高數(shù)課后習(xí)題難點(diǎn)11

1根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:

sin^+sin—+sin—H—sin也?+…?

6666

岳萬.?冗.〃

用7￥?s=s?in4—+,_s,in2—+sin3—+???s,in-7C-

6666

]（2si哈崎+2si哈s吟+??,哈si喈）

2sin—

12

［（cos篇一cos卷）+（cos卷一cos居）+…+（cos2；2?萬一cos2；,；?1）］

2判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：

⑴韋+…+（T）端+…；

解這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，公比為q=-1,于是lq吟＜1,所以此級(jí)數(shù)收斂.

（2）'+5+!-!-----;

3693〃

解此級(jí)數(shù)是發(fā)散的，這是因?yàn)槿绱思?jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)

也收斂，矛盾.

⑶+專+/+…+苗…；

1-1

解因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng)〃”=/==3"flwO（”f8）,

v3

所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，此級(jí)數(shù)發(fā)散.

⑷弓+扣（/+妥）+（導(dǎo)/）+…+（導(dǎo)專）+…?

00i001

解因?yàn)閦L和zL都是收斂的等比級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)

n=\乙〃=1°

是收斂的.

3用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收

斂性：

(1)I+」±」--T—卜1+，+…?

1+1+222-+1+±3321+層十'

解因?yàn)槎?jí)數(shù)f發(fā)散，故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

l+〃zn+n2n窘〃

(2)——I—1--1-...-I---!------u...?

2.53-6(n+1)(〃+4)'

]

解因?yàn)閘im(〃+D，+4)=lim、？口,而級(jí)數(shù)￡上收斂，

72—>00]8fl“+5"+4

〃2

故所給級(jí)數(shù)收斂.

(3)sin5+sin,+sin云+?一+sin看+,一；

sin￡sing,?.

解因?yàn)?淞[2^=乃1加^^=乃，而級(jí)數(shù)收斂，

"T8_1_7?->00_71__〃=]2"

2^2^

故所給級(jí)數(shù)收斂.

81

(4)2丁=(。>0).

"=J+。

解因?yàn)?/p>

1[00<。<1

lim1+f”=lim」-=/=<!a=\,

72—>00]〃->81+〃”2

atl1

00|00]

而當(dāng)a〉l時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)0〈區(qū)1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,

?=i?"=W

001

所以級(jí)數(shù)X=二當(dāng)?1時(shí)收斂，當(dāng)0〈把1時(shí)發(fā)散.

解因?yàn)?/p>

1

lim理^=lim4=l

〃T81〃T8Nn

n

而調(diào)和級(jí)數(shù)f發(fā)散，故由比較審斂法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.

n=\n

4.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:

(1)V?+1?

胡(〃+2)'

■+1

解因?yàn)閘im嗎@=lim&[=1,而級(jí)數(shù)￡工發(fā)散,

71->00\_〃—>8〃+2“=]〃

n

故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

00

(2)￡2"sin表；

n=\3

2,,+1sin^r)〃+1兀

王|

解因?yàn)閘im------——-lim小，

52,,sin—52"—

3"3"

所以級(jí)數(shù)收斂.

解因?yàn)閘im4

〃一＞8，i8Vn

所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

(4)—-4-—卜—-H—(a>0h>0)

念+2a+hna+b9

解因?yàn)椋?_4＞L_L,而級(jí)數(shù)￡工發(fā)散,

na+ban喜〃

故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

2〃乃

⑸z871COST.

7?=12"

解因?yàn)?/p>

2〃7

HCOS

丁<n

2〃㈣舲r=典死得＜1

88ncos2z—n九

所以由根值審斂法，級(jí)數(shù)X梟收斂；由比較審斂法，級(jí)數(shù)X—萬二收斂.

n=l2〃=12

⑹總曲

解因?yàn)?/p>

lim?=lim—=oo,

1〃一>8ln,un7

n

81

而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，故由比較審斂法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散.

n=\n

提示：lim—^―=lim-----——1=}lim=」=±;lim7^-=-^-lim-J-=oo

luJv

A-^<?inx「J.10A->OOinj10!xf81nx10!x->℃X

xx

5.判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對(duì)收斂還是

條件收斂？

00

⑴K-ir-'i；

〃=1°

解京(-1尸號(hào)上￡毫?

n=\Jn=l”

■+1

因?yàn)閘im工=4<1,所以級(jí)數(shù)￡占是收斂的，

，T8」_3M3"T

3"T

從而原級(jí)數(shù)收斂，并且絕對(duì)收斂.

(2)-----—+—----+???;

ln2In3In4ln5

解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)￡(一1)"-"=之簪=，其中“，產(chǎn)■p、.

MM】n(〃+1)In(〃+1)

因?yàn)閡之5,并且lim%,=0,所以此級(jí)數(shù)是收斂的.

M—>00

又因?yàn)槎」」7,而級(jí)數(shù)會(huì)」7發(fā)散，

故級(jí)數(shù)自(-l)e冊(cè)上￡「7、發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)是條件收斂的.

8W

(3)￡(-i)"+'A_.

n=\n-

解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為％=(-l)〃+i221

〃！

2n2〃2n2n

因?yàn)閘im\unhlim-^―=lim=lim竺2T.----------=00

8”TOO〃！H—>00〃！n—>oonn—\〃一232I'

所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

⑷￡(-1)噂;

〃=1〃

00[018[

解E?(-是o級(jí)數(shù).故當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)是收斂的，當(dāng)於1時(shí)

n=\〃〃=1nn=\n

8]8?

級(jí)數(shù)發(fā)散.因此當(dāng)夕〉1時(shí)級(jí)數(shù)￡(-1)”小絕對(duì)收斂.

n=\nn=\n

81

當(dāng)0<^1時(shí)，級(jí)數(shù)￡(-1尸工是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茨定理的條件，因

M〃p

而收斂，這時(shí)是條件收斂的.

當(dāng)質(zhì)0時(shí)，由于1而(-1)，二題，所以級(jí)數(shù)￡(—1)，二發(fā)散

p

M—>00〃/Mn

綜上所述，級(jí)數(shù)當(dāng)0>1時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)0</1時(shí)條件收斂，當(dāng)?shù)?

n=\〃

時(shí)發(fā)散.

/sin-^—

⑸獰T；

sin—

解因?yàn)椴?嚴(yán)守Kj1

J1+I，而級(jí)數(shù)收斂，故由比較審斂法知級(jí)數(shù)

n=\K

_8[sin-^—

EK-D"-^甲I收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

n=l

(6)￡(-irin?±l;

n=\n

|(,l)qn?±l|

noci

解因?yàn)閘im.....lim〃ln史^=limln(l+—)=\ne=l,而級(jí)數(shù)方上發(fā)

〃T81n—>oo"TOO

Y\nn=\n

n

散，故由比較審斂法知級(jí)數(shù)正1|發(fā)散，即原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的.

7?=1n

另一方面，級(jí)數(shù)￡(-l)”ln辿是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茨定理的條件，所

n=l〃

以該級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)條件收斂.

⑺f(T)"臀

M=1

解令絲平.因?yàn)?/p>

〃〃十I

lim收41im(〃+2)!臚+1lim生學(xué)(上7)"=lim喀一=-<1,

(〃+l)"+2(n+1)!〃T8〃+1〃+1〃foo〃+l(]+與1e

IUfJI>8

n

故由比值審斂法知級(jí)數(shù)￡l(-1)"竺孚I收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

n=\〃

6求下列累級(jí)數(shù)的收斂域:

0012〃+1

⑴z(-ir

n=\2n+l'

丫2〃+1

解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為―)"端.

因?yàn)閘iml殳±1『1加1月.猾J2,由比值審斂法，當(dāng)/<1,即R<1時(shí),

〃->8〃〃282〃+3x

基級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)”2>1,即"|>1時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑為代1.

因?yàn)楫?dāng)心時(shí)，基級(jí)數(shù)成為自R焉,是收斂的；當(dāng)1時(shí),累級(jí)數(shù)成

為沙口卷也是收斂的，所以收斂域?yàn)閕為

⑵f：岑”-2；

n~\,

解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為冊(cè)=羅/"-2缺省，不能用a

2

因?yàn)槟懝苋钞a(chǎn)⑵老亞l=1x,由比值審斂法，當(dāng)3d<1,

即lxl<及時(shí)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)^x2>l,即lxl>及時(shí)，毒級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半

徑為R=應(yīng).

因?yàn)楫?dāng)x=±四時(shí)，基級(jí)數(shù)成為￡駕1,是發(fā)散的，所以收斂域?yàn)?/p>

77=12

(―\/2,5/2).

(3)￡中

n=l

解liml如l=lim^^=l,故收斂半徑為代1,即當(dāng)-l<x-5<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂,

〃->8an〃->8〃+i

當(dāng)|戶5|〉1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.

因?yàn)楫?dāng)戶5=-1,即44時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為**,是收斂的；當(dāng)>5=1,即

y/n

46時(shí)，哥級(jí)數(shù)成為Z」，是發(fā)散的，所以收斂域?yàn)閇4,6).

w=]vn

7利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)：

00

⑴Z〃X"T；

n=\

oo

解設(shè)和函數(shù)為S(x),即S(x)=?"T,則

n=\

S(x)=[￡S(x)dx]'=[￡￡〃父-%行=固/nx'^dx]'

n=\n=\

=08X叮Yj1ThTT—1Tvxvl).

M1—X(1-x)2

,84n+l

2y-^—；

*4〃+廣

解設(shè)和函數(shù)為S3,即s")4看,則

/"I

S(x)=S(O)+CSWx=￡

4〃+1

算占T)dx=￡(-丹?去■+/占Mx

=；ln1^+；arctanx-x(-l<x<l).

提示：由SS'(x)dx=S(x)—S(O)得S(X)=S(O)+￡S'(XMX.

(3)x+3+?+…■+….

352〃一1

解設(shè)和函數(shù)為S(x),即

8r2/1-1丫3丫5r2,i-l

S(Rb+".+2n-l+

則x2n-2dx

=]；'j^-vdx=[ln戶(-1<X<1).

\-xL2\-x

提示：由,S'(x)dx=S(x)—S(0)得S(x)=S(O)+,S'(x)dx.

8.將下列函數(shù)展開成x的基級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間:

⑴shx=空/；

解因?yàn)?/p>

oon

ex=,xw(-8,+00),

n=0川

8n

所以￡—*=￡(-1)〃?Y，(-00,+00),

n=0幾!

18〃oon1coJ?8v2n-l

故shx=4En-c-in^=,xe(-8,+8).

2〃=o〃.〃=on,2〃=on.”=o(2〃-1).

(2)In(二x)(a>0);

解因?yàn)閘n(a+x)=ln〃(l+工)=lna+ln(l+M),

aa

00Y〃+1

ln(l+x)=￡(-l)M^-(-1<A<1),

"=0?+l

所以ln(a+x)=lna+(4嚴(yán)=lna+：；?？?一(一a<把a(bǔ)).

(3)a;

00

解因?yàn)?X￡(-8,+8),

n=0〃!

所以ax=ex]na-ex=寸""%=寸嗎).,爐,xe(一8,4-oo),

〃=on\〃=()nl

(4)sii?不

解因?yàn)閟in2]=3-!cos2x,

22

8X力1

cosx=Z(T)”;^,探(一8,+8),

?=o(2n)!

所以siMx.-3￡(-1)"^^=W(-D"2：C"xejoo,+oo).

22n=Q(2n)?/t=i(2〃)?

⑸(l+x)ln(l+x);

00Y〃+1

解因?yàn)閘n(l+x)=\(—1)"\(-1<A<1),

n=0〃+l

00H4-l

所以(l+x)ln(l+x)=(l+x)￡(—l)"rJ

n=o〃+l

ooY〃+lccY〃+200Y〃+18Y〃+l

=X(—D"J+Z(—D"J=x+Z(T)"J+E(T)"+U

n=0〃+l/i=0〃+ln=\〃+ln=\"

=X+或邛+H]-=X+￡嗎人(-1<A<1).

〃=i〃+ln

解因?yàn)閷ふ?I+E（T）"噌孝”（一區(qū)回）,

U+X）n=\

008

Y(2D!!2的2-(2n)!Xx?+i

所以kJ=x+Z(f"=x+X(-D,!b弓)2(-1<A<1).

Vl+x2n=\(2〃)!！n=l

9.將下列函數(shù)展開成（x-1）的基級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間:

⑴口

解因?yàn)?/p>

(1+x)'"=l+mx+-------x2+???+----------------------xn+???(一1<工<1).

2!n!

-3

所以Vx3=[l+(x-l)]2

(X—1)2+…+(X—1)”+…

,?!

3i(-l)G3)…(5—2〃)

即7?=]+￡(X-1)+尋/%―1戶+,??+(x—1)"+…

Z2*2!2”?加

(0<x<2).

上術(shù)級(jí)數(shù)當(dāng)x=0和A2時(shí)都是收斂的，所以展開式成立的區(qū)間是[0,2].

(2)1gx.

解叱器=系1叩+(-)]=忐*1尸千"1皿

即叱備*上千(0K2).

10.將函數(shù)f(x)=cosx展開成(x+令的幕級(jí)數(shù).

解cosx=cos[(x+])-]]=cos(x+q)cosq+sin(x+])sin1

=；cos(x+^)+*sin(x+1)

n

旦勺(-D(X+令"2+l

七就號(hào)+2總(2〃+1)!

**D"[焉a+F"+磊a+p"叫(一85+孫

11將函數(shù)/(x)=L展開成(矛-3)的基級(jí)數(shù).

X

解

x3+x—331jx—53fi=o33

丁

即鴻鏟)〃(殍)"(0<x<6).

]

12將函數(shù)/。)=展開成(矛+4)的幕級(jí)數(shù).

/+3x+2

111

解/。)=

X12+3X+2X+1X+2'

1111

而-空(告與(冷<1),

x+\-3+(x+4)3]x+43〃=0J3

3

1三(X+4)”,八

即k各k(_7<x<_l)；

-1-=____1____=_J____1___=_J_V(x+4)〃(產(chǎn)+4k])

x+2-2+(x+4)2]-+42岔2''2八

2

即1g(x+4)〃/(c、

]§(x+4)"q(x+4)"

因此

/(x)=2乙a〃+i乙o?+i

x+3x+2n=03〃=0/

吃(擊-當(dāng)Xx+4)"(-6<x<—2)-

13利用函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值：

(l)ln3(誤差不超過0.0001);

解皿m=2(x+U+45+…+丁=+…)(_i<*<i),

1-x352n-\

14-1

10,211^11^,11,、

ln3=ln--=2(-+--^+--^+…+羽?尹+…).

1-2

又k,l=2[--------------------------…]

"(2〃-1>221(2n+3)-22n+3

2N?(2〃+1>22"+I?(2〃+1>22〃+\

-(2n+l)22n+1(2〃+3>22"+3(2n+5)-22,,+5

<(2n+l)22n+1(1+,?+F+…)=3-"2'

故Ink—^^0.00012,l?ck—5-^?0.00003.

53-11-2853-13-210

因而取77=6,此時(shí)

ln3=2(2+3'￥+5'￥+7^+9^+nwL0986,

14利用被積函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式求下列定積分的近似值：

(I)『_二公(誤差不超過0.0001);

川1+冗4

34812n4H

解「一L7dx=|0[1-X+X-X+???+(-l)x+???]Jx

J)1+X4J)

=(x-家+#—導(dǎo)口+…滯

1_1j_」j___L_L

25-259-2913-213….

因?yàn)閨0,00625,0.00028,?0.000009,

所以f\bdXX2~5^+9^"04940?

(2)f5arctanxJx(誤差不超過0.0001).

?0X

解arctanx=x-x3+-^x5----+(-D"—*x2/?+1+---(-l<x<l),

352〃+l

^arctanx^^-…+(-1)〃出口十…心

?ox4)352〃+l

L1

75

-+-X+100.

2549

=1_1_L+_LJ___L_L+

~2923252549,27

因?yàn)镠"00139,*/=。。。13,看呆00°。2,

所以^arctanxJx=l_l1+X1?o.487.

■bx29232525

15將函數(shù)e*cosx展開成x的基級(jí)數(shù).

解cosx-^(e'x+e~ix),

e*cosx=e*.g?x+?-")=；［*件。+/。-肉

1工”=—(l+i)"+(j)1.

2臺(tái)〃！念〃！2念〃！

因?yàn)?+『=&潑，17=缶-嚀，

n.HTT.n冗nn,}

所以(l+i)"+(l—。"=2印/彳+e-'7］=25(2cos等)=2,cos詈.

n

■22cos等

因止匕e*cosx=>---------(-oo<x<+oo).

M〃！

_8__8__00_

16設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)、>“和\>”都收斂，證明級(jí)數(shù)\>，,+匕)2與收斂.

〃=1〃=17?=1

證明因?yàn)楹汀陃j都收斂，所以lim“”=0,lim匕,=0.

〃foo〃一>8

n=ln=l

又因?yàn)閘im""+2"""=lim(〃+2匕)=0,lim—=limv=0,

n—>co%nsco匕［n—>oo

00

所以級(jí)數(shù)￡（呼+加%）和級(jí)數(shù)Z葉都收斂，從而級(jí)數(shù)

7?=1n=l

000C

￡觴+%3")+如=E(冊(cè)+v/2

n=\n=\

也是收斂的.

17求下列級(jí)限:

⑴尾熱1+鏟;

解顯然％（

=fli3?、一歲的前〃項(xiàng)部分和.

因?yàn)镮imd5(l+U'=lim4(l+%=9<1,所以由根值審斂法，級(jí)數(shù)

〃一>8V3n〃->83n3

f：（］+42收斂，從而部分和數(shù)列瓜｝收斂.

n=\3n

因此lim1y1(1+5)R=lim-5=0.

〃->8〃念3kn

1I1

(2)lim[2349.827???(2n)37].

〃T8

11J_±l+2+J_++n_

解2349居27…(2")3"=239273"

顯然j=4+_1+舄+…+9是級(jí)數(shù)的前〃項(xiàng)部分和.

39273〃=13

為18][

設(shè)S(x)=\〃x"T,貝[|S(x)=Usa)dx]'=[盲x吁=[±-1]，=^^.

因?yàn)轸栌?蚪4TF仔從而

_L_L_L-L3

lim[23.49?8萬…(2〃)踵]=lim2%=2a.

〃一>ocn—>co

18將函數(shù)

1Q<x<h

/(x)=

0h<x<7i

分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).

解若將函數(shù)進(jìn)行奇延拓，則傅里葉系數(shù)為

<3,尸0(72=0,1,2,???),

2(1-cos〃/Q

bn--f(x)sinnxdx~—(sin“xdx=

Y17C

因此，函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)為

/(x)=2，1一c°ssin幾x,xe(0,力)u(力，乃),

〃

當(dāng)戶力時(shí)，f(m號(hào).

若將函數(shù)進(jìn)行偶延拓，則傅里葉系數(shù)為

的="/(》)心哼，

a.,=—Tf(x)cosnxdx=—^'cosnxdx=(z?=l,2,???),

71*071ri7T

力尸0(〃=l,2,???),

因此，函數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)為

/(x)=—+—V----cosnx,XE[0,A)o(4乃),

乃乃勺〃

當(dāng)足力時(shí)，

19將下列函數(shù)f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù):

/(x)=2siny(一位左方;

解將“X)拓廣為周期函數(shù)4X),則尸(不)在(-不力中連續(xù)，在壯士M旬?dāng)啵?/p>

Ja—%一)+尸(一萬+)卜/(一萬)，/F(G+F(I+)]W/3),

故尸(X)的傅里口卜級(jí)數(shù)在(-石㈤中收斂于f{x},而在x=士兀處Rx)的傅里葉級(jí)數(shù)

不收斂于f{x}.

計(jì)算傅氏系數(shù)如下：

因?yàn)?sin玄(-衣x<?)是奇函數(shù)，所以30(片0,1,2,???),

bn=—『2sin^sinnxdx=—「[cos(^-n)x-cos+n)x]dx

=(-1)?+118^.(/2=1,2,?-.),

n9nz-l

所以/(幻=應(yīng)1個(gè)(_1嚴(yán)逛用匹{-71<X<7T).

兀臺(tái)9/一1

20設(shè)周期函數(shù)/'(x)的周期為2%證明f(x)的傅里口卜系數(shù)為

T

cirl=—[~/(x)cosnxJx(z?=0,1,2,??

bn=—f(x)smnxdx(/2=1,2,???).

71、

證明我們知道，若f(x)是以/為周期的連續(xù)函數(shù)，則

^+lf(x)dx的值與a無關(guān)，且f{x)dx=^f(x)dx,

因?yàn)镕(x),cosnx.sin均為以2杪周期的函數(shù)，所以f{x)cosnx.f^x)sinnx

均為以2辦周期的函數(shù)，從而

an=—「f(x)cosnxdx=-f(x)cosnxdx

冗L冗冗L冗

1&7T(、

--f(x)cosnxdx(/2=1,2,???).

7T1)

同理b--^f{x}s,\nnxdx(/2=1,2,???).

n7tQ

21設(shè)周期函數(shù)/'(x)的周期為2%證明

⑴如果f(a力=-/1(*),則f(x)的傅里葉系數(shù)軟Qa2A=0,壇=0(A=l,2,??

?)；

解因?yàn)?/p>

?o=-rf(x)dx1,

"4笈乃714)

所以5()=0.

因?yàn)?/p>

<t7rx

a2k=—「f(x)cos2kxdx~^Xf(t-7r)cos2k(t-7i}dx

兀工冗71

1fi.7t

=——f(t)cos2ktdt--a2k,

71山

所以a2A=0.

同理題=0(任1,2,???).

(2)如果Ax—㈤=〃才)，則F(x)的傅里葉系數(shù)旗+尸0,公+尸0(任1,2,???).

解因?yàn)?/p>

。2A+1='「f(x)cos(2k+V)xdx

71L冗

令7=乃+11?乃

----------f(t-7r)cos(2k+V)(t-7T)dx

71山

1@71

=一一、/(f)cos(2&+1)/力=一。2&+1,

714)

所以且2*+產(chǎn)0(A=l,2,???).

同理易+尸0(4=1,2,???).

22將函數(shù)/(x)=cos^(-於勝力展開成傅里葉級(jí)數(shù):

解因?yàn)?(x)=cos機(jī)為偶函數(shù)，故8,尸0(41,2,??而

儼"儼'

a,=—1cosx—cosnxdx=2—Icosx—cosnxJx

〃乃b27TJ)2

=—「[cos(；-〃)x-cos(T+〃)x]dx

,,+l

=(-l)--T4-r(ml,2,???).

7i4n2-l

由于/(x)=cos^■在[-4，%]上連續(xù)，所以

COS^=—+—V(-1)"+1―I—COSHX(一於三力.

271萬占4n2-l

23求下列界級(jí)數(shù)的和函數(shù)：

⑴在Rt)；

n=l'

解設(shè)某級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x),則

-Q01x>2

S(x)=[])￥S(x)d燈啤獷"寸=[含匠)

rA._J_r2+x2%i

=2i(2=-x2)24(<n%

即S(x)(-V2<X<y/2).

(2-x)

PC(-1尸

⑵z/〃T;

”=12n-l

解設(shè)事級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則

5(x)=￡S\x)dx=g￡(-1)“712〃-2二P-Urt/x=arctanx(x2<1).

n=lb1+x2

因?yàn)楫?dāng)后±1時(shí)，惠級(jí)數(shù)收斂，所以有

S(x)=arctanx(-1<^<1).

〃二1