高考數學 三輪必考熱點集中營（05）（教師版）

2.【2010新課標全國理】某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為，則的數學期望為（）（A）100（B）200（C）300（D）400【答案】B【解析】由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數服從二項分布，即,而，則.應選B.3.【2010年高考課標全國文】設函數y＝f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機模擬方法近似計算由曲線y＝f(x)及直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成部分的面積S.先產生兩組(每組N個)區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個點(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數出其中滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點數N1，那么由隨機模擬方法可得S的近似值為________．【答案】eq\f(N1,N)【解析】由0≤f(x)≤1可知曲線y＝f(x)與直線x＝0，x＝1，y＝0圍成了一個曲邊梯形．又產生的隨機數對在如圖所示的正方形內，正方形的面積為1，共有N對數，即有N個點，且滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的有N1個點，即在函數f(x)圖象上及下方有N1個點，所以由幾何概型的概率公式得：曲線y＝f(x)與x＝0，x＝1，y＝0圍成的面積為eq\f(N1,N)×1＝eq\f(N1,N)命題意圖：本題主要考查二項分布的期望以及隨機變量的性質，考查解決應用問題的能力.4.【2012新課標全國理】將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（）A、12種B、10種C、9種D、8種【答案】A6.【2012新課標全國理】在某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為【答案】【解析】三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布得：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為【命題意圖猜想】1.2011年高考題主要考查等可能事件的概率、相互獨立事件的概率、互斥事件的概率．基礎題目，難度較低，分清事件是什么事件是解題的關鍵；2010年理科高考題考查二項分布，也是基礎題，清晰二項分布的分辨能力和公式是解題的關鍵.；2010年文科高考題同教材P140的例4相類似，試題從表面來看難度較大，考生感到無從下手，其實很簡單，面積比就等于點數比．在2012年沒有涉及小題單純考查概率問題.通過這三年的試題分析我們可以看出：本熱點的排列組合和概率問題往往結合在一起考查，且以概率問題為主，單純考查排列組合較少，試題難度不大，為中低檔題。預測2013年概率小題的設計很可能在古典概型和幾何概型中出題，理科聯系到排列組合問題，文科難度比理科要低.2.排列與組合問題一直是高考數學的熱點內容之一．從近幾年的高考試題統計分析來看，對排列與組合知識的考查均以應用題的形式出現，題型為選擇題、填空題，題量多是一道，分值為4～5分，屬于中檔題．內容以考查排列、組合的基礎知識為主．題目難度與課本習題難度相當，但也有個別題目難度較大，重點考查分析、解決問題的能力及分類討論的數學思想方法．預測2013年高考，排列、組合及排列與組合的綜合應用仍是高考的重點，同時應注意排列、組合與概率、分布列等知識的結合，重點考查學生的運算能力與邏輯推理能力．3.猜想：在2012年的高考題很可能考查單純排列組合問題，而概率問題放在解答題中涉及，試題難度不大，理科難度稍微比文科難度要大一些，命題方向為以分類思想為主。這是去年的猜想，完全應驗了，在2012年高考試題的第二題就是一道單純的排列組合問題，雖然難度較小，但是因為訓練的習慣不同，使得不少同學感覺當頭一棒.預測2013年高考試題理科不在直接命制排列組合題，會增加一道二項式定理的題目.對于此知識點放在概率的解答題中進行考查.文科的考查一般放在統計和線性相關的問題上，屬于課本知識，難度較低.如2012年文科第三題.【最新考綱解讀】1．分類加法計數原理、分步乘法計數原理(1)理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理．(2)會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題．2．排列與組合(1)理解排列、組合的概念．(2)能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式．(3)能解決簡單的實際問題．3．事件與概率(1)了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別．(2)了解兩個互斥事件的概率加法公式．4．古典概型(1)理解古典概型及其概率計算公式．(2)會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發(fā)生的概率．5．隨機數與幾何概型(1)了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率．(2)了解幾何概型的意義．【回歸課本整合】1.排列數中、組合數中.(1)排列數公式；。(2)組合數公式；規(guī)定，.(3)排列數、組合數的性質：①；②；③；④；⑤；⑥.2.解排列組合問題的依據是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關聯的），有序排列，無序組合．3.解排列組合問題的方法有：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。（2）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）（3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。（4）不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。（5）多排問題單排法。（6）多元問題分類法。（7）有序問題組合法。（8）選取問題先選后排法。（9）至多至少問題間接法。（10）相同元素分組可采用隔板法。4、分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。5．隨機事件的概率，其中當時稱為必然事件；當時稱為不可能事件P(A)=0；6.等可能事件的概率（古典概率）：P(A)=.理解這里m、ｎ的意義.7、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同時發(fā)生）.計算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B).8、對立事件：（A、B對立，即事件A、B不可能同時發(fā)生，但A、B中必然有一個發(fā)生）.計算公式是：P（A）+P(B)＝１；P()=1－P(A)；9、獨立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨立，互不影響）P(A?B)＝P(A)?P(B).提醒：（1）如果事件A、B獨立，那么事件A與、與及事件與也都是獨立事件；（2）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個發(fā)生的概率是1－P（）＝1－P()P().10、獨立事件重復試驗：事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項)，其中為在一次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率.提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率，關鍵是分清事件的性質.在求解過程中常應用等價轉化思想和分解(分類或分步)轉化思想處理，把所求的事件：轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：①先設事件A=“…”，B=“…”；②列式計算；③作答.11.古典概型：滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型：(1)有限性：在一次試驗中，可能出現的不同的基本事件只有有限個；(2)等可能性：每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．古典概型中事件的概率計算如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，隨機事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(m,n).12．幾何概型區(qū)域A為區(qū)域Ω的一個子區(qū)域，如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件的區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型．幾何概型的概率P(A)＝eq\f(μA,μΩ)，其中μA表示構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)．μΩ表示試驗的全部結果所構成區(qū)域的長度(面積或體積)．13、解決概率問題要注意“四個步驟，一個結合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質即所給的問題歸結為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復.【方法技巧提煉】1.求排列應用題的主要方法：(1)對無限制條件的問題——直接法；(2)對有限制條件的問題，對于不同題型可采取直接法或間接法，具體如下：①每個元素都有附加條件——列表法或樹圖法；②有特殊元素或特殊位置——優(yōu)先排列法；③有相鄰元素(相鄰排列)——捆綁法；④有不相鄰元素(間隔排列)——插空法；2.組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解．通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．3.解排列、組合的綜合應用問題，要按照“先選后排”的原則進行，即一般是先將符合要求的元素取出(組合)，再對取出的元素進行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、圖形分析法．要根據實際問題探索分類、分步的技巧，做到層次清楚，條理分明．4.事件A的概率的計算方法，關鍵要分清基本事件總數n與事件A包含的基本事件數m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一，本試驗是否是等可能的；第二，本試驗的基本事件數有多少個；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好這三個方面的問題，解題才不會出錯．5．幾何概型的兩個特點：一是無限性，即在一次試驗中，基本事件的個數可以是無限的；二是等可能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”．即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗的基本事件所占的總面積(總體積、長度)”之比來表示．【考場經驗分享】1．切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行．分類時要做到不重不漏．對于復雜的計數問題，可以分類、分步綜合應用．2．解決排列、組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列、組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關鍵是在計算中體現“有序”和“無序”．3．要能夠寫出所有符合條件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數相符，使復雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解，檢驗算法的正確與否，又可以對排列數或組合數較小的問題的解決起到事半功倍的效果．4.幾何概型求解時應注意：(1)對于一個具體問題能否應用幾何概型概率公式計算事件的概率，關鍵在于能否將問題幾何化；也可根據實際問題的具體情況，選取合適的參數，建立適當的坐標系，在此基礎上，將試驗的每一個結果一一對應于該坐標系中的一個點，使得全體結果構成一個可度量區(qū)域．(2)由概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應理解為對應于每個試驗結果的點落入某區(qū)域內的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關．5.如果題設條件比較復雜，且備選答案數字較小，可考慮利用窮舉法求解；如果試題難度較大并和其它知識聯系到一起，感覺不易求解，一般不要花費過多的時間，可通過排除法模糊確定，一般可考慮去掉數字最大和最小的答案.【新題預測演練】排列組合部分（理）1.【安徽省皖南八校2013屆高三第二次聯考】“2012”含有數字0,1，2，且有兩個數字2,則含有數字0,1,2，且有兩個相同數字2或1的四位數的個數為（）A.18 B24C.27 D.36【答案】A【解析】由題意可知：有兩個2或兩個1的四位數共有：個2.【廣西百所高中2013屆高三年級第三屆聯考】從5位男生，4位女生中選派4位代表參加一項活動，其中至少有兩位男生，且至少有1位女生的選法共有 （） A．80種 B．100種 C．120種 D．240種【答案】B【解析】.3.【北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統練】從0,1中選一個數字,從2,4,6中選兩個數字,組成無重復數字的三位數,其中偶數的個數為A.36 B.30C.24 D.12【答案】C【解析】若選1，則有種。若選0，則有種，所以共有，選C.4.【2013屆河北省重點中學聯合考試】.甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數為（A））72種（B〕52種（C）36種（D）24種5.【河南省中原名校2013屆高三第三次聯考】用0，1，2，3，4排成無重復數字的五位數，要求偶數字相鄰，奇數字也相鄰，則這樣的五位數的個數是（）A．36 B．32C．24 D．20【答案】D【解析】相鄰問題用捆綁法，用所有數的個數減去首位是0的數的個數，即6.【河南省中原名校2013屆高三第三次聯考】用0，1，2，3，4排成無重復數字的五位數，要求偶數字相鄰，奇數字也相鄰，則這樣的五位數的個數是（）A．36 B．32C．24 D．20【答案】D【解析】相鄰問題用捆綁法，用所有數的個數減去首位是0的數的個數，即7.【武漢市部分學校2013屆高三12月聯考】在實驗室進行的一項物理實驗中，要先后實施個程序，其中程序只能出現在第一或最后一步，程序和在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有（）A．種 B．種 C．種D．種【答案】C【解析】B和C捆在一起，和除A以外的3個數字排列，B和C排列，A排在第一或最后，2種，所以8.【武漢市部分學校2013屆高三12月聯考】在實驗室進行的一項物理實驗中，要先后實施個程序，其中程序只能出現在第一或最后一步，程序和在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有（）A．種 B．種 C．種D．種【答案】C【解析】B和C捆在一起，和除A以外的3個數字排列，B和C排列，A排在第一或最后，2種，所以9.【2013屆高三年級第二次四校聯考】從2,4中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為（）A．6 B．12C．18 D．2411.【2013屆高三年級第二次四校聯考】從2,4中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為（）A．6 B．12C．18 D．24【答案】D【解析】在2,4中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，個位數字是奇數，百位和十位排列為，所以12.【石室中學高2013級“一診模擬”】反復拋擲一枚質地均勻的骰子，每一次拋擲后都記錄下朝上一面的點數，當記錄有三個不同點數時即停止拋擲，則拋擲五次后恰好停止拋擲的不同記錄結果總數是（）（A）種（B）種（C）種（D）種【答案】B【解析】先排前4次，分2類：一類是有2個數重復；一類是有1個數重復。13.【內江市2013屆高中三年級第一次模擬考試試題】某單位有7個連在一起的車位，現有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，則不同的停放方法的種數為A、16B、18C、24D、32【答案】C【解析】先排3輛需要停的車，排完后有4個空，把4個剩車位捆在一起，選一個空放，所以14.【山西省忻州實驗中學2013屆高三第一次月考摸底】在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有【】A．34種 B．48種 C．96種D．144種15.【北京市昌平區(qū)2013屆高三上學期期末理】在高三（1）班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數為A.24B.36C.48D.6016.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測】為繼續(xù)實施區(qū)域發(fā)展總體戰(zhàn)略，加大對革命老區(qū)、民族地區(qū)、邊疆地區(qū)、貧困地區(qū)扶持力度，某市教育局再次號召本市重點中學教師和領導自愿到觀閣、廣興、天池、龍灘四個邊遠山區(qū)中學支教，得到了積極響應，統計得知各邊區(qū)學校教師需求情況如下表：邊區(qū)學校教師需求情況觀閣中學3名（其中需1名數學教師）廣興中學2名天池中學3名（其中需2名英語教師）龍灘中學3名（均為物理教師）現從大量報名者中選出語文教師2名（包含1名干部），數學教師3名，英語教師3名(包含2名干部）、物理教師3名(包含1名干部），要求向每個學校各派一名干部任組長.則不同派遣方案的種數有(A)24種 （B)28種 （C)36種 （D)48種17.【北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學期期末理】某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有A．140種B．120種C．35種D．34種【答案】D【解析】若選1男3女有種；若選2男2女有種；若選3男1女有種；所以共有種不同的選法。選D.18.【河南省中原名校2013屆高三第三次聯考】用0，1，2，3，4排成無重復數字的五位數，要求偶數字相鄰，奇數字也相鄰，則這樣的五位數的個數是（）A．36 B．32C．24 D．20【答案】D【解析】相鄰問題用捆綁法，用所有數的個數減去首位是0的數的個數，即19.【武漢市部分學校2013屆高三12月聯考】在實驗室進行的一項物理實驗中，要先后實施個程序，其中程序只能出現在第一或最后一步，程序和在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有（）A．種 B．種 C．種D．種【答案】C【解析】B和C捆在一起，和除A以外的3個數字排列，B和C排列，A排在第一或最后，2種，所以20.【2013屆高三年級第二次四校聯考】從2,4中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為（）A．6 B．12C．18 D．2422.(2013·北京海淀區(qū)期末)由數字0,1,2,3,4,5組成的奇偶數字相間且無重復數字的六位數的個數是()A．72 B．60C．48 D．12【答案】B【解析】分兩種情況：當首位為偶數時有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)個，當首位為奇數時有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)個，因此總共有：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝60(個)．23【2013屆貴州天柱民中、錦屏中學、黎平一中、黃平民中四校聯考】將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同的分法的種數為（）A.24種B.30種C.36種D.81種【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生則，從4人中先選2人一個班，然后在分班，有種。若甲乙兩人分在一個班則有種，所以甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同的分法的種數為種，選B.24.【東北三省三校2013屆高三3月第一次聯合模擬考試】將4名實習教師分配到高一年級的3個班實習，若每班至少名教師，則不同的分配方案的種數為（） A．12B．36C．72 D．108【答案】C【解析】先從4名實習教師選出2名教師有種情形，再將選出的2名教師看成1名教師與余下的2名全排列有種情形，所以不同的分配方案的種數為：，故選B.25.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】在某次技能大賽中，有6位參賽者的成績分別是70,76,72,70,72,90，從這6位參賽者中隨機地選x位，其中恰有1位的成績是72的概率是，則x等于（）A．2B．4C．3D．2或4【答案】D【解析】設隨機地選x位參賽者，恰有1位成績是72的概率是，當x=2或4時，都有，x=3時，，所以或26.[安徽省宣城市6校2013屆高三聯合測評考]由a,a,a,b,b,c六個字母所成的排列中，a在最前，c在最后的有種概率部分1.【湖北省黃岡中學、孝感高中2013屆高三三月聯合考試】在棱長為a的正方體中隨機地取一點P，則點P與正方體各表面的距離都大于的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】符合條件的點P落在棱長為的正方體內，根據幾何概型的概率計算公式得．故選A．2.【成都外國語學校高2013級高三12月月考】將一顆骰子拋擲兩次，所得向上點數分別為，則函數在上為增函數的概率是（ ）A．B．C．D．3.【“華安、連城、永安、漳平一中，龍海二中，泉港一中”六校聯考2012-2013學年上學期第三次月考】函數,定義域內任取一點，使的概率是()【答案】C【解析】∵∴∴4.【石室中學高2013級一診模擬試題】已知關于的方程，若，記“該方程有實數根且滿足”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】∵方程有實數根，且滿足∴∴∴符合題意的b和c有：（0,0），（0,1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（1,3），（2,0），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4）（3,0），（3,1），（3,2），（4,0），共16種，∴5.【廣東省揭陽市2013屆高三3月第一次高考模擬】在圖（2）的程序框圖中，任意輸入一次與，則能輸出數對的概率為A．B．C．D．6.【廣東省廣州市2013屆高三調研測試】評在區(qū)間和分別取一個數,記為,則方程表示焦點在軸上且離心率小于的橢圓的概率為A．B．C．D．【答案】B【解析】方程表示焦點在軸且離心率小于的橢圓時，有，即，化簡得，又，，畫出