北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五章二元一次方程組教案

第五章二元一次方程組

§5.1認(rèn)識(shí)二元一次方程組

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關(guān)概念，并會(huì)判斷一組

數(shù)是不是某

個(gè)二元一次方程組的解。

2.通過(guò)討論和練習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析的能力。

3.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效

數(shù)學(xué)模型，

培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

【重點(diǎn)】二元一次方程組的含義

【難點(diǎn)】判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)

學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、引入、實(shí)物投影（P181圖）

1、師：在一望無(wú)際呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃

力地行走著，老牛喘著氣吃力地說(shuō)：“累死我了”，小馬說(shuō)：“你還累，

這么大的個(gè)，才比我多馱2個(gè)”老牛氣不過(guò)地說(shuō)：“哼，我從你背上拿來(lái)

一個(gè)，我的包裹就是你的2倍！”，小馬天真而不信地說(shuō)：“真的？！”

同學(xué)們，你們能否用數(shù)學(xué)知識(shí)幫助小馬解決問(wèn)題呢？

2、請(qǐng)每個(gè)學(xué)習(xí)小組討論（討論2分鐘，然后發(fā)言）

這個(gè)問(wèn)題由于涉及到老牛和小馬的馱包裹的兩個(gè)未知數(shù)，我們?cè)O(shè)老牛

馱x個(gè)包裹，小馬馱y個(gè)包裹，老牛的包裹數(shù)比小馬多2個(gè)，由此得方程

x-y=2,若老牛從小馬背上拿來(lái)1個(gè)包裹，這時(shí)老牛的包裹是小馬的2

倍，得方程：x+l=2（y-l）

師：同學(xué)們能用方程的方法來(lái)發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題這很好，上面所列方程有幾

個(gè)未知數(shù)？含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是多少？（含有兩個(gè)未知數(shù)，并且

所含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)是1）

師：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次

方程

注意：這個(gè)定義有兩個(gè)地方要注意

①、含有兩個(gè)未知數(shù)，

②、含未知數(shù)的次數(shù)是一次

練習(xí)：(投影)

下列方程有哪些是二元一次方程

+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3x

xy=l2x(y+l)=c2x-y=lx+y=O

二、議一議、

師：上面的方程中x-y=2,x+l=2(y-l)的x含義相同嗎？y呢？

(兩個(gè)方程中x的表示老牛馱的包裹數(shù)，y表示小馬的包裹數(shù)，x、y的含

義分別相同。)

師：由于x、y的含義分別相同，因而必同時(shí)滿(mǎn)足x-y=2和x+l=2(y-1),

我們把這兩個(gè)方程用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，寫(xiě)成x-y=2

x+l=2(y-l)

像這樣含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次

方程組。

如：2x+3y=35x+3y=8

x-3y=0x+y=8

三、做一做、

1、x=6,y=2適合方程x+y=8嗎？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你還能找到其

他x,y值適合x(chóng)+y=8方程嗎？

2、X=5,y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2,y=8呢？

3、你能找到一組值x,y同時(shí)適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？各小組合作

完成，各同學(xué)分別代入驗(yàn)算，教師巡回參與小組活動(dòng)，并幫助找到3題的

結(jié)論.

由學(xué)生回答上面3個(gè)問(wèn)題，老師作出結(jié)論

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的解

x=6,y=2是方程x+y=8的一個(gè)解，記作x=6同樣，x=5

y=2y=3

也是方程x+y=8的一個(gè)解，同時(shí)x=5又是方程5x+3y=34

的一個(gè)解，

y=3

二元一次方程各個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

四、隨堂練習(xí)、(P184)

五、小結(jié)：

1、含有兩未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一次的整式方程叫做二

元一次方程。

2、二元一次方程的解是一個(gè)互相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)數(shù)值，它有無(wú)數(shù)個(gè)解。

3、含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程組成的一組方程，叫做二元一次

方程組，它的解是兩個(gè)方程的公共解，是一組確定的值。

6.作業(yè)

P188習(xí)題7.Io

教后感：通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析、討論和練習(xí)，了解二元一次方程、二元

一次方程組及其解等有關(guān)概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程

組的解。進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析的能力，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)

實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

第五章二元一次方程組

§5.2求解二元一次方程組(一)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.會(huì)用代入消元法解二元一次方程組

2.了解解二元一次方程組的消元思想，初步體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究中“化未知為已

知”的化歸

思想，從而“變陌生為熟悉”

3.利用小組合作探討學(xué)習(xí)，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)樸素的辯證唯物主義思想

【重點(diǎn)】用代入法解二元一次方程組，基本方法是消元化二元為一元.

【難點(diǎn)】用代入法解二元一次方程組的基本思想是化歸一一化陌生為熟悉.

【教學(xué)過(guò)程】

一、引入

上節(jié)課我們的老牛和小馬的包裹誰(shuí)的多的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)大家的共同努力，得出

了二元一次方程組x-y=2①到底誰(shuí)的包

裹多呢？

x+l=2(y-l)②

這就需要解這個(gè)二元一次方程組.

二、一元一次方程我們會(huì)解，二元一次方程組如何解呢？

我們大家知道二元一次方程只需要消去一個(gè)未知數(shù)就可變?yōu)橐辉淮畏匠?

那么我們發(fā)現(xiàn)：

由①得y=x-2

由于方程組相同的字母表示同一個(gè)未知數(shù)，所以方程②中的y也等于x-2,

可以用x-2代替方程②中的y.這樣就得到大家會(huì)解的一元一次方程了.

三、做一做

我們知道了解二元一次方程組的一種思路，下面我們來(lái)做一做

例1、解方程組3x+2y=8①

x=②

解：將②代入①，得3(y+3)+2y=14

3y+9+2y=14

5y=5

y=l

將y=l代入②,得x=4

所以原方程組的解是x=4

y=i

例2、解方程組2x+3y=16①

x+4y=13②

教師先分析：此題不同于例1,(即用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)

未知數(shù))，②式不能直接代入①，那么我們應(yīng)當(dāng)怎樣處理才能轉(zhuǎn)化為例1②

式這樣的形式呢？請(qǐng)同學(xué)回答

(應(yīng)先對(duì)②式進(jìn)行恒等變化，把它化為例1中②式那樣的形式.)

分小組合作完成上述例題,請(qǐng)兩個(gè)小組的代表上黑板上來(lái)板演

解：由②，得x=13-4y

將③代入①，得2(13-4)S+3y=16

26-8y+3y=16

-5y=-10

y=2

將代入③，得x=5

所以原方程組的解是x=5

y=2

四、議一議、

上面解方程組的基本思路是什么？主要步驟有哪些？

上面解方程組的基本思路是“消元”一一把“二元”變?yōu)椤耙辉?。主?/p>

步驟是：①將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式

表示出來(lái)，②將這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化

二元一次方程組為一元一次方程式。③解這個(gè)一元一次方程。④把求得的

一次方程的解代入方程中，求得另一個(gè)未知數(shù)值，組成方程組的解。這種

解方程組的方法稱(chēng)為代入消元法。簡(jiǎn)稱(chēng)代入法。

五、練一練、

1、已知x+3y-6=0,用含x的代數(shù)式表示y為，

用含y的代數(shù)式表示x為

2、書(shū)本P188隨堂練習(xí)

六、小結(jié)、

1、今天我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，你有什么體會(huì)？

2、解二元一次方程組的思路是消元，把二元變?yōu)橐辉?/p>

3、解題步驟概括為三步即：①變、②代、③解、

4、方程組的解的表示方法，應(yīng)用大括號(hào)把一對(duì)未知數(shù)的值連在一起，表

示同時(shí)成立，不要寫(xiě)成x=?y=?

5、由一個(gè)方程變形得到的一個(gè)含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式必須代入另一個(gè)

方程中去，否則會(huì)出現(xiàn)一個(gè)恒等式。

七、作業(yè)、

1、已知x=l是方程組ax+by=2的解，則a、b的值

是多少？

y=lx-by=3

2、若方程組4x+3y=l的解x與y相等，則a的值是多

少？

ax+(aT)y=3

教后感：本節(jié)課是利用小組合作探討學(xué)習(xí)，使學(xué)生正確掌握用代入消元法

解二元一次方程組的方法下，通過(guò)學(xué)生自己的觀察、發(fā)現(xiàn),初步體現(xiàn)數(shù)學(xué)

研究中“化未知為已知”的化歸思想，從而“變陌生為熟悉”，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)

樸素的辯證唯物主義思想.

§5.2求解二元一次方程組（二）

一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)：

1.了解并會(huì)用加減消元法解二元一次方程組。

2.了解解二元一次方程組的消元思想，體會(huì)數(shù)學(xué)中“化未知為已知”的化

歸思想。

3.初步體驗(yàn)二元一次方程組解法的多樣性和選擇性。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.會(huì)用加減消元法解二元一次方程組。

2.會(huì)用加減消元法解二元一次方程組。

三、教學(xué)難點(diǎn)：

掌握解二元一次方程組的“消元”思想。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：

1、創(chuàng)設(shè)情境：

怎樣解下面的二元一次方程組呢？

分析：觀察方程組中的兩個(gè)方程，未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，把這兩個(gè)

方程兩邊分別相加，就可以消去未知數(shù)y,得到一個(gè)一元一次方程；

(3x+5y)+(2x-5y)=21+(-11)

①左邊+②左邊=①左邊+②左邊

3X+5y+2x-5y=10

5x+0y=10

5x=10

解：由①+②得：5x=10

x=2

把x=2代入①，得

y=3

所以原方程組的解是

2、探索嘗試：

參考小麗的思路，怎樣解下面的二元一次方程組呢？

例1解下列方程組.

分析：觀察方程組中的兩個(gè)方程，未知數(shù)X的系數(shù)相等，都是2.把這兩

個(gè)方程兩邊分別相減，就可以消去未知數(shù)x,同樣得到一個(gè)一元一次方

程.

解：把②一①得：8y=-8

y=-i

把y=-1代入①，得

2x—5義(-1)=7

解得：x=l

所以原方程組的解是

3.隨堂練習(xí)：

指出下列方程組求解過(guò)程中有錯(cuò)誤步驟，并給予訂正:

解：①一②，得解①一②，得

—2x=122x=4—4,

x=—6x=0

正確的解是：

解：①一②，得解：①+②，得

8x=162x=4+

4,

x=4x=

2

4.議一議：

上面這些方程組的特點(diǎn)是什么？解這類(lèi)方程組基本思路是什么？主要步驟

有哪些？

這些方程組的特點(diǎn)是同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)

這類(lèi)方程組基本思路：加減消元--一二元-------元

主要步驟：

加減----消去一^b元

求解一一分別求出兩個(gè)未知數(shù)的值

寫(xiě)解一一寫(xiě)出方程組的解

5.做一做

例2.用加減法解下列各方程組

分析：(1)用加減消元法解方程組時(shí)，若哪個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值正好相

等，就可先消哪個(gè)未知數(shù)；若兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值均不等，則可選定

一個(gè)未知數(shù)，通過(guò)變形使其絕對(duì)值相等，再進(jìn)行消元.

(2)運(yùn)用加減消元法解方程組的條件是方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的

系數(shù)的絕對(duì)值相等，當(dāng)方程組中兩方程不具備這種特點(diǎn)時(shí).，必須用等式性

質(zhì)2來(lái)改變方程組中方程的形式，即得到與原方程組同解的且某未知數(shù)系

數(shù)的絕對(duì)值已經(jīng)相等的新的方程組，從而為加減消元法解方程組創(chuàng)造條

件.

①X3得6x+9y=36③

②X2得6x+8y=34④

③-④得y=2

把y=2代入①，得

解得：x=3

所以原方程組的解是

說(shuō)明：1.加減消元法的依據(jù)是等式性質(zhì)1,即在一個(gè)方程左右兩邊分別加

上或減去另一個(gè)方程的左右兩邊，所得的結(jié)果仍是等式.經(jīng)過(guò)這樣的運(yùn)

算，其中一個(gè)未知數(shù)被消去了，原來(lái)的“二元”化為“一元”，轉(zhuǎn)化為一

元一次方程，從而可求出原方程組的解來(lái).

2.對(duì)于不是標(biāo)準(zhǔn)的二元一次方程組，可先通過(guò)去分母或去括號(hào)，將其變?yōu)?/p>

標(biāo)準(zhǔn)的二元一次方程組后再消元

5.試一試：運(yùn)用加減消元法解下列方程組：

(3)

6.探索與思考：在解方程組時(shí)，小張正確的解，小李由于看錯(cuò)了方程組

中的C得到方程組的解為，試求方程組中的a、b、c的值。

7.小結(jié)：

加減消元法解方程組基本思路是什么？主要步驟有哪些？

加減消元法解方程組基本思路：加減消元一一二元----元

主要步驟有：

變形一一同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)

加減----消去一個(gè)元

求解--一分別求出兩個(gè)未知數(shù)的值

寫(xiě)解--一寫(xiě)出方程組的解

8.作業(yè)

教后感：1.本節(jié)課是使學(xué)生正確掌握用加減法解二元一次方程組的方法

下，通過(guò)學(xué)生自己的觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，探索加減法解二元一次方

程組的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推力意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)一步

體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。

第五章二元一次方程組

§5.3應(yīng)用二元一次方程組-一雞兔同籠

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題

2.通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解

決問(wèn)題的能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】根據(jù)等量關(guān)系列二元一次方程組解應(yīng)用題。

【教學(xué)難點(diǎn)】根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程。

【教學(xué)過(guò)程】

一、我們偉大祖國(guó)具有五千年的文明史，在歷史的長(zhǎng)河中，為科學(xué)知識(shí)的

創(chuàng)新和發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)，特別在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有［九章算術(shù)］、［孫子算

經(jīng)］等古代名著流傳于世，普及趨于民眾，許多問(wèn)題淺顯易懂，趣味性

強(qiáng)，如［九章算術(shù)］下卷第三題目“雉兔同籠”等，漂洋過(guò)海傳到了日本等

國(guó)，對(duì)中國(guó)古代文明史的傳播起了很大作用。

“雉兔同籠”題為：“今有雉兔同籠，上有三十五關(guān)，下有九十四足，問(wèn)

雉兔各幾何？”

問(wèn)題1、“上有三十五頭”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？

答：“上有三十五頭”指的雞和兔共有三十五個(gè)頭，“下有九十四足”指

的是雞和兔共有九十四只腳。

問(wèn)題2、你能根據(jù)問(wèn)題1中的的數(shù)量關(guān)系列出方程嗎？并能解決這個(gè)

有趣的問(wèn)題嗎？

（分小組進(jìn)行討論，然后請(qǐng)兩個(gè)小組的代表到黑板上板演）

解：設(shè)有雞x只，兔y只，則

x+y=35解之得x=23

2x+4y=94y=12

答：共有雞23只，兔12只。

這個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，用今天的方程解決，體現(xiàn)了古為今用的

原則，為后人理解了數(shù)學(xué)的過(guò)去和現(xiàn)在，當(dāng)代的著名的數(shù)學(xué)家陳省生教授

在說(shuō)起“雞兔同籠”時(shí)，曾另有一番別有風(fēng)趣的延伸：“全體雞兔立正，

兔子提起前面的兩只腳，請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在共有幾只腳？”……

二、中國(guó)是一個(gè)偉大的四大文明古國(guó)，像這樣淺顯有趣的數(shù)學(xué)題目還有很

多，我們的書(shū)上就提供了這樣的一個(gè)例題

例1、以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多五尺，若將繩四折測(cè)之，繩多一

尺，繩長(zhǎng)、井深各幾何？

接下來(lái)老師看一下，那位同學(xué)的古文水平好，那位同學(xué)能自告奮勇地解釋

一下，這段古文的意思？

（用繩子測(cè)量水井的深度，如果將繩子折成三等分，一份繩子長(zhǎng)比井深多

5尺；如果將繩折成四等份，一份繩子比井深多1尺，繩子、井深各是多

少尺？）

（分小組進(jìn)行討論，然后請(qǐng)兩個(gè)小組的代表到黑板上板演）

解：設(shè)繩子長(zhǎng)x尺，井深y尺，則

解之得x=48

y=ll答:繩子長(zhǎng)為48尺，井深11尺。

三、議一議

從上面的兩個(gè)問(wèn)題的解決中，你得到了什么感悟，有什么收獲？請(qǐng)與同學(xué)

們交流。

用方程組解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意下列幾個(gè)問(wèn)題：

1、認(rèn)真讀題和審題，弄清古代問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義

2、正確設(shè)出未知數(shù)

3、找出相等關(guān)系，并列出方程組。

4、解此方程組

5、寫(xiě)出答案

四、練一練

1、古代有一個(gè)馬快，一天晚上他在野外的一個(gè)茅屋里，聽(tīng)到外邊來(lái)了一

群人，在分臟，在吵鬧，他隱隱約約地聽(tīng)到幾個(gè)聲音，下面有這一古詩(shī)為

證：

隔壁聽(tīng)到人分銀，不知人數(shù)不知銀。只知每人五兩多六兩，每人六兩少五

兩，

問(wèn)你多少人數(shù)多少銀？

2、列方程組解古算題：

“今有牛五、羊二、直金十兩，牛二、羊五，直金八兩，牛、羊各直金幾

何？”

題目大意是：5頭牛、2只羊共價(jià)值10兩“金”、2頭牛、5只羊共價(jià)值8

兩“金”、每頭牛、每只羊共價(jià)值多少“金”？

［可設(shè)每頭牛值“金”X兩，每只羊值“金”y兩，則有方程組

5x+2y=10解之得x=

2x+5y=8y-

五、小結(jié)

經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會(huì)？

六、作業(yè)

P199習(xí)題7.4?

教后感：

通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用訓(xùn)練，使學(xué)生根據(jù)等量關(guān)系列二

元一次方程組解應(yīng)用題。初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題培養(yǎng)學(xué)生分

析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

§5.4應(yīng)用二元一次方程組--增收節(jié)支

【教學(xué)目標(biāo)】

1.會(huì)正確地運(yùn)用表格分析與“增收節(jié)支”相似一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)列

二元一次方程組這類(lèi)問(wèn)題。

2.培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3.讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程

（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

【教學(xué)過(guò)程】

一、議一議

增長(zhǎng)（虧損）率問(wèn)題的公式？

原量（1+增長(zhǎng)率）=新量，或原量（1一虧損率）=新量，

2、銀行利率問(wèn)題中的公式？

利息=本金X利率X期數(shù)，本息和本金+利息

二、新授、

某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值一總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增

加了20船總支出比去年減少了10%,今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總

產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？

設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，則有

總產(chǎn)值/萬(wàn)元總支出/萬(wàn)元利潤(rùn)/萬(wàn)元

去年xy200

今年

（小組討論，完成上表）

總產(chǎn)值/萬(wàn)元總支出/萬(wàn)元利潤(rùn)/萬(wàn)元

去年xy200

今年(1+20%)x(1—10%)y780

根據(jù)題意得：X—y=200,

解之得：x=2000

120%-

90%y=780y=1800

答：去年的總產(chǎn)值為2000萬(wàn)元，總支出1800萬(wàn)元，

變式：若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？

簡(jiǎn)析：如果設(shè)今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元，總支出為萬(wàn)元，則

讓學(xué)生動(dòng)手解這個(gè)方程組，體驗(yàn)這種解法的繁瑣，再讓學(xué)生探

索，受上例的啟發(fā)，應(yīng)該設(shè)間接未知數(shù)，設(shè)去年的總產(chǎn)值勤x萬(wàn)元，總支

出為y萬(wàn)元，計(jì)算方便。

三、做一做

例1、醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營(yíng)養(yǎng)品，每克甲原料含

0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位

鐵質(zhì)，若病人每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，那么每餐甲、乙兩

種原料各多少克恰好滿(mǎn)足病人的需要？

解：設(shè)每餐需甲、乙兩種原料各x、y克，則有下表：

甲原料各x克乙原料各y克所配制營(yíng)養(yǎng)品

其中所含營(yíng)養(yǎng)品0.5x單位0.7y單位(0.5x+0.7y)單位

其中所含鐵質(zhì)x單位0.4y單位(x+0.4y)單位

根據(jù)題意，可得方程組

0.5x+0.7y=35

x+0.4y=40

化簡(jiǎn)，得5x+7y=350①

5x+2y=200②

①一②，得5y=150

y=30

將y=30代入①，得x=28。

所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。

解此題需要注意以下兩點(diǎn)：

1、甲（乙）原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）=甲（乙）原料的質(zhì)量X每克所含蛋

白質(zhì)（鐵質(zhì)）的含量。

2、甲原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）+乙原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）=營(yíng)養(yǎng)品所含

蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)。

例2、甲、乙兩相距6千米，兩人同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲3小時(shí)可追

上乙；相向而行，1小時(shí)相遇，兩人的平均速度各是多少？

解：設(shè)甲的平均速度是每小時(shí)行x千米，乙的平均速度是每小時(shí)行y,根

據(jù)題意，得：3x=3y+6

x+y=6解這個(gè)方程組，得：x=4

y=2

答：平均每小時(shí)甲行4千米，乙行2千米。

四、練一練

1、一、二班共有100名學(xué)生，他們的體育達(dá)標(biāo)率（達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的百分

率）為81%,如果一班的學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為87.%,二班的達(dá)標(biāo)率為

75%,那么一、二班的學(xué)生數(shù)各是多少？

解：可設(shè)班有x人，二班有y人，則有方程組

x+y=6x=48

87.5%+75%=81（x+y）y=52

2、甲、乙兩相距36千米兩地相向而行，如果甲比乙先走2時(shí)，那么

他們?cè)谝页霭l(fā)2.5時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3

時(shí)后相遇，甲、乙兩人每時(shí)各走多少千米？

解：設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別行走x千米、y千米。根據(jù)題意可得：

4.5x+2.5y=36x=6

3x+5ky=36解此方程可得：y=4

所以甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米。

五、小結(jié)

1、做應(yīng)用題時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)列表分析數(shù)量關(guān)系的重要性。

3、設(shè)未知數(shù)有兩種方法：（1）直接設(shè)元

（2）間接設(shè)元，當(dāng)直接設(shè)元較繁時(shí)應(yīng)間接設(shè)元。

六、作業(yè)

P202習(xí)題7.5o

教后感：讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方

程（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。正

確地運(yùn)用表格分析與“增收節(jié)支”相似一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)列二元一

次方程組這類(lèi)問(wèn)題。

k名師在線(xiàn)

答題疑

方法好

提升快

名師有好方法

掃二維碼就可以用臉?lè)?/p>

§5.5應(yīng)用二元一次方程組-一里程碑上的數(shù)

【教學(xué)目標(biāo)】

【知識(shí)目標(biāo)】1、用二元一次方程式組解決“里程碑上的數(shù)”這一有趣場(chǎng)

景中的數(shù)字問(wèn)題和行程問(wèn)題

2、歸納出用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步

驟。

【能力目標(biāo)】讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體

會(huì)方程（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)列方程組解決

實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

【情感目標(biāo)】在本節(jié)課上讓學(xué)生體驗(yàn)把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的同時(shí)，培

養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志和勇氣，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精

神。

【教學(xué)重點(diǎn)】用二元一次方程組刻畫(huà)學(xué)問(wèn)題和行程問(wèn)題，初步體會(huì)列方程

組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。

【教學(xué)難點(diǎn)】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型。

【教學(xué)過(guò)程】

一、想一想，憶一憶：解二元一次方程組的基本思路各基本方法是什

么？

（解二元一次方程組的基本思路是通過(guò)“消元”把“二元”化為“一

元”，基本方法是代入法和加減法

二、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

小明爸爸騎著摩托車(chē)帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一小時(shí)看到的

里程碑上的數(shù)字情況如下：12：00時(shí)?，這是兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和為

7,13:00時(shí)，十位與個(gè)位數(shù)字與12：00時(shí)看到的正好顛倒了；14:00

時(shí)，比12:00時(shí)看到的兩位數(shù)中間多了個(gè)0,你能確定小明在12：00時(shí)

看到的里程碑上的數(shù)字嗎？

如果設(shè)小明在12：00時(shí)看到的十位數(shù)字是X,個(gè)位數(shù)字是y,那么

1、12：00時(shí)小明看到的數(shù)可表示

為

根據(jù)兩個(gè)數(shù)字和是7,可列出方程

(10x+y；x+y=7)

2、13：00時(shí)小明看到的數(shù)可表示

為

12：00^13:00間摩托車(chē)行駛的路程

是

[10y+x；(10y+x)-(10x+y)]

3、14：00時(shí)小明看到的數(shù)可表示

為

13:00~14：00間摩托車(chē)行駛的路程是

L10x+y；(100x+y)-(10x+y)]

4、12:00~13：00與13：00~14：00兩段時(shí)間內(nèi)摩托車(chē)的行駛路程有什

么關(guān)系？你能列出相應(yīng)的方程嗎？

[答：因?yàn)槎紕蛩傩旭?小時(shí)，所以行駛路程相等，可列方程

(100x+y)-(10x+y)=(10y+x)-(10x+y),根據(jù)以上分析，得方程組：

x+y=7

(100x+y)-(10x+y)=(10y+x)-(lOx+y)

解這個(gè)方程組得：x=l

y=6

因此，小明在12：00時(shí)看到里程碑上數(shù)是16。

同學(xué)們：你能從此題中得到何種啟示？

答：從中得到解數(shù)字問(wèn)題常設(shè)十位數(shù)字為x,個(gè)位數(shù)字為y,這個(gè)兩位數(shù)

為10x+y()

三、練一練

例1、兩個(gè)兩位數(shù)的和是68,在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫(xiě)較小的兩位

數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，也得到

一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178,求這兩個(gè)兩位

數(shù)。

設(shè)較大的兩位為x,較小的兩位數(shù)為y。

分析：

問(wèn)題1：在較大數(shù)的右邊寫(xiě)上較小的數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示

為

E100x+y]

問(wèn)題2：在較大數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示

為

[100y+x]

解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x,較小的兩位數(shù)為y。

x+y=68

(100x+y)-(100y+x)=2178

化簡(jiǎn)，得：x+y=68

99x-99y=2178

即,x+y=68

x-y=222

解該方程組得x=45

y=23

四、做一做

1、一個(gè)兩伯?dāng)?shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)

除以它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個(gè)兩位數(shù)是多少？

[解：設(shè)十位數(shù)為x,個(gè)位數(shù)為y,則

10x+y-3(x+y)=23

10x+y=5(x+y)+l

解之得：x=5所以這個(gè)兩位數(shù)是56

y=6

五、議一議

列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是怎樣的？

1、“設(shè)”：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示題目中的兩個(gè)未

知數(shù)；

2、“列”：找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)這兩個(gè)

相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；

3、“解”：解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；

4、“驗(yàn)”：檢驗(yàn)這個(gè)解是否正確，并看它是否符合題意；

5、“答”：與設(shè)前后呼應(yīng)，寫(xiě)出答案，包括單位名稱(chēng)；

六、小結(jié)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

（學(xué)生分小組討論，并相互補(bǔ)充交流）

1、本節(jié)課主要研究有關(guān)數(shù)字問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)各位數(shù)字為未知數(shù)，

用這些未知數(shù)表示相關(guān)數(shù)量，再列出方程。

2、用二元一次方程組解應(yīng)用題一般步驟有五步：設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答

七、作業(yè)

P205習(xí)題7.60

教后感：1.在本節(jié)課上讓學(xué)生體驗(yàn)把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的同時(shí)?，培養(yǎng)

學(xué)生克服困難的意志和勇氣，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神。

2.用二元一次方程式組解決“里程碑上的數(shù)”這一有趣場(chǎng)景中的數(shù)字問(wèn)題

和行程問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，歸

納出用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。體會(huì)方程（組）是刻畫(huà)

現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型

§5.6二元一次方程與一次函數(shù)

【教學(xué)目標(biāo)】

【知識(shí)目標(biāo)】1、使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解.

3、能利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式

【能力目標(biāo)】通過(guò)學(xué)生的思考和操作，在力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)

系，引入二元一次方程組圖象解法，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)

和能力.

【情感目標(biāo)】通過(guò)學(xué)生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，力口

強(qiáng)了新舊知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】1、二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系

2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似

解

【教學(xué)難點(diǎn)】方程和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力

【教學(xué)過(guò)程】

一、憶一憶

1、同學(xué)們：什么叫二元一次方程的解？

2、一次函數(shù)的圖像是什么？

3、如圖，求一次函數(shù)的圖像的解析式

二、試一試

1、問(wèn)題：方程x+y=5的解有多少個(gè)？寫(xiě)出其中的幾個(gè)解來(lái)

［方程x+y=5的解有無(wú)數(shù)多個(gè)，如：

x=Tx=0x=lx=2x=3

y=6y=5y=4y=3y=2等

2、在直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們?cè)谝淮魏瘮?shù)y=5一

x的圖像上嗎？

3、在一次函數(shù)y=5—x的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)適合方程x+y=5嗎？

4、以方程x+y=5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=5-x的圖

像相同嗎？

三、做一做

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出一次函數(shù)y=5-x和y=2x-l的圖像，這兩

個(gè)圖像有交點(diǎn)嗎？交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組x+y=5

2x-y=l的解有什么關(guān)

系？你能說(shuō)明理由嗎？

［一次函數(shù)y=5-x和y=2x—l的圖像的交點(diǎn)為（2,3）,因此，x=2就

是方程組

y=3

x+y=5

2x-y=l的解。］

例1、用作圖象的方法解方程組x-2y=-2

2x-y=2

解：由x-2y=-2可得y=,同理，

由2x-y=2可得y=2x-2,在同坐標(biāo)系中作出

一次函數(shù)丫=的圖像和y=2x-2的圖像，

觀察圖像，得兩直線(xiàn)交于點(diǎn)（2,2），所以方程組x-2y=-2

2x-y=2

的解是x=2

y=3

同學(xué)們你從本題中感悟到什么？

原來(lái)我們解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖像法，那

么用作圖法來(lái)解方程組的步驟如下：

1、把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式

2、在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn)。

3、交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。

四、練一練

1、用作圖象的方法解方程組2x+y=4

2x-3y=12

［由2x+y=4得y=-2x+4由2x-3y=12可得y=在同一直角坐標(biāo)

系中作出函數(shù)y=-2x+4和函數(shù)y=的圖像，觀察圖像可得交點(diǎn)為（3,

2）,所以方程組

2x+y=4的解是x=3

2x-3y=12y=-2

2、在圖中的兩直線(xiàn)11、12的交點(diǎn)坐標(biāo)可以看

作的解。

［答案：y=l+2x

y=4-x

五、試一試

1、有一組數(shù)同時(shí)適合方程x+y=2和x+y=5嗎？

2、一次函數(shù)y=2-X,y=5-x的圖像之間有何關(guān)系？你能從中

“悟”出些什么嗎？

［沒(méi)有一組數(shù)同時(shí)適合方程x+y=2和x+y=5；一次函數(shù)y=2-

x,y=5-x的圖像是兩條平等的直線(xiàn)。

我們可以得到：二元一次方程組無(wú)解＜=＞一次函數(shù)的圖像平行

（無(wú)交點(diǎn)）

二元一次方程組有一解＜=＞一次函數(shù)的圖像相交（有一個(gè)交點(diǎn)）

二元