專題2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式（八個重難點突破）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019）（解析版）

專題2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式知識點1兩條直線的交點坐標(biāo)1．兩條直線的交點坐標(biāo)已知兩條直線相交，設(shè)這兩條直線的交點為，則點既在直線上，也在直線上．所以點的坐標(biāo)既滿足直線的方程，也滿足直線的方程，即點的坐標(biāo)是方程組的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標(biāo)．2．方程組解的組數(shù)與兩條直線的位置關(guān)系方程組的解一組無數(shù)組無解直線與的位置關(guān)系相交重合平行重難點1直線的交點坐標(biāo)1．過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出交點坐標(biāo)，再根據(jù)與直線的位置關(guān)系求出斜率，運用點斜式方程求解.【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.2．若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B．-4 C．12 D．4【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程求得的值，再由兩種的交點為，列出方程組求得的值，即可求解.【詳解】由兩直線與垂直，可得，即，又由兩直線的交點坐標(biāo)是，可得，解得，所以.故選：A.3．若直線與直線的交點為，則實數(shù)a的值為（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由題意可列方程，解方程即可得出答案.【詳解】直線與直線的交點為，所以.故選：A.4．判斷下列各對直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點坐標(biāo)．(1)直線；(2)直線．【答案】(1)相交，交點是(2)答案見解析【分析】（1）解方程組，可得交點坐標(biāo)；根據(jù)方程組的解的個數(shù)判斷位置關(guān)系；（2）分類討論，解方程組可得答案.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標(biāo)為.（2）當(dāng)時，，，聯(lián)立，方程組有無數(shù)組解，故兩直線重合，當(dāng)時，，，聯(lián)立，方程組無解，故兩直線平行，當(dāng)，聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標(biāo)為.綜上所述：當(dāng)時，兩直線重合；當(dāng)時，兩直線平行；當(dāng)時，兩直線相交，交點坐標(biāo)為.5．已知的頂點，AC邊上的高BC所在的直線方程為，則頂點C的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)BC與AC垂直可得，求出直線AC的方程與聯(lián)立可得答案.【詳解】由題意知BC與AC垂直，，，∴直線AC的方程為，即，解方程組，得點C的坐標(biāo)為.故答案為：.6．若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為【答案】4【分析】當(dāng)方程組有無窮多解時,可得到兩直線重合,則可求出,,計算即可得解.【詳解】若方程組有無窮多組解，即兩條直線重合,即,則故答案為：47．若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立兩直線方程，求出交點坐標(biāo)，再依題意得到不等式組，解得即可.【詳解】聯(lián)立方程組，解得，因為直線與直線的交點在第一象限，所以，解得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A8．寫出使得關(guān)于的方程組無解的一個的值為.（寫出一個即可）【答案】，3，（寫出一個即可）【分析】根據(jù)方程組無解，討論其中一方程無解、兩方程表示的直線平行、一方程表示直線過，另一方程表示直線不過該點的情況得解.【詳解】顯然，當(dāng)時，不表示直線，無解，故方程組無解；當(dāng)時，由方程組可看作求兩直線（）與的交點，則方程組無解，即直線無交點，若兩直線平行，則，解得.若兩直線不平行時，過點，即，解得或，此時，不過點，方程組無解.綜上，的取值為.故答案為：，3，（寫出一個即可）重難點2直線的交點系方程9．設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【答案】或【分析】由題可求交點，結(jié)合條件即可求出；或設(shè)直線系方程，結(jié)合已知即求.【詳解】方法一：由，得，所以兩條直線的交點坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或-1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.10．已知兩直線和的交點為P．求：(1)過點P與的直線方程；(2)過點P且與直線平行的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出過直線和交點的直線方程，把點代入方程求出參數(shù)，再化簡即可求出所求直線.（2）由兩直線平行的性質(zhì)，列方程求出對應(yīng)的參數(shù)，再化簡即可求出所求直線.【詳解】（1）設(shè)過直線和交點的直線方程為，即．①把點代入方程①，化簡得，解得，所以過點P與Q的直線方程為，即．（2）由兩直線平行，得，得，所以所求直線的方程為，即．11．求過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點且斜率為﹣2的直線方程．【答案】2x+y+8＝0．【分析】設(shè)出所求的直線方程為x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，由它的斜率為2，求出λ的值，即得所求的直線方程．【詳解】設(shè)過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點的直線方程為x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，即（1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率為2，解得λ，∴所求的直線方程為2x+y+8＝0．12．求證：不論m為何實數(shù)，直線l:(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒過一定點，并求出此定點的坐標(biāo).【答案】證明見解析，(9,－4)【分析】取不同的兩值得兩不同直線，求直線交點代入檢驗即可得證，該交點即為所求定點.【詳解】令得，令得，兩條直線和的交點為.將代入直線方程得恒成立，所以直線l恒過定點.13．已知兩直線和.（1）判斷兩直線是否相交，若相交，求出其交點；（2）求過與的交點且斜率為的直線方程.【答案】（1）兩直線相交，兩直線交點為；（2）.【分析】（1）利用兩直線的斜率即可判定，聯(lián)立方程即求；（2）利用點斜式即求或設(shè)直線系方程即得.【詳解】（1）∵，∴兩直線相交，聯(lián)立兩直線方程得解得即兩直線交點為.（2）解法一：由點斜式方程可得所求的直線方程為，即.解法二：顯然不是所求方程可設(shè)所求直線方程為，整理得，∴，∴，整理得所求直線方程為.14．直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過直線與直線的交點，求直線l的方程．【答案】【分析】經(jīng)過直線與直線的交點的直線可設(shè)為：，把代入求出，即可得到直線方程.【詳解】經(jīng)過直線與直線的交點的直線可設(shè)為：把代入，得：，解得：，所以，所求的直線方程為：.知識點2兩點間的距離公式如圖，由點，由此得到兩點間的距離公式，特別地，原點與任一點間的距離知識點3點到直線的距離公式點到直線的距離，可以驗證，當(dāng)A=0，或B=0時，上述公式仍然成立．注意：點到幾種特殊直線的距離①點到與x軸平行的直線的距離，特別地，點到x軸的距離d=|y0|；②點到與y軸平行的直線的距離，特別地，點到y(tǒng)軸的距離.知識點4兩條平行直線間的距離1．兩條平行直線間的距離兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．2．兩條平行直線間的距離公式一般地，兩條平行直線間的距離注意：當(dāng)兩直線都與軸(或軸)垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決：①兩直線都與軸垂直時，則；②兩直線都與軸垂直時則.重難點3平面內(nèi)兩點的距離公式15．已知兩點，，則（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【分析】根據(jù)兩點間的距離公式計算可得.【詳解】因為，，則.故選：B16．已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)兩點間的距離公式計算出，，的長度即可判斷【詳解】，，，，，，，是直角三角形．故選：A．17．已知四邊形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），則四邊形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用斜率判斷直線是否平行，利用兩點間距離公式判斷線段是否相等.【詳解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），有，，則，，，，所以四邊形ABCD是梯形.故選：A.18．已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，因為，由兩點間的距離公式求解即可.【詳解】因為點C在x軸上，設(shè)點，則，所以，化簡可得：，所以.故選：D.19．若，點是AB的垂直平分線上一點，則.【答案】【分析】因為點是AB的垂直平分線上一點，所以，再由兩點間的距離公式求解即可.【詳解】因為，點是AB的垂直平分線上一點，所以，所以解得：.故答案為：.20．已知三頂點坐標(biāo)，試求邊上的中線的長．【答案】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，由為的中點，可求出點的坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式可求出的長．【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，因為點為的中點，所以，即點的坐標(biāo)為．由兩點間的距離公式得，所以邊上的中線的長為．重難點4由距離求點的坐標(biāo)21．已知三點，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用兩點間的距離公式列方程計算即可【詳解】由兩點間的距離公式，及可得：，解得.故選：A22．已知點與點間的距離為，則．【答案】9或【分析】根據(jù)兩點間的距離公式列方程求解即可.【詳解】由，得，即，解得或．故答案為：9或.23．已知點，且，寫出直線AB的一個方程【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)兩點間的距離公式，求出的值，然后寫出點的坐標(biāo)，從而可求直線AB的一個方程.【詳解】根據(jù)兩點間的距離公式，得，即。所以，所以或，當(dāng)時，，直線的方程為；當(dāng)時，，直線的方程為.故答案為：.(答案不唯一)24．已知等腰直角三角形的直角頂點為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】由題意得，，根據(jù)直線垂直的斜率公式與兩點距離公式列式求解.【詳解】設(shè)，由題意知，，得，可化為，解得或，所以點的坐標(biāo)為或．故答案為：或25．在平面直角坐標(biāo)中，已知、、，平面內(nèi)的點滿足，則點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)條件建立有關(guān)、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可求得點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，由可得，解得，因此，點的坐標(biāo)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩點間的距離求點的坐標(biāo)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.26．已知，，線段的垂直平分線為直線．(1)求直線的一般式方程；(2)若點在直線上，且，求點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意，求出線段的中點坐標(biāo)及直線的斜率，然后利用點斜式寫出直線方程，化簡即可得答案；（2）設(shè)點坐標(biāo)為，由題意，列出關(guān)于的方程組求解即可得答案.(1)解：因為，，所以線段的中點為，，又線段的垂直平分線為直線，所以，所以直線的方程為，即，所以直線的一般式方程為；(2)解：設(shè)點坐標(biāo)為，由題意有，解得或，所以點坐標(biāo)為或.重難點5點到直線的距離27．點到直線的距離為．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.故答案為：.28．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，點，則點A到直線的距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可確定直線：，則直線過原點，且斜率為，由此可確定點到直線l的距離大于1，再確定當(dāng)l與垂直時，點A到直線l的距離最大，即可求得答案.【詳解】由題意直線：，則直線過原點，且斜率為，

當(dāng)直線l無限靠近于y軸時，點到直線l的距離無限接近于1，故點到直線l的距離大于1，當(dāng)l與垂直時，點A到直線l的距離最大，最大值為，故點A到直線的距離的取值范圍為，故選：B29．已知到直線的距離等于4，則a的值為．【答案】10或【分析】利用點到直線距離公式可直接構(gòu)造方程求得a的值．【詳解】由到直線的距離等于4，則，解得或．故答案為：10或．30．已知點，求過點A且與原點距離為2的直線l的方程．【答案】或【分析】討論所求直線斜率存在性，結(jié)合點線距離求直線方程即可.【詳解】當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程為，此時，原點到直線l的距離為2，符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，由已知得，解得，此時直線l的方程為，綜上知：直線l的方程為或．31．已知、、，則的面積為．【答案】8【分析】根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合點到直線的距離公式進行求解即可.【詳解】由、可得直線方程為，由、可得，點到直線的距離為：，所以的面積為，故答案為：32．已知的頂點為，，．(1)求邊所在的直線的方程；(2)求邊的高線所在的直線的方程；(3)求的面積．【答案】(1)(2)(3)10【分析】（1）直接由點坐標(biāo)得到兩點式方程，化簡即可；（2），則邊上高線的斜率為，直接寫出點斜式方程，化簡即可；（3）首先求出到直線的距離，再求出的長，則可計算出三角形面積.【詳解】（1）直線的兩點式方程為，化簡得，故邊所在的直線方程為.（2）由（1）知，故邊上高線的斜率為，故其所在直線方程為，化簡得（3）邊所在的直線方程為，故到直線的距離,故33．已知的三個頂點、、．(1)求邊所在直線的方程；(2)邊上中線的方程為，且，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）根據(jù)直線的兩點式求解直線方程即可；（2）首先根據(jù)直線方程，可得，然后利用點到直線距離，得到點到直線的距離為：，再根據(jù)，得到，最后解方程組即可得到參數(shù)的值.【詳解】（1）因為、，所以BC邊所在直線的方程為：；（2）BC邊上中線AD的方程為，所以有，點A到直線BC的距離為：，，因為，所以有，因此有或，解得：或，所以點A的坐標(biāo)為：或．34．已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求面積的最小值.【答案】(1)(2)面積的最小值為【分析】（1）判斷出直線過定點，在根據(jù)直線不經(jīng)過第四象限求得的取值范圍.（2）求得兩點的坐標(biāo)，從而求得面積的表達式，利用利用基本不等式求得其最小值.【詳解】（1）直線，即，所以直線過定點，是直線的斜率，所以.（2）因為直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，所以??；取；所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.重難點6平行直線的距離35．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）．A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，再將直線方程化為、對應(yīng)系數(shù)一致，最后利用距離公式計算可得.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得，所以直線，即，即，所以兩平行線之間的距離.故選：B36．兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【分析】由距離公式求解即可.【詳解】由距離公式可知，所求距離為.故選：D37．已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為．【答案】【分析】由平行直線系設(shè)直線的方程，由平行線間的距離公式列式求解即可．【詳解】解：依題意設(shè)直線的方程為，，則，即，解得，所以直線的方程為．故答案為：38．兩平行直線與直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把兩條直線化為的系數(shù)相等的形式，再代入兩平行直線的距離公式即可得到結(jié)論．【詳解】由直線可得：，根據(jù)平行線間距離公式知,故選：A39．若直線被兩平行線與所截得的線段的長為2，則直線的傾斜角為．【答案】或【分析】根據(jù)兩平行線間的距離與2的比較可得直線和兩平行線的夾角為60°，再根據(jù)傾斜角的關(guān)系求解即可．【詳解】設(shè)直線與兩平行線的交點分別為，過點作的垂線，垂足為，如圖，兩平行線間的距離，則，又，所以直線與兩平行線的夾角滿足，則，因為兩平行線斜率為，所以傾斜角為，所以直線的傾斜角為或．故答案為：或．40．若直線：與：平行，則與之間的距離為．【答案】【分析】先根據(jù)兩直線平行求得，再根據(jù)平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因為直線：與：平行，所以，解得，所以直線：與：平行，所以與之間的距離為.故答案為：.重難點7對稱問題41．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)對稱性直接列式求解即可.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得，即點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為.故答案為：.42．已知的一條內(nèi)角平分線CD的方程為，兩個頂點為，，則頂點C的坐標(biāo)．【答案】【分析】先求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，再根據(jù)點在直線上，利用兩點式求得的方程，再把的方程和的方程聯(lián)立方程組，求得第三個頂點的坐標(biāo)【詳解】由題意可知：關(guān)于直線的對稱點在直線上，設(shè)對稱點為，則由，解得，所以直線BC的斜率為,所以直線（即）的方程為，即：．解方程組，求得點的坐標(biāo)為．故答案為：.43．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，已知矩形的長為2，寬為1，邊?分別在軸?軸的正半軸上，點與坐標(biāo)原點重合，將矩形折疊，使點落在線段上，若折痕所在直線的斜率為，則折痕所在的直線方程為.【答案】【解析】因為折疊的過程中，點落在線段上，特別的如果折疊后重合，這時折痕所在的直線斜率為0，然后根據(jù)點和對折后的對應(yīng)點關(guān)于直線折痕對稱，即可求出折痕所在的直線的方程.【詳解】當(dāng)時，此時點和點重合，折痕所在的直線的方程，當(dāng)時，將矩形折疊后點落在線段上的點為，，所以與關(guān)于折痕所在的直線對稱，由，即，解得：，故折痕所在的直線的方程.，從而折痕所在的直線與的交點坐標(biāo)為，折痕所在的直線方程為，即，綜上所述：折痕所在的直線的方程為：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了點關(guān)于線段對稱問題，考查了直線方程的求法，考查了兩直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題44．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點與點重合，則折痕所在直線的一般式方程為.【答案】【分析】利用折痕所在直線與兩點連線垂直可得所求直線斜率，利用中點在折痕所在直線上可得所求直線方程.【詳解】點與點連線斜率，折痕所在直線斜率，又點與點的中點為，折痕所在直線方程為：，即.故答案為：.45．與直線關(guān)于點對稱的直線方程是．【答案】【分析】首先設(shè)對稱直線上任意一點，得到關(guān)于的對稱點，再代入直線方程即可得到答案.【詳解】設(shè)直線關(guān)于點對稱的直線上任意一點，則關(guān)于對稱點為，又因為在上，所以，即，故答案為：.46．已知點的坐標(biāo)為，直線的方程為，求：(1)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于點的對稱直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于線對稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點法分析運算即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，解得，所以點的坐標(biāo)為.（2）在直線上任取一點，設(shè)關(guān)于點的對稱點為，則，解得，由于在直線上，則，即，故直線關(guān)于點的對稱直線的方程為.47．已知直線?的方程為?，點?的坐標(biāo)為?.(1)若直線與?關(guān)于點?對稱，求?的方程;(2)若點?與?關(guān)于直線?對稱，求?的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線與直線互相平行，且點到兩直線距離相等，列方程即可求解；（2）由直線垂直平分線段，列方程組即可求解.【詳解】（1）易知直線與直線互相平行，設(shè)的方程為?，點到兩直線距離相等，有?，即?，或?(舍去)，故?的方程為?.（2）設(shè)點?的坐標(biāo)為?，直線，且的中點在直線上，而直線的斜率為，，故有?，解得，?故?的坐標(biāo)為.重難點8距離的最值問題48．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標(biāo)式進行轉(zhuǎn)化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.【詳解】,可以看作點到點的距離之和，作點關(guān)于軸的對稱點，顯然當(dāng)三點共線時，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.49．（多選）下列結(jié)論錯誤的是（

）A．過點的直線的傾斜角為B．若直線與直線垂直，則C．直線與直線之間的距離是D．已知，點在軸上，則的最小值是5【答案】AC【分析】求出直線傾斜角判斷A；利用垂直關(guān)系求出a判斷B；求出兩條平行線間距離判斷C；利用對稱求出最小值判斷D作答.【詳解】對于A，直線傾斜角，斜率，而，即，A不正確;對于B，直線與直線垂直，則，解得，B正確；對于C，直線與直線平行，它們間的距離，C不正確；對于D，令點關(guān)于x軸的對稱點為，連接交x軸于，P為x軸上任意點，連接，如圖，則，當(dāng)且僅當(dāng)點P為線段與x軸的交點時取等號，，因此的最小值是5，D正確.故選：AC50．已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標(biāo)．【答案】【分析】首先求得點A關(guān)于x軸的對稱點，然后數(shù)形結(jié)合根據(jù)直線方程求解點P的坐標(biāo)即可.【詳解】點關(guān)于x軸的對稱點為,如圖所示，若點不在直線上則,連接并延長交x軸于點P，即為最大值．直線的方程是，即.令，得．則點P的坐標(biāo)是.51．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說