隨機(jī)過程基礎(chǔ)課件

基礎(chǔ)知識(shí)

第一節(jié)概率

第二節(jié)隨機(jī)變數(shù)及其分佈

第三節(jié)隨機(jī)變數(shù)的數(shù)字特徵

第四節(jié)矩母函數(shù)和特徵函數(shù)

第五節(jié)條件期望

第六節(jié)指數(shù)分佈

第七節(jié)收斂性和極限定理

第一節(jié)概率

一、基本概念

1．隨機(jī)試驗(yàn)

其結(jié)果在事先不能確定的試驗(yàn)。具有三個(gè)特性：（1）可以在相同的條件下重複進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，並能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果；（3）每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。首頁(yè)2．樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，記為

。其中每一個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。樣本空間的一個(gè)子集E。對(duì)樣本空間

的每一個(gè)事件E，都有一實(shí)數(shù)P（E）與之對(duì)應(yīng)，且滿足：（1）3．隨機(jī)事件4．概率（3）對(duì)兩兩互不相容的事件序列（2）則稱P（E）為事件E的概率。首頁(yè)二、概率的性質(zhì)：1234設(shè)兩兩互不相容，則5設(shè)兩兩互不相容的事件則對(duì)於任意事件A，有首頁(yè)三、概率的連續(xù)性

1．極限事件

對(duì)於事件若則稱事件序列遞增，若則稱事件序列遞減。

這樣可定義一個(gè)新的事件，記為首頁(yè)

2．連續(xù)性定理若是遞增的或遞減的事件序列，證明則即由包含在中但不在任何前面的（）中的點(diǎn)組成。設(shè)是遞增序列，並定義事件：定理1首頁(yè)容易驗(yàn)證（）是互不相交的事件，且滿足和於是首頁(yè)設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，

為其樣本空間，A、B為任意兩個(gè)事件，四、條件概率為事件A出現(xiàn)的情況下，事件B的條件概率，或簡(jiǎn)稱事件B關(guān)於事件A的條件概率。若1．定義則稱首頁(yè)定理2（乘法公式）

2．基本公式

假設(shè)為任意n個(gè)事件（），若則首頁(yè)定理3（全概率公式與貝葉斯公式）設(shè)事件兩兩互不相容，則（1）對(duì)任意事件A，有（2）對(duì)任意事件A

，若，有首頁(yè)五、獨(dú)立性如果事件A，B滿足

設(shè)是n個(gè)事件，如果對(duì)於任意和，有則稱事件相互獨(dú)立。則稱事件A，B相互獨(dú)立。1．定義兩個(gè)n個(gè)首頁(yè)2．獨(dú)立性的性質(zhì)定理4

若事件A，B相互獨(dú)立，則；；分別也相互獨(dú)立.定理5

設(shè)事件相互獨(dú)立，若其中任意個(gè)事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的對(duì)立事件，則所得的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。

推論若事件相互獨(dú)立，則

首頁(yè)證返回首頁(yè)

一、一維隨機(jī)變數(shù)的分佈

第二節(jié)隨機(jī)變數(shù)及其分佈

1．隨機(jī)變數(shù)

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)於每一個(gè)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)係稱為一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，記作或X。2．分佈函數(shù)

隨機(jī)變數(shù)X取值不超過x的概率，稱為X的分佈函數(shù)（其中x為任意實(shí)數(shù)），記為即首頁(yè)分佈函數(shù)F（x）具有下列性質(zhì)：12

是非降函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，有34F（x）是右連續(xù)的，即首頁(yè)3．分佈密度

最常見的隨機(jī)變數(shù)是離散型和連續(xù)型兩種。

離散型隨機(jī)變數(shù)

隨機(jī)變數(shù)X的可能取值僅有有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)。

設(shè)是離散型隨機(jī)變數(shù)X的所有可能的取值，是的概率：則稱上式為X的概率分佈或分佈率。且滿足首頁(yè)3．分佈密度

連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)如果對(duì)於隨機(jī)變數(shù)X的分佈函數(shù)為F（x），存在非負(fù)的函數(shù)f（x）,使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，f（x）稱為X的概率密度，且滿足首頁(yè)二、隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合分佈

1．聯(lián)合分佈函數(shù)

設(shè)是樣本空間

的n個(gè)隨機(jī)變數(shù)，為任意實(shí)數(shù)，則稱

特別地為隨機(jī)變數(shù)的n維聯(lián)合分佈函數(shù)即是X，Y的二維聯(lián)合分佈函數(shù)首頁(yè)2．二維分佈密度離散型

設(shè)（X，Y）所有可能的取值為，而是（X，Y）取值為的概率，即則稱上式為二維離散型隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分佈律。它滿足首頁(yè)2．二維分佈密度連續(xù)型

如果存在一個(gè)非負(fù)的二元函數(shù)f（x，y）,使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y有則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，f（x，y）稱為（X，Y）的概率密度，滿足：首頁(yè)3．邊緣分佈及獨(dú)立性邊緣分佈

設(shè)（X，Y）的分佈函數(shù)為，則X，Y的分佈函數(shù)、，依次稱為關(guān)於X和關(guān)於Y的邊緣分佈函數(shù)，且有

獨(dú)立性則稱隨機(jī)變數(shù)X和Y是相互獨(dú)立的。首頁(yè)離散型若隨機(jī)變數(shù)（X，Y）的聯(lián)合分佈律分別稱為（X，Y）關(guān)於X和Y的邊緣分佈律。則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是首頁(yè)連續(xù)型若隨機(jī)變數(shù)（X，Y）的概率密度為則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是分別稱為（X，Y）關(guān)於X和Y邊緣概率密度。首頁(yè)4．條件分佈函數(shù)離散型若，則稱為在條件下，隨機(jī)變數(shù)X的條件分佈律。同樣為在條件下，隨機(jī)變數(shù)Y的條件分佈律。首頁(yè)4．條件分佈函數(shù)連續(xù)型稱為在條件下，隨機(jī)變數(shù)X的條件分佈律。同樣稱為在條件下，隨機(jī)變數(shù)Y的條件分佈律。注意：分母不等於0返回首頁(yè)第三節(jié)隨機(jī)變數(shù)的數(shù)字特徵一、期望和方差

1．期望設(shè)離散型隨機(jī)變數(shù)X的分佈律為

則

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)X的概率密度為，則首頁(yè)函數(shù)期望當(dāng)X為離散型隨機(jī)變數(shù)則

當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，則首頁(yè)2。方差

稱隨機(jī)變數(shù)的期望為X的方差，即

計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)係式：首頁(yè)3．性質(zhì)（1）（2）

（3）若X和Y相互獨(dú)立，則（4）的充要條件是返回首頁(yè)3．性質(zhì)（5）（柯西—許瓦茲不等式）等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

（6）若X為非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變數(shù)，則

證首頁(yè)（7）若X為非負(fù)值的隨機(jī)變數(shù)，則最後對(duì)每一叢向列求和，即得。首頁(yè)1．協(xié)方差計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)係式：二、協(xié)方差和相關(guān)係數(shù)

2.相關(guān)係數(shù)

首頁(yè)3．性質(zhì)（1）

（2）若X和Y相互獨(dú)立，則（4）的充要條件是X與Y以概率1

線性相關(guān)，即（3）返回首頁(yè)例1

設(shè)X

N（0，1），求

解

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，依次遞推，注意到，故首頁(yè)

在一次集會(huì)上，n個(gè)人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而後每個(gè)人隨機(jī)地選取一項(xiàng)，求每人拿到自己的帽子的人數(shù)X的均值和方差。例2（匹配問題）

解利用運(yùn)算式其中即求EX、DX故因首頁(yè)又

而得故所以返回首頁(yè)一、矩母函數(shù)

第四節(jié)矩母函數(shù)和特徵函數(shù)1．定義稱的數(shù)學(xué)期望為X的矩母函數(shù)2．原點(diǎn)矩的求法利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對(duì)逐次求導(dǎo)並計(jì)算在點(diǎn)的值：首頁(yè)3．和的矩母函數(shù)定理1

設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)的矩母函數(shù)分別為，，…，，則其和的矩母函數(shù)為…首頁(yè)例1設(shè)X與Y是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變數(shù)，各自的均值為與，方差為與，求X+Y的矩母函數(shù)。解而正態(tài)分佈的矩母函數(shù)為所以首頁(yè)

二、特徵函數(shù)1.複隨機(jī)變數(shù)設(shè)X，Y為二維（實(shí)）隨機(jī)變數(shù)，則稱為複隨機(jī)變數(shù).2.數(shù)學(xué)期望3.特徵函數(shù)

設(shè)X為隨機(jī)變數(shù)，稱複隨機(jī)變數(shù)的數(shù)學(xué)期望為X的特徵函數(shù)，其中t是實(shí)數(shù)。還可寫成首頁(yè)4．特徵函數(shù)與分佈函數(shù)的關(guān)係特徵函數(shù)與分佈函數(shù)相互唯一確定。特別當(dāng)存在時(shí)，有5．特徵函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1

對(duì)任何實(shí)數(shù)t，

證首頁(yè)性質(zhì)2證性質(zhì)3設(shè)a，b為任意實(shí)數(shù)，，則Y的特征函數(shù)有證首頁(yè)性質(zhì)4性質(zhì)5設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)的特徵函數(shù)分別為，，…，則和若隨機(jī)變數(shù)X的n階絕對(duì)矩存在，即則X的特徵函數(shù)有n階導(dǎo)數(shù)，且有的特徵函數(shù)為…首頁(yè)例2設(shè)隨機(jī)變數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分佈，求X的特徵函數(shù)。解由於所以首頁(yè)例3

設(shè)隨機(jī)變數(shù)X服從[a，b]上的均勻分佈，求X的特徵函數(shù)。解X的概率密度為所以首頁(yè)例4設(shè)X

~B（n，p），求X的特徵函數(shù)及和。解X的分佈律為所以由性質(zhì)4知故首頁(yè)常見分佈的數(shù)學(xué)期望、方差和特徵函數(shù)返回見教材首頁(yè)一、條件期望的定義

第五節(jié)條件期望

離散型其中連續(xù)型其中條件概率密度首頁(yè)二、全數(shù)學(xué)期望公式定理1

對(duì)一切隨機(jī)變數(shù)X和Y，有連續(xù)型是隨機(jī)變數(shù)Y的函數(shù)，當(dāng)時(shí)取值因而它也是隨機(jī)變數(shù)。離散型首頁(yè)證只證（X，Y）是離散型隨機(jī)向量時(shí)的情況首頁(yè)

一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走3個(gè)小時(shí)可到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走5個(gè)小時(shí)又返回原處，從第三個(gè)通道出去要走7個(gè)小時(shí)也返回原處。設(shè)任一時(shí)刻都等可能地選中其中一個(gè)通道，試問他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多長(zhǎng)時(shí)間。例1解

設(shè)X表示礦工到達(dá)安全地點(diǎn)所需時(shí)間，Y表示他選定的通道，則由定理1可知

所以首頁(yè)

設(shè)在某一天內(nèi)走進(jìn)一個(gè)商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望等於100的隨機(jī)變數(shù)，又設(shè)這些顧客所花的錢都為數(shù)學(xué)期望是10元的相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，再設(shè)一個(gè)顧客化錢時(shí)和進(jìn)入該商店的總?cè)藬?shù)獨(dú)立，試問在給定的一天內(nèi)，顧客們?cè)谠摰晁X的期望值為多少？例2解設(shè)N表示進(jìn)入該店的顧客人數(shù)，表示第i個(gè)顧客所花的錢數(shù)，則N個(gè)顧客所花錢的總數(shù)為則一天內(nèi)顧客們?cè)谠摰晁X的期望值是首頁(yè)而從而由假設(shè)所以於是它說(shuō)明顧客們花費(fèi)在該店錢數(shù)的期望值為1000元。首頁(yè)三、條件期望的應(yīng)用

定理2設(shè)X、Y是隨機(jī)變數(shù)，是Borel函數(shù)，證

下麵的命題說(shuō)明在均方意義下，在已知隨機(jī)變數(shù)X的條件下，是Y的最佳預(yù)測(cè)。則首頁(yè)由於當(dāng)X取定值時(shí)是常數(shù)，所以故得

由定理1，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。首頁(yè)

通常當(dāng)我們觀察到時(shí)，是一切對(duì)Y的估值中均方誤差最小的一個(gè)，我們稱之為Y關(guān)於X的回歸。例3

設(shè)身高為x（cm）的男子，其成年兒子的身高服從均值為，方差為10的正態(tài)分佈，問身高為175cm的男子，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是多少？令X表示父親身高，Y表示兒子身高，則解

N（0，10）與X獨(dú)立Y的最佳預(yù)測(cè)是即其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是178cm。返回首頁(yè)

一、指數(shù)分佈的定義

第六節(jié)指數(shù)分佈若連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)X的概率密度為分佈函數(shù)為則稱X具有參數(shù)為的指數(shù)分佈。首頁(yè)二、無(wú)記憶性若隨機(jī)變數(shù)X滿足則稱隨機(jī)變數(shù)X是無(wú)記憶的。

如果我們把X看作某儀器的壽命，則X的無(wú)記憶性表示:

在儀器已工作了t小時(shí)的條件下，它至少工作小時(shí)的概率與它原來(lái)至少工作s小時(shí)的概率是相同的。換句話說(shuō)如果儀器在時(shí)刻t是完好的，則它的剩餘壽命的分佈就是原來(lái)壽命的分佈。首頁(yè)

考慮一個(gè)有兩名營(yíng)業(yè)員的郵局。假設(shè)當(dāng)A進(jìn)去時(shí)，他發(fā)現(xiàn)一名營(yíng)業(yè)員正在給B辦事而另一名營(yíng)業(yè)員正在為C服務(wù)。還假設(shè)已告訴A

，一旦B或C離開就為他服務(wù)。如果一個(gè)營(yíng)業(yè)員為一個(gè)顧客所花的時(shí)間服從均值是的指數(shù)分佈。三個(gè)顧客中A最後離開郵局的概率是多少？例1解考慮A發(fā)現(xiàn)一個(gè)營(yíng)業(yè)員有空的時(shí)刻，此時(shí)B與C中有一個(gè)剛好離開而另一個(gè)仍在接受服務(wù)。由指數(shù)分佈的無(wú)記憶性，這另一個(gè)人在郵局再花費(fèi)的時(shí)間也服從指數(shù)分佈，其均值仍為，即仿佛他才開始服務(wù).因此由對(duì)稱性，他在A之前結(jié)束服務(wù)的概率為，故A最後離開郵局的概率也是。首頁(yè)

三、失效率函數(shù)

指數(shù)變數(shù)的無(wú)記憶性可有指數(shù)分佈的失效率函數(shù)（也稱風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)）進(jìn)一步予以闡明。1．定義設(shè)是一個(gè)非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變數(shù)X的分佈函數(shù)，其密度函數(shù)，則稱為X的失效（或風(fēng)險(xiǎn)）率函數(shù)。存活函數(shù)首頁(yè)2．的直觀解釋

為了闡明的意義，把X設(shè)想為某種元件的壽命，且X假定已經(jīng)存活t

小時(shí)，我們要求再過時(shí)間dt它失效的概率，即考慮由於可見表示一個(gè)t歲的元件將失效的可能性大小，即元件將失效的概率強(qiáng)度。首頁(yè)3．生起率假設(shè)壽命分佈是指數(shù)分佈，那麼由無(wú)記憶性，一個(gè)t歲的元件的剩餘壽命的分佈與一個(gè)新元件的壽命分佈相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。事實(shí)上指數(shù)分佈的失效率函數(shù)是常數(shù)。參數(shù)常稱為分佈的生起率（或速率）。於是4．失效率函數(shù)與分佈函數(shù)關(guān)係（1）失效率函數(shù)唯一決定分佈原因是首頁(yè)積分得

即令得因而即（2）決定（有的定義可知）一個(gè)概率分佈可用它的失效率（如果存在的話）來(lái)描述。因此返回首頁(yè)一、收斂性

第七節(jié)收斂性和極限定理1．概率1收斂（或幾乎處處收斂）如果隨機(jī)變數(shù)序列以概率1收斂於X，或稱幾乎處處收斂於X，記作則稱首頁(yè)如果2．均方收斂對(duì)於所有的有隨機(jī)變數(shù)序列以均方收斂於X，記作且則稱首頁(yè)如果3．依概率收斂對(duì)於任意給定的正數(shù)，有隨機(jī)變數(shù)序列依概率收斂於X，記作則稱首頁(yè)如果4．依分佈收斂設(shè)，分別為隨機(jī)變數(shù)及X的分佈函數(shù)隨機(jī)變數(shù)序列以分佈收斂於X，記作則稱

對(duì)於的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)x，有首頁(yè)（1）若均方收斂，則必為依概率收斂；收斂性之間的關(guān)係（2）若以概率1收斂，則必為依概率收斂；（3）若依概率收斂，則必為依分佈收斂。均方收斂與以概率1收斂不存在確定的關(guān)係。注二、極限定理1．強(qiáng)大數(shù)定理

如果獨(dú)立同分佈，具有均值，則首頁(yè)2．中心極限定理

如果獨(dú)立同分佈，具有均值與方差，則注若令，其中獨(dú)立同分佈則強(qiáng)大數(shù)定理表明以概率1收斂於；中心極限定理表明當(dāng)時(shí)，有漸進(jìn)正態(tài)分佈。首頁(yè)

基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)

-------隨機(jī)微分方程

第一節(jié)引言

第二節(jié)隨機(jī)微分方程的求解

第三節(jié)隨機(jī)微分方程的主要形式

第四節(jié)股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的特性

第一節(jié)引言隨機(jī)微分方程即將隨機(jī)價(jià)格的變動(dòng)分解為可預(yù)測(cè)和不可預(yù)測(cè)兩部分，且分解過程用到在時(shí)刻t的資訊集。

對(duì)於不同的市場(chǎng)參與者來(lái)說(shuō)他擁有不同的資訊集，那麼隨機(jī)微分方程的含義不同。如：假如一個(gè)市場(chǎng)參與者擁有“內(nèi)幕資訊”，可事先獲知影響價(jià)格變動(dòng)的所有隨機(jī)事件，則在這種（非現(xiàn)實(shí)）情況下上式中的擴(kuò)展項(xiàng)等於零。首頁(yè)隨機(jī)微分方程的具體形式以及誤差項(xiàng)的定義都要依賴於資訊集即維納過程與資訊集相對(duì)應(yīng)。原因參與者知道將如何變化，他就能完全預(yù)測(cè)這一變數(shù)，即對(duì)任一時(shí)刻而言都有因此這類參與者的隨機(jī)微分方程可寫作而其他參與者的隨機(jī)微分方程則是不變。表明首頁(yè)隨機(jī)微分方程可用於對(duì)衍生金融資產(chǎn)定價(jià)的原因?qū)稑?biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是如何隨時(shí)間而發(fā)生變動(dòng)，此方程不但給出一個(gè)規(guī)範(fàn)的模型，而且其推導(dǎo)過程與金融市場(chǎng)中的交易者行為是一致的。實(shí)際上：在一個(gè)給定的交易日中，隨著時(shí)間的推移，交易者總是不斷地預(yù)測(cè)資產(chǎn)的價(jià)格並隨時(shí)記錄新事件的發(fā)生。這些事件中總會(huì)包含一些不可預(yù)測(cè)的部分，但過後這些不可預(yù)測(cè)部分也會(huì)被觀測(cè)，此時(shí)這些事件均已成為已知事件，並變?yōu)榻灰渍邠碛械男沦Y訊集的一部分。首頁(yè)隨機(jī)微分方程模型一般條件即隨著時(shí)間地推移，主參數(shù)和擴(kuò)展參數(shù)不會(huì)發(fā)生太大幅度地變動(dòng)。返回首頁(yè)第二節(jié)隨機(jī)微分方程的求解隨機(jī)微分方程所含未知數(shù)是一個(gè)隨機(jī)過程，因而求其解就是要找尋一個(gè)隨機(jī)過程，使其運(yùn)動(dòng)軌跡及發(fā)生概率都與其它需準(zhǔn)確測(cè)量的軌跡相關(guān)聯(lián)。一、解的含義首頁(yè)觀察在很短的且不連續(xù)的時(shí)間間隔上的有限差若此方程的解是一個(gè)隨機(jī)過程，則意味著1、如何找到一系列用ｋ來(lái)標(biāo)識(shí)的隨機(jī)變數(shù)，以滿足上式中的增量2、能否知道滿足方程的隨機(jī)過程的時(shí)態(tài)函數(shù)和分佈函數(shù)。3、對(duì)任一給定的和，能否找到一系列的亂數(shù)對(duì)於所有的ｋ而言都滿足上面的等式。首先首頁(yè)再尋求當(dāng)時(shí)間間隔h趨於0時(shí)的方程的解其次如果連續(xù)的時(shí)間過程，滿足下列方程則定義是隨機(jī)微分方程的解。首頁(yè)則隨機(jī)過程：二、解的類型1．強(qiáng)解已知主參數(shù)，擴(kuò)展參數(shù)以及隨機(jī)變動(dòng)項(xiàng)稱為隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解。強(qiáng)解與一般微分方程的解是相似的注首頁(yè)2．弱解其中是一維納過程.求得過程已知主參數(shù)，擴(kuò)展參數(shù)使其滿足下麵隨機(jī)微分方程則稱是隨機(jī)微分方程的弱解。首頁(yè)

與的區(qū)別相同點(diǎn)都是均值為0，方差等於的維納過程；密度函數(shù)的運(yùn)算式相同。從這個(gè)意義上來(lái)講，這兩個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不存在什麼區(qū)別。不同點(diǎn)限定二者的一系列資訊集不同。

雖然基本的密度函數(shù)是相同的，但如果被不同的資訊集來(lái)衡量，那實(shí)際上這兩個(gè)隨機(jī)過程代表了現(xiàn)實(shí)生活中根本不同的兩種現(xiàn)象。說(shuō)明1首頁(yè)其中的擴(kuò)展項(xiàng)包含外生變數(shù)，它表示影響價(jià)格進(jìn)行完全不可預(yù)測(cè)變動(dòng)的極其微小的事件。這一系列小事件形成的“歷史”就是ｔ時(shí)刻的資訊集。計(jì)算強(qiáng)解是在給定時(shí)，求滿足方程的值，也就是說(shuō)為得到強(qiáng)解，需要知道集合，強(qiáng)解與是相互對(duì)應(yīng)的。計(jì)算弱解時(shí)不需要考慮生成資訊集的過程，但需考慮與過程的相關(guān)聯(lián)。又過程可生成另外的資訊集，且它是的鞅。說(shuō)明2因此，弱解需要滿足首頁(yè)強(qiáng)解和弱解具有相同的主項(xiàng)和擴(kuò)展項(xiàng)，因此和具有相似的統(tǒng)計(jì)特性。給定均值和方差，兩解雖然有所不同，但我們並不能把二者區(qū)別開來(lái)。若誤差項(xiàng)已知，則金融分析家會(huì)選擇強(qiáng)解。三、解的選擇但是在運(yùn)用解隨機(jī)微分方程的辦法來(lái)對(duì)衍生金融產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)時(shí)，並不能準(zhǔn)確獲悉過程的實(shí)際情況，我們能夠運(yùn)用的只有其波動(dòng)率和波動(dòng)趨勢(shì)，因而，在這種情況下給衍生產(chǎn)品定價(jià)，應(yīng)運(yùn)用弱解。首頁(yè)四、隨機(jī)微分方程解的證明看一個(gè)特殊的隨機(jī)微分方程：

即在對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)之中運(yùn)用的布萊克——休斯模型。變形首先計(jì)算由於普通積分首頁(yè)而雖含有一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)，但的係數(shù)是一個(gè)不隨時(shí)間而改變的常數(shù)。因故即隨機(jī)微分方程的任何解都必須滿足這一積分方程

下麵用伊藤定理來(lái)解決這一方程。考察備選項(xiàng)：首頁(yè)用伊藤定理來(lái)計(jì)算隨機(jī)微分即若則這正是給定的隨機(jī)微分方程。因此，求得隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解為：首頁(yè)要求隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解，應(yīng)考慮備選解法，即找出依賴於參數(shù)的函數(shù)，如然後運(yùn)用伊藤定理來(lái)檢驗(yàn)這一備選項(xiàng)是否滿足隨機(jī)微分方程或相應(yīng)的積分方程。注五、資產(chǎn)現(xiàn)值的應(yīng)用假設(shè)是某資產(chǎn)的價(jià)格，其價(jià)值的增加帶有不確定性，即則此隨機(jī)微分方程強(qiáng)解的備選答案是首頁(yè)且最有效的預(yù)測(cè)值是條件期望：則資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)為：即現(xiàn)值等於時(shí)刻Ｔ的預(yù)期價(jià)值用折現(xiàn)率ｒ來(lái)進(jìn)行折現(xiàn)。首頁(yè)要證明結(jié)論成立，需先計(jì)算由於故求的方法：（兩種）（1）其中表示維納過程的條件密度函數(shù)利用維納過程的密度函數(shù)直接求。（很難）首頁(yè)（2）

利用伊藤定理間接來(lái)求。（簡(jiǎn)單）首先，令其次，用伊藤定理再次，考慮相應(yīng)的積分方程最後，兩邊求均值而首頁(yè)故若記則有所以且故得即從而首頁(yè)即所以首頁(yè)特別即當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格等於預(yù)期將來(lái)的價(jià)格用折現(xiàn)率r來(lái)進(jìn)行折現(xiàn)。返回首頁(yè)第三節(jié)隨機(jī)微分方程的主要形式本節(jié)介紹幾種特殊的隨機(jī)微分方程，並說(shuō)明它們是代表何種資產(chǎn)的價(jià)格以及是如何運(yùn)用的。一、常係數(shù)線性隨機(jī)微分方程形式為：其中是變數(shù)t的標(biāo)準(zhǔn)維納過程隨機(jī)微分方程中，主係數(shù)及擴(kuò)展係數(shù)不隨時(shí)間的變動(dòng)而變化，即與資訊集是不相關(guān)的。首頁(yè)方差適用條件在短暫的時(shí)間間隔h中，價(jià)格變動(dòng)的均值（1）資產(chǎn)價(jià)格比較穩(wěn)定；（2）價(jià)格變化趨勢(shì)是線性的；（3）波動(dòng)項(xiàng)不是無(wú)限大；（4）資產(chǎn)價(jià)格不存在一種規(guī)律的“跳躍性”。常係數(shù)的隨機(jī)微分方程描述的是資產(chǎn)價(jià)格圍繞線性趨勢(shì)進(jìn)行的一種波動(dòng)。首頁(yè)二、幾何隨機(jī)微分方程布萊克和休斯模型形式為：即主參數(shù)和擴(kuò)展參數(shù)都依賴於時(shí)刻t所掌握的資訊，且趨勢(shì)變動(dòng)和標(biāo)準(zhǔn)變動(dòng)與是成正比的。變形即說(shuō)明主項(xiàng)與擴(kuò)展項(xiàng)對(duì)於的相對(duì)變動(dòng)仍是一個(gè)不變的常數(shù)。幾何模型描述的是資產(chǎn)價(jià)格價(jià)格在一種指數(shù)趨勢(shì)上的隨機(jī)波動(dòng)。對(duì)大多數(shù)資產(chǎn)價(jià)格來(lái)說(shuō)，這種指數(shù)趨勢(shì)似乎更符合實(shí)際。首頁(yè)三、平方根過程形式為：

遵循指數(shù)變動(dòng)趨勢(shì)，但標(biāo)準(zhǔn)差則是的平方根的函數(shù)。方差即方差與成正比的。在實(shí)際情況中，這會(huì)增大了相對(duì)於的變動(dòng)。誤差項(xiàng)的方差與是成比例的。因此，若隨的增大，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)率不是迅速增加，運(yùn)用此模型更為合適。方差首頁(yè)四、均值調(diào)整過程形式為：若比均值小，則，這就使得傾向於為正數(shù)，故最終回復(fù)到均值。說(shuō)明均值調(diào)整過程有一變動(dòng)主趨勢(shì)，但此趨勢(shì)的偏差不是完全隨機(jī)的。過程可與長(zhǎng)期趨勢(shì)發(fā)生較小的偏離，但最終會(huì)回復(fù)到正常趨勢(shì)，這種偏離的平均度是由參數(shù)來(lái)控制的，但參數(shù)變小時(shí)，偏離的時(shí)間會(huì)變長(zhǎng)。這時(shí)資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)顯示出一些可預(yù)見的週期性，使得模型與市場(chǎng)的有效性假設(shè)相違背。首頁(yè)五、奧倫斯坦——烏倫貝克過程形式為：其中主項(xiàng)與負(fù)相關(guān)，係數(shù)為；擴(kuò)展項(xiàng)屬於常參數(shù)類型。屬於均值調(diào)整隨機(jī)微分方程的一個(gè)特例。說(shuō)明這個(gè)模型表示資產(chǎn)價(jià)格在0附近波動(dòng)，並且其偏離最終會(huì)回到長(zhǎng)期的0均值狀態(tài)，參數(shù)控制這種偏離的時(shí)間，越大，回復(fù)均值的速度越快。首頁(yè)六、隨機(jī)波動(dòng)率隨機(jī)微分方程的主參數(shù)和擴(kuò)展參數(shù)可通過隨機(jī)性獲得，這對(duì)於衍生金融產(chǎn)品而言，更具有應(yīng)用價(jià)值。因?yàn)椴▌?dòng)率不僅隨時(shí)間的變動(dòng)而變動(dòng)，而且在給定的價(jià)格下波動(dòng)也是隨機(jī)的。如設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)微分方程：

的變動(dòng)遵循隨機(jī)微分方程：其中維納過程，是相關(guān)的首頁(yè)資產(chǎn)波動(dòng)率的長(zhǎng)期均值為，但在任一時(shí)刻t，實(shí)際的波動(dòng)率可能會(huì)偏離這一長(zhǎng)期均值，調(diào)整係數(shù)為則市場(chǎng)參與者可以根據(jù)這些因素，更好地計(jì)算預(yù)期的資產(chǎn)價(jià)格及預(yù)期的價(jià)格波動(dòng)率。運(yùn)用這種漸進(jìn)的隨機(jī)微分方程，我們可獲得愈來(lái)愈複雜的模型以反映現(xiàn)實(shí)生活中的金融現(xiàn)象。增量對(duì)變動(dòng)率有不可預(yù)測(cè)的衝擊，它與對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的衝擊是不相關(guān)的。返回首頁(yè)

下麵應(yīng)用伊托定理來(lái)推導(dǎo)變化所遵循的隨機(jī)過程。第四節(jié)股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的特性

如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即定義由於所以有伊托公式可得，函數(shù)G所遵循的過程為首頁(yè)由於和是常數(shù)，所以上式表明G遵循的是推廣的維納過程。它具有常數(shù)漂移率和常數(shù)方差率。從而表明，從時(shí)間t到T期間，的變化呈正態(tài)分佈特徵，其均值為方差為若令S表示現(xiàn)在時(shí)間t的股票價(jià)格，表示在未來(lái)某時(shí)T的股票價(jià)格，則在時(shí)間區(qū)間中的變化就是首頁(yè)即有其中表示均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為n的正態(tài)分佈。根據(jù)正態(tài)分佈的特徵，則下式也成立：這表明服從正態(tài)分佈，其標(biāo)準(zhǔn)差與成比例，也就是說(shuō)股票價(jià)格對(duì)數(shù)變化的不確定性是以標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估算的，且與估算的時(shí)間長(zhǎng)短的平方根成比例。首頁(yè)例6設(shè)有某種股票，其初始價(jià)格為40美元，年預(yù)期收益率為16%，年波動(dòng)性為20%。六個(gè)月後，該股票價(jià)格的概率分佈是什麼？計(jì)算該分佈的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（95%的置信區(qū)間）。解在六個(gè)月後，股票價(jià)格的隨機(jī)分佈服從對(duì)數(shù)正態(tài)分佈，即有故

由於一個(gè)正態(tài)變數(shù)，位於均值的標(biāo)準(zhǔn)差為1.96範(fàn)圍以內(nèi)的概率為95%，所以的置信區(qū)間為首頁(yè)故即是說(shuō)，在六個(gè)月之後股票價(jià)格在32.55和56.56之間的概率為95%。由於服從正態(tài)分佈，從而具有對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的特徵，因此可以得到的期望值和方差：首頁(yè)例7假設(shè)某種股票當(dāng)前的價(jià)格為20美元，每年的預(yù)期收益率為20%，每年的波動(dòng)率為40%，則在一年後股票價(jià)格的均值和方差是多少？解一年後股票價(jià)格服從正態(tài)分佈，其均值為方差為首頁(yè)

馬爾可夫過程第一節(jié)馬爾可夫鏈的定義及其性質(zhì)第二節(jié)馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類第三節(jié)平穩(wěn)分佈與遍曆性第四節(jié)時(shí)間連續(xù)的馬爾可夫鏈習(xí)題課第一節(jié)馬爾可夫鏈的定義及其性質(zhì)一、馬爾可夫鏈的定義1．馬爾可夫鏈?zhǔn)醉?yè)注:而與以前的狀態(tài)有限馬氏鏈狀態(tài)空間是有限集I={0,1,2,…，k}2．一步轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈在時(shí)刻n處?kù)稜顟B(tài)i

的條件下，到時(shí)刻n+1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j

的條件概率，即稱為在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移概率，首頁(yè)注:由於概率是非負(fù)的，且過程從一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移後，必到達(dá)狀態(tài)空間中的某個(gè)狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率滿足3．一步轉(zhuǎn)移矩陣稱為在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移矩陣首頁(yè)即有有限馬氏鏈狀態(tài)空間I={0，1，2，…，k}首頁(yè)4．齊次馬氏鏈即則稱此馬氏鏈為齊次馬氏鏈（即關(guān)於時(shí)間為齊次）5．初始分佈首頁(yè)注馬氏鏈在初始時(shí)刻有可能處?kù)禝中任意狀態(tài)，初始分佈就是馬氏鏈在初始時(shí)刻的概率分佈。6．絕對(duì)分佈概率分佈稱為馬氏鏈的絕對(duì)分佈或稱絕對(duì)概率定態(tài)分佈即首頁(yè)例1不可越壁的隨機(jī)遊動(dòng)設(shè)一質(zhì)點(diǎn)線上段[1，5]上隨機(jī)遊動(dòng)，狀態(tài)空間I={1，2，3，4，5}，每秒鐘發(fā)生一次隨機(jī)遊動(dòng)，移動(dòng)的規(guī)則是：（1）若移動(dòng)前在2，3，4處，則均以概率向左或向右移動(dòng)一單位，或停留在原處；（2）若移動(dòng)前在1處，則以概率1移到2處；（3）若移動(dòng)前在5處，則以概率1移到4處。試寫出一步轉(zhuǎn)移矩陣.首頁(yè)分析故12345首頁(yè)其一步轉(zhuǎn)移矩陣為若將移動(dòng)規(guī)則改為（1）若移動(dòng)前在2，3，4處，則均以概率向左或向右移動(dòng)一單位；（2）若移動(dòng)前在1，5處，則以概率1停留在原處。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在1，5兩點(diǎn)被“吸收”，故稱有兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)遊動(dòng)首頁(yè)分析例2

賭徒輸光問題賭徒甲有資本a元，賭徒乙有資本b元，兩人進(jìn)行賭博，每賭一局輸者給贏者1元，沒有和局，直賭至兩人中有一人輸光為止。設(shè)在每一局中，甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為，求甲輸光的概率。這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上是帶有兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)遊動(dòng)。從甲的角度看，他初始時(shí)刻處?kù)禷，每次移動(dòng)一格，向右移（即贏1元）的概率為p，向左移（即輸1元）的概率為q。如果一旦到達(dá)0（即甲輸光）或a+b（即乙輸光）這個(gè)遊動(dòng)就停止。這時(shí)的狀態(tài)空間為{0，1，2，…，c}，c=a+b，?，F(xiàn)在的問題是求質(zhì)點(diǎn)從a出發(fā)到達(dá)0狀態(tài)先於到達(dá)c狀態(tài)的概率。首頁(yè)考慮質(zhì)點(diǎn)從j出發(fā)移動(dòng)一步後的情況解同理根據(jù)全概率公式有這一方程實(shí)質(zhì)上是一差分方程，它的邊界條件是首頁(yè)於是設(shè)則可得到兩個(gè)相鄰差分間的遞推關(guān)係於是欲求先求需討論r首頁(yè)當(dāng)而兩式相比首頁(yè)故當(dāng)而因此故首頁(yè)用同樣的方法可以求得乙先輸光的概率由以上計(jì)算結(jié)果可知首頁(yè)例3排隊(duì)問題顧客到服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等候服務(wù)，在每一個(gè)服務(wù)週期中只要服務(wù)臺(tái)前有顧客在等待，就要對(duì)排在前面的一位提供服務(wù)，若服務(wù)臺(tái)前無(wú)顧客時(shí)就不能實(shí)施服務(wù)。則有求其轉(zhuǎn)移矩陣在第n週期已有一個(gè)顧客在服務(wù)，到第n+1週期已服務(wù)完畢首頁(yè)解先求出轉(zhuǎn)移概率首頁(yè)所以轉(zhuǎn)移矩陣為首頁(yè)說(shuō)明：二、基本性質(zhì)性質(zhì)1的聯(lián)合分佈可由初始分佈及轉(zhuǎn)移概率所決定，即有首頁(yè)則性質(zhì)2表明一個(gè)馬氏鏈，如果按相反方向的時(shí)間排列，所成的序列也是一個(gè)馬氏鏈。首頁(yè)性質(zhì)3表明若已知現(xiàn)在，則過去與未來(lái)是獨(dú)立的。首頁(yè)則性質(zhì)4表明若已知現(xiàn)在，則過去同時(shí)對(duì)將來(lái)各時(shí)刻的狀態(tài)都不產(chǎn)生影響。特別首頁(yè)則性質(zhì)5表明馬氏鏈的子鏈也是馬氏鏈?zhǔn)醉?yè)在馬氏鏈的研究中，須研究“從已知狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過n次轉(zhuǎn)移後，系統(tǒng)將處?kù)稜顟B(tài)j”的概率.三、n步轉(zhuǎn)移矩陣1．n步轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)在時(shí)刻m從狀態(tài)i經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移後處?kù)稜顟B(tài)j的概率稱為n步轉(zhuǎn)移概率由於馬氏鏈?zhǔn)驱R次的，這個(gè)概率與m無(wú)關(guān)首頁(yè)顯然有2．n步轉(zhuǎn)移矩陣稱為n步轉(zhuǎn)移矩陣規(guī)定首頁(yè)3．絕對(duì)概率公式定理1絕對(duì)概率由初始分佈和n維轉(zhuǎn)移概率完全確定即有證注若對(duì)定態(tài)分佈，則首頁(yè)4．切普曼---柯爾莫哥洛夫方程定理2則證首頁(yè)注（1）用一步轉(zhuǎn)移概率表示多步轉(zhuǎn)移概率首頁(yè)注I={1，2，…，N}由矩陣的乘法規(guī)則，得表示：在時(shí)刻n，各狀態(tài)的概率等於其初始狀態(tài)的概率與n步轉(zhuǎn)移概率矩陣之積。若鏈?zhǔn)驱R次的，則有首頁(yè)例4甲、乙兩人進(jìn)行比賽，設(shè)每局比賽中甲勝的概率是p，乙勝的概率是q，和局的概率是，（）。設(shè)每局比賽後，勝者記“+1”分，負(fù)者記“—1”分，和局不記分。當(dāng)兩人中有一人獲得2分結(jié)束比賽。以表示比賽至第n局時(shí)甲獲得的分?jǐn)?shù)。（1）寫出狀態(tài)空間；（3）問在甲獲得1分的情況下，再賽二局可以結(jié)束比賽的概率是多少？首頁(yè)解（1）

記甲獲得“負(fù)2分”為狀態(tài)1，獲得“負(fù)1分”為狀態(tài)2，獲得“0分”為狀態(tài)3，獲得“正1分”為狀態(tài)4，獲得“正2分”為狀態(tài)5，則狀態(tài)空間為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣首頁(yè)（2）二步轉(zhuǎn)移概率矩陣首頁(yè)（3）從而結(jié)束比賽的概率；從而結(jié)束比賽的概率。所以題中所求概率為返回首頁(yè)第二節(jié)馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類一、相通與閉集1．相通則稱自狀態(tài)i可到達(dá)狀態(tài)j則稱狀態(tài)i和狀態(tài)j相通說(shuō)明如果自狀態(tài)i不能到達(dá)狀態(tài)j，首頁(yè)定理1即它滿足（1）自反性（2）對(duì)稱性證（3）傳遞性（1），（2）顯然，下證（3）首頁(yè)證3則由相通定義，根據(jù)切普曼---柯爾莫哥洛夫方程，有同理可證首頁(yè)說(shuō)明

按相通關(guān)係是等價(jià)關(guān)係，可以把狀態(tài)空間I劃分為若干個(gè)不相交的集合（或者說(shuō)等價(jià)類），並稱之為狀態(tài)類。若兩個(gè)狀態(tài)相通，則這兩個(gè)狀態(tài)屬於同一類。任意兩個(gè)類或不相交或者相同。2．閉集設(shè)C為狀態(tài)空間I的一個(gè)子集，則C稱為閉集注1

若C為閉集，則表示自C內(nèi)任意狀態(tài)i出發(fā)，始終不能到達(dá)C以外的任何狀態(tài)j。顯然，整個(gè)狀態(tài)空間構(gòu)成一個(gè)閉集。首頁(yè)吸收態(tài)指一個(gè)閉集中只含一個(gè)狀態(tài)注2若狀態(tài)空間含有吸收狀態(tài)，那麼這個(gè)吸收狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)最小的閉集。3．不可約的

若除整個(gè)狀態(tài)空間I以外沒有其他的閉集，則稱此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s的。

如果閉集C的狀態(tài)都是相通的，則稱閉集C是不可約的。首頁(yè)例1其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)間的關(guān)係，並畫出狀態(tài)傳遞圖。解先按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖首頁(yè)2/31/41/41/31/21/20121/2圖3---1由圖可知狀態(tài)0可到達(dá)狀態(tài)1，經(jīng)過狀態(tài)1又可到達(dá)狀態(tài)2；反之，從狀態(tài)2出發(fā)經(jīng)狀態(tài)1也可到達(dá)狀態(tài)0。因此，狀態(tài)空間I的各狀態(tài)都是互通的。又由於I的任意狀態(tài)i(i=0，1，2)不能到達(dá)I以外的任何狀態(tài)，所以I是一個(gè)閉集而且I中沒有其他閉集所以此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s的。首頁(yè)例2其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試討論哪些狀態(tài)是吸收態(tài)、閉集及不可約鏈。解先按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖首頁(yè)111/21/21/2311/2圖3---24521

閉集，由圖可知狀態(tài)3為吸收態(tài)且閉集，閉集，其中是不可約的。又因狀態(tài)空間I有閉子集，故此鏈為非不可約鏈。首頁(yè)二、首達(dá)時(shí)間和狀態(tài)分類1．首達(dá)時(shí)間系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，首次到達(dá)狀態(tài)j的時(shí)刻稱為從狀態(tài)i出發(fā)首次進(jìn)入狀態(tài)j的時(shí)間，或稱自i到j(luò)的首達(dá)時(shí)間。如果這樣的n不存在，就規(guī)定說(shuō)明首頁(yè)自狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過n步首次到達(dá)狀態(tài)j的概率自狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)有窮步終於到達(dá)狀態(tài)j的概率注1首頁(yè)對(duì)於首次到達(dá)時(shí)間表示從狀態(tài)i出發(fā)首次返回狀態(tài)i所需的時(shí)間相應(yīng)的便是從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)有限步終於返回狀態(tài)i的概率，首頁(yè)2．首次到達(dá)分解式定理2

證設(shè)系統(tǒng)從狀態(tài)i經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j，由條件概率及馬氏性得首頁(yè)說(shuō)明(m=1，2，…，n)的所有可能值進(jìn)行分解，定理3

證充分性由定理2得從而所以首頁(yè)必要性由定理2得所以推論首頁(yè)3．常返態(tài)與暫態(tài)態(tài)則稱狀態(tài)i為常返態(tài)則稱狀態(tài)i為暫態(tài)態(tài)注“常返”一詞，有時(shí)又稱“返回”、“常駐”或“持久”“暫態(tài)”也稱“滑過”或“非常返”定理4證則系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移之後，必定以概率1返回狀態(tài)i。再由馬氏性系統(tǒng)返回狀態(tài)i要重複發(fā)生首頁(yè)這樣，系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，又返回，再出發(fā)，再返回，隨著時(shí)間的無(wú)限推移，將無(wú)限次訪問狀態(tài)i。將“不返回i”稱為成功，則首次成功出現(xiàn)的次數(shù)服從幾何分佈，這就是說(shuō)也就是說(shuō)以概率1只有有窮次返回i。首頁(yè)定理5證

令n=0，1，2，…因此，從狀態(tài)i出發(fā)，訪問狀態(tài)i的平均次數(shù)為由定理4，得證。首頁(yè)說(shuō)明本定理的等價(jià)形式：i為暫態(tài)態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)定理6證如果i為常返態(tài)，且，則j也是常返態(tài)。因由切普曼---可爾莫哥洛夫方程得上式兩邊對(duì)所有的s相加，得又因?yàn)閕為常返態(tài)，所以首頁(yè)故得從而即狀態(tài)j也是常返態(tài)定理7所有常返態(tài)構(gòu)成一個(gè)閉集證設(shè)i為常返態(tài)，即i和j相通。這是因?yàn)槿糇詊出發(fā)不能到達(dá)i，那麼從i出發(fā)到達(dá)j後，就不能再返回i，這與i是常返態(tài)的相矛盾。再由定理6知，j也是常返態(tài)，這就是說(shuō)，自常返態(tài)出發(fā)，只能到達(dá)常返態(tài)，不能到達(dá)暫態(tài)態(tài)。故常返態(tài)全體構(gòu)成一個(gè)閉集首頁(yè)4．狀態(tài)空間的分解如果已知類中有一個(gè)常返態(tài)，則這個(gè)類中其他狀態(tài)都是常返的；若類中有一個(gè)暫態(tài)態(tài)，則類中其他狀態(tài)都是暫態(tài)態(tài)。若對(duì)不可約馬氏鏈，則要麼全是常返態(tài)，要麼全是暫態(tài)態(tài)。定理8任一馬氏鏈的狀態(tài)空間I必可分解為其中N是暫態(tài)態(tài)集，而且首頁(yè)證記C為全體常返態(tài)所構(gòu)成的集合，則由定理7知C為閉集將C按相通關(guān)係分類：那麼再?gòu)酿N下的狀態(tài)中任取一個(gè)狀態(tài)如此進(jìn)行下去，並且顯然滿足條件（1）和（2）。首頁(yè)5．正常返態(tài)與零常返態(tài)平均返回時(shí)間從狀態(tài)i出發(fā)，首次返回狀態(tài)i的平均時(shí)間稱為狀態(tài)i平均返回時(shí)間.根據(jù)的值是有限或無(wú)限，可把常返態(tài)分為兩類：設(shè)i是常返態(tài)，則稱i為正常返態(tài)；則稱i為零常返態(tài)。首頁(yè)定理9設(shè)i是常返態(tài)，則（1）i是零常返態(tài)的充要條件是（2）i是正常返態(tài)的充要條件是證明（略）推論證因?yàn)槭醉?yè)由定理9，上式第一項(xiàng)有從而推論得證。首頁(yè)說(shuō)明用極限判斷狀態(tài)類型的準(zhǔn)則（2）i是零常返態(tài)（2）i是正常返態(tài)（1）i是暫態(tài)態(tài)且且首頁(yè)定理10證明由切普曼---可爾莫哥洛夫方程得由此可知由定理9知首頁(yè)6．有限馬氏鏈對(duì)有限狀態(tài)的馬氏鏈我們給出不加證明的性質(zhì)定理11（1）暫態(tài)態(tài)集N不可能是閉集；（2）至少有一個(gè)常返態(tài)；（3）不存在零常返態(tài)；（4）若鏈?zhǔn)遣豢杉s的，那麼狀態(tài)都是正常返的（5）其狀態(tài)空間可分解為是互不相交的由正常返態(tài)組成的閉集。首頁(yè)例3轉(zhuǎn)移矩陣試對(duì)其狀態(tài)分類。解按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖21/4111/41/411/4143首頁(yè)從圖可知，此鏈的每一狀態(tài)都可到達(dá)另一狀態(tài)，即4個(gè)狀態(tài)都是相通的。考慮狀態(tài)1是否常返，首頁(yè)類似地可求得所以於是狀態(tài)1是常返的。又因?yàn)樗誀顟B(tài)1是正常返的。由定理可知，此鏈所有狀態(tài)都是正常返的。首頁(yè)例4

設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={0,1,2,…}，其一步轉(zhuǎn)移概率為其中試證此馬氏鏈?zhǔn)且粋€(gè)不可約常返態(tài)鏈證先證I不可約設(shè)i，j是I中任意兩個(gè)狀態(tài)，則有首頁(yè)類似地可證所以即I中任意兩個(gè)狀態(tài)都是相通的。因此，I是一個(gè)不可約的閉集再證I中狀態(tài)0是一個(gè)常返態(tài)：由狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)則，得所以首頁(yè)由定義知狀態(tài)0為常返態(tài)。因此，由定理知I中所有狀態(tài)都是常返態(tài)。故此馬氏鏈為不可約常返鏈。首頁(yè)三、狀態(tài)的週期與遍曆1．週期狀態(tài)對(duì)於任意的，令其中GCD表示最大公約數(shù)則稱為週期態(tài)，則稱為非週期態(tài)。定理12首頁(yè)證所以存在正整數(shù)m、n，使則有則有因此有類似地可證得故首頁(yè)（2）所以從而i為非週期態(tài)。又因?yàn)轳R氏鏈不可約，所以j也是非週期態(tài)，從而該馬氏鏈?zhǔn)欠沁L期鏈。2．遍曆狀態(tài)若狀態(tài)i是正常返且非週期，則稱i為遍曆狀態(tài)。首頁(yè)例5設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={0,1,2,…}，轉(zhuǎn)移概率為試討論各狀態(tài)的遍曆性。解根據(jù)轉(zhuǎn)移概率作出狀態(tài)傳遞圖…1/21/21/21/21/21/20121/2圖3---431/2首頁(yè)從圖可知，對(duì)任一狀態(tài)都有，故由定理可知，I中的所以狀態(tài)都是相通的，因此只需考慮狀態(tài)0是否正常返即可。…故從而0是常返態(tài)。又因?yàn)樗誀顟B(tài)0為正常返。又由於故狀態(tài)0為非週期的從而狀態(tài)0是遍曆的。故所有狀態(tài)i都是遍曆的。返回首頁(yè)習(xí)題課1．帶有兩個(gè)反射壁的隨機(jī)遊動(dòng)如果狀態(tài)空間I={0，1，2，…，m}，移動(dòng)的規(guī)則是：（1）若移動(dòng)前在0處，則下一步以概率p向右移動(dòng)一個(gè)單位，以概率q停留在原處（p+q=1）；（2）若移動(dòng)前在m處，則下一步以概率q向左移動(dòng)一個(gè)單位，以概率p停留在原處；（3）若移動(dòng)前在其他點(diǎn)處，則均以概率p向右移動(dòng)一個(gè)單位，以概率q向左移動(dòng)一個(gè)單位。設(shè)表示在時(shí)刻n質(zhì)點(diǎn)的位置，則{，}是一個(gè)齊次馬氏鏈，寫出其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。首頁(yè)qp右反射壁m-1mpq左反射壁120首頁(yè)2．帶有反射壁的隨機(jī)遊動(dòng)設(shè)隨機(jī)遊動(dòng)的狀態(tài)空間I={0，1，2，…}，移動(dòng)的規(guī)則是：（1）若移動(dòng)前在0處，則下一步以概率p向右移動(dòng)一個(gè)單位，以概率q停留在原處（p+q=1）；（2）若移動(dòng)前在其他點(diǎn)處，則均以概率p向右移動(dòng)一個(gè)單位，以概率q向左移動(dòng)一個(gè)單位。設(shè)表示在時(shí)刻n質(zhì)點(diǎn)的位置，則{，}是一個(gè)齊次馬氏鏈，寫出其一步轉(zhuǎn)移概率。首頁(yè)pq反射壁1230首頁(yè)3．一個(gè)圓周上共有N格（按順時(shí)針排列），一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在該圓周上作隨機(jī)遊動(dòng)，移動(dòng)的規(guī)則是：質(zhì)點(diǎn)總是以概率p順時(shí)針遊動(dòng)一格，以概率逆時(shí)針遊動(dòng)一格。試求轉(zhuǎn)移概率矩陣。首頁(yè)4．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在全直線的整數(shù)點(diǎn)上作隨機(jī)遊動(dòng)，移動(dòng)的規(guī)則是：以概率p從i移到i-1，以概率q從i移到i+1，以概率r停留在i，且，試求轉(zhuǎn)移概率矩陣。首頁(yè)5．設(shè)袋中有a個(gè)球，球?yàn)楹谏幕虬咨?，今隨機(jī)地從袋中取一個(gè)球，然後放回一個(gè)不同顏色的球。若在袋裏有k個(gè)白球，則稱系統(tǒng)處?kù)稜顟B(tài)k，試用馬爾可夫鏈描述這個(gè)模型（稱為愛倫菲斯特模型），並求轉(zhuǎn)移概率矩陣。解這是一個(gè)齊次馬氏鏈，其狀態(tài)空間為I={—a，—a+1，…，—1，0，1，2，…，a}一步轉(zhuǎn)移矩陣是首頁(yè)1/31/211/31/211/312346．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={1，2，3，4}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為解試對(duì)其狀態(tài)分類。按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖它是有限狀態(tài)的馬氏鏈，故必有一個(gè)常返態(tài)，又鏈中四個(gè)狀態(tài)都是互通的。因此，所有狀態(tài)都是常返態(tài)，這是一個(gè)有限狀態(tài)不可約的馬氏鏈。可繼續(xù)討論是否為正常返態(tài)首頁(yè)可討論狀態(tài)11/31/211/31/211/31234首頁(yè)狀態(tài)1是常返態(tài)狀態(tài)1是正常返態(tài)所以，全部狀態(tài)都是正常返態(tài)首頁(yè)7．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={1，2，3，4，5}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)的類及週期性解各狀態(tài)間的傳遞圖首頁(yè)對(duì)於任意有，即I為不可再分閉集。所以I中每一個(gè)狀態(tài)都是常返態(tài)，且此馬氏鏈為有限狀態(tài)不可約常返鏈。0.40.2110.50.50.80.631254所以狀態(tài)1的週期為3，由定理知，I中所有狀態(tài)都為週期態(tài)，且週期都為3。因此，這個(gè)馬氏鏈又是以3為週期的週期鏈。又因?yàn)轳R氏鏈為有限狀態(tài)不可約鏈，所以所有狀態(tài)都是正常返狀態(tài)。首頁(yè)8．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為I={1，2，3}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)間的關(guān)係。解0.50.50.5120.513可繼續(xù)討論正常返首頁(yè)9．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為I={1，2，3，4}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)間的關(guān)係。解10.60.20.20.71120.334狀態(tài)空間為I分兩個(gè)部分：={1，2，3}，={4}

是閉集

中狀態(tài)4可到達(dá)中各狀態(tài)，且它非吸收狀態(tài)，所以不是閉集。返回首頁(yè)

第三節(jié)平穩(wěn)分佈與遍曆性一、平穩(wěn)分佈定義1其滿足絕對(duì)分佈定態(tài)分佈首頁(yè)絕對(duì)概率公式絕對(duì)概率由初始分佈和n維轉(zhuǎn)移概率完全確定即注若對(duì)定態(tài)分佈，則性質(zhì)1定態(tài)分佈一定是平穩(wěn)分佈性質(zhì)2若初始分佈是平穩(wěn)分佈，則絕對(duì)分佈也是平穩(wěn)分佈證是平穩(wěn)分佈，則首頁(yè)從而得（初始分佈為平穩(wěn)分佈）（切普曼---可爾莫哥洛夫方程）由上式得於是這時(shí)絕對(duì)分佈是定態(tài)分佈，從而它也是平穩(wěn)分佈。說(shuō)明具有平穩(wěn)分佈的馬氏鏈在每一時(shí)刻處在狀態(tài)i的概率相等首頁(yè)二、遍曆性非週期、正常返狀態(tài)為遍曆狀態(tài)定義2使得則稱此馬氏鏈具有遍曆性馬氏鏈的遍曆性表明不論從哪一個(gè)狀態(tài)i出發(fā)，當(dāng)轉(zhuǎn)移的步數(shù)n充分大時(shí)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率都接近於正常數(shù)首頁(yè)定理1則此馬氏鏈?zhǔn)潜闀训?，且中的是方程組j=0，1，2，…，s的滿足條件的唯一解注1定理表明不論從鏈中哪一狀態(tài)i出發(fā)，都能以正概率經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移到達(dá)鏈中預(yù)先指定的其他任一狀態(tài)。定理給出了求平穩(wěn)分佈的方法。注2首頁(yè)例1其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試證此鏈具有遍曆性，並求出平穩(wěn)分佈。解由於首頁(yè)所以因此，該馬氏鏈具有遍曆性。由定理1得解得所以馬氏鏈的平穩(wěn)分佈為X123首頁(yè)定理2（1）若狀態(tài)是正常返，則該鏈存在平穩(wěn)分佈，且平穩(wěn)分佈（其中是從狀態(tài)j出發(fā)首次返回狀態(tài)j的平均時(shí)間）（2）若所有狀態(tài)是暫態(tài)態(tài)，或所有狀態(tài)是零常返態(tài)，則不存在平穩(wěn)分佈。（3）若是有限馬氏鏈，則一定存在平穩(wěn)分佈。（4）絕對(duì)分佈的極限是平穩(wěn)分佈，即首頁(yè)例2設(shè)有6個(gè)球（其中2個(gè)紅球，4個(gè)白球）分放於甲、乙兩個(gè)盒子中，每盒放3個(gè)，今每次從兩個(gè)盒中各任取一球並進(jìn)行交換，以表示開始時(shí)甲盒中紅球的個(gè)數(shù)，（）表示經(jīng)n次交換後甲盒中的紅球數(shù)。(1)求馬氏鏈{，}的轉(zhuǎn)移概率矩陣；(2)證明{，}是遍曆的；（3）求（4）求首頁(yè)解其一步轉(zhuǎn)移矩陣為甲乙紅球0白球3紅球2白球1紅球1白球2紅球1白球2紅球2白球1紅球0白球3首頁(yè)並作出狀態(tài)傳遞圖1/32/95/92/32/91/30122/3（2）由於它是一個(gè)有限馬氏鏈，故必有一個(gè)常返態(tài)，又鏈中三個(gè)狀態(tài)0、1、2都相通，所以每個(gè)狀態(tài)都是常返態(tài)。所以是一個(gè)不可約的有限馬氏鏈，從而每個(gè)狀態(tài)都是正常返的。所以此鏈為非週期的。故此鏈?zhǔn)遣豢杉s非週期的正常返鏈，即此鏈?zhǔn)潜闀训?。首?yè)（2）可以利用定理證明遍曆性首頁(yè)解之得故得首頁(yè)（4）首頁(yè)例3市場(chǎng)佔(zhàn)有率預(yù)測(cè)設(shè)某地有1600戶居民，某產(chǎn)品只有甲、乙、丙3廠家在該地銷售。經(jīng)調(diào)查，8月份買甲、乙、丙三廠的戶數(shù)分別為480，320，800。9月份裏，原買甲的有48戶轉(zhuǎn)買乙產(chǎn)品，有96戶轉(zhuǎn)買丙產(chǎn)品；原買乙的有32戶轉(zhuǎn)買甲產(chǎn)品，有64戶轉(zhuǎn)買丙產(chǎn)品；原買丙的有64戶轉(zhuǎn)買甲產(chǎn)品，有32戶轉(zhuǎn)買乙產(chǎn)品。用狀態(tài)1、2、3分別表示甲、乙、丙三廠，試求（1）轉(zhuǎn)移概率矩陣；（2）9月份市場(chǎng)佔(zhàn)有率的分佈；（3）12月份市場(chǎng)佔(zhàn)有率的分佈；（4）當(dāng)顧客流如此長(zhǎng)期穩(wěn)定下去市場(chǎng)佔(zhàn)有率的分佈。首頁(yè)解（1）

由題意得頻數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣為再用頻數(shù)估計(jì)概率，得轉(zhuǎn)移概率矩陣為（2）以1600除以N中各行元素之和，得初始概率分佈（即初始市場(chǎng)佔(zhàn)有率）首頁(yè)所以9月份市場(chǎng)佔(zhàn)有率分佈為（3）12月份市場(chǎng)佔(zhàn)有率分佈為首頁(yè)（4）由於該鏈不可約、非週期、狀態(tài)有限正常返的，所以是遍曆的。解方程組即得當(dāng)顧客流如此長(zhǎng)期穩(wěn)定下去是市場(chǎng)佔(zhàn)有率的分佈為返回首頁(yè)討論對(duì)時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬爾可夫過程，取時(shí)間參數(shù)，狀態(tài)空間I={0,1,2,…}第四節(jié)時(shí)間連續(xù)的馬爾可夫鏈一、定義及性質(zhì)時(shí)間連續(xù)的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率首頁(yè)齊次馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率僅由t決定而與s無(wú)關(guān)2．性質(zhì)性質(zhì)1切普曼——柯爾莫哥洛夫方程首頁(yè)性質(zhì)2連續(xù)時(shí)間齊次馬氏鏈的有限維概率分佈由它的初始分佈和轉(zhuǎn)移矩陣所確定注性質(zhì)3注對(duì)時(shí)間來(lái)說(shuō)是可逆性首頁(yè)性質(zhì)4已知現(xiàn)在，那麼過去與將來(lái)是獨(dú)立注性質(zhì)5

（遍曆性定理）馬爾可夫定理設(shè){,}是狀態(tài)空間I={0,1，2,…,s}的時(shí)間連續(xù)的齊次馬氏鏈，則首頁(yè)的滿足條件的唯一解。例1考慮一個(gè)電話總機(jī)接到的呼喚流，以表示這個(gè)總機(jī)在[0，t]中接到的呼喚次數(shù)，由於呼喚流在不相交的時(shí)間區(qū)間中接到的呼喚次數(shù)是相互獨(dú)立的，且服從泊松分佈，所以是一個(gè)時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程，而且是齊次的。寫出它的轉(zhuǎn)移概率。首頁(yè)當(dāng)呼喚次數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)移概率當(dāng)時(shí)其狀態(tài)空間I={0，1，2，…}轉(zhuǎn)移概率為首頁(yè)1．隨機(jī)連續(xù)則稱{}是隨機(jī)連續(xù)的。定理1二、可爾莫哥洛夫微分方程時(shí)間連續(xù)的齊次馬氏鏈{,}是隨機(jī)連續(xù)的充要條件為：對(duì)任意的，有隨機(jī)連續(xù)直觀意義當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過很短時(shí)間，其狀態(tài)幾乎不變。首頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移概率

若時(shí)間連續(xù)的齊次馬氏鏈?zhǔn)请S機(jī)連續(xù)的，則稱其轉(zhuǎn)移概率是標(biāo)準(zhǔn)的。並且滿足性質(zhì):2．轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2定理2並且對(duì)任意，有首頁(yè)（2）對(duì)時(shí)間連續(xù)的齊次有限馬氏鏈，，有若注1推論則對(duì)任意，有即為吸收態(tài)首頁(yè)等價(jià)它表明系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，是繼續(xù)留在狀態(tài)i，還是跳躍到狀態(tài)j，在不計(jì)一個(gè)高階無(wú)窮小時(shí)，決定於與注2等價(jià)跳躍強(qiáng)度

與稱為跳躍強(qiáng)度3．密度矩陣由跳躍強(qiáng)度構(gòu)成的矩陣首頁(yè)若對(duì)一切，有由定理2推論可知也稱時(shí)間連續(xù)馬氏鏈?zhǔn)潜Ｊ氐摹?/p>

矩陣保守時(shí)間連續(xù)的齊次有限馬氏鏈?zhǔn)潜Ｊ氐摹?、可爾莫哥洛夫定理則首頁(yè)推論(1)(2)注1（1）與（2）兩式分別稱為可爾莫哥洛夫向前方程和向後方程，其矩陣形式（向前方程）（向後方程）首頁(yè)對(duì)時(shí)間連續(xù)齊次有限馬氏鏈，向前方程和向後方程均成立，且有如何求

注2在實(shí)際問題中往往是很困難。但考慮到密度矩陣，是由在的導(dǎo)數(shù)組成，即所以實(shí)際問題中先得到，再算注3費(fèi)勒已經(jīng)證明了向後方程與向前方程有同一解但具體應(yīng)用哪一個(gè)方程組求解，要看具體問題而定。首頁(yè)設(shè)狀態(tài)空間I={0,1}時(shí)間連續(xù)馬氏鏈而由狀態(tài)1轉(zhuǎn)到0的概率為且規(guī)定在時(shí)間內(nèi)，由狀態(tài)0轉(zhuǎn)到1的概率為例2兩狀態(tài)鏈試求時(shí)間t時(shí)的轉(zhuǎn)移概率首頁(yè)解類似地所以密度矩陣於是相應(yīng)的可爾莫哥洛夫前進(jìn)方程是即首頁(yè)據(jù)題意有初始條件解上列微分方程，可得滿足此初始條件的解。例如求由得首頁(yè)因此或於是故由得首頁(yè)類似地可解得三、生滅過程

生滅過程是一類特殊的連續(xù)馬氏鏈，它有許多重要的應(yīng)用。首頁(yè)設(shè)有同一類型的個(gè)體組成的一群體，其每一個(gè)體在任意時(shí)間內(nèi)，並設(shè)每一個(gè)體在此時(shí)間內(nèi)也會(huì)死亡，且壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分佈。模型含義首頁(yè)若它的轉(zhuǎn)移概率滿足則稱此鏈為齊次生滅過程生率和滅率生滅過程定義首頁(yè)純生過程純滅過程由定義中的轉(zhuǎn)移規(guī)則知，生滅過程的狀態(tài)是互通的，並且在長(zhǎng)為的一小段時(shí)間內(nèi)，若不計(jì)高階無(wú)窮小，狀態(tài)轉(zhuǎn)移只有三種可能：把理解為t時(shí)刻某群體的個(gè)體總數(shù)，這時(shí)經(jīng)過了生出了一個(gè)個(gè)體理解為經(jīng)過了，死去了一個(gè)個(gè)體首頁(yè)密度矩陣由即可得首頁(yè)可爾莫哥洛夫向前方程是向後方程是首頁(yè)假定平穩(wěn)分佈由可得由可知首頁(yè)定理4若其密度矩陣可表示成其中則是生滅過程。首頁(yè)

平穩(wěn)過程第一節(jié)基本概念第二節(jié)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程第四節(jié)遍曆性定理第一節(jié)基本概念一、嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1若對(duì)任意n，任意則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程首頁(yè)二、嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點(diǎn)1二維概率密度僅與時(shí)間差有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。證同理有一維分佈函數(shù)也與t無(wú)關(guān)，即一維首頁(yè)對(duì)於二維概率密度，有證二維其中同理二維分佈函數(shù)也僅與時(shí)間差有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即首頁(yè)2若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則證（2）相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差的函數(shù)：記（1）均值函數(shù)為常數(shù)：只對(duì)連續(xù)型的情況首頁(yè)記三、寬平穩(wěn)過程定義2如果它滿足：則稱為寬平穩(wěn)過程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程首頁(yè)當(dāng)T為整數(shù)集或注2注1嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。平穩(wěn)時(shí)間序列因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。因?yàn)閷捚椒€(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時(shí)間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分佈不隨時(shí)間而推移。注3利用均值函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)也可討論隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。首頁(yè)因?yàn)榫岛瘮?shù)協(xié)方差函數(shù)即表示協(xié)方差函數(shù)僅依賴於，而與t無(wú)關(guān)，與相關(guān)函數(shù)相同。首頁(yè)例1試討論隨機(jī)變數(shù)序列的平穩(wěn)性。且均值和方差為解因?yàn)樽⒃诳茖W(xué)和工程中，例1中的過程稱為“白雜訊”，它是實(shí)際中最常用的雜訊模型。首頁(yè)試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。例2

是在[0，1]上服從均勻分佈的隨機(jī)變數(shù)，其中T={1，2，…}解的密度函數(shù)為所以注例2中的過程是寬平穩(wěn)的，但不是嚴(yán)平穩(wěn)的返回首頁(yè)性質(zhì)1第二節(jié)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)證性質(zhì)2證由許瓦茲不等式得注首頁(yè)性質(zhì)3證性質(zhì)4即對(duì)任意的2n個(gè)實(shí)數(shù)證首頁(yè)對(duì)於兩個(gè)平穩(wěn)過程，重要的是它們是否平穩(wěn)相關(guān)，因此先給出平穩(wěn)相關(guān)概念。二、互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)定義1平穩(wěn)相關(guān)注兩個(gè)平穩(wěn)過程當(dāng)它們的互相關(guān)函數(shù)僅依賴於時(shí)，它們才是平穩(wěn)相關(guān)的。首頁(yè)證性質(zhì)5

性質(zhì)6證性質(zhì)7證首頁(yè)證性質(zhì)8由性質(zhì)7得而有兩個(gè)數(shù)的幾何平均值不超過它們的算術(shù)平均值得證性質(zhì)9則和也是平穩(wěn)過程。其相關(guān)函數(shù)為則首頁(yè)則積性質(zhì)10也是平穩(wěn)過程其相關(guān)函數(shù)為例1設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程其中U和V是均值都為零、方差都為的不相關(guān)隨機(jī)變數(shù)，試討論它們的平穩(wěn)性，並求自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)。首頁(yè)因?yàn)榻馑酝瑯涌汕蟮檬醉?yè)返回首頁(yè)第三節(jié)平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程一、平穩(wěn)正態(tài)過程

定義1則稱為平穩(wěn)正態(tài)過程。注平穩(wěn)正態(tài)過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。證由於首頁(yè)正態(tài)過程的n維特徵函數(shù)為由過程的平穩(wěn)性得所以對(duì)任一，有首頁(yè)即