初中升高中數學銜接：教材26講配答案

數學

目錄

閱讀材料：1〕高中數學與初中數學的聯系

2〕如何學好高中數學

3〕熟知高中數學特點是高一數學學習關鍵

4〕高中數學學習方法和特點

5〕怎樣培養(yǎng)好對學習的良好的習慣

第一課：絕對值

第二課：乘法公式

第三課：二次根式〔1〕

第四課：二次根式〔2〕

第五課：分式

第六課：分解因式〔1〕

第七課：分解因式〔2〕

第八課：根的判別式

第九課:根與系數的關系〔韋達定理〕〔1〕

第十課:根與系數的關系〔韋達定理〕〔2〕

第十一課：二次函數y=ax+bx+c的圖像和性質

第十二課：二次函數的三種表示方式

第十三課：二次函數的簡單應用

第十四課：分段函數

第十五課：二元二次方程組解法

第十六課：一元二次不等式解法〔1〕

第十七課：一元二次不等式解法〔2〕

第十八課：國際數學大師陳省身

第十九課：中華民族是一個具有燦爛文化和悠久歷史的民族

第二十課：方差在實際生活中的應用

第二十一課：平行線分線段成比例定理

第二十二課：相似形

第二十三課：三角形的四心

第二十四課：幾種特殊的三角形

第二十五課：圓

第二十六課：點的軌跡

L高中數學與初中數學的聯系

同學們，首先祝賀你們進入高中數學殿堂繼續(xù)學習。在經歷了三年的初中數學學習后，大家對數學有了

一定的了解，對數學思維有了一定的雛形，在對問題的分析方法和解決能力上得到了一定的訓練。這也是我

們繼續(xù)高中數學學習的根底。良好的開端是成功的一半，高中數學課即將開始與初中知識有聯系，但比初中

數學知識系統(tǒng)。高一數學中我們將學習函數，函數是高中數學的重點，它在高中數學中是起著提綱的作用，

它融匯在整個高中數學知識中，其中有數學中重要的數學思想方法；如：函數與方程思想、數形結合思想、

分類討論思想、等價轉化思想等，它也是高考的重點，近年來，高考壓軸題都以函數題為考察方法的。高考

題中與函數思想方法有關的習題占整個試題的60%以上。

1、有良好的學習興趣

兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。"意思說，干一件事，知道它，了解

它不如愛好它，愛好它不如樂在其中?！?和‘'樂"就是愿意學，喜歡學，這就是興趣。興趣是最好的老師,

有興趣才能產生愛好，愛好它就要去實踐它，到達樂在其中，有興趣才會形成學習的主動性和積極性。在數

學學習中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣出發(fā)上升為自覺的理性的“認識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W好

數學，成為數學學習的成功者。那么如何才能建立好的學習數學興趣呢

(1)課前預習，對所學知識產生疑問，產生好奇心。

(2)聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預習中疑問，把老師課堂的提問、

停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時答復老師課堂提問，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把

老師對你的提問的評價，變?yōu)楸薏邔W習的動力。

(3)思考問題注意歸納，挖掘你學習的潛力。

(4)聽課中注意老師講解時的數學思想，多問為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產生的

(5)把概念回歸自然。所有學科都是從實際問題中產生歸納的，數學概念也回歸于現實生活，如角

的概念、直角坐標系的產生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現實才能使對概念的理解切實可靠，在

應用概念判斷、推理時會準確。

2、建立良好的學習數學習慣。

習慣是經過重復練習而穩(wěn)固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學習數學習慣，會使自

己學習感到有序而輕松。高中數學的良好習慣應是：多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在

學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還

要保證每天有一定的自學時間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學習能力。

3、有意識培養(yǎng)自己的各方面能力

數學能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力共五大能

力。這些能力是在不同的數學學習環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學習中要注意開發(fā)不同的學習場所，參與一切

有益的學習實踐活動，如數學第二課堂、數學競賽、智力競賽等活動。平時注意觀察，比方，空間想象能力

是通過實例凈化思維，把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必

須學習、理解、訓練、應用中得到開展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設計“智力課”和“智力

問題"比方對習題的解答時的一題多解、舉一反三的訓練歸類，應用模型、電腦等多媒體教學等，都是為數

學能力的培養(yǎng)開設的好課型，在這些課型中，學生務必要用全身心投入、全方位智力參與，最終到達自己各

方面能力的全面開展。

2.如何學好高中數學

有許多初中階段數學成績很好的學生，升入高中后，感覺數學學習困難，他們在做習題或課外練習時，

常常感到茫然，不知從何下手，因而，一個階段后，數學成績出現了嚴重的滑坡現象。出現這種現象的主要

原因是什么呢根據我多年的教學實踐，主要是以下幾個方面的原因：

教材的原因：初中數學教材，多數知識點與學生日常生活實際貼近，且初中教材遵循從感性認識上升到

理性認識的規(guī)律，表達方法比擬簡單，語言通俗易懂，直觀性、趣味性強，結論容易記憶，應試效果也比擬

理想。因而，學生一般容易接受、理解和掌握。相對而言，高中數學概念抽象，邏輯性強，教材表達比擬嚴

謹、標準，知識難度加大，抽象思維和空間想象能力明顯提高，且習題類型多，解題技巧靈活多變，計算相

對復雜，表達了“起點高、難度大、容量多”的特點。這一變化，不可防止地造成了局部學生不適應高中數

學學習，進而影響成績的提高。

教法的原因：初中數學內容少，知識難度不大，教學要求較低，因而教學進度較慢，對于某些重點、難

點，教師可以有充裕的時間反復講解、屢次演練，來彌補缺乏。但是進入高中后，數學教材內涵豐富，教學

要求不斷提高，教學進度相應加快，知識的重點和難點也不可能象初中那樣通過反復強調來排難釋疑，且高

中教學往往通過設導、設問、設陷、設變，啟發(fā)引導，開拓思路，然后由學生自己思考、去解答，比擬注意

知識的發(fā)生過程，傾重對學生思想方法的滲透和思維品質的培養(yǎng)。這使得剛入高中的局部學生不適應教學方

法，聽課時存在思維障礙，跟不上教師的思維，從而產生學習障礙，影響數學的學習。

學法的原因：在初中，局部學生習慣于圍著教師轉，獨立思考和對規(guī)律進行歸納總結的能力較差，滿足

于知識的接受，缺乏學習的主動性。而到了高中，數學學習要求學生勤于思考，善于歸納總結規(guī)律，掌握數

學思維方法，做到舉一反三，觸類旁通。但是，剛入學的高一新生，往往沿用初中時的學法，致使學習出現

困難，甚至完成當天作業(yè)都有困難，更談不上復習、總結等自我消化、自我調整了。

其它原因：學生學習數學的情感、興趣、性格、意志品質的優(yōu)劣、學習目的和學習態(tài)度如何，在某種意

義上也能影響高一學生數學學習。

針對以上影響數學學習的原因，同學們應當怎樣彌補這些缺乏呢下面從高中學生數學學習的幾個常規(guī)步

驟方面談一談：

透徹領悟所學知識：高中數學的理論性、抽象性強，這就需要學生在知識的理解上下大功夫，不僅要弄

清數學概念的實質，還要弄清概念的背景及其與其它概念的聯系。例如初三學生都會解一元二次方程，我曾

在高一新生中做過這種調查：為什么一元二次方程在△》()時有根答對率不到15%,說明了什么學生對一元

二次方程這個概念理解不透徹，相關知識缺乏聯系。

科學地對待預習：對于一局部數學根底不太理想的同學，我主張課前預習。正確的方法是先不翻開書，

設想這節(jié)課的內容、結構，然后翻開書；看到要對某個概念進行定義，馬上蓋上書，自己試著定義一下；看

到一個定理的第一句表達，再蓋上書自己猜測他的結論；看到一個公式時，也是這樣?？吹嚼}時，先不要

看解法，自己先在紙上把它做一遍，再與書上的解法進行比擬、思考……這樣的預習，無論對知識的掌握，

還是對思維的訓練，都是有益的。

對于數學根底較好，思維反響敏銳的同學，我不主張課前預習。因為通過預習已經知道了課上要講的內

容、結論、推導過程、例題解法等，那么，課堂上還談何“超前思維、真正做課堂的主人、在思維運動中訓

練思維呢”這白白浪費了課堂上開展自己智力素質的時機。

提高聽課效率：高中學習期間，學生在課堂的時間占了一大局部。因此聽課效率如何，決定著學習的效

果。我認為，提高聽課效率應注意以下幾個方面：

首先應做好課前的物質準備和精神準備，上課時不至于出現書、本等物丟三落四的現象；上課前也不應

做過于劇烈的體育運動，以免上課后還氣喘噓噓，不能平靜下來。

其次就是聽課。聽課，重要的不是“聽”，而是"想"。聽是前提，隨之是積極地思維。要全身心地投

入課堂學習，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。

耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結，另外，還要聽同學們的答問，看是

否對自己有所啟發(fā)。

眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實驗的動作，生動而深刻的接

受老師所要表達的思想。

心到：就是用心思考，跟上老師的教學思路，分析老師是如何抓住重點，解決疑難的。

口到：就是在老師的指導下，主動答復以下問題或參加討論。

手到：就是在聽、看、想、說的根底上劃出教材的重點，記下講課的要點以及自己的感受或有創(chuàng)新思維

的見解。將聽課中的要點、思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復習，消化，思考。

總之，“自己動手”的課堂聽講，是最科學的。

重視復習和總結：

1、及時做好復習.聽完課的當天，必須做好當天的復習。

復習的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復習：先把書、筆記合起來，回憶上課時

老師講的內容，分析問題的思路、方法等（也可邊想邊在草稿本上寫一寫），盡量想得完整些。然后翻開筆記

與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就能使當天上課內容穩(wěn)固下來，同時也檢查了當天課堂

聽課的效果如何，也為改良聽課方法及提高聽課效果提出必要的改良措施。

2、做好單元復習。學習一個單元后應進行階段復習，復習方法同及時復習一樣，采取回憶式復習，

而后與書、筆記相對照，使其內容完善，而后應做好單元小節(jié)。

3、做好單元小結。單元小結內容應包括以下局部：

（1）本單元（章）的知識網絡；

（2）本章的根本思想與方法（應以典型例題形式將其表達出來）；

（3）自我體會：對本章內，自己做錯的典型問題應有記載，分析其原因及正確答案，應記錄下來本章

你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。

做適量的練習題：有不少同學把提高數學成績的希望寄托在大量做題上，這是不妥當的。事實上，要提

高數學成績，重要的不在做題多，而在于做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學的知識，方法是否掌握

得很好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那么多做題的結果，反而加深了你的缺欠，因此，在準確地把握

住根本知識和方法的根底上，做一定量的練習是必要的。而對于中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題后

有多大收獲，這就需要在做題后進行一定的“反思"，思考一下此題所用的根底知識，數學思想方法是什么，

為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，此題的分析方法與解法，在解其它問題時,是否也用到過，把

它們聯系起來，你就會得到更多的經驗和教訓，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習慣，這將大大有利于你今后

的學習。當然沒有一定量（老師布置的作業(yè)量）的練習是不能形成技能的。

另外，無論是作業(yè)還是測驗，都應把準確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或

技巧，這也是學好數學的重要方面。

課外要自學、研究：課外自學與研究的目的是擴大知識面，開闊眼界，進一步提高應用所學知識解決問

題的能力。課外自學的范圍不宜過大，應該圍繞所學的教材進度看一些課外參考書及數學雜志，作一些較新

鮮或難度較大的習題。課外自學應該是有方案地有節(jié)制地進行，不要因小失大，更不要影響其它學科的學習。

在課外自學的過程中，發(fā)現一些新穎而有價值的習題、一些好的思維方法與解題方法，應該記下來，以便進

一步學習掌握。根底較好，分析能力較強的學生，可以選一、二個專題，深入進行探討和研究，把研究結果

寫成論文，用以培養(yǎng)和鍛煉自己的思維能力。根底不太好、分析能力一般的學生，應該經常和根底好、分析

能力強的同學在一起研究、探討一些數學問題，從中學習他們好的數學思維方法。

方法是學好數學的必要條件。另外，還要記住兩句話；“對一切來說，只有熱愛才是最好的老師"、"書

山有路勤為徑，學海無涯苦做舟"。有了興趣，有了方法，再有勤奮的精神，我相信，每一個有志同學一定

能學好高中數學。

3.熟知高中數學特點是高一數學學習關鍵

一、高中數學與初中數學特點的變化。

1、數學語言在抽象程度上突變。

不少學生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄"。確實，初、高中的數學

語言有著顯著的區(qū)別。初中的數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及抽象

的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學習到的函數語言、空間立體幾何等。

2、思維方法向理性層次躍遷。

高一學生產生數學學習障礙的另一個原因是高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老

師為學生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思

維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習

慣于這種機械的，便于操作的定勢方式，而高中數學在思維形式上產生了很大的變化，正如上節(jié)所述，數學

語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的開展是漸進的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的

突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經驗型抽象思維向理論型抽象思

維過渡，最后還需初步形成辯證形思維。

3、知識內容劇增

初中數學知識少、淺、難度容易、知識面窄。高中數學知識廣泛，將對初中的數學知識推廣和引伸，也

是對初中數學知識的完善。如：初中學習的角的概念只是“0—180°"范圍內的，但實際當中也有720。和“一

360°等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負在內的所有大小角。又如：高中要學

習?立體幾何?，將在三維空間中求一些幾何實體的體積和外表積；還將學習“排列組合”知識，以便解決排

隊方法種數等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法，（答：=6和，）；②四人進行乒乓球雙打比賽，

有幾種比賽場次（答：=3種）高中將學習統(tǒng)計這些排列的數學方法。初中中對一個負數開平方無意義，但在

高中規(guī)定了i=-l,就使-I的平方根為土i.即可把數的概念進行推廣，使數的概念擴大到復數范圍等。這些知識

同學們在以后的學習中將逐漸學習到。

二、不良的學習狀態(tài)。

1、學習習慣因依賴心理而滯后。

初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數，初中數學教學中教師將各種題型都一一羅

列，學生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導也是常事。升入高中

后，教師的教學方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導的能力也跟不上了，由“參與學習"轉入"催

促學習"。許多同學進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的

主動權。表現在不定方案，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽

到“門道"，不會穩(wěn)固所學的知識。

2、學不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方

法。而一局部同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又

不能及時穩(wěn)固、總結、尋找知識間的聯系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法那么、公式、定理一知半

解，機械模仿，死記硬背，還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，

結果是事倍功半，收效甚微。

3、進一步學習條件不具備。高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。

這就要求必須掌握根底知識與技能為進一步學習作好準備。高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要

求高。如二次函數值的求法，實根分布與參變量的討論，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排

列組合應用題及實際應用問題等。有的內容還是初中教材都不講的脫節(jié)內容，如不采取補救措施，查缺補漏，

就必然會跟不上高中學習的要求。

三、學習數學的幾種方法

1、記數學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數學規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識。

2、建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、

改錯、防錯。到達：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；

解答問題完整、推理嚴密。

3、記憶數學規(guī)律和數學小結論。

4、與同學建立好關系，爭做“小老師”，形成數學學習“互助組”。

5、爭做數學課外題，加大自學力度。

6、反復穩(wěn)固，消滅前學后忘。

7、學會總結歸類?？桑?/p>

①從數學思想分類②從解題方法歸類③從知識應用上分類

4.高中數學學習方法和特點

回憶初中階段所學的全部平面幾何的內容及代數中的有理數、多項式、二次根式、方程、不等式和函數

等，不僅在知識上而且在數學能力上已經作好了高中繼續(xù)學習的準備。只要認清高中數學的特點，并促使自

己適應這些特點，那么學好高中數學是完全可能的。高中數學的特點概括地說，有以下三點。

1、知識的抽象性大

在初中學習的“函數"的根底上，高一又要學習"集合”、“對應”、"映射"等更為抽象的知識。高一的立體幾

何也削弱了直觀性而突出了抽象性和空間的想象能力。這就是說思維要從直觀，經驗型向抽象，理論型過渡。

2、知識的密度增大

由于年齡的增長，接受能力、理解能力也在提高。同時高中數學教材的內容多而雜，這就決定了高中數學每節(jié)課

的內容較初中時要多，即密度加大了。教師在教法上也隨之有所變化。初中時教師常常把知識掰開揉碎地細講，同時還

選相當數量的習題去穩(wěn)固這一知識；而在高中卻常常是在新知識的開始階段，例題即有一定的坡度。尤其強調知識的“以

舊帶新”和“橫向，縱向的溝通、聯系"。一節(jié)課下來，似乎是聽懂了，但一遇到作業(yè)常常感到知識的運用不熟練，思

路不通暢。似乎總感到新知識沒有完全掌握，更新的知識又接踵而來。

3、知識的獨立性大

初中知識的系統(tǒng)性是較嚴謹的，平面幾何尤其如此，這個系統(tǒng)給我們學習帶來了很大的方便。因為它便

于記憶，又適合于知識的提取和使用。因此，平面幾何的知識使人長久不忘，記得清，用得上。但高中的數

學卻不同了，除了立體幾何、解析幾何有個相對明確的系統(tǒng)（與平面幾何相比也不成體統(tǒng)），代數、三角的內

容具有相對的獨立性。因此，注意它們內部的小系統(tǒng)和各系統(tǒng)之間的聯系成了學習時必須花力氣的著力點，

否那么，綜合運用知識的能力必然會欠缺。

高一數學成績下降的原因分析及對策

初中畢業(yè)生以較高的數學成績升入高中后，不適應高中數學教學，相當多的高一學生數學不及格，出現

了嚴重的兩極分化，少數學生甚至對學習失去了信心。前幾年，不少學校受高考指揮棒的影響，只注重升學

率而無視了合格率?，F在高中搞會考制，上述問題引起了各校足夠的重視。本文對高一數學成績大面積下降

談談造成的原因及應采取的對策。

一、高一數學成績大面積下降的原因

1.初、高中教材間梯度過大。

初中教材偏重于實數集內的運算，缺少對概念的嚴格定義或對概念的定義不全，如函數的定義，三角函

數的定義就是如此；對不少數學定理沒有嚴格論證，或用公理形式給出而回避了證明，比方不等式的許多性

質就是這樣處理的；教材坡度較緩，直觀性強，對每一個概念都配備了足夠的例題和習題。而高一教材第一

章就是集合、映射等近世代數知識，緊接著就是家函數的分類問題（在鎏函數中，由于指數不同，具有不同

的性質和圖象）。函數單調性的證明又是一個難點，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符

號多、定義嚴格，論證要求又高，高一新生學起來相當困難。此外，內容也多，每節(jié)課容量遠大于初中數學。

這些都是高一數學成績大面積下降的客觀原因。

2.高一新生普遍不適應高中數學教師的教學方法。

高一學生普遍反映數學課能聽懂但作業(yè)不會做。不少學生說，平時自認為學得不錯，考試成績就是上不

去，追究其原因是初中教師重視直觀、形象教學，老師每講完一道例題后，都要布置相應的練習，學生到黑

板表演的時機相當多。為了提高合格率，不少初中教師把題型分類，讓學生死記解題方法和步驟。在初三，

重點題口反復做過屢次。而高中教師在授課時強調數學思想和方法，注重舉一反三，在嚴格的論證和推理上

下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，他們往往用高三復習時應到達的難度來對待

高一教學。因此造成初、高中教師教學方法上的巨大差距，中間乂缺乏過渡過程，至使高中新生普遍適應不

了高中教師的教學方法。

3.高一學生的學習方法不適應高中數學學習。

高一學生在初中三年已形成了固定的學習方法和學習習慣。他們上課注意聽講，盡力完成老師布置的作

業(yè)。但課堂上滿足于聽，沒有做筆記的習慣，缺乏積極思維；遇到難題不是動腦子思考，而是希望老師講解

整個解題過程；不會科學地安排時間，缺乏自學、看書的能力，還有些學生考上了高中后，認為可以松口氣

了，放松了對自己的要求。上述的學習方法，不適應高中階段的正常學習。

二、搞好高一數學教學的對策及方法

針對上述問題，筆者認為要想大面積提高高一數學成績，應采取如下措施。

1.高一教師要鉆研初中大綱和教材。

高中教師應聽初中數學課，了解初中教師的授課特點。開學初，要通過摸底測驗和開學生座談會，了解

學生掌握知識的程度和學生的學習習慣。在摸清三個底（初中知識體系，初中教師授課特點，學生狀況）的

前提下，根據高一教材和大綱，制訂出相當的教學方案，確定應采取的教學方法，做到有的放矢。

2.新高一要放慢進度，降低難度，注意教學內容和方法的銜接。

根據實踐，新高一第一章課時數要增加。要加強根本概念、根底知識的教學。教學時注意形象、直觀。

如講映射時可舉“某班50名學生安排到50張單人桌上的分配方法"等直觀例子，為引人映射概念創(chuàng)造階

梯。由于新高-學生缺乏嚴格的論證能力，所以證明函數單調性時可進行系列訓練，開始時可搞模仿性的證

明。要增加學生到黑板上演練的次數，從而及時發(fā)現問題，解決問題，章節(jié)考試難度不能大。通過上述方法,

降低教材難度，提高學生的可接受性，增強學生學習信心，讓學生逐步適應高中數學的正常教學。

3.嚴格要求，打好根底。

開學第一節(jié)課，教師就應對學習的五大環(huán)節(jié)提出具體、可行要求。如：作業(yè)的標準化，獨立完成，訂正

錯題等等。對學生在學習上存在的弊病，應限期改正。嚴格耍求貴在持之以恒，貫穿在學生學習的全過程，

成為學生的習慣。考試的密度要增加，如第一章可分為三塊進行教學，每講完一塊都要復習、測驗及格率不

到70%應重新復習、測驗，課前5分鐘小題測驗，應經?；?，用以催促、檢查、穩(wěn)固所學知識。實踐說明，

教好課與嚴要求，是提高教學質量的主要環(huán)節(jié)。

4.指導學生改良學習方法。

良好的學習方法和習慣，不但是高中階段學習上的需要，還會使學生受益終生。但好的學習方法和習慣，

一方面需教師的指導，另一方面也靠老師的強求。教師應向學生介紹高中數學特點，進行學習方法的專題講

座，幫助學生制訂學習方案。這里，重點是會聽課和合理安排時間。聽課時要動腦、動筆、動口，參與知識

的形成過程，而不是只記結論。教師應有針對性地向學生推薦課外輔導書，以擴大知識面。提倡學生進行章

節(jié)總結，把知識串成線，做到書由厚讀薄，又由薄變厚。期中、期末都要召開學習方法交流會，讓好的學習

方法成為全體學生的共同財富。

5.怎樣培養(yǎng)好對學習的良好習慣

不要再被動的因為要學習而學習，而是要主動的需求學習的方法，怎么培養(yǎng)對學習的興趣以下幾點可供

參考：

（一）培養(yǎng)良好的學習習慣

現代教育倡導自主性學習和研究性學習，堅信能力是練出來的，因此我們在課程安排和教學常規(guī)中，

設置有課前三分鐘準備、晚修分段學習、教學三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，這樣設置的目的，就

是為了培養(yǎng)同學們良好的修習養(yǎng)身習慣。我希望同學們領會意圖，配合學校的安排。在課前三分鐘，提前回

到自己的座位，把課本和學習用品準備好，把自己的思想從課間活動拉回來，在科任老師和科代表的指導下，

或朗讀課文、定理、定律，或背誦名句、單詞、公式，或做小測練……課堂上，聚精會神聽老師講課，深入

思考和積極答復以下問題，善于做筆記，做到眼睛看、耳朵聽、嘴巴說、腦筋想、手頭記，充分調動和發(fā)揮

各器官功能……晚修分時段學習，合理安排各科學習時間，做到復習、作業(yè)、預習三不誤，照顧到當天學習

及第二天學習的全部學科，做到均衡開展，要主動到走廊上請教下班輔導的老師，維護課室里面安靜的晚修

秩序，提高晚修的效率。

（二）抓好預習環(huán)節(jié)

預習，即課前的自學。指在教師講課之前，自己先獨立地閱讀新課內容。初步理解內容，是上課做好

接受新知識的準備過程。有些學生由于沒有預習習慣，對老師一堂課要講的內容一無所知，坐等教師講課，

老師講什么就聽什么，老師叫干什么就干什么，學習就很辛苦。有些學生雖能預習，但看起書來似走馬觀花,

不動膿1、不分析，這種預習一點也達不到效果。老師建議：預習時要讀、思"問、記同步進行，對課本內容

能看懂多少就算多少，不必求全理解，疑難也不必鉆深，只需順手用筆作出不同符號的標記，把沒有讀懂的

問題記下來，作為聽課的重點.但對牽涉到已學過的知識以及估計老師講不到的小問題，自己一定要搞懂，

以消滅"攔路虎"。預習應在當天作業(yè)做完之后再進行。時間多，就多預習幾門，鉆得深一點；反之，就少

預習幾門，鉆得淺一點。切不可以每天學習任務還未完成就忙著預習，打亂了正常的學習秩序。假設你以前

沒有預習的習慣，現在可以先選一兩門自己學起來感到吃力的學科進行預習嘗試，等嘗到甜頭，取得經驗后，

再逐漸增加學科，直到全面鋪開。

（三）注重聽課環(huán)節(jié)

學生的大局部時間是在課堂中度過的。因此，聽課是學生接受教師指導，掌握知識，開展智力的中心

環(huán)節(jié)，是獲取知識的重要途徑，是保證高效率學習的關鍵。聽課時，有的學生全神貫注，專心聽講；有的分

心走神，萎靡不振，打瞌睡；有的像錄音機，全聽全錄；有的邊聽邊記，根本上能把教師講的內容都記下來;

有的以聽為主，邊聽邊思考，有了問題記下來；有的干脆不記，只顧聽講；有的邊聽邊劃邊思考。思考時，

有的思考當堂內容，有的思考與本課相關的知識體系，有的思考教師的思路，有的拿自己的思路與教師的思

路比擬。那么，怎樣才能到達聽好課的目的呢總的要求是：要抓住各學科的不同特點，帶著問題聽，聽清內

容，記住要點，抓住關鍵，著重聽老師的講課方法與思路，釋疑的過程與結論。

（四）緊抓復習環(huán)節(jié)

復習是對前面已學過的知識進行系統(tǒng)再加工，并根據學習情況對學習進行適當調整，為下一階段的學

習做好準備。因此，每上完一節(jié)課，每學完一篇課文，一個單元，一冊書都要及時復習。假設復習適時恰當，

知識遺忘就少。早在1885年,德國的心理學家艾濱浩斯,通過實驗發(fā)現剛記住的材料，一小時后只能保持44%；

一天后能記住33%：兩天后留下的只有28%；六天后為25%。所有的人，學習的知識都會發(fā)生先快后慢的遺

忘過程。一些記性好的學生是因為能經常從不同的角度、不同的層次上進行復習，做到“每天有復習，每周

有小結，每章有總結"，從而形成了驚人的記憶力。很多學生對所學知識記不住，并不是腦子笨，而是不善

于復習，或復習功夫不深。最好的做法是：(I)當天學的知識，要當天復習清,。否那么，內容生疏了，知識

結構散了，重新學習花費的時間就會更多。(2)要緊緊圍繞概念、公式、法那么、定理、定律復習。通過追

根溯源，思考它們是怎么形成與推導出來的能應用到哪些方面(3)要反復復習。學完一課復習一次，學完一

章或一個單元，又復習一次，學習一階段再系統(tǒng)總結一遍，期末還要專門復習。通過這種步步為營的復習，

形成的知識聯系就不會消退。學校為此采取了教學“三清”措施，希望老師和同學們認真做好教學三清工作。

(五)獨立完成作業(yè)環(huán)節(jié)

獨立完成作業(yè)是深化知識，穩(wěn)固知識，檢查學習效果的重要手段，也是復習與應用相結合的主要形式。然而，有

些學生沒有真正利用好這個環(huán)節(jié)。他們一下課就搶著做作業(yè)，作業(yè)一完，萬事大吉。更有些學生課上根本沒聽懂，下課

后也不問，作業(yè)抄襲后向老師交差完事。其實，做好作業(yè)有以下意義：1.可以檢查自己的學習效果。2、做作業(yè)可以發(fā)現

問題，增強解決問題的能力。3、做作業(yè)可以加深對知識的理解，把易混淆的概念搞清楚，把公式的變換搞熟練，有利

于把書本上的知識轉化成自己的知識。希望同學們能按時、獨、工完成作業(yè)。

(六)認真記好課堂筆記

記筆記是為了學，為了懂，為了用。記筆記的原那么是以聽為主，以記為輔。簡練明白，提綱挈領，

詳略得當，書上有的不必多記。難點不放過，疑點有標記。不亂，不混，條理明。對聯想、發(fā)現的問題，要

及時記。筆記要留有空白處，便于復習時補缺。

(一)絕對值

絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數,

零的絕對值仍是零.即

tz>0,

|Q|=<0,4=0,

-a.。<0.

絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示在數軸上，數a和數。之間的距離.

例1、解不等式：

例2、解不等式：|x-l|<2

你自己能總結出一般性的結論嗎

例3、解不等式：k一1|+k一3|>4.

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得無=3；

①假設x<l，不等式可變?yōu)?(x-l)-(x-3)>4,

即—2x+4>4,解得xVO,

又xVl,

.,.x<0；

②假設lWx<2,不等式可變?yōu)?x—1)—(x—3)>4,

即1>4,

，不存在滿足條件的X；

③假設xN3,不等式可變?yōu)?x—l)+(x—3)>4,

即2x—4>4,解得x>4.

又定3,

：.x>4.

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,卜-1|表示光軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A

之間的距離|雨|,即|以|=卜一1|；以一3|表示x軸上點P到坐標為2的點3之間的距

離IPB[,即|P陰=|x-3|._

所以，不等式打一1|+|尤—3]>4的幾何意,以引、

義即為ff{ff

\PA\+\PB\>4.U―o―i47

由|AB|=2,可知'---v'

點P在點C(坐標為0)的左側、或點P卜一“

在點。(坐標為4)的右側.圖1.1—1

x<0,或x>4.

練習

1.填空題：

(1)假設國=5,那么A；假設m=卜4|,那么戶.

(2)如果時+設=5,且a=—1,那么h=；假設|1—4=2,那么c=

2.選擇題：

以下表達正確的選項是()

(A)假設同=例，那么a=b(B)假設時>網，那么以>U

(C)假設a<b,那么同<例(D)假設同=網，那么a=±b

3.化簡：\x~5\-\2x_13|(x>5].

4.解以下不等式：

[1)|x+3|+|2x-3|>3

〔2〕|x+l|-|x-3|>-4

(二)乘法公式

我們在初中已經學習過了以下一些乘法公式：

〔1〕平方差公式(a+b)("b)=〃2；

〔2〕完全平方公式(a±b)2=a2+2ab+b2.

我們還可以通過證明得到以下一些乘法公式:

〔1〕立方和公式(。+。)(。2-ab+b2)="+b3；

〔2〕立方差公式(a-h)(a2+ab+h2)-a3-b3；

〔3〕三數和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

〔4〕兩數和立方公式(a+bp—a，+2>u~h+3cib~+b'；

〔5〕兩數差立方公式(a-bf=a3-3a2b+3ab2-b3.

對上面列出的五個公式,有興趣的同學可以自己去證明.

例1計算：(X+1)(%-l)(x2-x+l)(x2+X+1).

解法一：原式=(》2一1)[(%2+1)2_%2]

=(X?—1)(%4++1)

=x6-1.

解法二：原式=(彳+1)(丁-x+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=JV6-1.

例2a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求/+從+^的值.

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.

練習：

1.填空題：

(1)—ci~—b~=(—bt—a)()；

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(a+2b—c)~ci~+Ab~+c~+().

2.選擇題：

(1)假設/+2〃田+%是一個完全平方式，那么人等于1)

2

(A)m2(B)—m2(C)—m2(D)—m2

4316

(2)不管a,b為何實數，。2+/一2。-4b+8的值()

(A)總是正數(B)總是負數

(C)可以是零(D)可以是正數也可以是負數

〔三〕二次根式〔1〕

一般地，形如&(a20)的代數式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠

開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+>]a2+b+2b,等是無理式,而

丘x1+與x+1,x2+-Jlxy+y2,V?等是有理式.

1.分母〔子〕有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)

有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它

們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，

例如血與夜，3&與日,后+癡與6-癡,26-3夜與26+3&，

等等.一般地，aG與F,ay/x+by[ya\/x—by/y,aG+b與aG-b互為

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

號的過程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子

中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，

運算中要運用公式五“=而(。20力20)；而對于二次根式的除法，通常先寫成

分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減

法類似，應在化簡的根底上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式日的意義

而=|“卜

11[-a,a<0.

例1將以下式子化為最簡二次根式：

(1)網;(2)7^(?>0)；(3)7^(x<°).

解：⑴阿=2回;

(2)\Ja2b-\a\y/b-a\[b{a>0)；

(3)=2K14=_2尢3下(x<0).

例2計算：V3-(3-V3).

解法一：V3-J-(3—V3)=—~~j=

3-6

_73-(3+73)

(3-73)(3+73)

_3肉3

9-3

3(百+1)

-6

V3+1

2

解法二：百十(3-百

3-6

,8

V3(x/3-l)

V3-1

V3+1

(V3-1)(73+1)

V3+1

例3試比擬以下各組數的大?。?/p>

(1)也一而和布一廂；(2)-3—和20-n.

V6+4

a-VH(厄-而)(厄+而)_1

解：⑴?.?厄-

vn1-x/12+vn-疵+而

VTT-加(而-河)(布+河)_1

VTT-Vio

1-VTT+Vu)-Vn+Vio

xvi2+vn>vrT+vio,

/.7i2-Vn<VTT-Vio.

g片/72V2-V6(2V2-V6X2V2+V6)2

12J.2v2_76=--------=-------7=—7=------=—7=—7=

12V2+V62V2+V6

又4>2卷

.,.冊+4>冊+2吸，

<272-76.

練習：

1.將以下式子化為最簡二次根式:

(1)V18^⑵,27“2比

2.計算:

3.比擬下大?。阂?不和拒-歷

〔四〕二次根式〔2〕

例4化簡：(百+四)2。叫(6-夜)2叫

解：(百+夜)2叫(百-夜嚴。5

=(V3+V2)2004-(73-V2)2004-(V3-V2)

=[(G+?(6-血/4.(G_"

=12004-(A/3-5/2)

=\/3—\/2.

例5化簡：⑴，9-46；⑵Jf+二一2(0<%<1).

解：(1)原式=、5+46+4

=J(石[+2X2X石+2?

=7(2-V5)2

=|2-^|=V5-2.

(2)原式=J(x」)2-X--,

?:0<%<1,

**?—>1>X,

X

所以,原式=—x.

X

V3—5/26+0

例6x求3》2-5xy+3y之的值.

百萬y=Er

?.?》+產%^+制￡=(6-揚2+(6+揚2=10,

解:

V3+V2V3-V2

V3-V2V3+V21

所京質京庭

：.3/—5孫+3丁=3(x+y)2—11孫=3xl()2_]i=289.

練習

1.填空題:

1-V3_

⑴E=----------：

⑵假設J(5-x)(x-3)2=(x—3)件7,那么x的取值范圍是

⑶4724-6754+3y/96-2^/^50=；

曲V5w,Jx+l—x/x-1y/x+\+dx—l

⑷假設X=丁，那么一I-------；~j^=+-==~===____

2?\/x+l+'\/x—1—Vx—1

⑹比擬大小：2f______小一也（填“>",或

2.假設〃:士三+51-/,求a+h的值.

a+1

〔五〕分式

1.分式的意義

AAA

形如々的式子，假設B中含有字母，且B/0,那么稱乙為分式.當時，分式C■具

BBB

有以下性質：

A_AxM_

~B~BxM；

AA^M

萬一B+M?

上述性質被稱為分式的根本性質.

2.繁分式

像“，誓士￡這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

〃+p

例1.假設Ml土=4+_￡_,求常數A,B的值.

x(x+2)xx+2

缶衛(wèi)??Aj_B_A(x+2)+8x_(A+8)x+2A_5x+4

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

.[A+B=5,

??*

2A=4,

解得A=2,B=3.

例2.(1)試證：一1—=--——（其中〃是正整數）；

〃(〃+1)nn+\

，八、一111

12JIT舁：——+——+???+-----；

1x22x39x10

（3）證明：對任意大于1的正整數〃，有一匚+―匚+…+—1—<-.

2x33x4n{n+1）2

〔1〕證明：V-一一匚=（"+1）-"=1,

n〃+1〃（鹿+1）〃（〃+1）

1

----（其中〃是正整數）成立.

〃(〃+1)n〃+1

〔2〕解：由(1)可知

11i

-----------1-------------F???H--------------

1x22x39x10

=1----

1010

111

〔3〕證明：?；-----1------------------

2x33x4/?(/?+1)

1111

=(-----)+(-----)+???+

2334廠新）

11

2n+1

又論2,且〃是正整數,

.I

一定為正數,

??〃+1

.111

-----1-----!-???+-----<--2--

2x33x4n(n+l)

例3設e=￡,且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2/—5雨+2/=0兩邊同除以次，得

2e2—5e+2=0,

(2e—l)(e—2)=0,

/.e=2<1，舍去；或e=2.

：.e=2.

練習

1.對任意的正整數〃，一!—=______(--——)；

〃(〃+2)n〃+2

2.假設生二』=：,那么土=__________

x+y3y

3.正數滿足F