shù)列10．已知，則（）A． B．C． D．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)11．已知圓，過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則|MP|最小值為B．的最大值為C．直線恒過(guò)定點(diǎn)D．若圓平分圓的周長(zhǎng)，則12．已知曲線，為上一點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A．曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱B．的取值范圍為C．存在點(diǎn)，使得D．的取值范圍為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）13．直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的傾斜角為_(kāi)_____．14．寧德北路戲是珍貴的國(guó)家非物質(zhì)文化邀產(chǎn)。在某次文化表演中，主辦方安排了《濟(jì)公傳》、《反五關(guān)》、《龍虎斗》、《宏珵緣》、《旗王哭將》五個(gè)北路戲傳統(tǒng)劇目，其中要求《宏碧緣》與《旗王哭將》不相鄰，則不同的節(jié)目安排種數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則______．16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為30的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，，若的角平分線交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．四、解答題：（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步頻．）17．（本小題滿分10分）已知的展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64．（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．18．（本小題滿分12分）我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開(kāi)始，首尾兩數(shù)為1，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來(lái)的順序排列得一數(shù)列：1，3，6，10，15，…寫出與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（本小題滿分12分）在等腰梯形中，，，，．（1）求所在直線的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且被三角形的外接圓所截得的弦長(zhǎng)為的直線的方程．20．（本小題滿分12分）拋物線被直線截得的弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．（1）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值．21．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求正整數(shù)的所有取值．22．（本小題滿分12分）點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，縱坐標(biāo)相同．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知，為曲線與軸的左右交點(diǎn)，動(dòng)直線交曲線于，兩點(diǎn)（均不與，重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，試問(wèn)動(dòng)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)：若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1．本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，給出一種或幾種解法供參考．如果考生的解法與給出的解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)確定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．2．對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但整體解決方案可行且后續(xù)步驟沒(méi)有出現(xiàn)推理或計(jì)算錯(cuò)誤，則錯(cuò)誤部分依細(xì)則扣分，并根據(jù)對(duì)后續(xù)步驟影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)后續(xù)部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4．解答題只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分．一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分40分．1．A 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．ABC 10．AB 11．AD 12．BD三、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分20分．13．（或） 14．72 15． 16．三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．17．本小題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力等．滿分10分．解：（1）展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64則。解得．（2）由（1）知所以令解得．則所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240．18．本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、累加法、裂項(xiàng)求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力等，滿分12分．（1）由“楊輝三角”的定義可知：，時(shí)，所以則（2）由（1）知．所以則19．本題主要考查直線的斜率與方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，直觀想象等．滿分12分．解法一：（1）在等腰梯形中，因?yàn)?，，，所以設(shè)由得，即或又因?yàn)?，所以，即所以所以所在直線方程為：，整理得．（2）設(shè)三角形外接圓的方程為因?yàn)?，，則解得所以三角形外接圓的方程為．故圓心坐標(biāo)，半徑因?yàn)橄议L(zhǎng)，所以圓心到直線的距離：依題意得，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，所以解得，所以直線的方程為，．解法二：（1）如圖所示在等腰梯形中，因?yàn)?，，，則，則是，所以因?yàn)?，所以所以所以所在直線方程為：，整理得（2）因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，，，四點(diǎn)共圓，故的外接圓即的外接圓由（1）可知，該外接圓以為圓心，2為半徑因?yàn)橄议L(zhǎng)，所以圓心到直線的距離：依題意得，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，所以解得，所以直線的方程為，．解法三：（1）過(guò)作交軸于點(diǎn)，在等腰梯形中，因?yàn)椋遥运运运运谥本€方程為：，整理得．（2）由（1）知，所以線段的垂直平分線為①．線段的中點(diǎn)為，所以線段的垂直平分線為②（2）．由①②解得的外接圓的圓心為，半徑．過(guò)點(diǎn)作軸交的外接圓于，兩點(diǎn)所以，，所以因?yàn)辄c(diǎn)在的外接圓上，又根據(jù)圓的對(duì)稱性可知滿足題設(shè)的直線為直線和直線，根據(jù)兩點(diǎn)式得直線的方程為，即，直線的方程為，即故所求直線的方程為或．20．本小題主要考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、直觀想象等．滿分12分．解法一：（1）設(shè)拋物線與直線交于，．整理得，所以，因?yàn)樗裕瑒t拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為（2）依題意設(shè)直線的方程為，，，．聯(lián)立方程組整理得，故所以因?yàn)?，直線的方程為，同理可得所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．所以四邊形面積的最小值為32．解法二：（1）設(shè)拋物線與直線交于，．則作差得所以因?yàn)?，所以則拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為（2）依題意設(shè)直線的方程為，，，．聯(lián)立方程組整理得，故．所以因?yàn)?，同理可得所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．所以四邊形面積的最小值為32．21．本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分12分．解法一：（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．所以且解得所以則（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，．所以，則，由，得，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)，在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，由，，，則當(dāng)時(shí)，，所以若，正整數(shù)的所有取值為1，2，3解法二：（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．所以①且②①②得對(duì)均成立．所以（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以，則，由，得，即，令，，，當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可知，單調(diào)遞增且所以若，正整數(shù)的所有取值為1，2，3解法三：（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．所以①．且②由②得，代入①解得．（2）下同解法一二22．本小題主要考查曲線與方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．滿分12分．解法一：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則①設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，代入①式，得所以求點(diǎn)的軌跡的方程為（2）點(diǎn)的軌跡為橢圓，所