人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)第24章圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì) 圓心角講義

/合作探究探究點(diǎn)1圓周角的概念知識(shí)講解頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.注意圓周角必須滿足兩個(gè)條件:①頂點(diǎn)在圓上,②角的兩條邊都與圓相交,二者缺一不可。典例剖析例1如下列圖,關(guān)于圓周角的個(gè)數(shù)的說(shuō)法正確的選項(xiàng)是(〕A.有3個(gè)B.有2個(gè)C.有1個(gè)D.有0個(gè)解析第一個(gè)圖中的角的頂點(diǎn)不在圓周上,不是圓周角；第二個(gè)圖、第三個(gè)圖中的角也不是；第四個(gè)圖中的角符合圓周角的兩個(gè)條件,是圓周角；第五個(gè)圖中的角的一條邊與圓不相交,第六個(gè)圖中的角的兩條邊都不與圓相交,故后兩個(gè)都不是圓周角。故符合圓周角定義的角只有1個(gè)。答案C類題突破1如圖,A、B、C、D、E是⊙上的五個(gè)點(diǎn),那么圖中共有_____個(gè)圓周角。答案6點(diǎn)撥共有6個(gè)圓周角.探究點(diǎn)2(高頻考點(diǎn))圓周角定理情景激疑如圖,(1)所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)有什么關(guān)系?比擬一下,再變動(dòng)一下C點(diǎn)在圓周上的位置,有何變化?你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎?把你的結(jié)論與同伴交流一下。(2)所對(duì)的兩個(gè)圓周角與圓心角的度數(shù)有什么關(guān)系?你有什么發(fā)現(xiàn)?由此,你能得出什么結(jié)論？知識(shí)講解一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的半。這是與圓相關(guān)的一個(gè)重要性質(zhì)——圓周角定理,在這里注意:定理中的圓周角和圓心角是通過(guò)它們所對(duì)的同一條弧聯(lián)系在一起的,故不能把“同一條弧〞這一前提省略,而說(shuō)成“圓周角等于圓心角的一半〞。也不能說(shuō)成“一條弦所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半〞,因?yàn)閳A的一條弦對(duì)著兩種情況的圓周角。典例剖析例2如右圖,弦AB把圓周分成1：5的兩局部,那么劣弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為_(kāi)__________________。解析要求所對(duì)的圓周角的度數(shù),可先求的度數(shù),進(jìn)而求出所對(duì)的圓心角的度數(shù)。再利用圓周角定理,就可求出所對(duì)的圓周角的度數(shù)。答案30°類題突破2如圖,將三角板的直角頂點(diǎn)放在⊙O的圓心上,兩條直角邊分別交⊙0于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P在優(yōu)弧上,且與點(diǎn)A、B不重合,連接PA、PB,那么的大小為_(kāi)________。答案45°點(diǎn)撥所對(duì)的圓心角為90°.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半,即可得到.探究點(diǎn)3(高頻考點(diǎn))圓周角定理的推論知識(shí)講解同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。典例剖析例3如圖,在⊙0中,弦,圓周角,求⊙0的直徑。解析要求⊙O的直徑,必須構(gòu)造出一條直徑,此直徑與AB構(gòu)造成直角三角形,問(wèn)題就。容易解決了。答案如圖,連接BO,并延長(zhǎng)作出直徑BD.連接AD,那么,由∠D與∠ACB都對(duì)可知所以.又因?yàn)樗?類題突破3如圖,AB是⊙O的直徑,D是圓上任意一點(diǎn)(不與A、B重合),連接BD并延長(zhǎng)到C,使,連接AC.試判斯的形狀。答案如圖,連接AD,是⊙O的直徑,,即.又,為等腰三角形。點(diǎn)撥連接AD,由AB為⊙0的直徑。利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到,再由,得到AD是垂直平分BC,利用線段垂直平分線定理得到,可得結(jié)論.探究點(diǎn)4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知識(shí)講解圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).典例剖析例4在圓內(nèi)接四邊形ABCD中∠A、∠B、∠C的度數(shù)的比是3:2:7,求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)。解析假設(shè)設(shè)∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別為,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知,解得,于是可求出各角的度數(shù)。答案由題意可設(shè)∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別為.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,,即,又.類題突破4如圖,A、B、C、D四點(diǎn)共圓,且.求證:DC平分∠BDE.答案四點(diǎn)共圓,又,又,又,即DC平分.點(diǎn)撥根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到,由等腰三角形的性質(zhì)得到,等量代換得到,于是得到結(jié)論。重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1圓周角定理的應(yīng)用(1)圓周角是繼圓心角之后學(xué)習(xí)的又一個(gè)和圓有關(guān)的角。它和圓心角一樣在圓中經(jīng)常出現(xiàn),它與圓心角的關(guān)系緊密,有許多與圓有關(guān)的問(wèn)題,需要通過(guò)它來(lái)解決。這兩個(gè)角容易弄混,這是需要注意的地方,要根據(jù)兩者特征加以區(qū)分。(2)在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí),常常需要添加輔助線,構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角,這種根本技能技巧一定要掌握。(3)定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的〞兩種角,在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件,把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角。(4)注意:①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂角和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁〞——圓心角轉(zhuǎn)化。例1如圖,AB是⊙O的直徑,C是的中點(diǎn),于D,交AE于F,連接AC.試說(shuō)明.解析一欲說(shuō)明,只需說(shuō)明,其中是所對(duì)的圓周角。而由條件知因此只需找出所對(duì)的圓周角與∠ACF相等即可,而構(gòu)造所對(duì)的圓周角,需連接BC,此時(shí)恰好構(gòu)造了直徑AB所對(duì)的圓周角∠ACB.答案連接BC,如圖.∵AB是直徑,,即,是的中點(diǎn),,解析二欲說(shuō)明,只需說(shuō)明.因?yàn)閷?duì)著,只需找出所對(duì)的弧與相等即可,延長(zhǎng)CD交圓于H,利用垂徑定理,可得,從而得到,那么問(wèn)題得解.答案如下圖,延長(zhǎng)CD交圓于點(diǎn)H,∵AB是直徑,又∵C是AE的中點(diǎn),∴AC=CE,∴AH=CE.類題突破1如下列圖所示,AB是半圓O的直徑,,D是AC的中點(diǎn),那么的度數(shù)是()A.25°B.29°C.30°D.32°答案B點(diǎn)撥:,那么的度數(shù)為64°,的度數(shù)為.∵D是的中點(diǎn),∴的度數(shù)為重難點(diǎn)2圓周角定理的推論的應(yīng)用(1)圓周角定理的推論:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是證明與圓有關(guān)的兩角相等或互補(bǔ)關(guān)系的重要依據(jù).例2:如下列圖,AB是⊙0的一條弦,點(diǎn)C為的中點(diǎn),CD是⊙0的直徑,過(guò)C點(diǎn)的直線交AB所在直線于點(diǎn)E.交⊙0于點(diǎn)F.(2)〔3〕(1)試判定圖中∠CEB與∠FDC的數(shù)量關(guān)系,并寫(xiě)出結(jié)論；(2)將直線繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(與CD不重合),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,E點(diǎn)、F點(diǎn)的位置也隨之變化,請(qǐng)你在兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出在不同位置時(shí),使(1)的結(jié)論仍然成立的圖形,標(biāo)上相應(yīng)字母,選其中一個(gè)圖形給予說(shuō)明。解析直線與AB的交點(diǎn)E的位置可以分為三類；(1)E在AB上；(2)E在BA的延長(zhǎng)線上；(3)E在AB的延長(zhǎng)線上,故要進(jìn)行分類討論.答案(1).(2)如圖(2),∵CD是⊙O的直徑,點(diǎn)C是的中點(diǎn),∵是⊙0的直徑,,方法歸納根據(jù)同角的余角相等,所以直線在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,始終保持著這一不變的結(jié)論.類題突破2如圖,AB是⊙0的直徑,點(diǎn)C、D都在⊙0上,連接CA,CB,DC,DB.∠D=30°,BC=3,那么AB的長(zhǎng)是____________________。答案6點(diǎn)撥求出結(jié)果。易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)于圓周角定理掌握不好例1如圖,⊙0是的外接圓,,那么的大小為()A.40°B.30°C.45°D.50°錯(cuò)解A錯(cuò)因分析沒(méi)有掌握同弧所對(duì)的圓周角和圓心角之間的關(guān)系,認(rèn)為與的大小相等導(dǎo)致出錯(cuò)。正解D糾錯(cuò)心得解決本類題主要是明確圓周角和圓心角的定義,要理解圓周角和圓心角所對(duì)的弧是同一條弧時(shí),該弧所對(duì)的圓周角才是圓心角的一半,它們之間的關(guān)系是倍半關(guān)系,而不是相等。易錯(cuò)點(diǎn)2忽略弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)而致錯(cuò)例2⊙O中弦AB的長(zhǎng)等于半徑,求弦AB所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù).錯(cuò)解如圖,∵AB的長(zhǎng)等于半徑,為等邊三角形,,即弦AB所對(duì)的