八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章《勾股定理》單元測(cè)試卷含答案解析

2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章《勾股定理》單元測(cè)試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是

（）

A.3、4、5B.6、8、10C.技2、V5D.5、12、13

解：A、32+42=52,故是直角三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；

B、62+82=102,故是直角三角形，故8選項(xiàng)不符合題意；

C、（V3）2+22*（V5）2,故不是直角三角形，故C選項(xiàng)符合題意：

I）、52+122=132,故是直角三角形，故。選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

2.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3,4）到原點(diǎn)的距離是（）

A.3B.4C.5D.±5

解：,:點(diǎn)P（3,4）,

，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離是J（3-0）2+（4—0）2=5.

故選：C.

3.（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,3分別對(duì)應(yīng)1,2,過點(diǎn)B作PQL48,以點(diǎn)8為圓心，AB

長(zhǎng)為半徑畫弧，交PQ于點(diǎn)C,以點(diǎn)A為圓心，4C長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)則點(diǎn)

M對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）

A

...C

z

..4，B\一

~oi2M

XQ

A.V2B.V5C.V2+1D.V5+1

解：由題意得，BC=AB=1,

由勾股定理得，AC=>/AB2+BC2=V2,

貝！IAM=V2,

二點(diǎn)例對(duì)應(yīng)的數(shù)是夜+1,

故選：C.

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4.（3分）下列命題中，其逆命題成立的是（）

A.對(duì)頂角相等

B.等邊三角形是等腰三角形

C.如果”>0,b>0,那么岫>0

D.如果三角形的三邊長(zhǎng)a,h,c（其中a<c,b<c）滿足/+序=。?，那么這個(gè)三角形

是直角三角形

解：4、逆命題為相等的角為對(duì)頂角，不成立，不符合題意；

8、逆命題為等腰三角形為等邊三角形，不成立，不符合題意；

C、逆命題為：如果必>0,那么“>0,b>0,不成立，不符合題意；

D、逆命題為：如果三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c（其中a<c,b<c）的三角形是直角三角

形，那么滿足/+*=。2,符合題意.

故選：D.

5.（3分）己知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4,則此三角形的周長(zhǎng)為（）

A.12B.7+V7C.12或7+6D.以上都不對(duì)

解：設(shè)的第三邊長(zhǎng)為x,

①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時(shí)，x為斜邊，

由勾股定理得，x=5,此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+5=12；

②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時(shí)，x為直角邊，

由勾股定理得，x=V7,此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=7+夕，

故選：C.

6.（3分）如圖.在RI/XA8C中，ZA=30°,OE垂直平分斜邊AC,交AB于。，E是垂

足，連接8,若8。=1,則AC的長(zhǎng)是（）

A.2V3B.2C.4V3D.4

解：VZA=30°,ZB=90°,

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AZACB=180°-30°-90°=60°，

?.?OE垂直平分斜邊AC,

：.AD=CD,

二乙4=乙48=30°,

...NOCB=60°-30°=30°,

\"BD=\,

...C￡)=2=A￡>,

；.AB=l+2=3,

在△BCO中，由勾股定理得：CB=y/3,

在△ABC中，由勾股定理得：AC=>JAB2+BC2=2V3,

故選：A.

7.(3分)若△/!長(zhǎng)：的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足(a-b)2+\a2+b2-?|=0,則△4BC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.無法確定

解：,:(a-Z?)2+|a2+/>2-<?|=0,

又：(a-b)2+20,|/+廿-C2]20,

'.a=h,且(？+信=。2,

」.△ABC是等腰直角三角形.

故選：C.

8.(3分)如圖為某樓梯的示意圖，測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5”，高為3〃?，計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯,

則地毯的長(zhǎng)度至少需要()

樓梯的水平寬度=V52-32=4(m),

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???地毯鋪滿樓梯時(shí)其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長(zhǎng)度至少是3+4=7（/?）.

故選：B.

9.（3分）如圖，長(zhǎng)方體的底面鄰邊長(zhǎng)分別是5CT7?和7cm,高為20cm,如果用一根細(xì)線從

點(diǎn)4開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)8（點(diǎn)8為棱的中點(diǎn)），那么所用細(xì)線最短為（）

A.200nB.24cmC.26cmD.28cvn

解：如圖所示，將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開，AC=2(5+7)=24(cm),BC=1x20=10(cm),

由勾股定理可得，AB=yjAC2+BC2=V242+102=26(cm),

??.所用細(xì)線最短為26c,",

故選：C.

10.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)8的

坐標(biāo)為（3,代），點(diǎn)C的坐標(biāo)為0）,點(diǎn)P為斜邊08上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以+PC的

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V13V31

A.——B.——D.2V7

22

解：法一:

作A關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)。，連接CO交。8于P,連接AP,過。作￡W，Q4于M

則此時(shí)PA+PC的值最小,

*：DP=PA,

：.以+PC=PD+PC=CD,

VB(3,V3),

：.AB=V3,OA=3,N3=60°,由勾股定理得：0B=2后

1i

由三角形面積公式得：-XOAXAB=|xOBXAM,

3

：.AM=當(dāng)

3

???AZ)=2x]=3,

VZAMB=90°,N8=60°,

AZBAM=30°,

VZBAO=90°,

???NOAM=60°,

VDN10A,

：.ZNDA=30°,

：.AN=^AD=I，由勾股定理得：D7V=1A/3,

1

VC(一,0),

2

13

???CN=3-*-.=l,

在Rt^CWC中，由勾股定理得：DC=J12+(|圾2=等,

y/31

即PA+PC的最小值是——，

2

法二：

如圖，作點(diǎn)C關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)。，連接A。，過點(diǎn)。作OMLOA于M.

'：AB=V3,0A=3

408=30°,

：.ZDOC=2ZAOB=60°

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OC=OD

是等邊三角形

：.DM=CD^in60Q=卓，OM=CM=CD.cos60°

44

111

：.AM=OA-0M=3-

44

：.AD=>JDM2+AM2=孥

即PA+PC的最小值為亨

故選：B.

二、填空題（每題3分，共30分）

11.（3分）已知正方形ABC。的面積為8,則對(duì)角線AC=4

解：：正方形ABCO的面積為8,AC=BD,

：.-AC*BD=S,

2

即AC2=i6,

：.AC=4

故答案為：4.

12.（3分）如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處.樹折斷之前

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有24米.

解：因?yàn)锳B=9米，AC=12米，

根據(jù)勾股定理得BC=492+122=15米,

于是折斷前樹的高度是15+9=24米.

故答案為：24.

A

13.(3分)若一個(gè)三角形的三邊之比為3：4：5,且周長(zhǎng)為24cm,則它的面積為24。病.

解：如圖，設(shè)三邊長(zhǎng)為3xc/n,4xcmf5xcm,

(3x)2+(4x)2=(5x)2,

222

：.AC+BC=AB9

AZC=90°,

，??周長(zhǎng)為24cm,

:.3x+4x+5x=24,

解得：x=2,

：.3x=6,4x=8,

它的面積為:-x6X8=24(cm2),

2

14.(3分)一株美麗的勾股樹如圖所示，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形.若正方形A,B,C,O的面積分別為2,5,1,2,則最大的正方形E的

面積是10.

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解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S”C、。的面積和為S2,S1+S2

=$3，于是S3=S1+S2,

即53=2+5+1+2=10.

故答案是：10.

15.(3分)若三角形的三邊長(zhǎng)滿足關(guān)系式la-5|+Q+6-17)2+VFF=0,則這個(gè)三角形

是直角三角形.

解：'：\a-5|+Ca+b-17)2+Vc-13=0,

-5=0,a+b-11=0,c-13-0,

??。=5,b=12,c=13,

V52+122=132,

.?.這個(gè)三角形為直角三角形，

故答案為：直角三角形.

16.（3分）如圖，OC為NAOB的平分線，CMA.OB,OC=5,OM=4,則點(diǎn)C到射線04

0B

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解：過C作CFLAO,

：OC為NAOB的平分線，CMLOB,

：.CM=CF,

"：OC=5,OM=4,

：.CM=3,

：.CF=3,

17.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCE）沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊。C上），

折疊后頂點(diǎn)。恰好落在邊OC上的點(diǎn)尸處.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（10,8）,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

解：；四邊形4OCD為矩形，。的坐標(biāo)為(10,8),

：.AD=BC^W,DC=AB=S,

,矩形沿4E折疊，使。落在8C上的點(diǎn)尸處，

：.AD=AF=\0,DE=EF,

在RtAAOF中,OF=y/AF2-AO2=6,

."C=10-6=4,

設(shè)EC=x,則。E=EF=8-x,

在Rtz^CEF中，EF2=EC2+FC2,即(8-x)2=^+42,解得x=3,

即EC的長(zhǎng)為3.

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.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10,3）,

解法二：證明△AOFs^FCE,求出EC即可.

18.（3分）如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為1,以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF,再

以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形4EG",如此下去第〃個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（a）”一1.

.?.AB=8C=1,ZB=90°,

/.AC2=12+12,AC=y/2

同理可得：AE=（V2）2,

AG=（V2）3…，

...第"個(gè)正方形的邊長(zhǎng)斯=（V2）"1

故答案為（V2）

19.（3分）如圖，由四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形，連接小正方形的三個(gè)頂

3-72

點(diǎn)，可得到△A8C,則△ABC中BC邊上的高是——.

—2—

解：由題意知，小四邊形分別為小正方形，所以8、C為EF、FZ）的中點(diǎn),

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SdABC=S正方形AEFD-S&AEB-S/\BFC-S/^CDA

111

=2x2-x1x2—[Xlxl—x1x2,

BC=Vl2+l2=V2.

AABC中BC邊上的高是|x2+V2=孥.

3A/2

故答案為：—^―

20.（3分）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°，NA=30°，BC=6,若點(diǎn)P是邊48上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒3個(gè)單位的速度按照從A-B-A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從以每秒1個(gè)

單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，

122424

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為心若48尸。為直角三角形，則，的值為

解：①如圖（1）,當(dāng)NBQP=90°時(shí)，則N8PQ=30°,BP=2BQ,

VBP=12-3r,BQ=b

：.\2-3t=2tf

解得：仁圣

②如圖（2）當(dāng)NQPB=90°時(shí),

VZB=60°,

:.NBQP=30°,

：.BQ=2BP,

若0Vf<4,

則t=2（12-3r）.

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24

T=T'

若4<r<6時(shí),

則t=2(3r-12),

24

t=虧;

122424

故答案為g、亍-

三、解答題(26,27題每題10分，其余每題8分，共60分)

21.(8分)如圖，在△ABC中，CDLAB,垂足為。，AB=AC=13,BD=1.

(1)求C￡＞的長(zhǎng):

(2)求8c的長(zhǎng).

：.AD=AB-BD=\3-1=12.

在RtZ\4C￡>中，：NAOC=90°,

CD=\/AC2-AD2=V132-122=5；

(2)在RtZ\8CD中，VZBDC=90Q,

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：.BC=>JBD2+CD2=Vl2+52=V26.

22.（8分）B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8〃〃7淤的速度前進(jìn),

乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15nmiIe的速度前進(jìn)，2h后，甲船到M島，乙船到F島,

兩島相距34"疝岳，求乙船航行的方向.

解：由題意得：甲船的路程：40=8X2=16（〃），

乙船的路程：80=15X2=30（〃），

V302+162=342,

AZAOB=90°,

；AO是北偏東60°方向，

；.B。是南偏東30°.

答：乙船航行的方向是南偏東30°.

23.（8分）若△ABC的三邊。、b、c滿足條件/+Zj2+c2+50=6a+8b+10c,試判斷△ABC的

形狀.

解：a2+Z>2+c2+50=6a+8/7+10c,

：.a2-ea+9+b1-8/7+16+c2-10c+25=0,

即（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0,

?二。=3,b=4,c=5,

V32+42=52,

.二△ABC是直角三角形.

24.（8分）我們把滿足方程f+ynd的正整數(shù)的解（X、y、z）叫做勾股數(shù)，如，（3,4,5）

就是一組勾股數(shù).

（1）請(qǐng)你再寫出兩組勾股數(shù)：（6、8、10）,（9、12、15）：

（2）在研究直角三角形的勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果〃表示大于1

的整數(shù)，x=2n,y=n2-Lz=n2+l,那么以x,y,z為三邊的三角形為直角三角形（即

第13頁(yè)共16頁(yè)

X,y,z為勾股數(shù))，請(qǐng)你加以證明.

解：(1)寫出兩組勾股數(shù)：(6,8,10),(9,12,15).

(2)證明：/+)2

222

=(2M)+(?-1)

=4n2+/24-2n2+l

=n4+2?2+l

=(n2+l)2

=z2,

即X,y,z為勾股數(shù).

故答案為:6,8,10；9,12,15.

25.(8分)一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中N84C和NAQC都應(yīng)為直角，工

人師傅量的零件各邊尺寸：AO=8,AC=10,CD=6,AB=24,BC=26,請(qǐng)你判斷這個(gè)

零件是否符合要求，并說明理由.

DA

解：'：AD=S,AC=\0,CD=6,AB=24,BC=26,

：.AD2+CD2=AC2,AB2+AC2=BC2,

：./\ACD.ZVIBC是直角三角形，

AZADC=90°,N8AC=90°,

故這個(gè)零件符合要求.

26.(10分)如圖，在梯形紙片ABCO中，AO〃BC,ZA=90°,ZC=30°,折疊紙片使

8C經(jīng)過點(diǎn)。，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BF是折痕，且8F=C尸=8.求A8的長(zhǎng).

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E

解：VBF=CF=8,NC=30°,

AZFBC=ZC=30°.

/.ZDFB=600.

由題易知BE與SC關(guān)于直線BF對(duì)稱