高等數(shù)學第三章

一、羅爾(Rolle)定理例如,點擊圖片任意處播放\暫停物理解釋:變速直線運動在折返點處,瞬時速度等于零.幾何解釋:證注意:假設羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.例如,又例如,例1證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內某點處的導數(shù)之間的關系.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論例2證例3證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)例4證分析:結論可變形為四、小結Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.思考題試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.思考題解答不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿足在開區(qū)間內可微的條件；以上兩個都可說明問題.練習題練習題答案定義例如,定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法那么.證定義輔助函數(shù)那么有例1解例2解例3解例4解例5解注意：洛必達法那么是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好.例6解例7解關鍵:將其它類型未定式化為洛必達法那么可解決的類型.步驟:例8解步驟:步驟:例9解例10解例11解例12解極限不存在洛必達法那么失效。注意：洛必達法那么的使用條件．三、小結洛必達法則思考題思考題解答不一定．例顯然極限不存在．但極限存在．練習題練習題答案一、問題的提出〔如以下圖〕缺乏:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.分析:2.假設有相同的切線3.假設彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交三、泰勒(Taylor)中值定理證明:拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項注意:麥克勞林(Maclaurin)公式四、簡單的應用解代入公式,得由公式可知估計誤差其誤差常用函數(shù)的麥克勞林公式解播放五、小結播放思考題利用泰勒公式求極限思考題解答練習題練習題答案五、小結五、小結五、小結五、小結五、小結一、單調性的判別法定理證應用拉氏定理,得例1解注意:函數(shù)的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調性．二、單調區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個局部區(qū)間上單調．定義:假設函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，那么該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點．方法:例2解單調區(qū)間為例3解單調區(qū)間為例4證注意:區(qū)間內個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調性.例如,三、小結單調性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立.應用：利用函數(shù)的單調性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.思考題思考題解答不能斷定.例但當時，當時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內，都不單調遞增．練習題練習題答案一、函數(shù)極值的定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,定理2(第一充分條件)(是極值點情形)求極值的步驟:(不是極值點情形)例1解列表討論極大值極小值圖形如下定理3(第二充分條件)證同理可證(2).例2解圖形如下注意:例3解注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.三、小結極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)思考題下命題正確嗎？思考題解答不正確．例在–1和1之間振蕩故命題不成立．練習題練習題答案一、最值的求法步驟:1.求駐點和不可導點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區(qū)間內只有一個極值,那么這個極值就是最值.(最大值或最小值)二、應用舉例例1解計算比較得點擊圖片任意處播放\暫停例2敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好〔相距最近射擊最好〕？解(1)建立敵我相距函數(shù)關系敵我相距函數(shù)得唯一駐點實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;例3某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為〔唯一駐點〕故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為點擊圖片任意處播放\暫停例4解如圖,解得三、小結注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念.實際問題求最值的步驟.思考題思考題解答結論不成立.因為最值點不一定是內點.例在有最小值，但練習題練習題答案一、曲線凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方定義二、曲線凹凸的判定定理1例1解注意到,三、曲線的拐點及其求法1、定義注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2、拐點的求法證方法1:例2解凹的凸的凹的拐點拐點方法2:例3解注意:例4解四、小結曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點——拐點;凹凸性的判定.拐點的求法1,2.思考題思考題解答例練習題練習題答案第五題圖一、漸近線定義:1.鉛直漸近線例如有鉛直漸近線兩條:2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:3.斜漸近線斜漸近線求法:注意:例1解二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步三、作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點作圖例3解偶函數(shù),圖形關于y軸對稱.拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點極大值極小值四、小結函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減思考題思考題解答練習題練習題答案1圖2圖二、3圖三、一、弧微分規(guī)定：

單調增函數(shù)如圖，

弧微分公式二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質〔彎曲程度〕的量．))弧段彎曲程度越大轉角越大轉角相同弧段越短彎曲程度越大1、曲率的定義))yxo（設曲線C是光滑的，（定義曲線C在點M處的曲率2、曲率的計算公式注意:(1)直線的曲率處處為零;(2)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.例1解顯然,點擊圖片任意處播放\暫停例2證如圖（（在緩沖段上,實際要求三、曲率圓與曲率半徑定義1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).注意:2.曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).例3

解如圖,受力分析視飛行員在點o作勻速圓周運動,O點處拋物線軌道的曲率半徑

得曲率為曲率半徑為即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.四、小結運用微分學的理論,研究曲線和曲