線性代數(shù)課件行列式

線性代數(shù)課件行列式contents目錄行列式基本概念與性質(zhì)二階與三階行列式n階行列式及其展開克拉默法則與矩陣方程求解范德蒙德行列式與矩陣秩行列式在幾何與物理中應(yīng)用行列式基本概念與性質(zhì)CATALOGUE01行列式定義及記號(hào)行列式定義由n個(gè)數(shù)排成n行n列的數(shù)表稱為n階行列式，簡(jiǎn)稱n階行列式。記作D，即D=|aij|，其中i為行標(biāo)，j為列標(biāo)。行列式記號(hào)通常采用大寫英文字母D表示行列式，如D、D1、D2等。對(duì)于n階行列式，也可以記作Dn。行列式轉(zhuǎn)置不變性：行列式D的行與列互換后得到的新行列式DT，有DT=D。行列式倍加性質(zhì)：行列式中某一行（或列）的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。即D'=kD。行列式的線性性質(zhì)：若行列式中某一行（或列）的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個(gè)行列式之和：一個(gè)行列式中該行（或列）元素用第一個(gè)數(shù)代替，另一個(gè)行列式中該行（或列）元素用第二個(gè)數(shù)代替。行列式的拆分性質(zhì)：若行列式中某一行（或列）的元素可以拆分為兩個(gè)數(shù)的乘積，則D等于下列兩個(gè)行列式的乘積：一個(gè)行列式中該行（或列）元素用第一個(gè)數(shù)代替，另一個(gè)行列式中該行（或列）元素用第二個(gè)數(shù)代替。行列式性質(zhì)主對(duì)角線以下（以上）的元素全為零的行列式稱為上（下）三角形行列式，它的值與對(duì)角線元素之積相等。三角形法則在n階行列式中，把所在的第i行與第j列劃去后，所留下來(lái)的n-1階行列式叫元的余子式。行列式等于它任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。降階法則行列式計(jì)算法則二階與三階行列式CATALOGUE02對(duì)角線法則二階行列式的值等于主對(duì)角線上的元素之積減去副對(duì)角線上的元素之積。性質(zhì)二階行列式滿足交換律、結(jié)合律和分配律等基本性質(zhì)。應(yīng)用在解二元一次方程組、計(jì)算向量外積等方面有廣泛應(yīng)用。二階行列式計(jì)算三階行列式可以按照某一行或某一列展開為三個(gè)二階行列式的和。展開法則三階行列式同樣滿足交換律、結(jié)合律和分配律等基本性質(zhì)。性質(zhì)在解三元一次方程組、計(jì)算向量混合積等方面有廣泛應(yīng)用。應(yīng)用三階行列式計(jì)算箭型行列式的特點(diǎn)是除了第一行和第一列外，其他元素具有相同的規(guī)律。求解時(shí)可以利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。箭型行列式兩三角型行列式的特點(diǎn)是行列式的上半部分和下半部分分別呈現(xiàn)三角形。求解時(shí)可以利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行降階處理。兩三角型行列式范德蒙德行列式的特點(diǎn)是每一行是一個(gè)等差數(shù)列，而每一列是一個(gè)等比數(shù)列。求解時(shí)可以利用范德蒙德行列式的公式進(jìn)行求解。范德蒙德行列式特殊類型三階行列式求解n階行列式及其展開CATALOGUE03n階行列式的定義由n個(gè)數(shù)表成的n行n列的方形數(shù)表，稱為n階行列式。行列式的性質(zhì)行列式具有線性性、交換性、結(jié)合性、對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也成立等性質(zhì)。特殊行列式上（下）三角行列式、對(duì)角行列式等。n階行列式定義及性質(zhì)030201余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列后，剩下的n-1階行列式稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)^(i+j)Mij稱為元素aij的代數(shù)余子式。按行（列）展開定理n階行列式D等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin(i=1,2,...,n)或D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj(j=1,2,...,n)。按行（列）展開定理k階子式與余子式在n階行列式中，任取k行k列（k≤n），位于這些行和列的交點(diǎn)上的k^2個(gè)元素按原來(lái)的次序組成的k階行列式稱為n階行列式的k階子式；而劃去這k行k列后余下的元素按原來(lái)的次序組成的(n-k)階行列式稱為k階子式的余子式。拉普拉斯定理在n階行列式中，任意取定k行（列），由這k行（列）元素所組成的一切k階子式與其代數(shù)余子式的乘積之和等于原行列式的值。應(yīng)用拉普拉斯定理在求解某些特殊類型的行列式時(shí)非常有用，如范德蒙德行列式、克萊姆法則等。拉普拉斯定理及應(yīng)用克拉默法則與矩陣方程求解CATALOGUE0403克拉默法則通過(guò)計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式以及替換某一列后的新行列式，來(lái)求解方程組的解。01克拉默法則（Cramer'sRule）是線性代數(shù)中一個(gè)關(guān)于求解線性方程組的定理。02該法則適用于具有相同數(shù)量方程的方程組，且系數(shù)矩陣的行列式不為零的情況?？死▌t介紹高斯消元法矩陣方程求解方法通過(guò)對(duì)方程組進(jìn)行初等行變換，將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣或?qū)蔷仃?，從而求解方程組。矩陣的逆若系數(shù)矩陣可逆，則方程組的解可以通過(guò)求系數(shù)矩陣的逆矩陣與常數(shù)向量的乘積得到。利用克拉默法則，通過(guò)計(jì)算行列式來(lái)求解方程組的解。行列式方法克拉默法則在方程組求解中應(yīng)用01對(duì)于具有相同數(shù)量方程的方程組，若系數(shù)矩陣的行列式不為零，則可以直接應(yīng)用克拉默法則求解。02在某些特殊情況下，如系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣或正交矩陣時(shí)，克拉默法則的求解過(guò)程可以簡(jiǎn)化。03克拉默法則也可以用于驗(yàn)證通過(guò)其他方法求得的解是否正確。范德蒙德行列式與矩陣秩CATALOGUE05范德蒙德行列式定義及性質(zhì)范德蒙德行列式是一種特殊形式的行列式，其元素由不同變量的冪次構(gòu)成，具有特定的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。定義范德蒙德行列式具有一些重要的性質(zhì)，如可拆分性、對(duì)稱性、遞推關(guān)系等，這些性質(zhì)使得范德蒙德行列式在計(jì)算和證明中具有廣泛的應(yīng)用。性質(zhì)VS矩陣的秩是指矩陣中最大的非零子式的階數(shù)，它反映了矩陣的線性無(wú)關(guān)列（或行）向量的最大個(gè)數(shù)。計(jì)算方法計(jì)算矩陣的秩有多種方法，如通過(guò)初等變換化為行階梯形矩陣后數(shù)非零行的行數(shù)、利用矩陣的分塊技巧等。矩陣秩概念矩陣秩概念及計(jì)算方法判斷矩陣秩通過(guò)構(gòu)造范德蒙德行列式，可以判斷某些特定矩陣的秩，進(jìn)而研究矩陣的性質(zhì)和特征。證明定理范德蒙德行列式的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以用于證明一些與矩陣秩相關(guān)的定理和結(jié)論。求解方程在某些情況下，范德蒙德行列式可以用于求解線性方程組或矩陣方程，從而得到問(wèn)題的解析解或數(shù)值解。范德蒙德行列式在矩陣秩中應(yīng)用行列式在幾何與物理中應(yīng)用CATALOGUE06向量積（叉積）與行列式在三維空間中，兩個(gè)向量的向量積可以通過(guò)三階行列式計(jì)算，其結(jié)果是一個(gè)垂直于原向量的新向量?；旌戏e與行列式混合積是三個(gè)向量的點(diǎn)積和叉積的組合，其結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量。混合積可以通過(guò)三階行列式計(jì)算，用于判斷三個(gè)向量的共面性和方向關(guān)系。向量積、混合積和行列式關(guān)系二階和三階行列式可用于解決平面幾何中的面積、三角形形狀判斷等問(wèn)題。例如，通過(guò)計(jì)算二階行列式可以求出平面上兩個(gè)向量構(gòu)成的平行四邊形的面積。三階行列式可用于解決空間幾何中的體積、四面體形狀判斷等問(wèn)題。例如，通過(guò)計(jì)算三階行列式可以求出三個(gè)向量構(gòu)成的平行六面體的體積。平面幾何問(wèn)題空間幾何問(wèn)題平面和空間中幾何問(wèn)