初中數(shù)學(xué)解直角三角形以及應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)解直角三角形與應(yīng)用填空題專題訓(xùn)練含答案

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、解答題(共20題)

1、如圖，一艘輪船離開A港沿著東北方向直線航行60近海里到達(dá)5處，然后改變航向,

向正東方向航行20海里到達(dá)。處，求力。的距離.

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a/+H+4(aw0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(一2⑼和點(diǎn)8(4,0).

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，直線C尸將A/BC的面積分成2:1兩

部分，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，當(dāng)

=時(shí)，求￡的值.

3、小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在A處看到B、。處各有一

棵被湖水隔開的銀杏樹，他在力處測(cè)得6在北偏西45°方向，。在北偏東30°方向，

他從A處走了20米到達(dá)B處,又在8處測(cè)得C在北偏東60°方向.

(1)求NC的度數(shù);

(2)求兩顆銀杏樹B、。之間的距離(結(jié)果保留根號(hào)).

4、如圖，港口B位于港口O正西方向120海里處，小島C位于港口O北偏西60°的

方向.一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏西30。的OA方向以20海里/小時(shí)的速

度駛離港口O.同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30。的方向以60海里/小時(shí)的

速度駛向小島C,在小島C用1小時(shí)裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給考察船送去.

(1)快艇從港口B到小島C需要多少時(shí)間？

(2)快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時(shí)間才能和考察船相遇？

5、如圖，某海岸線M的方向?yàn)楸逼珫|75°,甲、乙兩船同時(shí)出發(fā)向C處海島運(yùn)送物資.甲

船從港口A處沿北偏東45°方向航行，其中乙船的平均速度為/.若兩船同時(shí)到達(dá)C處

海島，求甲船的平均速度.(結(jié)果用「表示.參考數(shù)據(jù)：0-1.4,后心1.7)

c

Jt

-p東

H

6、如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m,在建筑物的頂部A處測(cè)得鐵塔頂

部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°,求鐵塔CD的高度.

(參考數(shù)據(jù):sin28°-0.47,cos28°~0.8,tan28°~0.53,sin40°M).64,cos40°~0.77,

tan40°=0.84)

7、某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測(cè)量員在直線AB的同一側(cè)選定C,〃兩個(gè)

3(應(yīng)+述)1cm—km

觀測(cè)點(diǎn)，如圖，測(cè)得然長(zhǎng)為2，5長(zhǎng)為4、5，班長(zhǎng)為2,ZACD=60°,

ZCD5=135°(A.B、C、〃在同一水平面內(nèi)).

(1)求4、D兩點(diǎn)之間的距離：

(2)求隧道AB的長(zhǎng)度.

8、某條過(guò)路上通行車輛限速為50km/h,在離道路70m的點(diǎn)P處建一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，道路的

A5段為監(jiān)測(cè)區(qū)(如圖)在中，已知乙%C=26。，/期C=68。.一輛車通過(guò)段的

時(shí)間為10秒，請(qǐng)判斷該車是否超速，并說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：Sin26°?0.44,cos26°^0.90,

tan26°日0.50,sin68°?0.93,cos68°日0.37,tan68°?2.50)

9、如圖，在岷江的右岸邊有一高樓AB,左岸邊有一坡度i=l：2的山坡CF,點(diǎn)、C與點(diǎn)B

在同一水平面上，仃與45在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量樓A5的高度，在坡

底。處測(cè)得樓頂A的仰角為45?，然后沿坡面CF上行了20拈米到達(dá)點(diǎn)Q處,此時(shí)在D處

測(cè)得樓頂A的仰角為30-,求樓49的高度.

10、如圖，沿AC方向開山修路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上

的一點(diǎn)6取AABD=140°,BD=520m,AD=50°,那么另一邊開挖點(diǎn)E離

〃多遠(yuǎn)正好使C,〃三點(diǎn)在一直線上（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，cos50°=

0.6428）?

11、2020年5月5日，為我國(guó)載人空間站工程研制的長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)較火箭在海南文昌首飛成

功.運(yùn)載火箭從地面。處發(fā)射、當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測(cè)得血=4000米,

仰角為30。.3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面。處的雷達(dá)站測(cè)得B處的仰角

為45。.已知CZ）兩處相距460米，求火箭從A到5處的平均速度（結(jié)果精確到1米，參

考數(shù)據(jù)：732,1,414）

12、王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)量河對(duì)岸大樹

AB的高度，他在點(diǎn)C處測(cè)得大樹頂端A的仰角為45。，再?gòu)腃點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走2而米到

達(dá)斜坡上〃點(diǎn)，在點(diǎn)〃處測(cè)得樹頂端A的仰角為30。，若斜坡行'的坡比為i=l：3（點(diǎn)

S,C,凡在同一水平線上）.

（1）求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過(guò)程中上升的高度；

（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

13、如圖，A,8是海面上位于東西方向的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，有一艘海輪在C點(diǎn)處遇險(xiǎn)發(fā)出

求救信號(hào)，此時(shí)測(cè)得C點(diǎn)位于觀測(cè)點(diǎn)A的北偏東45°方向上，同時(shí)位于觀測(cè)點(diǎn)B的北偏

西60°方向上，且測(cè)得。點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)A的距離為250海里.

c

（1）求觀測(cè)點(diǎn)B與C點(diǎn)之間的距離;

（2）有一艘救援船位于觀測(cè)點(diǎn)B的正南方向且與觀測(cè)點(diǎn)B相距30海里的D點(diǎn)處，在

接到海輪的求救信號(hào)后立即前往營(yíng)救，其航行速度為42海里/小時(shí)，求救援船到達(dá)C點(diǎn)

需要的最少時(shí)間.

14、越來(lái)越多太陽(yáng)能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉

措.某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板離地面的高度.如圖，已知測(cè)傾器

的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)〃的仰角ZM5C=33°,在與點(diǎn)A相距

3.5米的測(cè)點(diǎn)〃處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)物的仰角NMEC=45°（點(diǎn)/,〃與/V在一條直

線上），求電池板離地面的高度相的長(zhǎng).（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：

sin33°?0.54,cos33°?0.84,tan33°?0.65）

15、小明在A點(diǎn)測(cè)得。點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西75。方向，并由A點(diǎn)向南偏西45。方向行走

到達(dá)B點(diǎn)測(cè)得。點(diǎn)在8點(diǎn)的北偏西45。方向，繼續(xù)向正西方向行走2km后到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)

得。點(diǎn)在D點(diǎn)的北偏東22.5。方向，求AC兩點(diǎn)之間的距離.（結(jié)果保留0.1km,參數(shù)

數(shù)據(jù)小日L732）

16、如圖，一架無(wú)人機(jī)在空中/處觀測(cè)到山頂B的仰角為36.87°,山頂8在水中的倒影

C的俯角為63.44。，此時(shí)無(wú)人機(jī)距水面的距離皿=50米，求點(diǎn)8到水面距離皿的高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin36.87°?0.60,cos36.87°?0.80,tan36.87°?0.75,sin63.44°?0.89,

cos63.44°?0.45,tan63.44°?2.00)

「B

.

“曲7_。

：\/63.44°

*、

I、

I、

DX

、

、

、、

、、

c

17、如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行，為測(cè)量其寬度，小明在南岸邊5處

測(cè)得對(duì)岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以L5m/s的速度沿著河岸向東步行

40s后到達(dá)。處，此時(shí)測(cè)得大樹位于北偏東45°方向，試計(jì)算此段河面的寬度(結(jié)果取整

數(shù)，參考數(shù)據(jù)：指合1.732)

A

18、某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測(cè)量員在直線AB的同一側(cè)選定C,〃兩個(gè)

—(5^+x/6)km—km

觀測(cè)點(diǎn)，如圖，測(cè)得4c長(zhǎng)為2，5長(zhǎng)為4，班長(zhǎng)為2,

AACD=60°,ZCD5=135°(A.B、C、〃在同一水平面內(nèi)).

(1)求4、D兩點(diǎn)之間的距離：

(2)求隧道AB的長(zhǎng)度.

19、如圖，已知一次函數(shù)了=七+匕的圖象經(jīng)過(guò)期-￡7),到L3)兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C,

交y軸于點(diǎn)D.

(1)求該一次函數(shù)的解析式；

(2)求也的值；

(3)求證：ZXG5-1354

20、某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測(cè)量樹高.已測(cè)出

樹AB的影長(zhǎng)AC為9米，并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線與地面

成30。夾角。

（1）求出樹高AB；

（2）因水土流失，此時(shí)樹AB沿太陽(yáng)光線方向倒下，

C第23理）

在傾倒過(guò)程中，樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽(yáng)光線

與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長(zhǎng)度。

（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：心="媽，^=1-732）

============參考答案============

一、解答題

1、100海里

【分析】

延長(zhǎng)虛交血）于點(diǎn)，解直角三角求得AD,再解直角三角形即可求解.

【詳解】

延長(zhǎng)CB交血）于點(diǎn)D,則乙g8=90。,

由題意可知^DAB=45°,

'：AB=6Qy/2,

：.AD=BD=ABsm45°

=60也義立=60

2,

BC=20,

：.QC=60+20=80,

在Rt-WC中，由勾股定理得

AC=4AD2+DC2

=7602+802=100(海里)

答：/c的距離為100海里.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義與勾股定理性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

124

v=-—x+x+4-一一

2、(1)2；(2)點(diǎn)尸(6,-8)；(3)當(dāng)點(diǎn)膽從點(diǎn)。出發(fā)，

以每秒1個(gè)單位的速度沿＞軸正方向移動(dòng)時(shí)，￡=2秒；沿S方向在，軸移動(dòng)時(shí)，，=10秒.

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法將AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可;

(2)在"BC的AB邊上找到將AB分成2:1兩部分的點(diǎn)Q,此時(shí)CQ將"BC的

面積分成2:1兩部分，求出直線S與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即是點(diǎn)尸坐標(biāo)；

(3)先利用圖形在NOGS內(nèi)構(gòu)造ZA'CB=ZOCB-^OCA,求出tanZ^CB,在由中

由tanZOMA^ZA'CB,04=2,求出掰長(zhǎng)即可解答，

【詳解】

解：(1)由拋物線W/fx+4(aw0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-2,0)和點(diǎn)見4,0),得：

4a-2b+4=0

以+

i1648+4=0，

ra——i

<2

解得：I』

1/

y=—x2'+x+4

即：條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：2；

(2)由(1)可知點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4)

???點(diǎn)省-2，。)和點(diǎn)8(4,0).

AB=6,

，將48分成2：1兩部分的點(diǎn)有原點(diǎn)和0(2,0)，此時(shí)C0將"BC的面積分成2:

1兩部分，如解(2)圖，

???點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，

???直線夕經(jīng)過(guò)0點(diǎn),

設(shè)直線少解析式為：i+b,經(jīng)過(guò)C(0,4),Q(2,0)兩點(diǎn)，得:

6=4

2k+b=0

\b=A

U=-2,

即可設(shè)直線少解析式為：丁=-2"4,

y=一1無(wú)，+x+4

\2

聯(lián)立函數(shù)解析式為：U=-2X+4

卜1=0工2=6

解得：〔乃=4,仍=一8

故尸點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-8),

(3)如解(3)圖取點(diǎn)/關(guān)于夕軸對(duì)稱點(diǎn)A',連接CA',過(guò)點(diǎn)4作AHLBC,垂足

為H,

由軸對(duì)稱性質(zhì)可知：0A'=0A=2,ZA'CO=ZACO,

：.ZA'CB=^BCO-ZA'CO=^BCO-ZACO,

,/Z.OCA=Z.OCB-Z.OMA,即Z.OMA=ZOCB-ZOCA,

NOMA=〃CB

,/OB=OC=A,N8OC=90°,

ZOCB=ZOBC=45°,BA!=2,8。=4直

HB=HA=42,

：.HC=BC-BH=342,

NHi

tanZOM4=tanzL4rC5=——=-

CH3,

OM=———=2+1=6

tanZ0A￡43,

點(diǎn)股從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度遠(yuǎn)動(dòng)：

當(dāng)沿了軸正方向移動(dòng)時(shí)，MC=OM~OC=6~A=2,則￡=2秒，

當(dāng)沿y軸CO方向移動(dòng)時(shí)，M7=0^+00=6+4=10,則￡=10秒，

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿了軸正方向移動(dòng)時(shí)，打2秒；

沿CO方向在軸移動(dòng)時(shí)，￡=10秒.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，問(wèn)題(1)關(guān)鍵是在三角形邊上找到將“8C的面積

分成2：1兩部分直線b經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，問(wèn)題(3)關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)稱構(gòu)造乙4，,=/。必，

再通過(guò)解三角形求解〃必長(zhǎng).

3、(1)30°；(2)(10^+10^6)米

【解析】

(1)作BEMAD交BC于點(diǎn)D,根據(jù)BEtlAD宜乙BED=60。,可得N8Q/=N8￡D=60。，

利用外角的性質(zhì)根據(jù)NC=NEM-NCQ可求出結(jié)果

(2)過(guò)點(diǎn)8作宛，4〃于G,則有41G8=N8GD=9O。，可得/G=BG=20xs加45。=10立,

DG=BG=~,CD=AD=AG+DG=10^2+^^-

sin6003tan6。。3,可求得"3,再根據(jù)8C=8D+CD可

得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)如圖示，作BEHAD交BC于點(diǎn)D,

'；且ABED=60°

ZBDA=ZBSD=60°

NBM=NC+NC/W且ZCAD=30°

/.ZC=ZBDA-ZCAD=300

(2)過(guò)點(diǎn)8作切；J_49于G.

「BGA.AD

...4GB=NBGD=90°

在Kz/UGB中，^5=20,N&4G=45。

/G=EG=20xs加450=10-

在RuBGD中,ABDA=60°

BD=&*

sin6003

DG=*=幽

tan6003

*/ZC=ZCS4D=30°

CD=AD=AG+DG=10s/2+^^-

3

/.BC=BD+CD=10企+10/

答：兩顆銀杏樹B、。之間的距離為（1。萬(wàn)+1。4）米

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意理清圖形中各角

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4、（1）1小時(shí)；（2）1小時(shí).

【詳解】

試題分析：（1）要求B到C的時(shí)間，已知其速度，則只要求得BC的路程，再利用路

程公式即可求得所需的時(shí)間.

（2）過(guò)C作CH1OA,垂足為H.設(shè)快艇從C島出發(fā)后最少要經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能和

考察船在OA上的D處相遇，則CD=60x,OD=20（x+2）.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

可解得x的值，從而求得快艇從小島C出發(fā)后和考察船相遇的最短的時(shí)間.

試題解析：（1）由題意可知：ZCBO=60°,ZCOB=30度.

/.ZBC0=90度.

在RtABCO中，

VOB=120,

/.BC=60,OC=60

：.快艇從港口B到小島C的時(shí)間為：604-60=1（小時(shí)）.

(2)設(shè)快艇從C島出發(fā)后最少要經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能和考察船在0A上的D處相遇，則

CD=60x.

過(guò)點(diǎn)D作DE1C0于點(diǎn)E，

???考察船與快艇是同時(shí)出發(fā)，

?.?快艇從港口B到小島C的時(shí)間是1小時(shí)，在小島C用1小時(shí)裝補(bǔ)給物資,

，考察船從0到D行駛了(x+2)小時(shí)，

/.0D=20(x+2).

過(guò)C作CH10A,垂足為H,

在AOHC中，

VZCOH=30°,OB=120,

/.C0=60技

.,.CH=30展,0H=90.

/.DH=0H-0D=90-20(x+2)=50-20x.

在RtACHD中，CH2+DH2=CD2,

/.(304)2+(50-20x)2=(60x)2.

整理得:8x2+5x-13=0.

空

解得：X1=1,X2=-蠹.

Vx>0,

/.x=l.

答：快艇從小島c出發(fā)后最少需要1小時(shí)才能和考察船相遇.

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.

5、1.4K

【分析】

過(guò)點(diǎn)。作4V的垂線，構(gòu)造直角三角形，可得是含有30°角的直角三角形，△BCD

是含有45°角的直角三角形，設(shè)輔助未知數(shù)，表示力。，BC,再根據(jù)時(shí)間相等即可求出

甲船的速度.

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)。作⑺_LAM,垂足為D,

由題意得，ZCAD=75°-45°=30°,ZCBD=75°-30°=45°

設(shè)繆=a，則劭=a,BC=貶a,AC=2CD=2a,

???兩船同時(shí)到達(dá)C處海島，

??力甲=C乙,

AC_BC

即耳=豆,

2a_\[2a

B

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，作垂線構(gòu)造直角

三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

6、68.5m

【分析】

過(guò)力作_LCD,垂足為E.分別在RtAAEC和RtAAED中，由銳角三角函數(shù)定義

求出CE和DE的長(zhǎng)，然后相加即可.

【詳解】

解：如圖，過(guò)/作_LCD,垂足為E.

則AE=50m,

在RtAAEC中，CE=AE?tan28°心50X0.53=26.5(m),

在RtA4功中，DE=AE*tan40°心50X0.84=42(m),

：.CD=CE+DE心26.5+42=68.5(m).

答：鐵塔CD的高度約為68.5m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題，求出"、，'的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

3a

--km

7、(1)2；(2)3km

【分析】

(1)過(guò)點(diǎn)/作AE±CD,垂足為E,在Rt/C￡中，可利用特殊角的三角函數(shù)值和已知

分別求出AE,"及龐，則可由勾股定理求得A、D兩點(diǎn)之間的距離；

（2）利用（1）中所求結(jié)果，可判斷出△ADE是等腰直角三角形，結(jié)合已知角度可推

出△力劭是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的長(zhǎng)度.

【詳解】

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE±CD,垂足為E,

C

ZAEC=90°.

在中，YsM泊第，48=60。，公=乎,

372?03J6

?.AE=---sin60=——

24

???cos^ACE=—

AC9

303點(diǎn)

..---------cos60=------

24

???⑵=_(&+")

DE=CD-CE=^-

4.

在Rt△曲)中，"AD=-jAE2+DE3,

3y/3

A、D兩點(diǎn)之間的距離為

(2)，*。。，必如乎,

/.△ADE是等腰直角三角形，

:ZAD￡=45°,

■：Z.CDB=135°,

ZADB=NCDB-ZADE=90°,

工如B是直角三角形.

3

—5TBD=-

在RtA功8中,:AB=sJAD2+BD2,2,

隧道AB的長(zhǎng)度為3km.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值并正確作出輔助線構(gòu)造

直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8、沒(méi)有超速，理由見解析

【分析】

過(guò)點(diǎn)P作也_1_應(yīng)7于D,解直角三角形分別求出山、BD,進(jìn)一步求出AB,然后可求出

實(shí)際車速便可判斷出結(jié)果.

【詳解】

解：沒(méi)有超速，理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作于D,則尸。=70(m),

p

PD70

AD=---------?140(m)

在Rt^APD中,tanAPAC~tan26°'

PD70

BD=———=——?28(m)

在RtABPD中,tanZP5Ctan680

^￡=140-28=112(m)

v=112-5-10=11.2(m/s)<50(km/h)?13.9(m/s)

該車沒(méi)有超速.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，屬于實(shí)際應(yīng)用類題目，從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角

形是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

9、樓川的高度為心°+30@米.

【分析】

由J~~EC~2,DE2+EC2=CD2,解得DE=20m,EC=40m,過(guò)點(diǎn)￡)作于G,

過(guò)點(diǎn)C作SJLZX?于H,則四邊形DEBG、四邊形DECK、四邊形8sG都是矩形，證

得AB=BC,設(shè)AB=BC=xm則AG=(x-20)mZX?=(X+40)M,在立山山6中，

—=tanZADG

DG，代入即可得出結(jié)果.

【詳解】

在RADEC中，?/~~EC~2,DE2+EC2=CD2,CD=20V5,

.D￡2+(2D￡)2=(20^f

??,

解得：)=20(制)，

/.EC=40m,

如圖：過(guò)點(diǎn)Q作QGU8于G,過(guò)點(diǎn)C作CH_LDG于H,

：.四邊形DEBG、四邊形DECH、四邊形BCHG都是矩形，

.,.BG=CH=DE=20,DG=BE,

?；^ACB=A7,ABJLBC,

：.AB=BC,

設(shè)AB=BC=xm,則AG=(x-20)m￡>G=(x+40)%

在RAADG中，tanNADG=tan30°=DG=3,

x—20y/3

7+40-T,

解得：x=50+30店.

答：樓班的高度為（5°+30@米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，通過(guò)解直角三角形得出方程是解題的關(guān)鍵.

10、334.3米

【分析】

先判斷出A版的形狀，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：VZABD=140°,

AZDBE=180°-140°=40°,

又,：4D=50°,

AZE=180°-4DBE-ZD

=180°-40°-50°

=90°,

DE

RtaBED中，cosD=BD,

DE

.".cos50°=520=0.6428,

解得：DE=334.3m.

答：另一邊開挖點(diǎn)E離D334.3米正好使A,C,E三點(diǎn)在一直線上.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解直角三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用，涉及到三角形內(nèi)角和定理及銳角三角函數(shù)

的定義，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

11、火箭從A到B處的平均速度為335米/秒.

【分析】

設(shè)火箭從A到B處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可得AB=3x,在RtAADO中，

ZADO=30°,AD=4000，可得A0=2000,D0=2000了，在RtABOC中，ZBCO=45°,

可得BO=OC,即可得2000+3x=2000萬(wàn)-460,進(jìn)而解得x的值.

【詳解】

解：設(shè)火箭從A到B處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可知：

AB=3x,

在RtAADO中，NADO=30。，AD=4000,

/.A0=2000,

.*.DO=2000幣,

VCD=460,

.\OC=OD-CD=2000層460,

在RtABOC中，ZBCO=45°,

.*.BO=OC,

V0B=0A+AB=2000+3x,

/.2000+3x=20004-460,

解得x^335（米/秒）.

答：火箭從A到B處的平均速度為335米/秒.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義.

12、（1）2米；（2）佰+4百米

【分析】

（1）作加_1_CE于H,解燈△CZW,即可求出DH；

（2）延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)G,解放△、RtXCDH,求出GH、CH,得到GC,

再說(shuō)明AB=BC,在△ABG中，利用正切的定義求出AB即可.

【詳解】

解：（1）過(guò)〃作加，力于〃，如圖所示:

PH_1

在.Rt叢CDH中,CH=3,

：.CH=?>DH,

'：CH2+DH2=CD2,

：.（3加）2+DH2=（2而）2,

解得：DH=2或-2（舍），

???王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過(guò)程中上升的高度為2米;

（2）延長(zhǎng)49交磔于點(diǎn)G,設(shè)力6=x米，

由題意得，ZAGC=30°,

2

DH拒

：.GH-tan乙4GC=亍=2道，

:6V=3加=6,

/.GC=GH+CH=2g+6,

在心△胡。中，ZACB=45°,

:.AB=BC,

ABAB______AS.

/.tanZAGB=BC+CG=AB+2^+6=T,

解得：AB=6+4^3,

即大樹AB的高度為6+4g米.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰角俯角的

概念是解題的關(guān)鍵.

13、(1)觀測(cè)點(diǎn)B與C點(diǎn)之間的距離為50海里；(2)救援船到達(dá)C點(diǎn)需要的最

35

少時(shí)間為五小時(shí).

【分析】

(1)過(guò)C作"J,48于6，分別在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可

求解；

(2)過(guò)。作必11.劭，交的延長(zhǎng)線于F,求得四邊形BFCE為矩形，在.Rt4CDF

中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】

(1)過(guò)。作方，/8于￡,

由題意得：N0￡=45°,ZCBE=90°-60°=30°,AC=2572,

在Rt△ACE中，

g顯

AE=CE=ACsm450=252=25(海里)，

在Rt叢BCE中，

BC=2CE=50(海里)，BE=^BC2-CE2=25鳳海里)，

二觀測(cè)點(diǎn)B與C點(diǎn)之間的距離為50海里；

(2)過(guò)C作〃J_劭，交的延長(zhǎng)線于F,

CEA.AB,CFA.BD,ZFBE=90°,

...四邊形BFCE為矩形，

/.CF=BE=25百（海里），BF=CE=231海里），

在心△曲1中，CF=25相（海里），班'=55（海里），

...CD：如+加#25扃+方=70（海里），

70_35

救援船到達(dá)C點(diǎn)需要的最少時(shí)間為42=21（小時(shí)）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是

解答此題的關(guān)鍵.

14、8米

【分析】

過(guò)￡作"_LMN于F,連接EB,設(shè)MF=x米，可證四邊形FNDE,四邊形FNAB均

—=——?0.65

是矩形，設(shè)MF=EF=x,可求FB=x+3.5,由tanN/磔'=FBx+3.5,解得x?6.5

米，可求MN=MF+FN=3.5+1.6心8米.

【詳解】

解：過(guò)￡作），MN于F,連接EB,設(shè)物=x米，

VZEFN=乙FND=ZEDN=Z,A=90°

/.四邊形FNDE,四邊形FNAB均是矩形，

/.FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米,

4MEF=45°,ZEFM=90°,

:.MF=EF=x,

：.FB=FE+EB=x+3.3,

MFX、eu

----=-------?U.OJ

AtanZMBF=FBx+3.5,

/.解得x=65米，

經(jīng)檢驗(yàn)"65米符合題意，

:.MN=MF+￡"=6.5+1.6=8.1^8米.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，簡(jiǎn)單方程，掌握矩形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù),

簡(jiǎn)單方程是解題關(guān)鍵.

15、2.3km

【分析】

根據(jù)題中給出的角度證明△CDB為等腰三角形，得到CB=DB=2,再證明△期為30°

sin?CABsin600=^-=^~

60°,90°直角三角形，最后根據(jù)AC2即可求出AC的長(zhǎng).

【詳解】

解：如下圖所示,

c

由題意可知：Z￡4(7=75°,ZFAB=ZNBA=45°,/CBN=45°,龐=2km,Z

MDC=225,

在△仇力中，ZCDB=90°-ZMDC=90°-22.5°=67.5°,

ZCBD=90°-ZCBN=^°-45°=45°,

ZDCB=180°-ZCDB-ZCBD=180°-67.5°-45°=67.5°,

AZDCB=ZCDB,△CDB為等腰三角形，

:.CB=DB=2,

在△煙中，N煙=NCBN+ZNBA=45°+45°=90°,

...△CBA為直角三角形，

又/CAB=/CAG+ZGAB=(90°-ZEAC)+ZGAB=(90°-75°)+45°=60°,

，△CBA為30°,60°,90°直角三角形，

CB_V3

sin60'=

sin?C4BAC~~,代入CB=2,

AC=—?2.3

/.3（而），

故AC兩點(diǎn)之間的距離為2.3km.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，將題中信息轉(zhuǎn)化成已知條件，本題中得出△

CDB為等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

16、110

【分析】

過(guò)點(diǎn)A作⑷/_LE脛交于點(diǎn)H,由題意可得：AD=HM=50,設(shè)BM=x,在RuABH

中，tan36.87°,在RUAHC^A,tan63.44。，進(jìn)而可根據(jù)AH=AH,求出x

的值，即為BM的值

【詳解】

過(guò)點(diǎn)A作⑷/交于點(diǎn)H,由題意可得：AD=HM=50

.?B

D\河

、、

、

C

設(shè)BM=x,則MC=BM=x

；.BH=x-50

DUA

AH=———?-(x-50,i

在Rt^ABH^-\,tan36.8703

HC=HM+MC

：.HC=50+x

CH50+x

AH=

：.在Rt^AHC43,tan63.44°

450+x

](x-50)=

解得x=110

即BAf=110

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了銳角三角形的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握銳角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并列出等量關(guān)系

式是解題的關(guān)鍵，屬于?？碱}型.

17、82m

【分析】

作/〃a'于〃，根據(jù)題意證明AD=CD,設(shè)4?=⑦=xm,則

BD=ADtan^BAD=^3xm,根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】

解：如圖，作，6。于〃，

由題意得/EBA=/DAB=60°,ZFCADAC=45°,

，AD=CD,

設(shè)/〃=切=xm,由題意得^f=1.5X40=60m,

在RtAABD中，B2=4DtanN&W=3初，

V3x-r=60,

解得X^82

答：此河段的寬度為82m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意，添加輔助線構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表

示出線段，列出方程是解題關(guān)鍵.

3鳳

---km

18、(1)2；(2)3km

【分析】

(1)過(guò)點(diǎn)4作AE1.CD,垂足為E,在Rt~4慮中，可利用特殊角的三角函數(shù)值和

已知分別求出AE,CE及DE,則可由勾股定理求得A、D兩點(diǎn)之間的距離；

(2)利用(1)中所求結(jié)果，可判斷出△/①是等腰直角三角形，結(jié)合已知角度可推

出△4破是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的長(zhǎng)度.

【詳