新教材高考數(shù)學(xué)數(shù)列專(zhuān)題7. 數(shù)列中的不定方程8

公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)數(shù)列中的不定方程問(wèn)題數(shù)列中的子列存在性問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化成一個(gè)不定方程問(wèn)題來(lái)求解，此時(shí)把握住不定方程中數(shù)的離散性特征，通常配合一定的方法即可有效解決，本文梳理了幾類(lèi)常見(jiàn)的求解方法，供大家參考.1.因式分解法通過(guò)對(duì)所求不定方程進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，利用整數(shù)的離散性，進(jìn)而解出變量.設(shè)是各項(xiàng)均不為零的項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列：求證：對(duì)于給定的正整數(shù),存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)(按原來(lái)順序)都不能組成等比數(shù)列.證明：假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)，存在一個(gè)公差為的項(xiàng)等差數(shù)列，其中為成等比數(shù)列的三項(xiàng)，則，即，化簡(jiǎn)得.①由知，與同時(shí)為或同時(shí)不為；當(dāng)與同時(shí)為時(shí)，有，與題設(shè)矛盾.故與同時(shí)不為，所以由①得因?yàn)?，且為整?shù)，于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿(mǎn)足題意要求的數(shù)列.例2已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析（1），過(guò)程略.假設(shè)存在正整數(shù)，，使得成等比數(shù)列，則，即，所以，即，即.因?yàn)椋裕?因?yàn)槭钦麛?shù)，所以等式不成立，故不存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.例3．已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為，，．（1）求及；（2）求，的值，使得．解：（1）由，得，，即，化為，解得或，又公差，則，所以．（2）由（1）得，，由得，，即，又，，則，或，下面分類(lèi)求解：當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，，故舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，故舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，，故舍去；綜上得，，．2.不等式分析法很多存在性問(wèn)題，其中的項(xiàng)數(shù)均有范圍，此時(shí)將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值.例4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿(mǎn)足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿(mǎn)足題意．例5．已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；（2）在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）：時(shí)，，解得．時(shí)，，，解得或．時(shí)，，舍去．．，由，（2）由（1）知，，，，若，，依次成等比數(shù)列，則，整理可得，，解得，又，且，所以，此時(shí)．故可知：當(dāng)且僅當(dāng)，使數(shù)列中的，，成等比數(shù)列．例6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1），．（2）由（1）知是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，．假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，．即．．即．，，，互不相同，不妨設(shè)，則，，與矛盾，數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列．存在或，使得，，成等差數(shù)列．3.奇偶分析法奇偶分析對(duì)于某些不定方程，可從不定方程等式兩邊的符號(hào)和奇偶性角度分析，尋求矛盾來(lái)否定存在性，或構(gòu)造等量關(guān)系來(lái)肯定存在性.例7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，且.求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）（2）假設(shè)存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列，則，即.若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.若為奇數(shù)，設(shè)，則，于是，即.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與矛盾；當(dāng)時(shí)，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，顯然不成立.綜上所述，滿(mǎn)足條件的正整數(shù)不存在.例8．在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，說(shuō)明理由．解析：（1），又，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得．假設(shè)中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，于是，所以．因，，，且，所以是奇數(shù)，是偶數(shù)，不可能成立，所以不存在不同的三項(xiàng)，，成等差數(shù)列．4.函數(shù)值域法可將所求不定方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)是自變量，一個(gè)是因變量的函數(shù)形式，利用函數(shù)求值域的方法找到可能的結(jié)果.例9.設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng).

解析：（1）設(shè)的公比為，則有，解得，或（