專題4.1數(shù)列的概念（八個重難點突破）-2023-2024學年高二數(shù)學上學期重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019）（解析版）

專題4.1數(shù)列的概念知識點一數(shù)列的概念與表示1.數(shù)列的概念（1）定義:按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.（2）項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項,常用符號表示,第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用表示,……,第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項,用表示.其中第1項也叫做首項.（3）分類:若數(shù)列的項數(shù)有限，則該數(shù)列為有窮數(shù)列；若數(shù)列的項數(shù)無限，則該數(shù)列為無窮數(shù)列2.數(shù)列的表示方法（1）一般形式:數(shù)列的一般形式是簡記為.（2）其他方法:解析式法、表格法、圖象法.3.數(shù)列的通項公式（1）如果數(shù)列的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.（2）數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系：數(shù)列是離散型函數(shù)，自變量是正整數(shù)，定義域是正整數(shù)集及其子集，圖象是一些離散的點；函數(shù)多是連續(xù)型，自變量是實數(shù)，圖象(除有間斷點的)一般為不間斷的曲線.4.數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性類似,項數(shù)n相當于自變量x,項相當于函數(shù)值.類別含義遞增數(shù)列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都相等的數(shù)列知識點二數(shù)列的遞推公式1.數(shù)列的遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.數(shù)列的遞推公式與其通項公式的異同：相同點不同點通項公式均可確定一個數(shù)列,求出數(shù)列中的任意一項給出n的值,可求出數(shù)列中的第n項遞推公式由前一項(或前幾項),通過一次(或多次)運算,可求出第n項2.數(shù)列的前n項和（1）數(shù)列的前n項和:把數(shù)列從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數(shù)列的前n項和,記作,即.（2）數(shù)列的前n項和公式:如果數(shù)列的前n項和與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.3.與的關系式：①當時，若適合，則的情況可并入時的通項；②當時，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示.重難點1數(shù)列的概念及分類1．下列有關數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同 B．數(shù)列，0，2與數(shù)列2，0，是同一個數(shù)列C．數(shù)列2，4，6，8可表示為 D．數(shù)列中的每一項都與它的序號有關【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的定義和表示方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，常數(shù)列中任意兩項都是相等的，所以A不正確；對于B中，數(shù)列，0，2與2，0，中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個數(shù)列，所以B不正確；對于C中，表示一個集合，不是數(shù)列，所以C不正確；對于D中，根據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項與它的序號是有關的，所以D正確.故選：D.2．（多選）下面四個結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2是相同的數(shù)列B．數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)C．數(shù)列的圖像是一系列孤立的點D．數(shù)列的項數(shù)是無限的【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)列的相關概念逐一判斷即可.【詳解】對于A，數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2是不同的數(shù)列，故錯誤；對于B，由數(shù)列的定義可知正確；對于C，由數(shù)列的，可知正確；對于D，根據(jù)數(shù)列的項可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列，故錯誤.故選:BC.3．下列說法：①數(shù)列，，，與，，，是相同數(shù)列；②數(shù)列，，，可表示為；③數(shù)列，，，，…的一個通項公式為；④數(shù)列，，，，…是常數(shù)列；⑤數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，其中正確的是．（填編號）【答案】⑤【分析】由數(shù)列中的項有序的特點可知①②錯誤；驗證數(shù)列中的項可知③錯誤；由常數(shù)列定義知④錯誤；由知⑤正確.【詳解】對于①，數(shù)列中的項是有序的，，，，與，，，項的排序不同，不是相同數(shù)列，①錯誤；對于②，表示集合，其中元素無序；數(shù)列，，，，各項是有序的，不可以用來表示，②錯誤；對于③，當時，，不是該數(shù)列的一個通項公式，③錯誤；對于④，常數(shù)列是指各項均為同一常數(shù)的數(shù)列，④錯誤；對于⑤，若，則，，數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，⑤正確.故答案為：⑤.4．給出以下數(shù)列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④.其中，有窮數(shù)列為；無窮數(shù)列為；遞增數(shù)列為；遞減數(shù)列為；擺動數(shù)列為；常數(shù)列為．(填序號)【答案】②④①③②④①③【分析】根據(jù)數(shù)列的知識確定正確結(jié)論.【詳解】有窮數(shù)列為②④；無窮數(shù)列為①③；遞增數(shù)列為②；遞減數(shù)列為④；擺動數(shù)列為①；常數(shù)列為③.故答案為：②④；①③；②；④；①；③5．下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)2017，2018，2019，2020，2021；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)9，9，9，9，9，9.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析(5)答案見解析(6)答案見解析【分析】根據(jù)有窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列的概念辨析即可.【詳解】（1）因數(shù)列（1）只有5項，且依次增大，故（1）為有窮數(shù)列，且為遞增數(shù)列.（2）因數(shù)列（2）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，當?shù)脑龃髸r，也增大，故為遞增數(shù)列.（3）因數(shù)列（3）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，當?shù)脑龃髸r，減小，故為遞減數(shù)列.（4）因數(shù)列（4）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列正負交替，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（5）因數(shù)列（5）有無限項，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列為1，0，-1，0循環(huán)，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（6）因數(shù)列（6）只有5項，故（1）為有窮數(shù)列，且各項均為9，故為常數(shù)數(shù)列.重難點2觀察法求通項公式6．在數(shù)列1，2，，，，中，是這個數(shù)列的（

）A．第16項 B．第24項 C．第26項 D．第28項【答案】B【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合通項公式分析求解.【詳解】數(shù)列可化為，所以，令，解得，所以是這個數(shù)列的第項，故選：B．7．“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項分別為，據(jù)此可以推測，該數(shù)列的第15項與第60項的和為（

）A．1012 B．1016 C．1912 D．1916【答案】C【分析】根據(jù)題意，給出數(shù)列的前幾項，觀察其規(guī)律，得到奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，代入即可求解.【詳解】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項為，可得此時滿足，奇數(shù)項為，可得，所以，，則，所以.故選：C.8．觀察數(shù)列，，，，，，，，，，則該數(shù)列的第項等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)列可得出其規(guī)律為按正整數(shù)順序排列，且個為一個循環(huán)節(jié)，從而可求解.【詳解】通過觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項是按正整數(shù)順序排列，且個為一循環(huán)節(jié)，由此判斷第項是，故D項正確.故選：D.9．某種細胞分裂時，由個分裂成個，個分裂成個，，這樣一個細胞分裂次以后，得到的細胞數(shù)是個．【答案】7【分析】根據(jù)已知得出通式，即可列式得出答案.【詳解】根據(jù)已知經(jīng)過次分裂后，得到的細胞數(shù)是個，其中，令，解得，故答案為：7.10．根據(jù)下面圖形排列的規(guī)律，繼續(xù)畫下去，在括號里填上對應的點數(shù)，并寫出點數(shù)的一個通項公式．(1)

(2)

【答案】(1)圖形見解析，(2)圖形見解析，【分析】根據(jù)每一個圖形與項數(shù)n的關系進行仔細觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，列出前幾項，即可猜想出每個圖形對應的通項公式．【詳解】（1）

有，，，故；（2）

，，，故.11．觀察下面數(shù)列的變化規(guī)律，用適當?shù)臄?shù)填空，并寫出每個數(shù)列的一個通項公式．(1)（

），7，12，（

），22，27，…；(2)，，（

），，，，（

），…；(3)1，，（

），2，，（

），，…；(4)，，（

），，…．【答案】(1)2，17，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）由，可知相鄰兩項的差相等，進而可得通項公式；（2）把寫成，分析規(guī)律可得結(jié)果；（3）由，，分析規(guī)律即可得通項公式；（4）由，可得數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）因為，，原數(shù)列為2，7，12，17，22，27，…，相鄰兩項的差都是5，故.（2）由，原數(shù)列可化為，，，，，，，…，可得.（3）由，，原數(shù)列可化為，，，，，，，得.（4）因為原數(shù)列可化為，，，，…，所以.重難點3數(shù)列中某項的求解與判斷12．數(shù)列1，，，…的通項公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入即可結(jié)合選項逐一排除.【詳解】當時，對于B中，當時，對于C中，對于D中，四個選項中只有同時滿足，，.故選：A13．已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為，若將數(shù)列，中相同的項按從小到大的順序排列后構(gòu)成數(shù)列，則484是數(shù)列中的第（

）A．12項 B．13項 C．14項 D．15項【答案】C【分析】先利用兩數(shù)列的通項公式分析兩數(shù)列相同項的特點，得到的奇偶項的性質(zhì)，從而得解.【詳解】設，則，可得，則為3的倍數(shù)或為3的倍數(shù)，設或，則或，故的奇數(shù)項項數(shù)為t，偶數(shù)項項數(shù)為r，又，由，解得（舍去），由，解得，484是數(shù)列中的第14項．故選：C．14．已知數(shù)列的通項公式是，則下列各數(shù)是中的項的是（

）A．10 B．18 C．26 D．63【答案】D【分析】分別令選項中的數(shù)等于，解得值是正整數(shù)的即為答案．【詳解】令，可得，，不是正整數(shù)，所以不是的項；A錯誤；令，可得，，不是正整數(shù)，所以不是的項；B錯誤；令，可得，，不是正整數(shù)，所以不是的項；C錯誤；令，可得或，，是正整數(shù)，即數(shù)列的第項為，D正確；故選：D．15．（多選）已知數(shù)列的通項公式為，則-19是該數(shù)列中的第幾項的是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】AC【分析】令，求解判斷.【詳解】令，即，解得或.故選：AC16．在數(shù)列中，，，通項公式，其中p，q為常數(shù)，．(1)求的通項公式；(2)88是否是數(shù)列中的項？【答案】(1)(2)88不是數(shù)列中的項【分析】（1）將，代入到通項公式中，聯(lián)立成方程組，求解出參數(shù)p，q，從而得出通項公式；（2）令，解出的值，若為正整數(shù)，則是數(shù)列中的項；若不是正整數(shù)，則不是數(shù)列中的項.【詳解】（1）解：因為，，通項公式，所以，解得，，所以；（2）令，解得，因為，所以88不是數(shù)列中的項.17．已知數(shù)列的通項公式，求：(1)等于多少；(2)81是否為數(shù)列中的項，若是，是第幾項；若不是，說明理由．【答案】(1)26(2)不是，理由見解析【分析】（1）直接代入數(shù)列的通項公式即可求解；（2）數(shù)列的通項公式是關于的方程，再看是否能使這個方程有正整數(shù)解即可求解；【詳解】（1）因為數(shù)列的通項公式，所以.（2）令，解得，因為，所以不是數(shù)列中的項.重難點4根據(jù)遞推關系求數(shù)列的項或通項公式18．在數(shù)列中，若，，則的通項公式為.【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項公式即得.【詳解】在數(shù)列中，，，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，所以的通項公式為.故答案為：19．已知，則數(shù)列的通項公式是．【答案】【分析】由已知遞推式可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，，……，（），所以，所以，因為，所以，因為也滿足上式，所以，故答案為：20．若數(shù)列滿足，則通項公式為.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用累加法即可求解.【詳解】因為，所以當時，，當時，，滿足，所以，故答案為：.21．若在數(shù)列中，，，求通項．【答案】.【分析】利用累加法求通項公式即可.【詳解】由，得以上個式子相加，又，所以．22．已知數(shù)列中，且，對任意的自然數(shù)n都滿足，求數(shù)列的通項公式.【答案】【詳解】由得.23．根據(jù)條件，確定數(shù)列的通項公式．，；【答案】【分析】將遞推公式移項，觀察移項后的數(shù)列規(guī)律，利用累加法求得通項公式.【詳解】∵，∴，其中∴．又適合上式，故．重難點5與周期有關的數(shù)列24．已知數(shù)列滿足且，則（

）A．3 B． C．-2 D．【答案】B【分析】由已知可得數(shù)列遞推式，求出其前面幾項，可得數(shù)列的周期，由此可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列滿足，則，故由，得，由此可知數(shù)列的周期為4，故，故選：B25．在數(shù)列中，，（），則的前2022項和為（

）A．589 B．590 C． D．【答案】C【分析】通過遞推式計算出前幾項，找到數(shù)列的周期，利用周期性求解即可.【詳解】因為，（），所以，，，，而，所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，所以的前2022項和.故選：C26．（多選）已知函數(shù)若數(shù)列滿足，，，則下列說法正確的是（

）A．該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3 B．該數(shù)列不是周期數(shù)列C． D．【答案】BC【詳解】；；；；；……∴從開始數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，但數(shù)列并不是周期數(shù)列，A錯誤，B正確．，C正確，D錯誤．故選BC．]27．已知數(shù)列滿足：，且，則.【答案】2【分析】根據(jù)題意得到數(shù)列周期性，進而直接求解.【詳解】因為，，令，得，所以，令，得，所以，令，得，所以，以此類推，顯然，，則.故答案為：228．已知，則其前2022項的和為.【答案】0【分析】求出數(shù)列的周期，并得到，求出前2022項的和.【詳解】因為，所以，，，，，依次進行求解，發(fā)現(xiàn)為周期數(shù)列，周期為6，且，故，故其前2022項的和為.故答案為：029．若數(shù)列滿足，，則，．【答案】161【分析】根據(jù)遞推式求出數(shù)列的前幾項，歸納出數(shù)列從第7項起是周期數(shù)列，從而可得結(jié)論．【詳解】由題意，，，，，，，，，，…，數(shù)列從第7項起是周期數(shù)列，周期為3，因為，所以，所以；．故答案為：16；1．重難點6數(shù)列的單調(diào)性問題30．下列數(shù)列是遞減數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)方法依次判斷每個選項數(shù)列的增減性得到答案.【詳解】對選項A：為遞增數(shù)列；對選項B：為遞減數(shù)列；對選項C：，先增后減數(shù)列；對選項D：，先減后增數(shù)列.故選：B.31．數(shù)列，用圖象表示如圖所示，記數(shù)列的前n項和為，則（

）．

A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】數(shù)列，用圖象可知，在取不同值時的符號，然后利用排除法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列，用圖象可知，當時，；當時，，所以時，，所以，可排除A項；由，所以，可排除D項；由，所以，可排除C項；當時，，所以，可得B項正確.故選：B.【點睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法；1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關系，進行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應的函數(shù)的圖象直觀判斷.32．已知數(shù)列通項公式為，若對任意，都有則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分段情況下，對任意，都有，只需保證每一段遞增，且，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解.【詳解】當時，，由，得，即，∵且，，∴，解得.當時，單調(diào)遞增，若對任意，都有，則且，即且，解得，則實數(shù)的取值范圍是.故選：B.33．（多選）下列是遞增數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)的正負，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】A選項，令，則，是遞增數(shù)列；B選項，令，則，不合題意；選項，令，則，符合題意；D選項，令，則，不合題意.故選：AC.34．已知數(shù)列的通項公式為，且為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)條件，可得對恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題，化簡解出即可.【詳解】因為為遞減數(shù)列，，所以對恒成立，即對恒成立，所以，故答案為：.35．首項為正數(shù)的數(shù)列滿足，若對一切，都有，則的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)給定的恒成立的不等式及遞推公式，列出關于的不等式，求解作答.【詳解】因為，又對一切，都有成立，因此對一切，，解得或?qū)σ磺谐闪?，于是或，又?shù)列的首項為正數(shù)，即有或，所以的取值范圍為.故答案為：重難點7確定數(shù)列中的最大（?。╉?6．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則取最小值時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由數(shù)列遞推公式，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，代入后構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性求最值．【詳解】由已知可得，，…，，,將上面式子左右兩邊分別相加可得，，令，，，當時，為減函數(shù)，時，為增函數(shù)，且，又，，且∴，故當時，取得最小值.故選：B.37．已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列的最大項為第項.【答案】【分析】通過列舉法進行觀察，然后利用差比較法比較求得正確答案.【詳解】依題意，，則，當時，，所以當時，，所以數(shù)列的最大項為第項.故答案為：38．已知數(shù)列的通項公式是，試問數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由．【答案】數(shù)列的第8項和第9項為最大項，其值為．【分析】根據(jù)題意，計算，即可判斷.【詳解】因為，所以當時，；當時，；當時，．于是，數(shù)列的第8項和第9項為最大項，且，即最大項為.39．已知數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列的單調(diào)性，并判斷該數(shù)列是否有最大項與最小項．【答案】詳見解析【分析】由判斷判斷單調(diào)性后即可得最值.【詳解】解：，當時，，即，當時，，即，當時，，即，所以在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減；所以數(shù)列的最大項為，又，當，，所以數(shù)列的最小項為.40．已知數(shù)列的通項公式是，判斷該數(shù)列的單調(diào)性，并求出這個數(shù)列的最小項．【答案】答案見解析【分析】寫出通項公式的分段形式，直接判斷數(shù)列單調(diào)性，進而確定最小項.【詳解】令，則，故時，所以，故該數(shù)列的先遞減后遞增，又，故數(shù)列最小項為第三、四項為.41．已知數(shù)列的通項公式為，畫出該數(shù)列的圖象，并判斷該數(shù)列是否有最大項，若有，指出第幾項最大；若沒有，試說明理由．【答案】作圖見解析，第4項最大【分析】直接作出圖象，并根據(jù)圖象特點即可得到最大項.【詳解】,,該數(shù)列的圖象如下圖所示：

，，設，對稱軸為，且開口向下，又因為，再結(jié)合圖象可知該數(shù)列有最大項,為第四項.重難點8根據(jù)數(shù)列的前項和求通項公式42．已知為數(shù)列的前項和，，，則