數(shù)學(xué)-專項(xiàng)5.10平行線的性質(zhì)與判定大題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（壓軸篇重難點(diǎn)培優(yōu)30題）-【】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題5.10平行線的性質(zhì)與判定大題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（壓軸篇，重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________一、解答題（本大題共30小題．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）已知，∠ATM(1)如圖1，求證AB∥(2)如圖2，點(diǎn)E位平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BE、CE，求證：∠E(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作線段EF，連接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，過(guò)點(diǎn)B作BG∥EF交CE于點(diǎn)G，若∠BEC=2∠ABE，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)EF【分析】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得出∠ATR（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD得出AB∥（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知角度之間的關(guān)系，得出∠FEH=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BGH=∠FBH=90°，從而得出BG⊥【詳解】（1）證明：∵∠ATM+∠DRN∴∠ATR∴AB∥（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B=∠BEF∴∠BEC（3）解：∵∠BEF∴∠FEH∵∠EFB=∠EBF∴∠FEH即∠FEH∵∠ABE∴∠FEH∵BG∥∴∠BGH∴BG⊥EC，∴S===2BG∵△BEF的面積為36∴36=2BG∴BG+EF∵EF-BG①+②得：∴EF=10【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行公理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明BG⊥EC，2．（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB、AC，求∠B解：過(guò)點(diǎn)A作ED∥∴∠B=，∠∵∠EAB∴∠B解題反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“(2)方法運(yùn)用：如圖2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)①如圖3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若∠ABC=36°，求②如圖4，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC【答案】(1)∠EAB；(2)360°(3)①43°；②(205-【分析】（1）由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得結(jié)果；（2）過(guò)C作CF∥AB，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（3）①過(guò)E作EG∥AB，利用角平分線的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝12∠【詳解】（1）解：∵ED∥∴∠B=∠EAB故答案為：∠EAB；（2）解：過(guò)C作CF∥∵AB∥∴CF∥∴∠D∵CF∥∴∠B∴∠B∴∠B（3）解：①過(guò)E作EG∥∵AB∥∴EG∥∴∠GED∵DE平分∠ADC∴∠EDC∴∠GED∵BE平分∠ABC∴∠ABE∵GE∥∴∠BEG∴∠BED②過(guò)E作PE∥∵AB∥∴PE∥∴∠PED∵BE平分∠ABC，∠∴∠ABE∵AB∥∴∠ABE∴∠PEB∴∠BED【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行線的傳遞性以及角平分線的概念，作出輔助線構(gòu)造平行線導(dǎo)角是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021·福建·福州十八中七年級(jí)期中）如圖1，直線GH分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），若∠1+∠2=180°．(1)求證：AB∥(2)如圖2所示，點(diǎn)M、N在AB，CD之間，且位于E，F(xiàn)的異側(cè)，連MN，若3∠M=2∠N，則∠AEM，(3)如圖3所示，點(diǎn)M在線段EF上，點(diǎn)N在直線CD的下方，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)（在E的左側(cè)），連接MP，PN，NF，若∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)13(3)14【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過(guò)M作MP∥AB，過(guò)N作NQ∥AB，設(shè)∠FNM=3α，∠EMN=2α，∠AEM=x，∠NFD=y，可得（3）連接PF，可得∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，設(shè)∠MPB=α，則∠MPN=3α，∠HFD=β（1）解：∵∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，∴∠BEF∴AB∥得證；（2）解：12過(guò)M作MP∥AB，過(guò)N作設(shè)∠FNM=3α，∠EMN=2∵AB∥CD，MP∥∴MP∥∴∠EMP=∠AEM=x∴∠PMN=∠EMN∴2α∴α=∴13（3）解：12連接PF，如圖3，即有：∠PMF+∠MFP∴∠N∵∠MPN=3∠MPB∴設(shè)∠MPB=α，則∠MPN=3∵AB∥∴∠BEF∴∠PME∴∠PMH∵∠N+∠NPM∴∠N∴∠N∵∠PME=β∴180°-∠PMH∴14【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．4．（2021·廣東·東莞市松山湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）請(qǐng)作答：(1)圖1，圖2均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，∠ACB=90°，DF∥CG，AB與FD相交于點(diǎn)E，有一動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，連接PE，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠APE與∠α，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APE與∠α，(2)當(dāng)點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠PED，∠PAC的角平分線EN，AN相交于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出∠ANE與∠【答案】(1)①∠APE=∠α+∠(2)∠【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)P作PQ∥DF，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠QPE=∠α②過(guò)點(diǎn)P作PQ∥DF，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠QPE=∠α（2）先根據(jù)角平分線的定義可得∠NED=12∠α，∠NAC=12∠（1）解：①∠APE如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥∴∠QPE∵DF∴PQ∴∠QPA∴∠APE②∠APE如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥∴∠QPE∵DF∴PQ∴∠Q∴∠APE（2）解：∠ANE∵EN，AN分別平分∠PED，∴∠NED=1如圖，過(guò)點(diǎn)N作NQ∥∴∠QNE∵DF∴NQ∴∠QNA∴∠ANE【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，過(guò)拐點(diǎn)作平行線，利用平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠D(1)求證：AD∥(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠(3)∠【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D=∠ACM，等量代換得到∠CMG=∠（2）過(guò)B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代換得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根據(jù)平行線的判定得到（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根據(jù)已知條件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到結(jié)論．（1）證明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，∴∠2=∠CFG，∴CM∥∴∠D=∠ACM，∵∠D=∠CMG，∴∠CMG=∠ACM，∴AD∥（2）解：∠NBG-∠ANB+∠1=180°；理由如下：過(guò)B作BP∥AN交NG于∴∠ANB=∠NBP，∵AD∥∴∠D=∠DHG，∵∠A+∠DHG=180°，∴∠A+∠D=180°，∴AN∥又∵CM∥DH，∴BP∥∴∠PBG+∠1=180°，∵∠PBG=∠NBG-∠NBP=∠NBG-∠ANB，∴∠NBG-∠ANB+∠1=180°；（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∴∠PBG=80°，∵∠NBG=130°，∴∠ANB=∠NBP=50°，∵∠ANB：∠BNG=2：1，∴∠BNP=25°，∴∠ANG=75°，∴∠A=105°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河北·武邑武羅學(xué)校七年級(jí)期末）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．(1)當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動(dòng)頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由，(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由見(jiàn)解析(2)∠BAE+12∠MCD＝90°(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°【分析】（1）由角平分線的定義得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，則∠BAC+∠ACD＝180°，可得結(jié)論AB∥CD；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得答案；（3）利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠BAE+12∠MCD＝90°過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝12∠MCD∴∠BAE+12∠MCD＝90°（3）解：分兩種情況分類討論，第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，理由：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，∵∠PQC+∠QPC+∠PCQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵需要根據(jù)題意作出相關(guān)的輔助線，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找角之間的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)從而判斷角之間的大小關(guān)系，同時(shí)注意運(yùn)用分類討論的思想方法．7．（2022·江蘇·江陰市周莊中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）（1）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵?，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1=∠2，∠3=∠4，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說(shuō)明理由．（2）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線a與水平線OC的夾角為42°，問(wèn)如何放置平面鏡MN，可使反射光線b正好垂直照射到井底？（即求MN與水平線的夾角）（3）如圖3，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．【答案】（1）平行；理由見(jiàn)解析；（2）MN與水平線的夾角為66°時(shí)，可使反射光線b正好垂直照射到井底；（3）t為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行【分析】（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可判定a∥（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1＝∠2，然后根據(jù)平角等于180°求出∠1的度數(shù)，再加上42°即可得解；（3）①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等列式計(jì)算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）平行．理由如下：如圖，∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，∴a∥（2）∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，∴∠1＝∠2，∵入射光線a與水平線OC的夾角為42°，b垂直照射到井底，∴∠1＋∠2＝180°?42°?90°＝48°，∴∠1＝12×48°＝24°∴MN與水平線的夾角為：24°＋42°＝66°．（3）存在．AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，如圖①所示：∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠ACD＝180°?60°?3t＝120°?3t，∠BAC＝110°?t，要使AB∥則∠ACD＝∠BAF，即120°?3t＝110°?t，解得t＝5；此時(shí)（180°?60°）÷3＝40，∴0＜t＜40，∴t＝5符合題意；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，如圖所示：∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝360°?3t?60°＝300°?3t，∠BAC＝110°?t，要使AB∥則∠DCF＝∠BAC，即300°?3t＝110°?t，解得t＝95，此時(shí)（360°?60°）÷3＝100，∴40＜t＜100，∴t＝95符合題意；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，如圖所示：∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝3t?（180°?60°＋180°）＝3t?300°，∠BAC＝t?110°，要使AB∥則∠DCF＝∠BAC，即3t?300°＝t?110°，解得t＝95，此時(shí)t＞110，∵95＜110，∴此情況不存在．綜上所述，t為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，光學(xué)原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論．8．（2022·山東日照·七年級(jí)期末）（1）閱讀下面材料：已知：如圖1，AB∥CD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE，得到∠AEC解答過(guò)程如下，并請(qǐng)你在括號(hào)內(nèi)填寫推理的依據(jù)：過(guò)點(diǎn)E作EF∥則有∠AEF+∠A∵AB∥∴EF∥CD（∴∠FEC+∠C∴∠AEF又∵∠∴∠AEC假若將具有圖1特征的圖形稱為“平行凸折線”，“平行凸折線”的性質(zhì)可以表述如下：若AB∥CD，E為AB，CD（2）已知：直線m∥n，點(diǎn)A，B在直線m上，點(diǎn)C，D在直線n上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，若∠ADC=80°，∠BED=160°，請(qǐng)你結(jié)合（1）中“平行凸折線”②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC=α，∠ADC=β，請(qǐng)直接寫出【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行線公理；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）①∠ABC=120°；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥（2）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求出答案；（3）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求出答案．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥則有∠AEF∵AB∥∴EF∥∴∠FEC∴∠AEF又∵∠AEC∴∠AEC故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行線公理；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）①根據(jù)題意，由（1）可知∠∵∠ADC=80°，DE平分∴∠ADG=180°-80°=100°∴∠∵∠BED∴140°+160°+∠ABE∴∠ABE∵BE平分∠ABC∴∠ABC②根據(jù)題意，如圖：由（1）可知，∠EBG∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC∴∠ABE=∴∠EBG=180°-1∴(180°-1∴∠BED【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，幾何圖形中角的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)及結(jié)合圖形進(jìn)行角的和差運(yùn)算．9．（2022·山西忻州·七年級(jí)期末）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E為直線AB，(1)若AE⊥AB，∠C=65°(2)如圖2，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，連接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)F作∠BFG=∠BFE，交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FI∥BE交CD于點(diǎn)I．當(dāng)FH【答案】(1)25°(2)45°(3)67.5°【分析】（1）首先延長(zhǎng)BA，則易得AB∥CD，然后由兩直線平行，同位角相等，即可證得：∠E+∠C（2）過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB，易證∠NEB=∠AEB，再根據(jù)平行公理的推論可得EN∥CD，再證得（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠HIF=∠BFI=∠B，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CHF=12∠IFG+∠HIF，然后根據(jù)已知條件和三角形外角定理即可求得∠CHF=12∠BFE+12∠B=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B=12（180°-45°-∠B）（1）解：延長(zhǎng)BA交CE于點(diǎn)M，∵AB∥CD∴∠又∵AE⊥∴∠∴∠E（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN∥∴∠B∵∠B∴∠NEB=∠∵EN∥AB，∴EN∥∵CE⊥∴∠ECD∴∠CEN∵EF平分∠AEC∴∠AEF∴∠BEF（3）∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=12∠IFG∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF∵AB∥CD，F(xiàn)I∥BE.，∴∠HIF=∠BFI=∠B，∴∠IFG=∠BFG-∠B，∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF=12（∠BFG-∠B）+∠B=12∠BFG+∵∠BFG=∠BFE，∴∠CHF=12∠BFE+12=12（180°-∠BEF-∠B）+12=12（180°-45°-∠B）+12=67.5°∴∠CHF【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形外角的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)期中）如圖1，AB,AC被直線BC所截，點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE∥(1)BD與AC平行嗎？為什么？(2)將線段BD沿著直線BC進(jìn)行平移，平移后得到的對(duì)應(yīng)線段記為線段FG，連接EG；①當(dāng)線段FG在E點(diǎn)下方時(shí)，如圖2，若∠EGF=15°，求②在整個(gè)平移的過(guò)程中，當(dāng)∠EGF=3∠DEG【答案】(1)BD∥(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值為45°或90°【分析】（1）結(jié)論：BD∥AC，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)（2）①過(guò)點(diǎn)E作EK∥②分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)F在線段BE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EK∥BD，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作（1）解：結(jié)論：BD∥延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)T，如圖所示：∵DT∥∴∠DTC＝∠A＝60°，∵∠D＝60°，∴∠D＝∠DTC，∴BD∥（2）①過(guò)點(diǎn)E作EK∥∵BD∥∴EK∥∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．②當(dāng)點(diǎn)F在線段BE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EK∥∵BD∥∴EK∥∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝60°?∠FGE，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝15°，∴∠EGF＝45°；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EK∥∵BD∥∴EK∥∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠FGE?60°，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝30°，∴∠EGF＝90°．綜上所述，滿足條件的∠EGF的值為45°或90°．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的判定和性質(zhì)，平移變換等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．11．（2021·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)期中）如圖①，已知直線a∥b，點(diǎn)O、C分別是直線a、b上的定點(diǎn)，點(diǎn)A從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OA的方向平移，點(diǎn)B從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB的方向平移，且始終滿足∠BCO＝∠BAO＝100°．(1)求證：AB∥CO；(2)如圖②，若OF平分∠BOC，點(diǎn)E是直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)∠AOB＝30°，且△EOB中有兩個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；②當(dāng)∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF時(shí)，求∠ABO的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①95°，5°，50°或40°；②48°或60°【分析】（1）根據(jù)a∥b，可得∠OCB+∠AOC=180°，再由∠BCO=∠BAO=100°．得出∠AOC+∠OAB=180°即可判斷OC∥AB；（2）①根據(jù)△EOB中有兩個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，分別有4種可能性，分別畫出相應(yīng)的圖形，依據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；②分點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)或左側(cè)兩種情況，設(shè)∠AOB=α，利用含有α的代數(shù)式表示∠BOC，∠EOF，列方程求解即可．（1）證明：∵a∴∠∵∠BAO∴∠AOC∴AB∥（2）解：①∵a∥b∴∠∵OC∥∴∠AOC∴∠BOC∵OF平分∠BOC∴∠BOF1°∠BEO∴∠EOB∴∠2°∠∴∠EOF3°∠BOE=∠BEO=75°（點(diǎn)∴∠EOF4°∠BOE=∠BEO（點(diǎn)E∵∠CBO∴∠BOE∴∠EOF綜上∠EOF的度數(shù)為95°，5°，50°或40°②設(shè)∠EOF=x∴∠AOB∵OF平分∠BOC∴∠BOF1°點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)，∠EOB∵∠AOB∴80°-6x=4∴∠ABO2°點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)，∠EOB∵∠AOB∴80°-6x=2x∴∠ABO綜上，∠ABO的度數(shù)為48°或60°【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理以及角角平分線的定義是正確解答的前提．12．（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）如圖①，AB，BC被直線AC所截，點(diǎn)D是線段AC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，連接AE，(1)請(qǐng)說(shuō)明AE∥(2)將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，連接DQ．①.如圖②，當(dāng)DE⊥DQ時(shí)，則∠Q的度數(shù)②.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)∠Q=2∠EDQ時(shí)，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①30°；②40°或120°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAE+∠E=180°，利用等量代換得到（2）①過(guò)點(diǎn)D作DM∥PQ，則②兩種情況，運(yùn)用類比的方法，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交AB于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)P在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF'∥（1）證明：∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E=180°，又∵∠B（2）解：①解：過(guò)點(diǎn)D作DM∥PQ，如圖所示：∵AE∥PQ，∴DM∥AE，∴∠E=∠EDM，∠Q=∠MDQ，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ=90°，∴∠E+∠Q=∠EDM+∠MDQ=90°，而∠E=60°，∴∠Q=90°-60°=30°．故答案為：30°．②當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交AB于點(diǎn)F，如圖所示：∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠QDF=180°-∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠Q，∵∠E=60°，∴∠EDF=180°-60°=120°，∴∠QDF=120°+12∠Q=180°-∠【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線．13．（2022·廣東廣州·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共線，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共線．BG，CF相交于點(diǎn)I，點(diǎn)J是直線AD與EH之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ABJ(1)求證：AD∥(2)若BJ平分∠DBG，F(xiàn)J平分∠CFH，請(qǐng)?zhí)剿鞑⒆C明∠BIF(3)若∠GBJ=13∠【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)∠BIF(3)不成立；∠BJF【分析】（1）過(guò)點(diǎn)J作JP∥（2）過(guò)點(diǎn)J作JP∥AD，過(guò)點(diǎn)I作IQ∥AD，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義可得∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠（3）過(guò)點(diǎn)J作JP∥AD，過(guò)點(diǎn)I作IQ∥AD，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)和已知條件∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)J作JP∥AD，∴∠ABJ+∠BJP=180°，∵∠ABJ+∠J+∠EFJ（2）解：∠BIF=2∠BJF，證明如下：過(guò)點(diǎn)J作JP∥AD，過(guò)點(diǎn)I作IQ∥AD，由（1）知：AD∥EH，∴IQ∥EH，∴∠BIQ=∠DBG，∠FIQ=∠CFH，∴∠BIQ+∠FIQ=∠DBG+∠CFH，即∠BIF=∠DBG+∠CFH，∵JP∥AD，∴∠BJP=∠DBJ，又（3）如圖，（2）中的結(jié)論不成立，正確的結(jié)論是∠BJF=23∠BIF，證明如下：過(guò)點(diǎn)J作JP∥AD，過(guò)點(diǎn)I作IQ∥AD，由（2）得：∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義等知識(shí)．正確添加輔助線、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖，已知∠DCF和∠ECF互為鄰補(bǔ)角，∠DCF=α0<α(1)如圖1，使三角板的短直角邊BC與射線CD重合，若α=40°，則∠ACF(2)如圖2，將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，試判斷此時(shí)AB與DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β0<β<90°，使得∠ACE=(4)將圖1中的三角板繞點(diǎn)C以每秒5的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，AC恰好與直線CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．【答案】(1)50°(2)AB//(3)3(4)18+α5【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BCD（3）由選項(xiàng)的性質(zhì)可得∠BCD=β，然后可得∠（4）由題意可分當(dāng)射線CA與射線CF互為反向延長(zhǎng)線和當(dāng)射線CA與射線CF重合時(shí)，然后進(jìn)行分類討論求解即可．(1)解：由三角板的短直角邊BC與射線CD重合，且α=40°∠ACF故答案為50°；(2)解：AB//由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BCD∴AB//(3)解：3β由旋轉(zhuǎn)可知：∠BCD∵∠DCF∴∠BCF∵∠ACE∴∠ACE∵∠ACB∴∠BCD+∠ACE若β>α，則β+若β≤α，則β+∵0<β∴α+∴α和β滿足的關(guān)系是3β(4)解：將圖1中的三角板繞點(diǎn)C以每秒5的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，AC恰好與直線CF重合，∴當(dāng)射線CA與射線CF互為反向延長(zhǎng)線，如圖，則∠CEA∴此時(shí)AC旋轉(zhuǎn)了90°+α∴t=當(dāng)射線CA與射線CF重合時(shí)，如圖所示：則AC旋轉(zhuǎn)了270°+α∴t=綜上所述：AC恰好與直線CF重合時(shí)，t的值為18+α5或【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的和差關(guān)系、平行線的判定及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的和差關(guān)系、平行線的判定及一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．15．（2022·黑龍江·哈爾濱市第七中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，AB∥CD，直線AB外有一點(diǎn)M，連接AM，(1)證明：∠M(2)如圖2，延長(zhǎng)MA至點(diǎn)E，連接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF與CM交于點(diǎn)F，求∠E與(3)如圖3，在2的條件下，∠E=100°，F(xiàn)A⊥AN，連接CN，且∠M【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)∠(3)20°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MN∥（2）過(guò)點(diǎn)E作EP∥AB，過(guò)點(diǎn)F作（3）過(guò)點(diǎn)N做NY∥AB，過(guò)點(diǎn)M作【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)M作MN∥∵AB∥CD，∴MN∴∠A+∠NME+∠AME∴∠A∴∠A（2）解：∵CM平分∠ECD，設(shè)∠又∵AF平分∠EAB，設(shè)∠∴∠ECD=2∠ECM過(guò)點(diǎn)E作EP∥∵AB∥∴EP∥∴∠EAB+∠AEP∴∠AEP=180°-∠EAB∴∠AEC過(guò)點(diǎn)F作QF∥∴QF∥∴∠AFQ=∠FAB∴∠AFC∴∠AEC（3）設(shè)∠NAB=過(guò)點(diǎn)N做NY∥∵AB∥CD，∴∠YNA=∠NAB∴∠ANC∵∠M∴∠M過(guò)點(diǎn)M作MX∥∴MX∥∴∠XMA=∠MAB∴∠XMA∴∠AMC∵∠MAB=2r∴∠MCN∵∠MCN∴y=30°∴∠MCD∵∠AEC=100°，∴∠AFC=360°-∠AFC由（2）知∠BAF∴∠BAF∵FA⊥∴∠FAN∴∠NAB∴r=20°∴∠MAB∴∠AMC【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作平行輔助線轉(zhuǎn)換角度關(guān)系．16．（2022·河北·高陽(yáng)縣教育局教研室七年級(jí)期末）如圖1，已知∠EFH=90°，點(diǎn)A，C分別在射線FE和FH上，在∠EFH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB(1)如圖1，若FAB=150°，求∠(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在∠EFH內(nèi)部，無(wú)論FAB如何變化，∠FAB-∠(3)①如圖3，把圖1中的∠EFH=90°改為∠EFH=120°，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出②如圖4，已知∠EFG+∠FGC=α，點(diǎn)A，C分別在射線FE，GH上，在∠EFG與∠FGH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB【答案】(1)60°(2)90°(3)①∠FAB-∠HCD【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，可以求出∠1=30°，結(jié)合AB∥CD，可以得到（2）過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，結(jié)合已知AB∥CD可以得出FN∥（3）①根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，結(jié)合平行線的性質(zhì)和判定即可得到∠FAB與∠HCD②根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，結(jié)合平行線的性質(zhì)與判定即可正確解答．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)F作FM∴∠∵∠∴∠1=30°∵AB∴MN∴∠∵∠1+∠2=90°∴∠（2）過(guò)點(diǎn)F作FN∴∠∴∠1=180°-∠∵AB∴FN∴∠∵∠1+∠2=90°∴180°-∠FAB∴∠（3）①∠②∠【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線模型，根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．（2022·北京市第一六一中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，已知直線EF與直線AB交于點(diǎn)E，直線EF與直線CD交于點(diǎn)F，EM平分∠AEF交直線CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．點(diǎn)G是射線MD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M、F重合），EH平分∠FEG交直線CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HN∥EM交直線圖1圖2(1)求證：AB//(2)當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，①依據(jù)題意在圖1中補(bǔ)全圖形；②若β＝80°，則α＝(3)當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②50(3)β＝2α【分析】（1）根據(jù)EM平分∠AEF和∠FEM＝（2）①根據(jù)題意畫圖即可；②依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM（3）分兩種情況解答：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，由（2）可得結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）證明：∵EM平分∠AEF∴∠AEM∵∠FEM∴∠AEM∴AB//（2）解：①如圖1，②∵EH平分∠FEG∴∠HEF∵HN//∴∠EHN∵∠FEM∴∠EHN∵∠＝＝180°-2(∠∴β＝∵β＝∴80°＝解得α＝故答案為：50；（3）解：α和β之間的數(shù)量關(guān)系為β＝2α理由如下：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，由（2）得β＝當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖2，∵EH平分∠FEG∴∠HEF∵HN//∴∠EHN∵∠FEM∴∠＝＝2(∠∴∠EGF即β＝綜上所述，α和β之間的數(shù)量關(guān)系為β＝2α【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握這些知識(shí)，并熟練利用角的和差關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．18．（2022·北京市第十九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線a∥b，點(diǎn)A為直線a上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為直線a、b之間的定點(diǎn)，點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到圖1所示位置時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)∠ABC,∠DAB(2)如圖2，當(dāng)BA⊥BC時(shí)，作等邊△BPQ，BM平分∠ABP，交直線a于點(diǎn)M，BN平分∠QBC，交直線b于點(diǎn)N，將BPQ繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，且BC(3)點(diǎn)F為直線a上一點(diǎn)，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分線交直線a于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)A在直線a上運(yùn)動(dòng)時(shí)（A，B，C三點(diǎn)不共線），探究并直接寫出∠FBG【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；(2)不變化，75°；(3)∠ECB＝2∠FBG或2∠FBG【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BH∥（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠MBP（3）分點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)和點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)兩種情況求解．【詳解】（1）解：作BH∥a，如圖1：則∠ABH∵BH∥∴BH∥∴∠HBC∴∠ABC故答案為：∠ABC（2）∠DMB如圖2：∵∠ABQ∴∠ABQ∵∠ABQ∴2∠PBC∵∠MBP∴2∠PBC+2∠MBP由（1）得∠DMB∴∠DMB（3）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖3：∠ECB∵∠A由（1）知∠3=∠2+∠4，∵∠ABC的平分線交直線a于點(diǎn)G∴∠3=∠ABG∵∠ABG∴∠2+∠4=∠1+∠ABF∵∠AFB∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，∴∠4=2∠1，即∠ECB當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4，2∠FBG∵∠ABC的平分線交直線a于點(diǎn)G∴∠ABC∵∠FAB=180°-∠AFB∴∠FAB由（1）知∠ABC∴2∠ABG∴2∠ABG∴2∠ABG∴2∠FBG綜上可知，∠FBG與∠ECB之間的數(shù)量關(guān)系為：∠DMB【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·北京·測(cè)試·編輯教研五七年級(jí)階段練習(xí)）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB,CD上，∠EFD=α．點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與E重合），連接PF(1)如圖1，若EF⊥CD，點(diǎn)P在射線EB∠EHF=(2)如圖2，若α=120°，點(diǎn)P在射線EA①補(bǔ)全圖形；②探究∠EPF與∠(3)如圖3，若0°<α<90°，直接寫出∠EPF與∠【答案】(1)25(2)①見(jiàn)解析；②∠EHF(3)∠EPF+2∠【分析】（1）根據(jù)圖形1，由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）①先根據(jù)（1）中作法補(bǔ)全圖形；②根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理得出∠EPF與∠（3）分點(diǎn)P在射線EB上和點(diǎn)P在射線EA上兩種情況，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵EF⊥CD，點(diǎn)P在射線EB上，∴∠PEF∴∠PFC∵EM、FH分別平分∠PEF∴∠FEM∴∠EFH∵∠FEM∴∠LEHF故答案為：25；（2）①若α=120°，點(diǎn)P在射線EA補(bǔ)全圖形，如圖所示：②∠EPF與∠EHF的數(shù)量關(guān)系是∵AB∥∴∠PEF∵EM,FH分別平分∴∠FEM=1∴∠CFH∵∠EFM∴∠FMH∵∠EHF∴∠EHF（3）若0°<α<90°，則∠EPF∠EPF+2∠EHF點(diǎn)P在射線EB上時(shí)，∵AB∥∴∠PEF∴∠PEF∵EM,FH分別平分∴∠FEM∴∠EFH∵∠FEM∴90°-1∴∠EPF點(diǎn)P在射線EA上時(shí)，∵AB∥∴∠PEF∵EM,FH分別平分∴∠FEM∴∠CFH∵∠EFM∴∠FMH∵∠EHF∴∠EHF∴2∠EHF綜上所述，∠EPF與∠EHF的數(shù)值關(guān)系是∠EPF【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)這些知識(shí)的掌握和運(yùn)用．20．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，直線AB、CD被EF所截，直線EF分別交AB、CD于G、H兩點(diǎn)，∠AGE(1)如圖1，求證：AB∥(2)如圖2，HQ、GN分別為夾在AB、CD中的兩條直線，∠AGN=∠QHD(3)如圖3，在（2）的條件下，連接HN，M為AB上一點(diǎn)，連接MN，V為AB上一點(diǎn)，連接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于點(diǎn)K，∠HNK=2∠GNK，VP∥【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)12°【分析】（1）只需要證明∠AGE=∠CHE（2）先由平行線的性質(zhì)得到∠AGH=∠DHG，進(jìn)而證明∠（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作直線LI∥AB，則AB∥IL∥CD，設(shè)∠VNP=x，先證明∠HNG=x+36°，再由平行線的性質(zhì)得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN【詳解】（1）證明：∵∠AGE∴∠AGE∴AB∥（2）證明：∵AB∥∴∠AGH∵∠AGN∴∠AGN∴∠QHG∴GN∥（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作直線LI∥AB，則AB∥∵∠HNK∴∠HNG∵AB∥∴∠VGN∴∠VGN∵∠NHD∴∠VGN∴∠VGN∴∠GNI∴∠KVN∴∠QHN∵GN∥∴∠GNH∴x+36°=48°∴x=12°∴∠VNP∵NP平分∠VNM∴∠PNM∵VP∥∴∠VPN【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．21．（2021·山東·德州市第五中學(xué)七年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問(wèn)題．小明：老師說(shuō)在解決有關(guān)平行線的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來(lái)幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到求證：∠小明筆記上寫出的證明過(guò)程如下:證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∵∠1=∠∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠∴∠∴∠請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問(wèn)題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得EM∥AB∥FN∥（2）分別過(guò)G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H【詳解】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∴EM∴∠B=∠1，∠2=∠3∴∠B∵∠BEF∴∠B（2）如圖，分別過(guò)G、H作AB的平行線MN和RS，∵BE平分∠ABG，CF平分∠∴∠ABE=1∵AB∴AB∴∠RHB=∠ABE∴∠NGB∴∠BHC∠∴∠BGC∵∠BGC∴180°∴∠BHC【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．22．（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF=30°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記(1)如圖2，∠ABC=40°，當(dāng)∠α=______時(shí)，DE∥BC(2)如圖3，∠ABC=40°，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)（不包含邊界）)，邊DF、DE分別交BC、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M①此時(shí)∠α的度數(shù)范圍是______②∠BMD與∠AND度數(shù)的和是否變化？若不變，求出∠BMD與∠(3)如圖4，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，邊DE與射線BC有交點(diǎn)P，邊DF與射線AC有交點(diǎn)Q，則∠BPD與∠AQD(4)如圖5，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，邊DE與射線BC有交點(diǎn)P，邊DF與射線AC有交點(diǎn)Q、請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出其他可能位置，并寫出∠BPD與∠AQD【答案】(1)10°，100°(2)①55°<α<85°；②(3)∠(4)圖見(jiàn)解析，∠【分析】（1）當(dāng)∠EDA=∠B=40°時(shí)，DE∥BC，得出30°+α（2）①由已知得出∠ACD=45°，∠A=50°，推出∠CDA=85°，當(dāng)點(diǎn)C在DE邊上時(shí)，α+30°=85°，解得α②連接MN，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，則（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理用∠A與α表示∠AQD和∠（4）根據(jù)題意作圖，并仿照（3）的方法便可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠B∴當(dāng)∠EDA=∠B∵∠EDF∴α當(dāng)DE∥AC時(shí)，∴∠A+∠EDA∴∠EDA∴α故答案為：10°，100°；（2）解：①∵∠ABC=40°，CD∴∠ACD=45°，∴∠CDA當(dāng)點(diǎn)C在DE邊上時(shí)，α+30°=85°解得：α=55°當(dāng)點(diǎn)C在DF邊上時(shí)，α=85°∴當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，55°<故答案為：55°<α②∠BMD與∠AND理由如下：連接MN，如圖3所示：在△CMN∵∠CNM∴∠CNM在△MND∵∠DNM即∠AND∴∠BMD（3）∵∠AQD∠BPD∴∠AQD故答案為：∠AQD（4）如圖，同（3）可得∠AQD故答案為：∠AQD【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，合理選擇三角形旋轉(zhuǎn)后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中七年級(jí)階段練習(xí)）新定義：在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=100°，∠(1)在△DEF中，∠E=40°，∠(2)已知：在圖中直線AB、CD被直線EF所截交點(diǎn)分別為E、F，AB∥CD，∠BEF與∠DFE的平分線交于點(diǎn)G，若△(3)圖中AE平分∠BAC，CE平分∠BCD，(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一個(gè)【答案】(1)3(2)30°或150°或10807°(3)△ABC是2(4)18°或20°或30°【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠D（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求出∠EFG+∠FEG（3）根據(jù)平角的定義求出∠BCD=100°，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)求出∠BAC（4）分當(dāng)∠B=2∠A，∠C=3∠【詳解】（1）解：∵在△DEF中，∠∴∠D∴∠D∴△DEF為3故答案為：3；（2）解：∵AB∥∴∠AEF∵EG，F(xiàn)G分別是∴∠EFG∴∠EFG∴∠G當(dāng)∠G=6∠EFG∴∠AEF當(dāng)∠G=6∠FEG∴∠AEF當(dāng)∠EFG=6∠FEG∴∠AEF當(dāng)∠FEG=6∠EFG∴∠AEF綜上所述，∠AEF的度數(shù)為30°或150°或10807°（3）解：△ABC是2∵∠ACB∴∠BCD∵AE，CE分別是∴∠BAC∴∠EAC∴∠BAC∴∠B∴∠BCA∴△ABC是2（4）解：∵在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若∴當(dāng)∠B=2∠A，∴∠A∴∠A當(dāng)∠B=2∠A當(dāng)∠B=3∠A綜上所述，∠A的度數(shù)為18°或20°或30°【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．24．（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖1，直線AB∥CD，△ABE的頂點(diǎn)E在AB與CD(1)若∠ABE=150°，①當(dāng)∠CDE=2∠EDM時(shí)，求∠BED的度數(shù).②如圖2，作出∠CDE的角平分線DF，當(dāng)DF平行于△ABE中的一邊時(shí)，求∠BED的度數(shù).(2)如圖3，∠CDE的角平分線DF交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)BF，當(dāng)∠ABH=2∠HBF，12∠BED+1【答案】(1)①90°；②150°；170°(2)150°【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E在作EG∥CD，分別利用鄰角互補(bǔ)求得∠NBE②分兩種情況：（i）當(dāng)DF∥BE時(shí)，設(shè)DF與AB交于點(diǎn)P，利用先鄰角互補(bǔ)求得∠NBE=180°-∠ABE=30°，再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求得∠CDE的度數(shù)，進(jìn)而求得∠EDM，最后利用①的結(jié)論即可求解；（ii）當(dāng)DF∥AE時(shí)，設(shè)（2）設(shè)DF與AB交于點(diǎn)P，如圖所示，且設(shè)∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，則∠CDE=2∠CDF=2y，在△由（1）小題可得∠BED=∠NBE+∠EDM=2x+180°-2y，再利用已知（1）①如圖，過(guò)點(diǎn)E在作EG∥∵AB∥∴AB∥∴∠NBE=∠BEG∵∠NBE+∠ABE∴∠NBE∵∠CDE+∠EDM∴∠EDM∴∠BED②分兩種情況：（i）當(dāng)DF∥BE時(shí)，設(shè)DF與AB交于點(diǎn)

∵∠NBE+∠ABE∴∠NBE∵DF∥∴∠NBE∵AB∥∴∠CDP∵DF平分∠CDE∴∠CDE∴∠EDM∴由①得∠BED（ii）當(dāng)DF∥AE時(shí)，設(shè)DF與AB交于點(diǎn)P，如圖所示，∴∠BAE∵AB∥∴∠CDP∵DF平分∠CDE∴∠CDE∴∠EDM∵∠NBE+∠ABE∴∠NBE∴由①得∠BED（2）解：設(shè)DF與AB交于點(diǎn)P，如圖所示，設(shè)∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，則∠CDE∵AB∥∴∠BPD=∠∴在△BPF∠BPD即y=3由（1）小題可得∠BED=∠NBE+∠EDM∵12∴90°+x∴y=75°∴∠CDE【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握已經(jīng)學(xué)過(guò)的性質(zhì)和定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25．（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．(1)若△DEF如圖1擺放，當(dāng)ED平分∠PEF時(shí)，則∠DFM=．(2)若圖2中△ABC固定，將△DEF沿著AC方向平移，邊DF與直線PQ相交于點(diǎn)G，作∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點(diǎn)H（如圖3），求∠GHF的度數(shù)．(3)若圖2中△DEF固定，（如圖4）將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，1分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)至AC與直線AN首次重合的過(guò)程中，當(dāng)線段BC與△DEF的一條邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．（單位必須化成秒）【答案】(1)30°(2)67.5°(3)△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為10s或30s或40s時(shí)，線段BC與△【分析】（1）利用角平分線定義及平行線性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）分別過(guò)點(diǎn)F，H作FL∥MN，HR∥PQ，利用平行線性質(zhì)和角平分線定義即可得出答案；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)3°，分三種情況：①當(dāng)BC∥DE時(shí)，②當(dāng)BC∥EF時(shí)，③當(dāng)BC∥DF時(shí)，分別求出旋轉(zhuǎn)角度后，列方程求解即可．（1）解：∵ED平分∠PEF，∠∴∠PEF∵PQ∥MN，，∴∠MFE∵∠DFE∴∠DFM故答案為：30°（2）解：如圖3，分別過(guò)點(diǎn)F，H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA=∠BAC∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，，∴∠QGF+∠GFL∵∠DFE∴∠GFA∵∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點(diǎn)∴∠QGH∴∠RHF∴∠GFL∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，∴∠RHG∴∠GHF（3）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)3°，分三種情況：當(dāng)BC∥DE時(shí)，如圖5，此時(shí)AC∥DF，∴∠CAE3t解得：t=10②當(dāng)BC∥EF時(shí)，如圖6，∵BC∥EF，∴∠BAE∴∠BAM3t解得：t=30③當(dāng)BC∥DF時(shí)，如圖7，延長(zhǎng)BC交MN于K，延長(zhǎng)DF交MN于R，∵∠DRM∴∠BKA∵∠ACK∴∠CAK∴∠CAE∴3t解得：t=40綜上所述，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為10s或30s或40s時(shí)，線段BC與△【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線性質(zhì)及判定，角平分線定義，平移的性質(zhì)等，添加輔助線，利用平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．26．（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上．(1)填空：∠1=_________°，∠2=_________°．(2)如圖2，現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，當(dāng)0<n<90，且點(diǎn)C①請(qǐng)直接寫出∠1=__________°，∠2=________°（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）；②若∠2恰好是∠1的43倍，求n(3)如圖1三角板ABC的放置，現(xiàn)將射線BF繞點(diǎn)B以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線BM，同時(shí)射線QA繞點(diǎn)Q以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線QN，當(dāng)射線QN旋轉(zhuǎn)至與QB重合時(shí)，則射線BM、QN均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若射線BM與射線QN相交，設(shè)交點(diǎn)為P．當(dāng)t=20(s)時(shí)，則②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在BM∥ON若存在，求出此時(shí)【答案】(1)120，90(2)①(120-n)，(90+(3)①40；②存在，12s或48s【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)即可解答；（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)∠2=43∠1列出關(guān)于n的方程即可求解；（3②結(jié)合圖形，分QN，BM在AB的同側(cè)；QN，BM在AB的異側(cè)討論求解．（1）解∶如圖1，由題意知∶DG∥EF，∠ACB=90°，∠A∴∠3=∠ACB=90°，∴∠1=∠3+∠A=120°，故答案為：120，90；（2）解∶①如圖2，由題意知∶DG∥EF，∠ACB=90°，∠CAF=n∴∠ABC∴∠ABF∵DG∥∴∠3=∠ABF∴∠1=180°-∠3=(120-n)°，故答案為：(120-n)，②若∠2=43∠1解得n=30所以n的值為30；（3）解：①如圖3，由題意知∶∠AQN=20×3=60°，∵∠AQG=60°，∴QN和QG重合，∵DG∥∠QPB=∠MBF=40°，故答案為：40；②若QN，BM在AB的同側(cè)，如圖4，由題意知∶∠AQN=3t，∠若QN∥BM即3t=60°-2若QN，BM在AB的異側(cè)，如圖5，由題意知∶∠AQN=3t，∠FBM=2若QN∥BM即180°-3t=2綜上所述t=12s或48s【點(diǎn)睛】本題考查了平行線角的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．27．（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線DE，BE交于點(diǎn)E，∠CBN(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度數(shù)；(2)在圖1中過(guò)點(diǎn)D作∠ADQ的角平分線與直線BE相交于點(diǎn)F，如圖2，試探究∠DEB與∠DFE的關(guān)系；(3)若改變線段AD的位置，使得點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，若∠ADQ＝n°，過(guò)點(diǎn)D作∠PDA的角平分線與直線BE相交于點(diǎn)G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代數(shù)式表示）【答案】(1)70°(2)∠DEB+∠DFE＝90°(3)∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)角平分線以及鄰補(bǔ)角的定義得∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ）＝90°（3）分3種情形討論即可解決問(wèn)題．（1）解：如圖1中，延長(zhǎng)DE交MN于H．∵∠ADQ＝100°，DE平分∠ADC，∴∠PDH＝12∠PDA＝12（180°﹣100°）＝∵M(jìn)N∥∴∠EHB＝∠PDH＝40°，∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，∴∠EBH＝12∠ABC＝12（180°﹣120°）＝∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝70°.（2）解：如圖，∵DE平分∠ADC，DF平分∠ADQ，∴∠ADE＝12∠ADC，∠ADF＝12∠∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ）＝90°∴∠DEB+∠DFE＝90°.（3）解：分3種情形如圖，當(dāng)點(diǎn)E在直線MN與直線PQ之間時(shí)．延長(zhǎng)DE交MN于H．∵PQ∥MN，∴∠QDH＝∠DHA＝12∠ADQ＝12n∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣12n°+30°＝210°﹣12n∵∠ADQ＝n°，DG平分∠PDA，∴∠ADG＝12∠ADP∴∠GDH＝12∠ADP+12∠ADQ＝∴∠BED＝90°+∠DGE，∴∠DGE＝210°﹣12n°﹣90°＝120°﹣12n∴∠BED+∠DGE＝210°﹣12n°+120°﹣12n°＝330°﹣n當(dāng)點(diǎn)E在直線MN的下方時(shí)，如圖，設(shè)DE交MN于H．∵∠HBE＝∠ABG＝30°，∠ADH＝∠CDH＝12n°又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，∴∠BED＝12n°﹣30°∵∠GDH＝