2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題11 平面解析幾何（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題11平面解析幾何目錄一覽①2023真題展現(xiàn)考向一直線與圓考向二橢圓考向三雙曲線考向四拋物線②真題考查解讀③近年真題對比考向一直線與圓考向二橢圓考向三雙曲線考向四拋物線④命題規(guī)律解密⑤名校模擬探源⑥易錯易混速記考向一直線與圓一、單選題1．（2023·全國乙卷文數(shù)第11題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【詳解】法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得，故選：C.考向二橢圓一、單選題1．（2023·全國甲卷文數(shù)第7題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.2．（2023·全國甲卷理數(shù)第20題）設(shè)O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．二、解答題1．（2023·全國乙卷文數(shù)第21題/理數(shù)第20題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.考向三雙曲線一、單選題1．（2023·全國乙卷文數(shù)第12題/理數(shù)第11題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.2．（2023·全國甲卷文數(shù)第9題/理數(shù)第8題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D考向四拋物線一、填空題1．（2023·全國乙卷文數(shù)第13題/理數(shù)第13題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為.【答案】【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.二、解答題2．（2023·全國甲卷文數(shù)第21題/理數(shù)第20題）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當時，的面積．【命題意圖】1.直線與方程(1)在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.(3)能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.(4)掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.(5)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.(6)掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.2.圓與方程(1)掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程.(2)能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.(3)能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.(4)初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.3.圓錐曲線(1)了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.(2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì).(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道它的簡單幾何性質(zhì).(4)了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.(5)理解數(shù)形結(jié)合的思想.4.曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.【考查要點】從近三年的高考數(shù)學(xué)來看，本專題考查內(nèi)容覆蓋直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，突出考查考生理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)．（1）高考中對解析幾何的基礎(chǔ)知識考查全面且綜合，如直線和圓的方程、圓錐曲線定義和幾何性質(zhì)、直線與曲線位置關(guān)系等，而且不回避熱點，如求圓的方程問題、橢圓和雙曲線離心率問題、弦長問題等。仔細對比可以發(fā)現(xiàn)，每年的高考試題大都由課本習題改編而來，源于課本，又高于課本。（2）重視圓錐曲線的定義及其幾何性質(zhì)，切實提升自身利用數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力。代數(shù)法(坐標法)是解決解析幾何問題的通性通法，但解析幾何問題的本質(zhì)是幾何問題，利用題干圖形的幾何性質(zhì)解答，往往能避開繁瑣的代數(shù)運算，起到出奇制勝、事半功倍的效果?？v觀近三年的高考試題，很多題目都離不開圖形分析，而且需要自己作圖。因此在平時的教學(xué)中，要訓(xùn)練自身準確作圖和識圖能力，培養(yǎng)其數(shù)形轉(zhuǎn)化意識，提升解題能力和效率。（3）解析幾何的試題一般人口較寬，很容易找到解決問題的思路，但是不同解法間運算量的差異很大，有的是“可望而不可及”。為此，在復(fù)習過程中要特別注重對不同方法的分析、比較，研究圖形的幾何特征，以掌握處理代數(shù)式的一般方法，明確不同方法的差昇和聯(lián)系，找到自己最擅長的方法。要達到這樣的目的，關(guān)鍵是對問題本質(zhì)的把握。只有多角度審視，看清問題的實質(zhì)，才能發(fā)現(xiàn)最佳的突破口。（4）加大訓(xùn)練力度，側(cè)重培養(yǎng)考生邏輯思維能力和運算求解能力。解析幾何問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用問題。對于邏輯思維能力和運算求解能力要求較高。好的思路是通過一定的運算、推理等數(shù)學(xué)語言表達出來的.因此在平面解析幾何專題復(fù)習過程中，提升自身的邏輯思維能力和運算求解能力尤為重要?！镜梅忠c】高頻考點：直線與方程、圓與方程、橢圓、拋物線、雙曲線的概念及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合問題?？枷蛞恢本€與圓一、填空題1．（2022·全國乙卷文數(shù)第15題/理數(shù)第14題）過四點中的三點的一個圓的方程為．【答案】或或或．【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設(shè)（1）若圓過三點，圓心在直線，設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．2．（2022·全國甲卷文數(shù)第14題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為．【答案】【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1,-1).,的方程為.故答案為：考向二橢圓一、單選題1．（2022·全國甲卷文數(shù)第11題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.2．（2022·全國甲卷理數(shù)第10題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.3．（2021·全國乙卷文數(shù)第11題）設(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】設(shè)點，因為，，所以，而，所以當時，的最大值為．故選：A．4．（2021·全國乙卷理數(shù)第11題）設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．二、填空題5．（2021·全國甲卷文數(shù)第16題/理數(shù)第15題）已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為．【答案】【詳解】因為為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.三、解答題6．（2022·全國乙卷文數(shù)第21題/理數(shù)第20題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點考向三雙曲線一、單選題1．（2021·全國甲卷文數(shù)第5題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.2．（2021·全國甲卷理數(shù)第5題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A二、多選題3．（2022·全國乙卷理數(shù)第11題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.三、填空題4．（2022·全國甲卷文數(shù)第15題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．【答案】2（滿足皆可）【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）5．（2022·全國甲卷理數(shù)第14題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．6．（2021·全國乙卷文數(shù)第14題）雙曲線的右焦點到直線的距離為．【答案】【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：7．（2021·全國乙卷理數(shù)第13題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為．【答案】4【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.考向四拋物線一、單選題1．（2022·全國乙卷文數(shù)第6題/理數(shù)第5題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B二、解答題2．（2022·全國甲卷文數(shù)第21題/理數(shù)第20題）設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點共線，由所以，化簡得，反之，若,可得MN過定點因此，由M、N、F三點共線，得，

由M、D、A三點共線，得，

由N、D、B三點共線，得，則，AB過定點（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，所以直線.3．（2021·全國乙卷文數(shù)第20題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因為，所以．于是，所以則直線的斜率為．當且僅當，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．4．（2021·全國乙卷理數(shù)第21題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，，設(shè)圓M上的點，則．所以．從而有．因為，所以當時，．又，解之得，因此．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線的焦點為，，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）[方法一]：切點弦方程+韋達定義判別式求弦長求面積法拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點A、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.[方法二]【最優(yōu)解】：切點弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值同方法一得到．過P作y軸的平行線交于Q，則．．P點在圓M上，則．故當時的面積最大，最大值為．[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點A，B的坐標分別為，．設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．判別式，即，且．拋物線C的方程為，即，有．則，整理得，同理可得．聯(lián)立方程可得點P的坐標為，即．將點P的坐標代入圓M的方程，得，整理得．由弦長公式得．點P到直線的距離為．所以，其中，即．當時，．5．（2021·全國甲卷文數(shù)第21題/理數(shù)第20題）拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）[方法一]：設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．當時，同解法1．當時，直線的方程為，即．由直線與相切得，化簡得，同理，由直線與相切得．因為方程同時經(jīng)過點，所以的直線方程為，點M到直線距離為．所以直線與相切．綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．平面解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是考查考生學(xué)科素養(yǎng)的重要載體。每年高考卷的必考題，一般是兩小一大，從題目位置看相難度有適當降低。分析近三年高考試題不難發(fā)現(xiàn)，高考對解析幾何的考查一般以課程學(xué)習情境與探索創(chuàng)新情境為主，注重數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性的考查，側(cè)重考查考生的運算求解能力和邏輯思維能力。（1）基礎(chǔ)性：高考通過對直線和圓、圓錐曲線的概念和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本方法的考查，增強了考查內(nèi)容的基礎(chǔ)性；同時通過對解析幾何基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗的全面覆蓋，考查考生邏輯思維能力和運算求解能力等，從而促進學(xué)科素養(yǎng)的提升，提高考生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。（2）綜合性和應(yīng)用性：解析幾何涉及知識點多，高考通過綜合設(shè)計試題，將多個知識點街接起來，如將直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的概念和幾何性質(zhì)相結(jié)合考查，或者結(jié)合平面向量、函數(shù)（三角函數(shù)）、不等式等學(xué)科內(nèi)容進行考查。要求考生從整體上把握各種現(xiàn)象的本質(zhì)和規(guī)律，能綜合應(yīng)用所學(xué)知識、原理和方法來分析和解決問題。（3）創(chuàng)新性和選拔性：創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)。分析近三年高考題發(fā)現(xiàn)其重點考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索。高考數(shù)學(xué)在對解析幾何的考查中，充分利用學(xué)科特點，加強對考生創(chuàng)新能力的考查。主要途徑有：增強試題的開放性和探究性，加強獨立思考和批判性思維能力的考查；通過創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境，創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式，考查考生的閱讀理解能力，體現(xiàn)思維的靈活度；提出具有一定跨度和挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)考生進行深人思考和探究，展現(xiàn)考生分析問題和解決問題的思維過程，以考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)選拔功能。一、單選題1．（2023·四川成都三模）若拋物線上的點P到焦點的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由拋物線定義可得：，解得，所以拋物線的標準方程為.故選：C

2．（2023·青海西寧二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，分別與橢圓相切，顯然.所以點在蒙日圓上，所以，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：D3．（2023·天津濱海三模）點F是拋物線的焦點，A為雙曲線C：的左頂點，直線AF平行于雙曲線C的一條漸近線，則實數(shù)b的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【詳解】由題，，則.因直線AF平行于雙曲線C的一條漸近線，則.故選：B4．（2023·廣東深圳二模）若過點的直線與圓交于兩點，則弦最短時直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】

當最短時，直線，所以.又，所以，所以的方程為，即.故選：D5．（2023·廣東梅州三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5【答案】C【詳解】由題意可得雙曲線的一條漸近線為：，所以到的距離為，不妨設(shè)則.故選：C7．（2023·河南開封三模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.8．（2023·廣東梅州三模）已知拋物線的焦點為，點，線段與拋物線相交于點，若拋物線在點處的切線與直線垂直，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)點的坐標為，拋物線方程變形為，由，所以拋物線在點處的切線斜率為，由拋物線在點處的切線與直線垂直，得，即，所以.因為點在線段上，所以，所以，解得，所以拋物線的方程為.故選：D9．（2023·山東菏澤三模）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，該雙曲線過點，則該雙曲線的右焦點到漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為一條漸近線的傾斜角為，所以斜率為，所以，該漸近線為，即，因為該雙曲線過點，所以，將代入得，得，，，，所以，右焦點到漸近線的距離為.故選：D10．（2023·北京大興三模）若點是圓上的動點，直線與軸、軸分別相交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如下圖所示：

直線的斜率為，傾斜角為，故，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，易知直線交軸于點，所以，由圖可知，當直線與圓相切，且切點位于軸下方時，取最小值，由圓的幾何性質(zhì)可知，且，則，故．故選：A11．（2023·黑龍江哈爾濱三模）已知M，N是橢圓上關(guān)于原點O對稱的兩點，P是橢圓C上異于的點，且的最大值是，則橢圓C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知M，N是橢圓上關(guān)于原點O對稱的兩點，故,由橢圓的范圍可知，故的最大值為，則，即橢圓C的離心率是，故選：C12．（2023·廣東珠海三模）已知拋物線的焦點為，準線與坐標軸交于點是拋物線上一點，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2【答案】D【詳解】由，得，則，根據(jù)拋物線的定義知2，解得，代入，得，所以的面積為.故選：D.13．（2023·廣東廣州三模）若雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，雙曲線的一條漸近線是，則它與橢圓在第一象限的交點記為A，橢圓的左右焦點記為F1、F2，則根據(jù)正六邊形的性質(zhì)知是直角三角形，且設(shè)，所以.由橢圓的定義，得出，所以橢圓的離心率．故選:B．14．（2023·河南·襄城三模）已知點P在拋物線上，直線與拋物線C交于A，B兩點（均不與P重合），且直線PA，PB的傾斜角互補，設(shè)拋物線C的焦點為F，則以PF為直徑的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，，，所以，，由題意得，，即,由消去x，可得，由，得，所以，，所以，，即,又，所以以PF為直徑的圓的圓心為，半徑為，故所求圓的方程為，故選：C.15．（2023·廣東廣州三模）在平面直角坐標系中，若拋物線的準線與圓相切于點，直線與拋物線切于點，點在圓上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】拋物線的準線方程為，

圓的圓心為，半徑為，直線與圓相切，則，因為，解得，所以，拋物線的方程為，故拋物線的準線與圓相切于點，若直線與軸重合，則直線與拋物線不相切，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，不妨設(shè)點在第一象限，則，則有，解得，此時，即點，所以，，因為點在圓上，設(shè)點，則，所以，.故選：C.16．（2023·浙江溫州二模）已知橢圓的右焦點為，過右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，，，過點做傾斜角為的直線斜率，直線方程為，聯(lián)立方程，可得，根據(jù)韋達定理：，，因為，即，所以，所以，即，所以，聯(lián)立，可得，.故選：C.17．（2023·河南·襄城三模）已知拋物線的焦點為F，點P是C上異于原點O的任意一點，線段PF的中點為M，則以F為圓心且與直線OM相切的圓的面積最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，作圖如下：

設(shè)（不妨令），由已知可得，則，所以直線OM的方程為，設(shè)，則（當且僅當時取“=”），所以點F到直線OM的距離為，即圓F的半徑最大值為，面積最大值為．故選：B.18．（2023·遼寧遼陽二模）已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點為，連接，所以四邊形為平行四邊形．設(shè)，則．因為，所以，又因為，所以，所以．在中，，由余弦定理得，所以，所以．故選：B.

19．（2023·湖南長沙二模）若斜率為1的直線l與曲線和圓都相切，則實數(shù)a的值為（

）A．或2 B．0或2 C．0 D．2【答案】B【詳解】設(shè)直線l與曲線的切點為，由，則，則，，即切點為，所以直線l為，又直線l與圓都相切，則有，解得或.故選：B.20．（2023·湖南長沙二模）雙曲線（，）的上支與焦點為F的拋物線（）交于A，B兩點，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，A，B在拋物線上，則，，則，又，則，即，又，消y可得，則，所以，即，所以，又，所以.

故選：A21．（2023·福建福州二模）圓（為原點）是半徑為的圓分別與軸負半軸?雙曲線的一條漸近線交于兩點（在第一象限），若的另一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，由雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立方程組，解得，因為且另一條漸近線與直線垂直，可得，整理得，又由，所以，解得，所以離心率為.故選:B.

22．（2023·四川·成都三模）已知雙曲線的焦點為、，漸近線為，，過點且與平行的直線交于，若在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)的方程為，設(shè)雙曲線的半焦距為，因為直線與直線平行，所以直線的方程為，又直線的方程為，聯(lián)立，可得，故點的坐標為，因為在以線段為直徑的圓上，所以，為坐標原點，所以，所以，所以雙曲線的離心率，故選：A.

23．（2023·湖南益陽三模）直線與曲線恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【詳解】是斜率為的直線，曲線是以原點為圓心為半徑的圓的右半圓，畫出它們的圖象如圖，當直線與圓相切時，（舍去），當直線過時，,由圖可以看出：當時，直線與半圓有兩個公共點，故選：

24．（2023·河北三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（

）A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點【答案】D【詳解】設(shè)為拋物線上一點，當時，由得：，在處的切線方程為：，即，；同理可得：當時，在處的切線方程切線方程為；經(jīng)檢驗，當，時，切線方程為，滿足，過拋物線上一點的切線方程為：；設(shè)，則拋物線在處的切線方程為和，，點滿足直線方程：，又直線過焦點，，解得：，點必在直線上；AC錯誤；由題意知：，，，，；設(shè)直線方程為：，由得：，，，即，以為直徑的圓過點；B錯誤，D正確.故選：D.25．（2023·福建寧德二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線交雙曲線的右支于、兩點．點滿足，且，者，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如下圖所示，取線段的中點，連接，

因為，則，因為為的中點，則，且，由雙曲線的定義可得，所以，，則，由余弦定理可得，所以，，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.二、多選題26．（2023·福建寧德二模）已知圓和兩點，．若圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B．4 C． D．6【答案】BCD【詳解】∵，∴點的軌跡是以為直徑的圓O，半徑為，故點P是圓O與圓C的交點，圓心和半徑分別為，，因此兩圓相切或相交，即，解得．故選：BCD

27．（2023·廣東東莞三模）已知拋物線，為坐標原點，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A．拋物線的準線方程為 B．直線一定過拋物線的焦點C．線段長的最小值為 D．【答案】ACD【詳解】由拋物線可知，焦點坐標為，準線方程為，故選項A正確；設(shè)，顯然直線存在斜率且不為零，設(shè)為，方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，因為是該拋物線的切線，所以，即，且的縱坐標為：，代入拋物線方程中可得的橫坐標為：，設(shè)直線存在斜率且不為零，設(shè)為，同理可得：，且的縱坐標為：，橫坐標為，顯然、是方程的兩個不等實根，所以，因為，所以，因此選項D正確；由上可知：的斜率為，直線的方程為：，即，又，所以，所以，即，所以直線AB一定過，顯然該點不是拋物線的焦點，因此選項B不正確，由題意知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，，，由得，所以，，所以，當且僅當時等號成立，故選項C正確；故選：ACD

28．（2023·湖南益陽三模）已知直線過拋物線C：的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線，兩切線交于點G，設(shè)，，，則下列選項正確的是：（

）A．B．以線段AB為直徑的圓與直線相離C．當時，D．面積的取值范圍為【答案】AB【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，設(shè)直線l的方程為，由消去y得：，于是得，，A正確；以線段AB為直線的圓的圓心，則，點到直線距離，由拋物線定義得，顯然，即以線段為直徑的圓與直線相離，B正確；當時，有，即，而，于是得，，C不正確；由求導(dǎo)得，于是得拋物線C在A處切線方程為：，即，同理，拋物線C在B處切線方程為：，聯(lián)立兩切線方程解得，，點到直線l：的距離，于是得面積，當且僅當時取“=”，面積的取值范圍為，D不正確.故選：AB.29．（2023·河北衡水三模）已知曲線是頂點分別為的雙曲線，點（異于）在上，則（

）A．B．的焦點為C．的漸近線可能互相垂直D．當時，直線的斜率之積為1【答案】ACD【詳解】若是雙曲線，則，解得，此時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，其焦點為，，故選項A正確、選項B錯誤；的漸近線方程為，當時，的漸近線的斜率為，此時兩條漸近線互相垂直，滿足題意，故選項C正確；當時，，其頂點坐標分別為，，設(shè)，則，故選項D正確.故選：ACD.30．（2023·廣東茂名三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當時，C．當過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點坐標為，直線與相切，則【答案】ABD【詳解】解：因為雙曲線的方程為，所以，漸近線方程為，選項A，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，即A正確；選項B，由雙曲線的定義知，，若，則，因為，所以，解得，即B正確；選項C：，即C錯誤；選項D，因為平分，由角分線定理知，，所以，又，所以，解得，即D正確.故選：ABD.31．（2023·廣東深圳二模）如圖，雙曲線的左?右焦點分別為，過向圓作一條切線與漸近線和分別交于點（恰好為切點，且是漸近線與圓的交點），設(shè)雙曲線的離心率為.當時，下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．C．當點在第一象限時，D．當點在第三象限時，【答案】BC【詳解】因為且，所以，切點不在雙曲線上，不正確，正確；若，在中，，當分別在一二象限時（如圖1），，設(shè)的傾斜角為，則；當分別在二?三象限時（如圖2），設(shè)的傾斜角為，則，正確，錯誤.

故選：32．（2023·海南海口二模）已知橢圓的上頂點為，兩個焦點為，離心率為．過且垂直于的直線與交于兩點，若的周長是26，則（

）A． B．C．直線的斜率為 D．【答案】ACD【詳解】解：如圖所示：

∵橢圓的離心率為，∴不妨設(shè)橢圓．∵的上頂點為，兩個焦點為，∴為等邊三角形，∵過且垂直于的直線與交于兩點，∴．故C項正確．由等腰三角形的性質(zhì)可得．由橢圓的定義可得的周長為，∴．故A項正確，B項錯誤．對于D項，設(shè)，聯(lián)立，消去y得：，則，由韋達定理得，所以，故D項正確．故選：ACD33．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）已知拋物線的焦點為，準線為，直線與相交于兩點，為的中點，則（

）A．若，則B．若，則直線的斜率為C．不可能是正三角形D．當時，點到的距離的最小值為【答案】ACD【詳解】對于A，代入，解得，，即，，則，所以，A正確；對于C，如圖，，所以不可能是正三角形，C正確；

對于D，由題知，，當共線時，取等號，又點到的距離為，所以點到的距離的最小值為，D正確.對于B，當直線的斜率大于時，根據(jù)上圖再作，因為，所以設(shè)，，因為都在上，所以，，，，所以，則；當直線的斜率小于時，同理可得.綜上，直線的斜率為，B錯.故選：ACD34．（2023·福建福州三模）拋物線C：，AB是C的焦點弦（

）A．點P在C的準線上，則的最小值為0B．以AB為直徑的所有圓中，圓面積的最小值為9πC．若AB的斜率，則△ABO的面積D．存在一個半徑為的定圓與以AB為直徑的圓都內(nèi)切【答案】ABD【詳解】由題意可知：拋物線C：的焦點，準線，對于選項A：根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知：以AB為直徑的圓與準線相切，若點P是以AB為直徑的圓與準線的切點，則，所以；若點P不是以AB為直徑的圓與準線的切點，則為銳角，所以；綜上所述：的最小值為0，故A正確；對于選項B：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，當時，取到最小值6，此時以AB為直徑的圓的面積最小，最小值為，故B正確；對于選項C：若AB的斜率，則，直線，即，由選項B可得：，點到直線直線的距離，所以△ABO的面積，故C錯誤；對于選項D：由選項B可知：以AB為直徑的圓的圓心為，半徑，設(shè)圓的圓心為，半徑，若圓與圓內(nèi)切，則，即，整理得，因為對任意的恒成立，則，解得，即圓心為，半徑的圓恒與以AB為直徑的圓都內(nèi)切，故D正確；故選：ABD.35．（2023·河北張家口三模）已知是圓上不同的兩點，橢圓的右頂點和上頂點分別為，直線分別是圓的兩條切線，為橢圓的離心率.下列選項正確的有（

）A．直線與橢圓相交B．直線與圓相交C．若橢圓的焦距為兩直線的斜率之積為，則D．若兩直線的斜率之積為，則【答案】BCD【詳解】對于A中，當時，點的坐標可以為，可得直線為，即，由，整理得，此時，所以直線與橢圓無交點，所以A錯誤；對于B中，因為，所以，設(shè)原點到直線的距離為，由點到直線的距離公式，可得，所以直線與圓相交，所以B正確；對于C中，橢圓的焦距為，可得，即，不妨設(shè)，則直線，由原點到直線的距離等于1，可得，解得，同理可得，因為，即，解得，又由，解得，所以離心率，所以C正確；對于D中，不妨設(shè)，則,，所以，解得，所以，因為，可得，所以，所以D正確.故選：BCD.

三、填空題36．（2023·上海長寧三模）在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點恰好是拋物線的焦點，則.【答案】【詳解】雙曲線的右焦點為，則，.故答案為：.37．（2023·廣東東莞三模）若圓與軸相切，與直線也相切，且圓經(jīng)過點，則圓的半徑為.【答案】1或【詳解】由題意，在直線中，傾斜角為，∴圓的圓心在兩切線所成角的角平分線上.設(shè)圓心，則圓的方程為：，將點的坐標代入，得，解得：或，∴圓的半徑為1或.故答案為：1或.38．（2023·河南三模）我們通常稱離心率為的雙曲線為“黃金雙曲線”，寫出一個焦點在x軸上，對稱中心為坐標原點的“黃金雙曲線”C的標準方程．【答案】（答案不唯一）【詳解】由，又，且，不妨令，則，焦點在x軸上，對稱中心為原點的“黃金雙曲線”C的標準方程為.故答案為：（答案不唯一）39．（2023·海南?？诙＃┮阎p曲線（為正整數(shù)）的離心率，焦距不大于，試寫出雙曲線的一個方程：．【答案】

（寫出其中一個即可）【詳解】由得，又，所以，即．又，所以，得．因為為正整數(shù)，所以或或，即或或，則雙曲線方程為或或．故答案為：

（寫出其中一個即可）.40．（2023·四川綿陽三模）已知的圓心在曲線上，且與直線相切，則的面積的最小值為.【答案】【詳解】因為的圓心在曲線上，故設(shè),因為與直線相切,所以到直線的距離即為半徑，即，當且僅當時等號成立，所以的面積的最小值為.故答案為:.41．（2023·廣東梅州三模）寫出一個過點且與直線相切的圓的方程：.【答案】（答案不唯一）【詳解】過點且與直線垂直的直線的方程為，設(shè)與的交點為，由，得，所以點的坐標為，故所求的一個圓可以是以為直徑的圓.因為的中點坐標為，，所以所求的一個圓的方程可以為.故答案為：（答案不唯一）42．（2023·湖南長沙三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點M，N分別為C的漸近線和左支上的動點，且的最小值恰為C的實軸長的2倍，則C的離心率為.【答案】【詳解】由雙曲線的定義得，所以，于是.

如圖：當M、N、三點共線，且與點M所在的漸近線垂直時，取得最小值，其最小值就是到漸近線的距離d，又C的漸近線方程為，所以，故的最小值為b，從而的最小值為，由題設(shè)知，所以，所以.故答案為：43．（2023·山東菏澤三模）已知拋物線的焦點為，過作拋物線的切線，切點為，，則拋物線上的動點到直線的距離與到軸的距離之和的最小值為．【答案】【詳解】根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，由拋物線定義知，，，，或（舍去），當時，，，，解得或（舍去），拋物線的方程為，焦點，準線方程為，焦點到直線的距離，拋物線上的動點到直線的距離與到軸的距離之和的最小值為．故答案為：44．（2023·廣東深圳二模）已知橢圓的左?右焦點分別為?，P為橢圓上一點（異于左右頂點），的內(nèi)切圓半徑為r，若r的最大值為，則橢圓的離心率為.【答案】【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，連接，，由題意可得：，所以當取到最大值時，有最大值，且最大值為，所以，整理可得：，兩邊同時平方可得：，所以，所以，解得：或（舍去）.

故答案為：45．（2023·北京大興三模）已知拋物線頂點在原點，焦點為，過作直線交拋物線于、兩點，若線段的中點橫坐標為2，則線段的長為【答案】6【詳解】是拋物線的焦點，準線方程，設(shè)，線段的中點橫坐標為2,.，線段的長為6.故答案為：6.46．（2023·河北衡水三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上的動點．若，且點到直線的最小距離為，則的離心率為．【答案】【詳解】由題意知，解得，將直線沿著其法向量方向向右下方平移單位，因為直線傾斜角為，那么在豎直方向向下移動了2個單位，此時直線為，且與相切．聯(lián)立，得0，所以，解得，所以，即，所以，即的離心率為．故答案為：.

47．（2023·上海嘉定三模）已知點P是拋物線上的動點，Q是圓上的動點，則的最大值是.【答案】【詳解】拋物線的焦點為，準線為，圓的圓心為，半徑，過點作垂直準線，垂足為，由拋物線的定義可知，

設(shè)，則，，所以，令，則，所以，所以當即時，取到最大值，所以的最大值為，因此，，所以的最大值是.故答案為：.48．（2023·江蘇金陵三模）已知拋物線：，圓：，點M的坐標為，分別為、上的動點，且滿足，則點的橫坐標的取值范圍是.【答案】【詳解】因為拋物線：的焦點，準線：，所以圓心即為拋物線的焦點F，設(shè)，∴，∴.∵，∴，，∴，∴.故答案為：49．（2023·山東煙臺三模）設(shè)拋物線的焦點為，點，過點的直線交于兩點，直線垂直軸，，則．【答案】【詳解】由題意得,因為直線垂直于軸,,準線方程為，所以點的橫坐標為,設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，解得，則，則，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程有可得，，則，則，解得，則，故答案為：.

50．（2023·上海閔行三模）已知函數(shù)，直線：，若直線與的圖象交于點，與直線交于點，則，之間的最短距離是.【答案】【詳解】

因為函數(shù)，直線：，若直線與的圖象交于點，與直線交于點，直線的斜率為1，直線：的斜率為，所以兩直線垂直，所以函數(shù)圖象上的點A到直線的最短距離，即為之間的最短距離由題意可得，.令，解得（舍去）.因為，取點，所以點A到直線的距離，則，之間的最短距離是.故答案為：51．（2023·黑龍江哈爾濱三模）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于兩點.若，則C的離心率為.【答案】【詳解】根據(jù)雙曲線C：的對稱性以及其兩條漸近線關(guān)于x軸對稱，不妨設(shè)M在第一象限，可知點關(guān)于x軸對稱，則，設(shè)，則，即，則，由題意得直線的方程為，聯(lián)立，即得，故,則，所以C的離心率為，故答案為：52．（2023·上海寶山三模）已知曲線：與曲線：恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】

如圖：與軸焦點為，當點在圓外，則表示的兩條射線與圓相切與相切時恰有兩個公共點，聯(lián)立得，由，得，因，所以，故，當點在圓上，

如圖，此時與有3個或1個交點不符合題意，當點在圓內(nèi)，

如圖，此時與有2個交點符合題意，此時，，得綜上的取值范圍為：.故答案為：.53．（2023·河南·襄城三模）已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過左焦點作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點（在第一象限），是的中點，若是等邊三角形，則直線的斜率為．【答案】【詳解】

設(shè)雙曲線的半焦距為，，根據(jù)題意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，則．設(shè)，，則，，兩式相減可得，所以．設(shè)，因為是線段的中點，所以，，又，所以．故答案為：.54．（2023·上海虹口三模）已知是拋物線的焦點，P是拋物線C上一動點，Q是曲線上一動點，則的最小值為．【答案】【詳解】由拋物線，可得焦點坐標為，準線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標為，半徑，過點作，垂足為，過點作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點與重合，此時與重合，即，當且僅當在一條直線上時，所以的最小值為.故答案為：.55．（2023·云南三模）已知拋物線上有一點，過點作圓的兩條切線分別交拋物線于兩點（異于點），則直線的斜率為.【答案】【詳解】設(shè)，直線的方程為：，直線的方程為：，因為直線與圓相切，所以，所以所以是方程的兩根，所以，由方程組得：，所以同理可得：所以直線的斜率為故答案為：.56．（2023·湖南益陽三模）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，與x軸交于點P，若，則點P的坐標為.【答案】【詳解】雙曲線雙曲線：的漸近線方程為，而直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，化簡可得，由，得或．設(shè)，，則，，則，所以，，解得：（舍去）或，所以直線的方程為，令，可得.故點P的坐標為.故答案為：.57．（2023·廣東茂名三模）已知為坐標原點，直線過拋物線的焦點，與拋物線及其準線依次交于三點（其中點在之間），若.則的面積是.【答案】【詳解】過點作垂直于準線，垂足為，過點作垂直于準線，垂足為，設(shè)準線與軸相交于點，如圖，

則，在中，，所以，所以，故在中，，所以，則.又軸，，所以，又拋物線，則，所以，所以拋物線，點.因為，所以直線的斜率，則直線，與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡得，易得，設(shè)點，則，則，又直線，可化為，則點到直線的距離，所以.故選：B.58．（2023·湖南長沙三模）已知雙曲線方程是，過的直線與雙曲線右支交于，兩點（其中點在第一象限），設(shè)點、分別為、的內(nèi)心，則的范圍是.【答案】【詳解】

因，故，，，如圖，過點分別作，，，垂足分別為，因為的內(nèi)心，所以，故點也在雙曲線上，即為雙曲線的右頂點，同理，所以三點共線，設(shè)直線的傾斜角為，因雙曲線的漸近線方程為，傾斜角為，根雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，因，所以，,所以，因，所以，所以，故答案為：59．（2023·四川綿陽二模）雙曲線C：的左右焦點分別為，，離心率為2，過斜率為的直線交雙曲線于A，B，則.【答案】【詳解】因為雙曲線的離心率為2，則，因為過斜率為，所以，則，

在中，設(shè)，則，由，解得，則，在中，設(shè)，則，由，解得，則，則，在中.故答案為：60．（2023·北京西城三模）已知曲線．①若為曲線上一點，則；②曲線在處的切線斜率為0；③與曲線有四個交點；④直線與曲線無公共點當且僅當．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②【詳解】當，時，曲線的方程為

，即，曲線是雙曲線的一部分；當，時，曲線的方程為

，即，曲線是橢圓的一部分；當，時，曲線的方程為

，曲線不存在；當，時，曲線的方程為

，即，曲線是雙曲線的一部分；雙曲線和有一條共同的漸近線，綜上，可作出曲線的圖象，如圖：

由圖象可知曲線的圖象上的點都在直線的下方，所以當在曲線上時，有，故①正確；設(shè)過點的直線的方程是，若直線與橢圓相切，則由得，，得；若直線與雙曲線相切，則由得，則且，得，此時直線的方程是，與曲線相切，故②正確；直線是表示與直線平行或重合的直線，由曲線的圖象可知，直線與曲線不可能有四個交點，故③錯誤；設(shè)直線與橢圓相切，則由得，所以，解得，結(jié)合曲線的圖象，取，即直線與曲線相切，所以若直線與曲線無公共點，結(jié)合曲線的圖象，或，故④錯誤.故答案為：①②.四、解答題61．（2023·河北三模）已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，過點作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點，求證：直線與直線所成的較小角相等．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，，解得，，，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：由題意，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，所以，即，且，，，因為直線平行于軸，所以要證直線與直線所成的較小角相等，即證直線的傾斜角互補，即證，下面進行證明：，所以直線與直線所成的較小角相等.

62．（2023·河南·襄城模）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點.(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，設(shè)的方程為，因為圓經(jīng)過拋物線的焦點，所以，解得，所以的方程為.（2）如圖所示，

設(shè)，則，聯(lián)立方程組整理得，所以，且，所以.由，可得，則，所以拋物線的過點A的切線方程是，將代入上式整理得，同理可得拋物線的過點的切線方程為由解得，所以，所以到直線的距離，所以的面積，當時，，所以面積的最小值為.63．（2023·云南三模）如圖，已知橢圓的上、下頂點為，右頂點為，離心率為，直線和相交于點，過作直線交軸的正半軸于點，交橢圓于點，連接交于點.

(1)求的方程；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）依題意可得，，又，解得，所以的方程為.（2）在橢圓中，，所以，，設(shè)直線（），直線（），因為直線與直線相交于點，由，解得，所以，又點在橢圓上，所以，整理得，因為直線交軸正半軸于點，令得，即，又因為，所以，，所以，因為直線交于點，令得，故，又，所以，，所以，又，所以，所以，所以.64．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特二模）已知拋物線T：和橢圓C：，過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交橢圓C于M，N兩點．(1)若F恰是橢圓C的焦點，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在橢圓中，，所以，由，得．（2）設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程，消去x得，，則，設(shè)的中點，則，，設(shè)，，則直線MN的斜率為，，，相減得到，即，即，解得，由點G在橢圓內(nèi)，得，解得，因為，所以p值是1，所以面積．65．（2023·浙江三模）已知雙曲線為其左右焦點，點為其右支上一點，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點，交雙曲線于兩點，求和的面積之積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）解：由題意點處的切線為，所以過點處的切線方程為，交軸于點，則，即，所以為的角平分線；（2）過的切線，當時，即不為右頂點時，，即，（或由直線與單支有兩個交點，則也可）聯(lián)立設(shè)，則所以又所以，，當時，即點為右頂點時，，所以，所以的最小值為.66．（2023·河南信陽三模）已知拋物線上一點到焦點的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點外的任意一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點，和，，試判斷，，，四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)，(2)定值為64【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準線的距離為3，∴，∴；∴拋物線的焦點坐標為，∴，∴；（2）設(shè)，過點的直線方程設(shè)為，由得，，若直線，的斜率分別為，，設(shè)，，，的縱坐標分別為，，，，∴，，∵到的距離，∴，∴，，∴，∴，，，四點縱坐標之積為定值，且定值為64.67．（2023·湖南長沙二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為A1，A2，動直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為（，），（，）．

(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)【詳解】（1）與圓相切，，，由，得，，，故的取值范圍為.（2）由已知可得的坐標分別為，，，又因為，所以，為定值.68．（2023·廣東深圳二模）已知橢圓的離心率，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過定點的直線與橢圓交于兩點，記橢圓的上頂點為，當直線的斜率變化時，求面積的最大值.【答案】(1)(2)16【詳解】（1）橢圓的離心率，則，即，所以，橢圓方程為.將點代入方程得，故所求方程為.（2）點在橢圓內(nèi)，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得.設(shè)，則..點到的距離.令，則則.因為，所以當時，是所求最大值.

69．（2023·福建寧德二模）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，橢圓的右焦點到直線的距離．(1)求橢圓的方程．(2)已知，是橢圓上的兩個不同的動點，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．試判斷圓與直線的位置關(guān)系并說明理由．【答案】(1)(2)圓與直線相切，理由見解析．【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點為，因為橢圓的右焦點到直線的距離是，所以，所以．又因為離心率，所以，所以，所以橢圓方程為．（2）圓與直線相切．理由：設(shè)，．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．由，得．，化簡可得：.所以，，．因為以線段為直徑的圓過坐標原點，所以，所以，且，所以圓心到直線的距離．當直線的斜率不存在時，由題知，所以，所以，所以圓心到直線的距離．綜上所述，圓與直線相切．70．（2023·海南?？诙＃┮阎獟佄锞€，點為其焦點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．(1)求拋物線的方程；(2)過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點和，點分別為的中點，求的最小值．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）

直線方程為，將其代入拋物線可得，由已知得，解得，故拋物線的方程為．（2）

因為，若直線分別與兩坐標軸垂直，則直線中有一條與拋物線只有一個交點，不合題意，所以直線的斜率均存在且不為0．設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．聯(lián)立，得，則，設(shè)，則，設(shè)，則，則，所以，同理可得，故，當且僅當且，即時等號成立，故的最小值為6．71．（2023·廣東汕頭三模）已知拋物線和，其中.與在第一象限內(nèi)的交點為.與在點處的切線分別為和，定義和的夾角為曲線的夾角.(1)若的夾角為，，求的值；(2)若直線既是也是的切線，切點分別為，當為直角三角形時，求出相應(yīng)的值.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)點，聯(lián)立方程，解得，即.設(shè)和的斜率分別為和，因為在第一象限內(nèi)，對于，考慮函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，代入點橫坐標，得；對于，考慮函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，代入點橫坐標，得.因為的夾角為，根據(jù)定義可知和的夾角為，所以，由夾角公式得：，化簡為，即，得.

（2）顯然不與坐標軸平行，設(shè)其方程為.聯(lián)立可得，.和只有一個公共點，所以，即.同理聯(lián)立，可得，，即.聯(lián)立方程，可得.又點縱坐標為，點橫坐標為，所以.設(shè)，則.若為直角，則，，解得，；若為直角，則，，，；若為直角，則，，無解.綜上，或為所求.

72．（2023·上海長寧三模）已知橢圓的離心率是，點是橢圓的上頂點，點是橢圓上不與橢圓頂點重合的任意一點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)圓.若直線與圓相切，求點的坐標；(3)若點是橢圓上不與橢圓頂點重合且異于點的任意一點，點關(guān)于軸的對稱點是點，直線分別交軸與點?點，探究是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由.【答案】(1)(2)或(3)定值為，理由見解析【詳解】（1）橢圓的離心率是，解得.故橢圓方程為：.（2）圓，即，故圓心，半徑，，設(shè)直線的方程為，即，直線與圓相切，則，解得，當時，，解得或（舍），故，當時，，解得或（舍），故，故或（3）設(shè)，，，三點共線，則，即，解得，同理可得，.73．（2023·河南·襄城三模）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，得的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，又因為，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．

74．（2023·山東菏澤三模）已知橢圓與直線相交于兩點，橢圓上一動點，滿足（其中表示兩點連線的斜率），且為橢圓的左、右焦點，面積的最大值為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，，則，所以，依題意可知，兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，由，得，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓的標準方程為.

（2）易得，設(shè)直線，代入，得，則，設(shè)，，則，，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以的內(nèi)切圓面積.所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.

75．（2023·北京密云三模）橢圓C：的離心率為，且過點.(1)求橢圓C的方程和長軸長；(2)點M，N在C上，且.證明：直線MN過定點.【答案】(1)橢圓的方程為：，長軸長為(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得：，解得：，橢圓的方程為：，長軸長為；（2）設(shè)點，，，，整理可得：①，當直線斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立得：，由得：，則，，，，代入①式化簡可得：，即，或，則直線方程為或，直線過定點或，又和點重合，故舍去，當直線斜率不存在時，則，此時，即，又，解得或（舍去），此時直線的方程為，過點，綜上所述，直線過定點.

76．（2023·四川成都三模）設(shè)橢圓過點，且左焦點為．(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，證明：面積為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)點的坐標分別為，，．由題設(shè)知，，，均不為零，記，則且又四點共線，從而，于是，，，從而①，②，又點在橢圓上，即③，④，①＋②×2并結(jié)合③、④得，即點總在定直線上．∴所在直線為上．由消去y得，，設(shè)，則，于是，又到的距離，∴∴面積定值為．

77．（2023·湖南長沙三模）已知P為圓C：上一動點，點，線段PN的垂直平分線交線段PC于點Q．(1)求點Q的軌跡方程；(2)點M在圓上，且M在第一象限，過點M作圓的切線交Q點軌跡于A，B兩點，問的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)的周長為定值【詳解】（1）由題意得：圓，則圓心，半徑，設(shè)中點為，則為線段的垂直平分線，則，所以，所以點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，，則，所以點軌跡方程為：；

（2）設(shè)，由題意可得，則，故，故，同理可得，因為，所以，同理可得，所以，即的周長為定值.

78．（2023·廣東茂名三模）已知雙曲線的離心率為2.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)直線是否過定點，證明見解析.【詳解】（1）由雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程，因為直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，則，聯(lián)立，得，設(shè)，則，直線的方程，令，得，所以直線過定點.

79．（2023·河北張家口三模）已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.【答案】(1)(2)證明見解析，定點為.【詳解】（1）設(shè)到漸近線，即的距離為，則，結(jié)合得，又在雙曲線上，所以，得，所以雙曲線的標準方程為.（2）聯(lián)立，消去并整理得，則，，即，設(shè)，，則，，則，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因為直線不過，即，，所以，即，所以直線，即過定點.

80．（2023·河南三模）如圖，橢圓的左、右頂點分別為A，B．左、右焦點分別為，，離心率為，點在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；(2)已知P，Q是橢圓C上兩動點，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，．過點B作直線PQ的垂線，垂足為H．問：在平面內(nèi)是否存在定點T，使得為定值，若存在，求出點T的坐標；若不存在，試說明理由．【答案】(1)；(2)存在定點使為定值，理由見解析.【詳解】（1）由題意，可得，則橢圓方程為；（2）若直線斜率為，則直線斜率為，而，所以，，聯(lián)立與橢圓，則，整理得，所以，則，故，聯(lián)立與橢圓，則，整理得，所以，則，故，綜上，，，當，即時，，此時，所以，即直線過定點；當，即時，若，則且，且，故直線過定點；若，則且，且，故直線過定點；綜上，直線過定點，又于，易知軌跡是以為直徑的圓上，故的中點到的距離為定值，所以，所求定點T為.

81．（2023·云南曲靖·?？既＃╇p曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于兩點，且是直角三角形.(1)求雙曲線的方程；(2)已知是上不同的兩點，中點的橫坐標為2，且的中垂線為直線，是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）依題意，，焦半徑，當時，，得，即，所以，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故雙曲線的方程為；

（2）設(shè)的中點為因為是上不同的兩點，中點的橫坐標為2.所以.①-②得，當存在時，，因為的中垂線為直線，所以，即，所以過定點.

當不存在時，關(guān)于軸對稱，的中垂線為軸，此時也過，所以存在以為圓心的定圓，使得被圓截得的弦長為定值2.82．（2023·廣東梅州三模）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說