人教版九年級數(shù)學下冊第二十七章　相似單元測試題

/第二十七章相似一、填空題(每題3分,共18分)1．假設兩個相似六邊形的周長比是3∶2,其中較大六邊形的面積為81,那么較小六邊形的面積為________．圖27－Z－12．如圖27－Z－1,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,請?zhí)砑右粋€條件：________,使△ABC∽△AED.3．如圖27－Z－2,AE,BD相交于點C,BA⊥AE于點A,ED⊥BD于點D.假設AC＝4,AB＝3,CD＝2,那么CE＝________.圖27－Z－24．如圖27－Z－3,以點O為位似中心,將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′.OA＝10cm,OA′＝20cm,那么五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是________．圖27－Z－35．如圖27－Z－4,路燈距離地面8m,身高1.6m的小明站在距離燈的底部(點O)20m的A處,那么小明的影子AM的長為________m.圖27－Z－46．如圖27－Z－5,矩形ABCD中,AB＝eq\r(3),BC＝eq\r(6),點E在對角線BD上,且BE＝1.8,連接AE并延長交DC于點F,那么eq\f(CF,CD)＝________．圖27－Z－5二、選擇題(每題4分,共32分)7．由5a＝6b(a≠0,b≠0),可得比例式()A.eq\f(b,6)＝eq\f(5,a)B.eq\f(b,5)＝eq\f(6,a)C.eq\f(a,b)＝eq\f(5,6)D.eq\f(a－b,b)＝eq\f(1,5)8．以下各組中的四條線段成比例的是()A．4cm,4cm,5cm,6cmB．1cm,2cm,3cm,5cmC．3cm,4cm,5cm,6cmD．1cm,2cm,2cm,4cm9．如圖27－Z－6,△ACD和△ABC相似需具備的條件是()圖27－Z－6A.eq\f(AC,CD)＝eq\f(AB,BC)B.eq\f(CD,AD)＝eq\f(BC,AC)C．AC2＝AD·ABD．CD2＝AD·BD10.如圖27－Z－7,在△ABC中,點D,E,F分別在邊AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.假設AD＝2BD,那么eq\f(CF,BF)的值為()圖27－Z－7A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)11．如圖27－Z－8,△ABC中,∠A＝78°,AB＝4,AC＝6.將△ABC沿圖27－Z－9中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()圖27－Z－8圖27－Z－912．△ABC在直角坐標系中的位置如圖27－Z－10所示,以O為位似中心,把△ABC放大為原來的2倍得到△A′B′C′,那么點A′的坐標為()圖27－Z－10A．(－8,－4)B．(－8,4)C．(8,－4)D．(－8,4)或(8,－4)13．將兩個三角尺(含45°角的三角尺ABC與含30°角的三角尺DCB)按圖27－Z－11所示方式疊放,斜邊交點為O,那么△AOB與△COD的面積之比等于()圖27－Z－11A．1∶eq\r(2)B．1∶2C．1∶eq\r(3)D．1∶314．如圖27－Z－12,⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圓,D是eq\o(AC,\s\up8(︵))上一點,BD交AC于點E,假設BC＝4,AD＝eq\f(4,5),那么AE的長是()圖27－Z－12A．3B．2C．1D．1.2三、解答題(共50分)15．(10分)：如圖27－Z－13,△ABC中,∠ABC＝2∠C,BD平分∠ABC.求證：AB·BC＝AC·CD.圖27－Z－1316．(12分)如圖27－Z－14,在平面直角坐標系中,將△ABC進行位似變換得到△A1B1C1.(1)△A1B1C1與△ABC的相似比是________；(2)畫出△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2；(3)設P(a,b)為△ABC內一點,那么依上述兩次變換后,點P在△A2B2C2內的對應點P2的坐標是________．圖27－Z－1417．(12分)如圖27－Z－15,AB是半圓O的直徑,P是BA的延長線上一點,PC是⊙O的切線,切點為C,過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D,連接BC.求證：(1)∠PBC＝∠CBD；(2)BC2＝AB·BD.圖27－Z－1518．(16分)如圖27－Z－16,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝5cm,∠BAC＝60°,動點M從點B出發(fā),在BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動,同時動點N從點C出發(fā),在CB邊上以每秒eq\r(3)cm的速度向點B勻速運動,設運動時間為t(0<t<5)秒,連接MN.(1)假設BM＝BN,求t的值；(2)假設△MBN與△ABC相似,求t的值；(3)當t為何值時,四邊形ACNM的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．圖27－Z－16教師詳解詳析1．36[解析]∵兩個相似六邊形的周長比是3∶2,∴它們的面積比為9∶4.∵較大六邊形的面積為81,∴較小六邊形的面積為81×eq\f(4,9)＝36.故答案為36.2．∠B＝∠AEB(答案不唯一)[解析]∵∠B＝∠AEB,∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED.故添加條件∠B＝∠AEB即可使得△ABC∽△AED.3．2.5[解析]∵BA⊥AE,AC＝4,AB＝3,∴BC＝eq\r(32＋42)＝5.∵BA⊥AE,ED⊥BD,∴∠A＝∠D＝90°.又∵∠ACB＝∠DCE,∴△ABC∽△DEC,∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(CD,CE),即eq\f(4,5)＝eq\f(2,CE),∴CE＝2.5.故答案為2.5.4.eq\f(1,2)5．5[解析]如圖,設路燈為點C.由題意可得△MAB∽△MOC,所以eq\f(AB,CO)＝eq\f(AM,OM),即eq\f(1.6,8)＝eq\f(AM,AM＋20),解得AM＝5.6.eq\f(1,3)[解析]∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD＝90°.又∵AB＝eq\r(3),BC＝eq\r(6),∴AD＝BC＝eq\r(6),∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝3.∵BE＝1.8,∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD,∴eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,BE),即eq\f(DF,\r(3))＝eq\f(1.2,1.8),解得DF＝eq\f(2\r(3),3),那么CF＝CD－DF＝eq\f(\r(3),3),∴eq\f(CF,CD)＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3).7．D8.D9．C[解析]∵在△ACD和△ABC中,∠A＝∠A,∴根據(jù)兩邊對應成比例,且夾角相等的兩三角形相似,得出需添加的條件是eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC),∴AC2＝AD·AB.應選C.10．A[解析]∵DE∥BC,EF∥AB,∴四邊形BDEF是平行四邊形,∠FEC＝∠A,∠C＝∠AED,∴△EFC∽△ADE,∴eq\f(CF,DE)＝eq\f(EF,AD),∴eq\f(CF,BF)＝eq\f(CF,DE)＝eq\f(EF,AD)＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(1,2).應選A.11．C[解析]A項,陰影局部的三角形與原三角形有兩個角相等,故兩三角形相似,故本選項不符合題意；B項,陰影局部的三角形與原三角形有兩個角相等,故兩三角形相似,故本選項不符合題意；C項,兩三角形的對應邊不成比例,故兩三角形不相似,故本選項符合題意；D項,兩三角形對應邊成比例且夾角相等,故兩三角形相似,故本選項不符合題意．應選C.12．D13．D[解析]由題意,知∠ABC＝∠BCD＝90°,∴AB∥CD,∴△AOB∽△COD.設BC＝a,那么AB＝a,CD＝eq\r(3)a,∴AB∶CD＝1∶eq\r(3),∴S△AOB∶S△COD＝1∶3.應選D.14．C[解析]∵△ABC是等腰直角三角形,BC＝4,∴AB為⊙O的直徑,AC＝4,AB＝4eq\r(2),∴∠D＝90°.在Rt△ABD中,AD＝eq\f(4,5),AB＝4eq\r(2),∴BD＝eq\f(28,5).∵∠D＝∠C,∠DAC＝∠CBE,∴△ADE∽△BCE.∵AD∶BC＝eq\f(4,5)∶4＝1∶5,∴△ADE與△BCE的相似比為1∶5.設AE＝x,那么BE＝5x,∴DE＝eq\f(28,5)－5x,∴CE＝28－25x.∵AC＝4,∴x＋28－25x＝4,解得x＝1.15．證明：∵∠ABC＝2∠C,BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠DBC＝∠C,∴BD＝CD.在△ABD和△ACB中,∠A＝∠A,∠ABD＝∠C,∴△ABD∽△ACB,∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,BC),即AB·BC＝AC·BD,∴AB·BC＝AC·CD.16．解：(1)△A1B1C1與△ABC的相似比＝eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(4,2)＝2.故答案為2.(2)如下圖：(3)P(a,b)為△ABC內一點,依次經過上述兩次變換后,點P的對應點P2的坐標為(－2a,2b)．故答案為(－2a,2b)．17．證明：(1)如圖,連接OC,∵PC與⊙O相切,∴OC⊥PC,即∠OCP＝90°.∵BD⊥PD,∴∠BDP＝90°,∴∠OCP＝∠BDP,∴OC∥BD,∴∠BCO＝∠CBD.∵OB＝OC,∴∠PBC＝∠BCO,∴∠PBC＝∠CBD.(2)如圖,連接AC,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB＝90°＝∠CDB.又∵∠ABC＝∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(AB,BC),即BC2＝AB·BD.18．解：(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝5cm,∠BAC＝60°,∴AB＝10cm,BC＝5eq\r(3)cm.由題意知BM＝2tcm,CN＝eq\r(3)tcm,∴BN＝(5eq\r(3)－eq\r(3)t)cm.由BM＝BN,得2t＝5eq\r(3)－eq\r(3)t,解得t＝eq\f(5\r(3),2＋\r(3))＝10eq\r(3)－15.(2)①當△MBN∽△ABC時,eq\f(MB,AB)＝eq\f(BN,BC),即eq\f(2t,10)＝eq\f(5\r(3)－\r(3)t,5\r(3)),解得t＝eq\f(5,2).②當△NBM∽△ABC時,eq\f(NB,AB)＝eq\f(BM,BC),即eq\f(5\r(3)－\r(3)t,10)＝eq\f(2t,5\r(3)),解得t＝eq\f(15,7).∴當t＝eq\f(5,2)或t＝eq\f(15,7)時,△MBN與△ABC相似．(3)過點M作MD⊥BC于點D,可得MD＝t.設四邊形ACNM的面積為ycm2,那么y＝S△ABC－S△BMN＝eq\f(1,2)AC·BC－eq\f(1,2)BN·MD＝eq\f(1,2)×5×5eq\r(3)－