數學-專項5.10平行線的性質與判定大題專項提升訓練（壓軸篇重難點培優(yōu)30題）-【】2022-2023學年七年級數學下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【人教版】

【拔尖特訓】2022-2023學年七年級數學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題5.10平行線的性質與判定大題專項提升訓練（壓軸篇，重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________一、解答題（本大題共30小題．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學校七年級期中）已知，∠ATM(1)如圖1，求證AB∥(2)如圖2，點E位平面內一點，連接BE、CE，求證：∠E(3)如圖3，在（2）的條件下，過點E作線段EF，連接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，過點B作BG∥EF交CE于點G，若∠BEC=2∠ABE，【答案】(1)見解析(2)見解析(3)EF【分析】（1）根據同角的補角相等，得出∠ATR（2）過點E作EF∥AB，根據AB∥CD得出AB∥（3）先根據三角形內角和定理及已知角度之間的關系，得出∠FEH=90°，再根據平行線的性質得出∠BGH=∠FBH=90°，從而得出BG⊥【詳解】（1）證明：∵∠ATM+∠DRN∴∠ATR∴AB∥（2）證明：過點E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B=∠BEF∴∠BEC（3）解：∵∠BEF∴∠FEH∵∠EFB=∠EBF∴∠FEH即∠FEH∵∠ABE∴∠FEH∵BG∥∴∠BGH∴BG⊥EC，∴S===2BG∵△BEF的面積為36∴36=2BG∴BG+EF∵EF-BG①+②得：∴EF=10【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定，平行公理，三角形內角和定理的應用，補角的性質，解題的關鍵是作出輔助線，證明BG⊥EC，2．（2022·重慶·巴川初級中學校七年級階段練習）課題學習：平行線的“等角轉化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B解：過點A作ED∥∴∠B=，∠∵∠EAB∴∠B解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“(2)方法運用：如圖2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，點C在點D的右側，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點①如圖3，點B在點A的左側，若∠ABC=36°，求②如圖4，點B在點A的右側，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC【答案】(1)∠EAB；(2)360°(3)①43°；②(205-【分析】（1）由“兩直線平行，內錯角相等”可得結果；（2）過C作CF∥AB，利用“兩直線平行，同旁內角互補（3）①過E作EG∥AB，利用角平分線的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝12∠【詳解】（1）解：∵ED∥∴∠B=∠EAB故答案為：∠EAB；（2）解：過C作CF∥∵AB∥∴CF∥∴∠D∵CF∥∴∠B∴∠B∴∠B（3）解：①過E作EG∥∵AB∥∴EG∥∴∠GED∵DE平分∠ADC∴∠EDC∴∠GED∵BE平分∠ABC∴∠ABE∵GE∥∴∠BEG∴∠BED②過E作PE∥∵AB∥∴PE∥∴∠PED∵BE平分∠ABC，∠∴∠ABE∵AB∥∴∠ABE∴∠PEB∴∠BED【點睛】本題考查了平行線的性質、平行線的傳遞性以及角平分線的概念，作出輔助線構造平行線導角是解決本題的關鍵．3．（2021·福建·福州十八中七年級期中）如圖1，直線GH分別交AB，CD于點E，F（點F在點E的右側），若∠1+∠2=180°．(1)求證：AB∥(2)如圖2所示，點M、N在AB，CD之間，且位于E，F的異側，連MN，若3∠M=2∠N，則∠AEM，(3)如圖3所示，點M在線段EF上，點N在直線CD的下方，點P是直線AB上一點（在E的左側），連接MP，PN，NF，若∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠【答案】(1)見詳解(2)13(3)14【分析】（1）根據平行線的判定定理即可得到結論；（2）過M作MP∥AB，過N作NQ∥AB，設∠FNM=3α，∠EMN=2α，∠AEM=x，∠NFD=y，可得（3）連接PF，可得∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，設∠MPB=α，則∠MPN=3α，∠HFD=β（1）解：∵∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，∴∠BEF∴AB∥得證；（2）解：12過M作MP∥AB，過N作設∠FNM=3α，∠EMN=2∵AB∥CD，MP∥∴MP∥∴∠EMP=∠AEM=x∴∠PMN=∠EMN∴2α∴α=∴13（3）解：12連接PF，如圖3，即有：∠PMF+∠MFP∴∠N∵∠MPN=3∠MPB∴設∠MPB=α，則∠MPN=3∵AB∥∴∠BEF∴∠PME∴∠PMH∵∠N+∠NPM∴∠N∴∠N∵∠PME=β∴180°-∠PMH∴14【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形的內角和定理，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．4．（2021·廣東·東莞市松山湖實驗中學七年級期中）請作答：(1)圖1，圖2均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，∠ACB=90°，DF∥CG，AB與FD相交于點E，有一動點P在邊BC上運動，連接PE，①如圖1，當點P在C，D兩點之間運動時，請直接寫出∠APE與∠α，②如圖2，當點P在B，D兩點之間運動時，∠APE與∠α，(2)當點P在C，D兩點之間運動時，若∠PED，∠PAC的角平分線EN，AN相交于點N，請直接寫出∠ANE與∠【答案】(1)①∠APE=∠α+∠(2)∠【分析】（1）①過點P作PQ∥DF，先根據平行線的性質可得∠QPE=∠α②過點P作PQ∥DF，先根據平行線的性質可得∠QPE=∠α（2）先根據角平分線的定義可得∠NED=12∠α，∠NAC=12∠（1）解：①∠APE如圖，過點P作PQ∥∴∠QPE∵DF∴PQ∴∠QPA∴∠APE②∠APE如圖，過點P作PQ∥∴∠QPE∵DF∴PQ∴∠Q∴∠APE（2）解：∠ANE∵EN，AN分別平分∠PED，∴∠NED=1如圖，過點N作NQ∥∴∠QNE∵DF∴NQ∴∠QNA∴∠ANE【點睛】本題考查了平行線的判定和性質、角平分線的定義等知識點，過拐點作平行線，利用平行線的判定與性質是解題關鍵．5．（2022·湖北·宜昌市第九中學七年級期中）如圖，∠1=∠2，∠D(1)求證：AD∥(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，【答案】(1)見解析(2)∠(3)∠【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根據平行線的性質得到∠D=∠ACM，等量代換得到∠CMG=∠（2）過B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代換得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根據平行線的判定得到（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根據已知條件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到結論．（1）證明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，∴∠2=∠CFG，∴CM∥∴∠D=∠ACM，∵∠D=∠CMG，∴∠CMG=∠ACM，∴AD∥（2）解：∠NBG-∠ANB+∠1=180°；理由如下：過B作BP∥AN交NG于∴∠ANB=∠NBP，∵AD∥∴∠D=∠DHG，∵∠A+∠DHG=180°，∴∠A+∠D=180°，∴AN∥又∵CM∥DH，∴BP∥∴∠PBG+∠1=180°，∵∠PBG=∠NBG-∠NBP=∠NBG-∠ANB，∴∠NBG-∠ANB+∠1=180°；（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∴∠PBG=80°，∵∠NBG=130°，∴∠ANB=∠NBP=50°，∵∠ANB：∠BNG=2：1，∴∠BNP=25°，∴∠ANG=75°，∴∠A=105°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，對頂角的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．6．（2022·河北·武邑武羅學校七年級期末）【發(fā)現】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．(1)當∠EAC＝∠ACE＝45°時，AB與CD的位置關系是______；當∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時，AB與CD的位置關系是______；當∠EAC+∠ACE＝90°，請判斷AB與CD的位置關系并說明理由；(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點，∠AEC＝90°保持不變，移動頂點E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數量關系？并說明理由，(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點，Q為直線CD上一動點，且點Q不與點C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數量關系．【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由見解析(2)∠BAE+12∠MCD＝90°(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°【分析】（1）由角平分線的定義得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，則∠BAC+∠ACD＝180°，可得結論AB∥CD；（2）過點E作EF∥AB，利用平行線的性質可得答案；（3）利用平行線的性質和三角形內角和定理可得答案．【詳解】（1）解：當∠EAC＝∠ACE＝45°時，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠BAE+12∠MCD＝90°過點E作EF∥AB，如圖所示，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝12∠MCD∴∠BAE+12∠MCD＝90°（3）解：分兩種情況分類討論，第一種情況如圖，當點Q在射線CD上運動時，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；第二種情況如圖，當點Q在射線CD的反向延長線上運動時（點C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，∵∠PQC+∠QPC+∠PCQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．【點睛】本題考查平行線的性質，解題關鍵需要根據題意作出相關的輔助線，運用數形結合的思想方法，從圖形中尋找角之間的位置關系，根據平行線的性質從而判斷角之間的大小關系，同時注意運用分類討論的思想方法．7．（2022·江蘇·江陰市周莊中學七年級階段練習）（1）光線從空氣中射入水中會產生折射現象，同時光線從水中射入空氣中也會產生折射現象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據光學知識有∠1=∠2，∠3=∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．（2）光線照射到鏡面會產生反射現象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線a與水平線OC的夾角為42°，問如何放置平面鏡MN，可使反射光線b正好垂直照射到井底？（即求MN與水平線的夾角）（3）如圖3，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t，在射線CD轉動一周的時間內，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．【答案】（1）平行；理由見解析；（2）MN與水平線的夾角為66°時，可使反射光線b正好垂直照射到井底；（3）t為5秒或95秒時，CD與AB平行【分析】（1）根據等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據內錯角相等，兩直線平行即可判定a∥（2）根據入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1＝∠2，然后根據平角等于180°求出∠1的度數，再加上42°即可得解；（3）①AB與CD在EF的兩側，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據兩直線平行，內錯角相等列式計算即可得解；②CD旋轉到與AB都在EF的右側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解；③CD旋轉到與AB都在EF的左側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解．【詳解】解：（1）平行．理由如下：如圖，∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，∴a∥（2）∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，∴∠1＝∠2，∵入射光線a與水平線OC的夾角為42°，b垂直照射到井底，∴∠1＋∠2＝180°?42°?90°＝48°，∴∠1＝12×48°＝24°∴MN與水平線的夾角為：24°＋42°＝66°．（3）存在．AB與CD在EF的兩側時，如圖①所示：∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠ACD＝180°?60°?3t＝120°?3t，∠BAC＝110°?t，要使AB∥則∠ACD＝∠BAF，即120°?3t＝110°?t，解得t＝5；此時（180°?60°）÷3＝40，∴0＜t＜40，∴t＝5符合題意；②CD旋轉到與AB都在EF的右側時，如圖所示：∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝360°?3t?60°＝300°?3t，∠BAC＝110°?t，要使AB∥則∠DCF＝∠BAC，即300°?3t＝110°?t，解得t＝95，此時（360°?60°）÷3＝100，∴40＜t＜100，∴t＝95符合題意；③CD旋轉到與AB都在EF的左側時，如圖所示：∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝3t?（180°?60°＋180°）＝3t?300°，∠BAC＝t?110°，要使AB∥則∠DCF＝∠BAC，即3t?300°＝t?110°，解得t＝95，此時t＞110，∵95＜110，∴此情況不存在．綜上所述，t為5秒或95秒時，CD與AB平行．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，光學原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質是解題的關鍵，（3）要注意分情況討論．8．（2022·山東日照·七年級期末）（1）閱讀下面材料：已知：如圖1，AB∥CD，E為AB，CD之間一點，連接AE，CE，得到∠AEC解答過程如下，并請你在括號內填寫推理的依據：過點E作EF∥則有∠AEF+∠A∵AB∥∴EF∥CD（∴∠FEC+∠C∴∠AEF又∵∠∴∠AEC假若將具有圖1特征的圖形稱為“平行凸折線”，“平行凸折線”的性質可以表述如下：若AB∥CD，E為AB，CD（2）已知：直線m∥n，點A，B在直線m上，點C，D在直線n上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，①如圖2，當點D在點C的左側時，若∠ADC=80°，∠BED=160°，請你結合（1）中“平行凸折線”②如圖3，當點D在點C的右側時，設∠ABC=α，∠ADC=β，請直接寫出【答案】（1）兩直線平行，同旁內角互補；平行線公理；兩直線平行，同旁內角互補；（2）①∠ABC=120°；②【分析】（1）過點E作EF∥（2）由平行線的性質，角平分線的定義，結合（1）的結論，即可求出答案；（3）由平行線的性質，角平分線的定義，結合（1）的結論，即可求出答案．【詳解】解：（1）過點E作EF∥則有∠AEF∵AB∥∴EF∥∴∠FEC∴∠AEF又∵∠AEC∴∠AEC故答案為：兩直線平行，同旁內角互補；平行線公理；兩直線平行，同旁內角互補；（2）①根據題意，由（1）可知∠∵∠ADC=80°，DE平分∴∠ADG=180°-80°=100°∴∠∵∠BED∴140°+160°+∠ABE∴∠ABE∵BE平分∠ABC∴∠ABC②根據題意，如圖：由（1）可知，∠EBG∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC∴∠ABE=∴∠EBG=180°-1∴(180°-1∴∠BED【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，幾何圖形中角的運算，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質及結合圖形進行角的和差運算．9．（2022·山西忻州·七年級期末）如圖1，AB∥CD，點E為直線AB，(1)若AE⊥AB，∠C=65°(2)如圖2，點F在BA的延長線上，連接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠(3)如圖3，在（2）的條件下，過點F作∠BFG=∠BFE，交EC的延長線于點G，延長EF交CD于點H，過點F作FI∥BE交CD于點I．當FH【答案】(1)25°(2)45°(3)67.5°【分析】（1）首先延長BA，則易得AB∥CD，然后由兩直線平行，同位角相等，即可證得：∠E+∠C（2）過點E作EN∥AB，易證∠NEB=∠AEB，再根據平行公理的推論可得EN∥CD，再證得（3）根據平行線的性質得出∠HIF=∠BFI=∠B，根據三角形外角的性質得出∠CHF=12∠IFG+∠HIF，然后根據已知條件和三角形外角定理即可求得∠CHF=12∠BFE+12∠B=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B=12（180°-45°-∠B）（1）解：延長BA交CE于點M，∵AB∥CD∴∠又∵AE⊥∴∠∴∠E（2）如圖，過點E作EN∥∴∠B∵∠B∴∠NEB=∠∵EN∥AB，∴EN∥∵CE⊥∴∠ECD∴∠CEN∵EF平分∠AEC∴∠AEF∴∠BEF（3）∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=12∠IFG∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF∵AB∥CD，FI∥BE.，∴∠HIF=∠BFI=∠B，∴∠IFG=∠BFG-∠B，∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF=12（∠BFG-∠B）+∠B=12∠BFG+∵∠BFG=∠BFE，∴∠CHF=12∠BFE+12=12（180°-∠BEF-∠B）+12=12（180°-45°-∠B）+12=67.5°∴∠CHF【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理的推論，三角形外角的性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．10．（2022·江蘇宿遷·七年級期中）如圖1，AB,AC被直線BC所截，點E是線段BC上一點，過點E作DE∥(1)BD與AC平行嗎？為什么？(2)將線段BD沿著直線BC進行平移，平移后得到的對應線段記為線段FG，連接EG；①當線段FG在E點下方時，如圖2，若∠EGF=15°，求②在整個平移的過程中，當∠EGF=3∠DEG【答案】(1)BD∥(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值為45°或90°【分析】（1）結論：BD∥AC，延長DE交AC于點（2）①過點E作EK∥②分兩種情形：當點F在線段BE上時，過點E作EK∥BD，當點F在點B的上方時，過點E作（1）解：結論：BD∥延長DE交AC于點T，如圖所示：∵DT∥∴∠DTC＝∠A＝60°，∵∠D＝60°，∴∠D＝∠DTC，∴BD∥（2）①過點E作EK∥∵BD∥∴EK∥∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．②當點F在線段BE上時，過點E作EK∥∵BD∥∴EK∥∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝60°?∠FGE，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝15°，∴∠EGF＝45°；當點F在點B的上方時，過點E作EK∥∵BD∥∴EK∥∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠FGE?60°，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝30°，∴∠EGF＝90°．綜上所述，滿足條件的∠EGF的值為45°或90°．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的判定和性質，平移變換等知識，解題關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．11．（2021·江蘇無錫·七年級期中）如圖①，已知直線a∥b，點O、C分別是直線a、b上的定點，點A從點O出發(fā)，沿射線OA的方向平移，點B從點C出發(fā)，沿射線CB的方向平移，且始終滿足∠BCO＝∠BAO＝100°．(1)求證：AB∥CO；(2)如圖②，若OF平分∠BOC，點E是直線b上的一個動點．①當∠AOB＝30°，且△EOB中有兩個內角相等時，求∠EOF的度數；②當∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF時，求∠ABO的度數．【答案】(1)見解析(2)①95°，5°，50°或40°；②48°或60°【分析】（1）根據a∥b，可得∠OCB+∠AOC=180°，再由∠BCO=∠BAO=100°．得出∠AOC+∠OAB=180°即可判斷OC∥AB；（2）①根據△EOB中有兩個內角相等時，分別有4種可能性，分別畫出相應的圖形，依據角平分線，平行線的性質以及三角形內角和定理進行計算即可；②分點E在點F的右側或左側兩種情況，設∠AOB=α，利用含有α的代數式表示∠BOC，∠EOF，列方程求解即可．（1）證明：∵a∴∠∵∠BAO∴∠AOC∴AB∥（2）解：①∵a∥b∴∠∵OC∥∴∠AOC∴∠BOC∵OF平分∠BOC∴∠BOF1°∠BEO∴∠EOB∴∠2°∠∴∠EOF3°∠BOE=∠BEO=75°（點∴∠EOF4°∠BOE=∠BEO（點E∵∠CBO∴∠BOE∴∠EOF綜上∠EOF的度數為95°，5°，50°或40°②設∠EOF=x∴∠AOB∵OF平分∠BOC∴∠BOF1°點F在點E右側，∠EOB∵∠AOB∴80°-6x=4∴∠ABO2°點F在點E左側，∠EOB∵∠AOB∴80°-6x=2x∴∠ABO綜上，∠ABO的度數為48°或60°【點睛】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理，掌握平行線的性質和判定，三角形內角和定理以及角角平分線的定義是正確解答的前提．12．（2022·浙江寧波·七年級期末）如圖①，AB，BC被直線AC所截，點D是線段AC上的點，過點D作DE∥AB，連接AE，(1)請說明AE∥(2)將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，連接DQ．①.如圖②，當DE⊥DQ時，則∠Q的度數②.在整個運動中，當∠Q=2∠EDQ時，【答案】(1)見解析(2)①30°；②40°或120°【分析】（1）根據平行線的性質得到∠BAE+∠E=180°，利用等量代換得到（2）①過點D作DM∥PQ，則②兩種情況，運用類比的方法，當點P在線段AD上時，過點D作DF∥AE交AB于點F，根據平行線的性質即可得到答案；當點P在線段DA的延長線上時，過點D作DF'∥（1）證明：∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E=180°，又∵∠B（2）解：①解：過點D作DM∥PQ，如圖所示：∵AE∥PQ，∴DM∥AE，∴∠E=∠EDM，∠Q=∠MDQ，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ=90°，∴∠E+∠Q=∠EDM+∠MDQ=90°，而∠E=60°，∴∠Q=90°-60°=30°．故答案為：30°．②當點P在線段AD上時，過點D作DF∥AE交AB于點F，如圖所示：∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠QDF=180°-∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠Q，∵∠E=60°，∴∠EDF=180°-60°=120°，∴∠QDF=120°+12∠Q=180°-∠【點睛】本題主要考查了平移的性質，平行線的判定和性質，解題關鍵是熟練掌握相關知識并正確作出輔助線．13．（2022·廣東廣州·七年級期末）如圖，點A，B，C，D四點共線，點E，F，G，H四點共線．BG，CF相交于點I，點J是直線AD與EH之間的一個動點，∠ABJ(1)求證：AD∥(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，請?zhí)剿鞑⒆C明∠BIF(3)若∠GBJ=13∠【答案】(1)證明見解析(2)∠BIF(3)不成立；∠BJF【分析】（1）過點J作JP∥（2）過點J作JP∥AD，過點I作IQ∥AD，根據平行線的判定和性質以及角平分線的定義可得∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠（3）過點J作JP∥AD，過點I作IQ∥AD，根據平行線的判定和性質和已知條件∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠（1）證明：如圖，過點J作JP∥AD，∴∠ABJ+∠BJP=180°，∵∠ABJ+∠J+∠EFJ（2）解：∠BIF=2∠BJF，證明如下：過點J作JP∥AD，過點I作IQ∥AD，由（1）知：AD∥EH，∴IQ∥EH，∴∠BIQ=∠DBG，∠FIQ=∠CFH，∴∠BIQ+∠FIQ=∠DBG+∠CFH，即∠BIF=∠DBG+∠CFH，∵JP∥AD，∴∠BJP=∠DBJ，又（3）如圖，（2）中的結論不成立，正確的結論是∠BJF=23∠BIF，證明如下：過點J作JP∥AD，過點I作IQ∥AD，由（2）得：∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，平行公理的推論，角平分線的定義等知識．正確添加輔助線、熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．14．（2022·湖南岳陽·七年級期末）如圖，已知∠DCF和∠ECF互為鄰補角，∠DCF=α0<α(1)如圖1，使三角板的短直角邊BC與射線CD重合，若α=40°，則∠ACF(2)如圖2，將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉60°，試判斷此時AB與DE的位置關系，并說明理由．(3)如圖3，將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉β0<β<90°，使得∠ACE=(4)將圖1中的三角板繞點C以每秒5的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，AC恰好與直線CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．【答案】(1)50°(2)AB//(3)3(4)18+α5【分析】（1）根據題意可直接進行求解；（2）由旋轉的性質可得∠BCD（3）由選項的性質可得∠BCD=β，然后可得∠（4）由題意可分當射線CA與射線CF互為反向延長線和當射線CA與射線CF重合時，然后進行分類討論求解即可．(1)解：由三角板的短直角邊BC與射線CD重合，且α=40°∠ACF故答案為50°；(2)解：AB//由旋轉的性質可得：∠BCD∴AB//(3)解：3β由旋轉可知：∠BCD∵∠DCF∴∠BCF∵∠ACE∴∠ACE∵∠ACB∴∠BCD+∠ACE若β>α，則β+若β≤α，則β+∵0<β∴α+∴α和β滿足的關系是3β(4)解：將圖1中的三角板繞點C以每秒5的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，AC恰好與直線CF重合，∴當射線CA與射線CF互為反向延長線，如圖，則∠CEA∴此時AC旋轉了90°+α∴t=當射線CA與射線CF重合時，如圖所示：則AC旋轉了270°+α∴t=綜上所述：AC恰好與直線CF重合時，t的值為18+α5或【點睛】本題主要考查旋轉的性質、角的和差關系、平行線的判定及一元一次方程的應用，熟練掌握旋轉的性質、角的和差關系、平行線的判定及一元一次方程的應用是解題的關鍵．15．（2022·黑龍江·哈爾濱市第七中學校七年級階段練習）如圖1，AB∥CD，直線AB外有一點M，連接AM，(1)證明：∠M(2)如圖2，延長MA至點E，連接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF與CM交于點F，求∠E與(3)如圖3，在2的條件下，∠E=100°，FA⊥AN，連接CN，且∠M【答案】(1)證明見解析(2)∠(3)20°【分析】（1）過點M作MN∥（2）過點E作EP∥AB，過點F作（3）過點N做NY∥AB，過點M作【詳解】（1）證明：過點M作MN∥∵AB∥CD，∴MN∴∠A+∠NME+∠AME∴∠A∴∠A（2）解：∵CM平分∠ECD，設∠又∵AF平分∠EAB，設∠∴∠ECD=2∠ECM過點E作EP∥∵AB∥∴EP∥∴∠EAB+∠AEP∴∠AEP=180°-∠EAB∴∠AEC過點F作QF∥∴QF∥∴∠AFQ=∠FAB∴∠AFC∴∠AEC（3）設∠NAB=過點N做NY∥∵AB∥CD，∴∠YNA=∠NAB∴∠ANC∵∠M∴∠M過點M作MX∥∴MX∥∴∠XMA=∠MAB∴∠XMA∴∠AMC∵∠MAB=2r∴∠MCN∵∠MCN∴y=30°∴∠MCD∵∠AEC=100°，∴∠AFC=360°-∠AFC由（2）知∠BAF∴∠BAF∵FA⊥∴∠FAN∴∠NAB∴r=20°∴∠MAB∴∠AMC【點睛】本題考查根據平行線的性質，解題的關鍵是作平行輔助線轉換角度關系．16．（2022·河北·高陽縣教育局教研室七年級期末）如圖1，已知∠EFH=90°，點A，C分別在射線FE和FH上，在∠EFH內部作射線AB，CD，使AB(1)如圖1，若FAB=150°，求∠(2)小穎發(fā)現，在∠EFH內部，無論FAB如何變化，∠FAB-∠(3)①如圖3，把圖1中的∠EFH=90°改為∠EFH=120°，其他條件不變，請直接寫出②如圖4，已知∠EFG+∠FGC=α，點A，C分別在射線FE，GH上，在∠EFG與∠FGH內部作射線AB，CD，使AB【答案】(1)60°(2)90°(3)①∠FAB-∠HCD【分析】（1）過點F作FM∥AB，可以求出∠1=30°，結合AB∥CD，可以得到（2）過點F作FN∥AB，結合已知AB∥CD可以得出FN∥（3）①根據題意畫出對應的圖形，結合平行線的性質和判定即可得到∠FAB與∠HCD②根據題意畫出對應的圖形，添加適當的輔助線，結合平行線的性質與判定即可正確解答．【詳解】（1）過點F作FM∴∠∵∠∴∠1=30°∵AB∴MN∴∠∵∠1+∠2=90°∴∠（2）過點F作FN∴∠∴∠1=180°-∠∵AB∴FN∴∠∵∠1+∠2=90°∴180°-∠FAB∴∠（3）①∠②∠【點睛】本題主要考查的是平行線模型，根據題意畫出對應的圖形，添加適當的輔助線是解題的關鍵．17．（2022·北京市第一六一中學七年級期末）如圖1，已知直線EF與直線AB交于點E，直線EF與直線CD交于點F，EM平分∠AEF交直線CD于點M，且∠FEM＝∠FME．點G是射線MD上的一個動點（不與點M、F重合），EH平分∠FEG交直線CD于點H，過點H作HN∥EM交直線圖1圖2(1)求證：AB//(2)當點G在點F的右側時，①依據題意在圖1中補全圖形；②若β＝80°，則α＝(3)當點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②50(3)β＝2α【分析】（1）根據EM平分∠AEF和∠FEM＝（2）①根據題意畫圖即可；②依據平行線的性質可得∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM（3）分兩種情況解答：當點G在點F的右側時，由（2）可得結果；當點G在點F的左側時，進行解答即可．【詳解】（1）證明：∵EM平分∠AEF∴∠AEM∵∠FEM∴∠AEM∴AB//（2）解：①如圖1，②∵EH平分∠FEG∴∠HEF∵HN//∴∠EHN∵∠FEM∴∠EHN∵∠＝＝180°-2(∠∴β＝∵β＝∴80°＝解得α＝故答案為：50；（3）解：α和β之間的數量關系為β＝2α理由如下：當點G在點F的右側，由（2）得β＝當點G在點F的左側時，如圖2，∵EH平分∠FEG∴∠HEF∵HN//∴∠EHN∵∠FEM∴∠＝＝2(∠∴∠EGF即β＝綜上所述，α和β之間的數量關系為β＝2α【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義，熟練掌握這些知識，并熟練利用角的和差關系進行運算是解題的關鍵．18．（2022·北京市第十九中學七年級期中）如圖，直線a∥b，點A為直線a上的動點，點B為直線a、b之間的定點，點(1)當點A運動到圖1所示位置時，容易發(fā)現∠ABC,∠DAB(2)如圖2，當BA⊥BC時，作等邊△BPQ，BM平分∠ABP，交直線a于點M，BN平分∠QBC，交直線b于點N，將BPQ繞點B轉動，且BC(3)點F為直線a上一點，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分線交直線a于點G，當點A在直線a上運動時（A，B，C三點不共線），探究并直接寫出∠FBG【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；(2)不變化，75°；(3)∠ECB＝2∠FBG或2∠FBG【分析】（1）過點B作BH∥（2）根據角平分線的定義得到∠MBP（3）分點F在點A的右側時和點F在點A的左側時兩種情況求解．【詳解】（1）解：作BH∥a，如圖1：則∠ABH∵BH∥∴BH∥∴∠HBC∴∠ABC故答案為：∠ABC（2）∠DMB如圖2：∵∠ABQ∴∠ABQ∵∠ABQ∴2∠PBC∵∠MBP∴2∠PBC+2∠MBP由（1）得∠DMB∴∠DMB（3）當點F在點A的右側時，如圖3：∠ECB∵∠A由（1）知∠3=∠2+∠4，∵∠ABC的平分線交直線a于點G∴∠3=∠ABG∵∠ABG∴∠2+∠4=∠1+∠ABF∵∠AFB∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，∴∠4=2∠1，即∠ECB當點F在點A的左側時，如圖4，2∠FBG∵∠ABC的平分線交直線a于點G∴∠ABC∵∠FAB=180°-∠AFB∴∠FAB由（1）知∠ABC∴2∠ABG∴2∠ABG∴2∠ABG∴2∠FBG綜上可知，∠FBG與∠ECB之間的數量關系為：∠DMB【點睛】本題考查的是平行線的性質、三角形的外角性質、角平分線的定義等知識，掌握平行線的性質定理、三角形的外角的性質是解題的關鍵．19．（2022·北京·測試·編輯教研五七年級階段練習）已知直線AB∥CD，點E，F分別在直線AB,CD上，∠EFD=α．點P是直線AB上的動點（不與E重合），連接PF(1)如圖1，若EF⊥CD，點P在射線EB∠EHF=(2)如圖2，若α=120°，點P在射線EA①補全圖形；②探究∠EPF與∠(3)如圖3，若0°<α<90°，直接寫出∠EPF與∠【答案】(1)25(2)①見解析；②∠EHF(3)∠EPF+2∠【分析】（1）根據圖形1，由平行線的性質，角平分線的定義和三角形的內角和定理計算即可；（2）①先根據（1）中作法補全圖形；②根據平行線的性質，角平分線的定義和三角形的內角和定理得出∠EPF與∠（3）分點P在射線EB上和點P在射線EA上兩種情況，平行線的性質，角平分線的定義和三角形的內角和定理計算即可．【詳解】（1）解：∵EF⊥CD，點P在射線EB上，∴∠PEF∴∠PFC∵EM、FH分別平分∠PEF∴∠FEM∴∠EFH∵∠FEM∴∠LEHF故答案為：25；（2）①若α=120°，點P在射線EA補全圖形，如圖所示：②∠EPF與∠EHF的數量關系是∵AB∥∴∠PEF∵EM,FH分別平分∴∠FEM=1∴∠CFH∵∠EFM∴∠FMH∵∠EHF∴∠EHF（3）若0°<α<90°，則∠EPF∠EPF+2∠EHF點P在射線EB上時，∵AB∥∴∠PEF∴∠PEF∵EM,FH分別平分∴∠FEM∴∠EFH∵∠FEM∴90°-1∴∠EPF點P在射線EA上時，∵AB∥∴∠PEF∵EM,FH分別平分∴∠FEM∴∠CFH∵∠EFM∴∠FMH∵∠EHF∴∠EHF∴2∠EHF綜上所述，∠EPF與∠EHF的數值關系是∠EPF【點睛】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，角平分線的定義等知識，關鍵是對這些知識的掌握和運用．20．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校七年級期中）如圖，直線AB、CD被EF所截，直線EF分別交AB、CD于G、H兩點，∠AGE(1)如圖1，求證：AB∥(2)如圖2，HQ、GN分別為夾在AB、CD中的兩條直線，∠AGN=∠QHD(3)如圖3，在（2）的條件下，連接HN，M為AB上一點，連接MN，V為AB上一點，連接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于點K，∠HNK=2∠GNK，VP∥【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)12°【分析】（1）只需要證明∠AGE=∠CHE（2）先由平行線的性質得到∠AGH=∠DHG，進而證明∠（3）如圖所示，過點N作直線LI∥AB，則AB∥IL∥CD，設∠VNP=x，先證明∠HNG=x+36°，再由平行線的性質得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN【詳解】（1）證明：∵∠AGE∴∠AGE∴AB∥（2）證明：∵AB∥∴∠AGH∵∠AGN∴∠AGN∴∠QHG∴GN∥（3）解：如圖所示，過點N作直線LI∥AB，則AB∥∵∠HNK∴∠HNG∵AB∥∴∠VGN∴∠VGN∵∠NHD∴∠VGN∴∠VGN∴∠GNI∴∠KVN∴∠QHN∵GN∥∴∠GNH∴x+36°=48°∴x=12°∴∠VNP∵NP平分∠VNM∴∠PNM∵VP∥∴∠VPN【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質與判定條件是解題的關鍵．21．（2021·山東·德州市第五中學七年級期中）請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關平行線的問題時，如果無法直接得到角的關系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接AE，CE得到求證：∠小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點E作EF∵∠1=∠∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠∴∠∴∠請你利用“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的兩個問題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如圖，根據平行線的性質得EM∥AB∥FN∥（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據平行線的性質和角平分線的性質可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H【詳解】（1）作EM∥AB，FN∴EM∴∠B=∠1，∠2=∠3∴∠B∵∠BEF∴∠B（2）如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵BE平分∠ABG，CF平分∠∴∠ABE=1∵AB∴AB∴∠RHB=∠ABE∴∠NGB∴∠BHC∠∴∠BGC∵∠BGC∴180°∴∠BHC【點睛】本題考查了平行線的性質和判定的應用，能運用平行線的性質和判定進行推理是解此題的關鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直線平行，同旁內角互補，反之亦然．22．（2022·江蘇鹽城·七年級階段練習）如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF=30°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉，記(1)如圖2，∠ABC=40°，當∠α=______時，DE∥BC(2)如圖3，∠ABC=40°，當頂點C在△DEF內部時（不包含邊界）)，邊DF、DE分別交BC、AC的延長線于點M①此時∠α的度數范圍是______②∠BMD與∠AND度數的和是否變化？若不變，求出∠BMD與∠(3)如圖4，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉過程中，邊DE與射線BC有交點P，邊DF與射線AC有交點Q，則∠BPD與∠AQD(4)如圖5，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉過程中，邊DE與射線BC有交點P，邊DF與射線AC有交點Q、請在備用圖中畫出其他可能位置，并寫出∠BPD與∠AQD【答案】(1)10°，100°(2)①55°<α<85°；②(3)∠(4)圖見解析，∠【分析】（1）當∠EDA=∠B=40°時，DE∥BC，得出30°+α（2）①由已知得出∠ACD=45°，∠A=50°，推出∠CDA=85°，當點C在DE邊上時，α+30°=85°，解得α②連接MN，由三角形內角和定理得出∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，則（3）根據三角形的內角和與外角定理用∠A與α表示∠AQD和∠（4）根據題意作圖，并仿照（3）的方法便可得出結論．【詳解】（1）解：∵∠B∴當∠EDA=∠B∵∠EDF∴α當DE∥AC時，∴∠A+∠EDA∴∠EDA∴α故答案為：10°，100°；（2）解：①∵∠ABC=40°，CD∴∠ACD=45°，∴∠CDA當點C在DE邊上時，α+30°=85°解得：α=55°當點C在DF邊上時，α=85°∴當頂點C在△DEF內部時，55°<故答案為：55°<α②∠BMD與∠AND理由如下：連接MN，如圖3所示：在△CMN∵∠CNM∴∠CNM在△MND∵∠DNM即∠AND∴∠BMD（3）∵∠AQD∠BPD∴∠AQD故答案為：∠AQD（4）如圖，同（3）可得∠AQD故答案為：∠AQD【點睛】本題考查了平行線的性質、直角三角形的性質、三角形內角和定理、旋轉的性質，合理選擇三角形旋轉后利用三角形內角和定理列等量關系是解決問題的關鍵．23．（2022·江蘇·泰州中學附屬初中七年級階段練習）新定義：在△ABC中，若存在一個內角是另外一個內角度數的n倍（n為大于1的正整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=100°，∠(1)在△DEF中，∠E=40°，∠(2)已知：在圖中直線AB、CD被直線EF所截交點分別為E、F，AB∥CD，∠BEF與∠DFE的平分線交于點G，若△(3)圖中AE平分∠BAC，CE平分∠BCD，(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一個【答案】(1)3(2)30°或150°或10807°(3)△ABC是2(4)18°或20°或30°【分析】（1）利用三角形內角和定理求出∠D（2）先根據平行線的性質和角平分線的定義求出∠EFG+∠FEG（3）根據平角的定義求出∠BCD=100°，再根據角平分線的定義和三角形外角的性質求出∠BAC（4）分當∠B=2∠A，∠C=3∠【詳解】（1）解：∵在△DEF中，∠∴∠D∴∠D∴△DEF為3故答案為：3；（2）解：∵AB∥∴∠AEF∵EG，FG分別是∴∠EFG∴∠EFG∴∠G當∠G=6∠EFG∴∠AEF當∠G=6∠FEG∴∠AEF當∠EFG=6∠FEG∴∠AEF當∠FEG=6∠EFG∴∠AEF綜上所述，∠AEF的度數為30°或150°或10807°（3）解：△ABC是2∵∠ACB∴∠BCD∵AE，CE分別是∴∠BAC∴∠EAC∴∠BAC∴∠B∴∠BCA∴△ABC是2（4）解：∵在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若∴當∠B=2∠A，∴∠A∴∠A當∠B=2∠A當∠B=3∠A綜上所述，∠A的度數為18°或20°或30°【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形外角的性質，平行線的性質，正確理解題意是解題的關鍵．24．（2022·浙江·永嘉縣崇德實驗學校七年級期中）如圖1，直線AB∥CD，△ABE的頂點E在AB與CD(1)若∠ABE=150°，①當∠CDE=2∠EDM時，求∠BED的度數.②如圖2，作出∠CDE的角平分線DF，當DF平行于△ABE中的一邊時，求∠BED的度數.(2)如圖3，∠CDE的角平分線DF交EB的延長線于點H，連結BF，當∠ABH=2∠HBF，12∠BED+1【答案】(1)①90°；②150°；170°(2)150°【分析】（1）①過點E在作EG∥CD，分別利用鄰角互補求得∠NBE②分兩種情況：（i）當DF∥BE時，設DF與AB交于點P，利用先鄰角互補求得∠NBE=180°-∠ABE=30°，再利用平行線的性質和角平分線的定義求得∠CDE的度數，進而求得∠EDM，最后利用①的結論即可求解；（ii）當DF∥AE時，設（2）設DF與AB交于點P，如圖所示，且設∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，則∠CDE=2∠CDF=2y，在△由（1）小題可得∠BED=∠NBE+∠EDM=2x+180°-2y，再利用已知（1）①如圖，過點E在作EG∥∵AB∥∴AB∥∴∠NBE=∠BEG∵∠NBE+∠ABE∴∠NBE∵∠CDE+∠EDM∴∠EDM∴∠BED②分兩種情況：（i）當DF∥BE時，設DF與AB交于點

∵∠NBE+∠ABE∴∠NBE∵DF∥∴∠NBE∵AB∥∴∠CDP∵DF平分∠CDE∴∠CDE∴∠EDM∴由①得∠BED（ii）當DF∥AE時，設DF與AB交于點P，如圖所示，∴∠BAE∵AB∥∴∠CDP∵DF平分∠CDE∴∠CDE∴∠EDM∵∠NBE+∠ABE∴∠NBE∴由①得∠BED（2）解：設DF與AB交于點P，如圖所示，設∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，則∠CDE∵AB∥∴∠BPD=∠∴在△BPF∠BPD即y=3由（1）小題可得∠BED=∠NBE+∠EDM∵12∴90°+x∴y=75°∴∠CDE【點睛】本題考查了平行線的判定和性質以及角平分線的有關計算，熟練掌握已經學過的性質和定理，作出適當的輔助線是解題的關鍵．25．（2022·浙江·義烏市稠州中學七年級期中）如圖，直線PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．(1)若△DEF如圖1擺放，當ED平分∠PEF時，則∠DFM=．(2)若圖2中△ABC固定，將△DEF沿著AC方向平移，邊DF與直線PQ相交于點G，作∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點H（如圖3），求∠GHF的度數．(3)若圖2中△DEF固定，（如圖4）將△ABC繞點A順時針旋轉，1分鐘轉半圈，旋轉至AC與直線AN首次重合的過程中，當線段BC與△DEF的一條邊平行時，請直接寫出旋轉的時間．（單位必須化成秒）【答案】(1)30°(2)67.5°(3)△ABC繞點A順時針旋轉的時間為10s或30s或40s時，線段BC與△【分析】（1）利用角平分線定義及平行線性質即可證得結論；（2）分別過點F，H作FL∥MN，HR∥PQ，利用平行線性質和角平分線定義即可得出答案；（3）設旋轉時間為t秒，由題意旋轉速度為1分鐘轉半圈，即每秒轉3°，分三種情況：①當BC∥DE時，②當BC∥EF時，③當BC∥DF時，分別求出旋轉角度后，列方程求解即可．（1）解：∵ED平分∠PEF，∠∴∠PEF∵PQ∥MN，，∴∠MFE∵∠DFE∴∠DFM故答案為：30°（2）解：如圖3，分別過點F，H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA=∠BAC∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，，∴∠QGF+∠GFL∵∠DFE∴∠GFA∵∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點∴∠QGH∴∠RHF∴∠GFL∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，∴∠RHG∴∠GHF（3）解：設旋轉時間為t秒，由題意旋轉速度為1分鐘轉半圈，即每秒轉3°，分三種情況：當BC∥DE時，如圖5，此時AC∥DF，∴∠CAE3t解得：t=10②當BC∥EF時，如圖6，∵BC∥EF，∴∠BAE∴∠BAM3t解得：t=30③當BC∥DF時，如圖7，延長BC交MN于K，延長DF交MN于R，∵∠DRM∴∠BKA∵∠ACK∴∠CAK∴∠CAE∴3t解得：t=40綜上所述，△ABC繞點A順時針旋轉的時間為10s或30s或40s時，線段BC與△【點睛】本題主要考查了平行線性質及判定，角平分線定義，平移的性質等，添加輔助線，利用平行線性質是解題關鍵．26．（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學校七年級階段練習）如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．(1)填空：∠1=_________°，∠2=_________°．(2)如圖2，現把三角板繞B點逆時針旋轉n°，當0<n<90，且點C①請直接寫出∠1=__________°，∠2=________°（結果用含n的代數式表示）；②若∠2恰好是∠1的43倍，求n(3)如圖1三角板ABC的放置，現將射線BF繞點B以每秒2°的轉速逆時針旋轉得到射線BM，同時射線QA繞點Q以每秒3°的轉速順時針旋轉得到射線QN，當射線QN旋轉至與QB重合時，則射線BM、QN均停止轉動，設旋轉時間為①在旋轉過程中，若射線BM與射線QN相交，設交點為P．當t=20(s)時，則②在旋轉過程中，是否存在BM∥ON若存在，求出此時【答案】(1)120，90(2)①(120-n)，(90+(3)①40；②存在，12s或48s【分析】（1）根據鄰補角的定義和平行線的性質即可解答；（2）①根據鄰補角的定義和平行線的性質以及三角形的內角和與外角的性質即可解答；②根據∠2=43∠1列出關于n的方程即可求解；（3②結合圖形，分QN，BM在AB的同側；QN，BM在AB的異側討論求解．（1）解∶如圖1，由題意知∶DG∥EF，∠ACB=90°，∠A∴∠3=∠ACB=90°，∴∠1=∠3+∠A=120°，故答案為：120，90；（2）解∶①如圖2，由題意知∶DG∥EF，∠ACB=90°，∠CAF=n∴∠ABC∴∠ABF∵DG∥∴∠3=∠ABF∴∠1=180°-∠3=(120-n)°，故答案為：(120-n)，②若∠2=43∠1解得n=30所以n的值為30；（3）解：①如圖3，由題意知∶∠AQN=20×3=60°，∵∠AQG=60°，∴QN和QG重合，∵DG∥∠QPB=∠MBF=40°，故答案為：40；②若QN，BM在AB的同側，如圖4，由題意知∶∠AQN=3t，∠若QN∥BM即3t=60°-2若QN，BM在AB的異側，如圖5，由題意知∶∠AQN=3t，∠FBM=2若QN∥BM即180°-3t=2綜上所述t=12s或48s【點睛】本題考查了平行線角的計算，旋轉的定義，主要利用了平行線的性質，直角三角形的性質，讀懂題目信息并準確識圖是解題的關鍵．27．（2022·浙江·義烏市稠州中學七年級階段練習）如圖1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側，D在C的右側，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線DE，BE交于點E，∠CBN(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度數；(2)在圖1中過點D作∠ADQ的角平分線與直線BE相交于點F，如圖2，試探究∠DEB與∠DFE的關系；(3)若改變線段AD的位置，使得點D在點C的左側，其他條件不變，若∠ADQ＝n°，過點D作∠PDA的角平分線與直線BE相交于點G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代數式表示）【答案】(1)70°(2)∠DEB+∠DFE＝90°(3)∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°【分析】（1）如圖1中，延長DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解決問題；（2）根據角平分線以及鄰補角的定義得∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ）＝90°（3）分3種情形討論即可解決問題．（1）解：如圖1中，延長DE交MN于H．∵∠ADQ＝100°，DE平分∠ADC，∴∠PDH＝12∠PDA＝12（180°﹣100°）＝∵MN∥∴∠EHB＝∠PDH＝40°，∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，∴∠EBH＝12∠ABC＝12（180°﹣120°）＝∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝70°.（2）解：如圖，∵DE平分∠ADC，DF平分∠ADQ，∴∠ADE＝12∠ADC，∠ADF＝12∠∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ）＝90°∴∠DEB+∠DFE＝90°.（3）解：分3種情形如圖，當點E在直線MN與直線PQ之間時．延長DE交MN于H．∵PQ∥MN，∴∠QDH＝∠DHA＝12∠ADQ＝12n∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣12n°+30°＝210°﹣12n∵∠ADQ＝n°，DG平分∠PDA，∴∠ADG＝12∠ADP∴∠GDH＝12∠ADP+12∠ADQ＝∴∠BED＝90°+∠DGE，∴∠DGE＝210°﹣12n°﹣90°＝120°﹣12n∴∠BED+∠DGE＝210°﹣12n°+120°﹣12n°＝330°﹣n當點E在直線MN的下方時，如圖，設DE交MN于H．∵∠HBE＝∠ABG＝30°，∠ADH＝∠CDH＝12n°又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，∴∠BED＝12n°﹣30°∵∠GDH＝